第七章數(shù)學物理定解問題

1、第一篇：理解的基礎(chǔ)上記憶第二篇：記憶的基礎(chǔ)上理解 第二篇 數(shù)學物理方程本篇介紹物理學中常見的三類偏微分方程及有關(guān)的定解問題和這些問題的幾種常見解法。二 邊界問題對于具體的問題，必須考慮到所研究的區(qū)域處在什么樣的環(huán)境下，即邊界的區(qū)別。一 數(shù)學物理方程第七章 數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理方程是從物理問題中導出的反映客觀物理量在各個地點、各個時刻之間相互制約關(guān)系的數(shù)學方程。換言之，是物理過程的數(shù)學表達。如 牛頓定律、熱傳導定律、熱量守恒定律、電荷守恒定律、高斯定律、電磁感應定律、胡克定律。數(shù)學物理方程本身（不包含定解條件）叫數(shù)學物理方程本身（不包含定解條件）叫 泛定方程泛定方程體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學方程稱為

2、體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學方程稱為邊界條件邊界條件。一個具體的問題的求解的一般過程：三 歷史問題歷史上的擾動對以后的狀態(tài)會有很大的影響。比如：分別用薄的物體和厚的物體敲擊同一弦，研究其后的振動。體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學方程稱為體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學方程稱為初始條件初始條件。7.1 數(shù)學物理方程的導出1 確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰近部分與它的相互作用。2 根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達這個作用。3 化簡、整理。導出步驟：一 均勻弦的微小橫振動12T1T2xx+dxxuB分析：3 弦是柔軟的：張力沿弦的切線方向4 輕弦：重力是張力的幾萬分之一，不考慮1 力學問題：位移u(x,t)是根本量5只在橫向有

3、位移，縱向沒有位移2 遵循牛頓第二定律1 確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰近部分與確定物理量，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，分析鄰近部分與它的相互作用。它的相互作用。細長而柔軟的弦線，緊繃于A、B兩點之間，作振幅極微小的橫振動，求其運動規(guī)律。x+dxTxTx+dxxx+dxxuB在微小振動近似下：于是由(7.1.1)有：弦中各點的張力相等)2 . 1 . 7()sin()sin(22tudmTTxdxx) 1 . 1 . 7(0)cos()cos(xdxxTTxdxxxdxxTTTT即0 x2 2 根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達這個作用。根據(jù)物理規(guī)律，以算式表達這個作用。3 3 化簡

4、、整理?；?、整理。于是由即：弦的線密度令于是：22xdxxxuxuTtudxxxttTuu 02xxttuauTa )2 . 1 . 7()sin()sin(22tudmTTxdxxdxxuT22由于B B是任選的，所以方程適用于弦上的各處，稱為弦的振動方程 如果在位移方向上還受外力的作用，設(shè)單位長度上受的外力為f, 則2ttxxfua u02xxttuaufdxdxxuTtudx2222Ta 單位質(zhì)量所受外力，力密度utt項反映弦在各個時刻的運動之間的聯(lián)系。 uxx項反映弦上的各個質(zhì)點彼此相聯(lián) 。 弦的位移是以x,t的函數(shù)，其運動方程是以x,t為自變量的偏微分方程。 質(zhì)點的位移是以t為自變

5、量的函數(shù)，其運動是以t為自變量的常微分方程；2ttxxfua uT1T2Bxa2a1uxx+dx例 弦在阻尼介質(zhì)中微小橫振動，單位長度的弦所受的阻力為 F=-Rut推導弦的振動方程。解：如圖 選坐標系以dx段為研究對象，弦無縱向振動 由于微振動，則有只在運動的方向二 均勻桿的縱振動研究均勻桿上各點沿桿長方向的縱向位移u(x,t)所遵從的方程。xx+dxuu+du解：如圖選坐標系，選dx段為研究對象,由胡克定律胡克定律得dx段兩邊受拉力分別為xxuYS|dxxxuYS|ttxxdxxxSdxuuuYS)|(楊氏模量密度截面積由牛頓第二定律：ttxxdxxxSudxuuYS|得：此即桿的縱振動方程

6、，0 xxttYuu/022Yauauxxtt可寫為：如果在位移方向上還受外力的作用，設(shè)單位長度單位截面積單位長度單位截面積所上受的外力為f(x,t), 則2ttxxfua u單位質(zhì)量所受外力，力密度例 用勻質(zhì)材料制做細圓錐桿，試推導它的縱振動方程。 xs1x+dx s2xu(x,t)xxuYS|dxxxuYS|解：如圖選坐標系，選dx段為研究對象,dx段兩邊受拉力分別為ttxxdxxxSdxuSuSuY)|(有牛頓第二定律：ttxxxdxxxuSdxuSuSY| )(| )(attxususxY)(22)(xtgarsxttxuxuxxY22)(0)(222xttuxxxauYa 三 均勻薄

7、膜的微小橫振動T1xy平面uT2a分析：2膜是柔軟的：張力在切平面1 力學問題：位移u(x,y,t)是根本量3只在橫向有位移，縱向沒有位移仰角張力T的橫向分量：nuTTtgaaTsiny+dyyx+dxxxy取膜的小塊，則x和x+dx兩邊上所受的張力：xxuT|dxxxuT|dxdyTudyTuTuxxxxdxxx)|(則膜在兩邊張力的橫向作用為dxdyTuyyy量：方向兩邊張力的橫向分同理，在根據(jù)牛頓第二定律：dxdyTudxdyTudxdyuyyxxtt垂直黑板面垂直黑板面()0ttxxyyuT uu)/(0222Tauautt若膜均勻，則如果在位移方向上還受外力的作用，設(shè)單位面積單位面積

8、所上受的外力為f(x,y,t), 則),(22tyxfuautt此即二維波動方程20ttuTu2222222uuuuuuxyz g拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）方程）方程222222223222uuuxyuuuuxyz單位質(zhì)量所受外力，力密度負號：表示方向，熱流方向與溫度升高方負號：表示方向，熱流方向與溫度升高方向相反，因此熱傳導定律是帶有方向的。向相反，因此熱傳導定律是帶有方向的。（對比沒有方向的胡克定律）（對比沒有方向的胡克定律）四 熱傳導方程xx+dxx2 能量守恒定律和熱傳導定律（傅傅里葉里葉定律）1 熱學問題：溫度u(x,t)是根本量q是單位時間流過單位面積的熱量

9、(熱流強度）；K為導熱率，與材料有關(guān)，溫度范圍不大時，視為常數(shù)。分析：熱流（1） dt時間內(nèi)小段dx溫度升高所需熱量： Q= c(sdx)u(x,t+dt)-u(x,t)dt很小 Q=csu t dx dt（2） dt時間內(nèi)流入小段dx熱量： Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt) =ksdtuxx dxxukq內(nèi)無熱源，二者相等Q=csu t dx dt =ksdtuxx dx此即一維熱傳導方程若桿內(nèi)有熱源，熱源密度（單位時間單位體積放熱量）為f, 則方程變?yōu)?2xxtuaua2=k/(c)cfuauxxt2五 擴散方程2 擴散定律（斐克定律斐克定律）1 濃度u(x

10、,y,z,t)是根本量q是單位時間流過單位面積的粒子數(shù)(擴散流強度）；D為擴散系數(shù)。qD u dxdzdyzuDqyuDqxuDqzyx,可寫成分量形式xz體內(nèi)濃度的變化取決于穿過它表面的擴散流，單位時間內(nèi)x方向凈流入粒子數(shù)：()()xxxx dxxx dxxxqqdydzuuDDdydzu Ddxdydzxx 同理，單位時間內(nèi)y，z方向凈流入粒子數(shù)分別為：DdxdydzuzzDdxdydzuyydxdzdy根據(jù)粒子數(shù)守恒：濃度濃度*體積對時間的變化率體積對時間的變化率等于單位時間流入的粒子數(shù)Ddxdydzuuudxdydztuzzyyxx)(02uaut此式為輸運方程a2=D六 泊松方程在充

11、滿了介電常數(shù)為的電解質(zhì)，電荷的體密度為（x,y,z)，研究該區(qū)域的靜電場。 勢函數(shù)u(x,y,z)是根本量, 在所研究的區(qū)域中，任作一閉合曲面s，圍出一空間，由高斯定理：dsdsE1dEddEsdsE1所以又因為uE所以此即泊松方程，若所討論區(qū)域無電荷，則為0uu02uaut對于擴散方程 ，當時間足夠長，ut=0 達到穩(wěn)定狀態(tài)，即濃度的穩(wěn)定分布方程。例1 長為l的柔軟均質(zhì)繩索，一端固定在以勻速轉(zhuǎn)動的豎直軸上，由于慣性離心力的作用，這弦的平衡位置應是水平線。試推導此繩相對于水平線的橫振動方程。 XYxx+dx解：如圖選坐標系，由于慣性離心力的作用，繩內(nèi)各處受力不同，x處的水平拉力為cos1豎直方

12、向：例2 混凝土澆灌后逐漸放出“水化熱”放熱速率正比于當時尚存的水化熱密度，即 。試推導澆灌后的混凝土內(nèi)的熱傳導方程。解：澆灌后混凝土中在初始時刻存儲的水化熱密度為0，則t時刻存儲的水化熱密度為： Bdtd00tdB dt考慮dv中有熱源，則在單位時間內(nèi)dv熱量的增加為又有熱力學第一定律，在單位時間內(nèi)在dv內(nèi)凈增加的熱量可表示為兩式相等，所以例3積分T1T2xa2a1uT1T2xa2a1u（4 4）牛頓牛頓(Newton)(Newton)冷卻定律冷卻定律: : 單位時間內(nèi)從周圍介單位時間內(nèi)從周圍介質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比差

13、成正比, , 即：即：dQ=H(udQ=H(u1 1-u-u) 這里這里u u1 1是外界媒質(zhì)的溫度是外界媒質(zhì)的溫度. .H H為比例系數(shù)為比例系數(shù) (5) (5) 擴散定律擴散定律 即斐克即斐克 （FickFick） 定律定律: : 單位時間內(nèi)擴單位時間內(nèi)擴散流過某橫截面的雜質(zhì)量散流過某橫截面的雜質(zhì)量m m 與該橫截面積與該橫截面積s s 和濃度和濃度梯度梯度u/n n成正比，即：成正比，即：m=-Ds m=-Ds u/n 1) 雙曲型方程雙曲型方程 （Hyperbolic Equation ） ：以波動方程以波動方程為代表為代表 的方程的方程 它描繪了各向同性的彈性體中的波動、振動過程，或

14、聲它描繪了各向同性的彈性體中的波動、振動過程，或聲波、電磁波的傳播規(guī)律波、電磁波的傳播規(guī)律 2) 拋物型方程拋物型方程 （Parabolic Equation ） ：以熱傳導方程以熱傳導方程（或輸運方程）（或輸運方程） 為代表為代表 的方程的方程 它主要描述擴散過程和熱傳導過程所滿足的規(guī)律它主要描述擴散過程和熱傳導過程所滿足的規(guī)律. . fuaut2fuautt2雙曲型方程和拋物型方程雙曲型方程和拋物型方程都是隨時間都是隨時間變化（或變化（或發(fā)展）的發(fā)展）的,有時也稱為發(fā)展方程有時也稱為發(fā)展方程. 3）橢圓型方程橢圓型方程（Elliptic Equation）：）： 以以泊松方程泊松方程為為代

15、表的代表的方程方程 當當，即退化為拉普拉斯方程，即退化為拉普拉斯方程. . 它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過程規(guī)律的它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過程規(guī)律的偏微分方程偏微分方程. . 在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場、在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場、靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流的速度勢等規(guī)律靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流的速度勢等規(guī)律 ( , , )0f x y z ( , , )uf x y z 哈密頓算符：; ;nablanbl2222222:u:u:uijkxyzuuuuijkxyzuuuuxyzuuuuuuuxyz 標量函數(shù) 的梯度矢量函數(shù) 的散度矢量函數(shù) 的旋度rrrrrrrrg

16、rrg7、2 定解條件 一 初始條件 ：1.定義： 是研究系統(tǒng)的物理量在開始計時時刻的初始分布2 初始條件的特征： 偏微分方程對時間導數(shù)的階數(shù)對應于初始條件中的數(shù)目一階含時偏微分方程，有一個初始條件二階含時偏微分方程，有兩個初始條件： 02xxttuau),(| ),(0zyxtzyxut),(| ),(0zyxtzyxutt3 注意問題：（1）、初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點處的情況，例例 一根長為一根長為l的弦，兩端固定于的弦，兩端固定于 x x和和l. l.在在距離坐標原點為距離坐標原點為b的位置將弦沿的位置將弦沿著橫向拉開距離著橫向拉開距離，如圖，如圖 所示，所示

17、，然后放手任其振動，試寫出初始然后放手任其振動，試寫出初始條件條件 【解解】 初始時刻就是放手初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有 x h 0| ),(0tttxubh初始位移如圖所示，除兩端點固定外，弦上各點初始位移如圖所示，除兩端點固定外，弦上各點均有一定的位移，寫出如圖所示的直線方程，得到初均有一定的位移，寫出如圖所示的直線方程，得到初始位移為始位移為bxxbhbxxlblhttxu)(0),(（2）、初始條件中不含時間，只是坐標的函數(shù)或常數(shù) 研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處的特定的特

18、定“環(huán)境環(huán)境”，而周圍環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上，而周圍環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況，即邊界條件的物理狀況，即邊界條件 常見的線性邊界條件分為三類：常見的線性邊界條件分為三類： 二二 邊界條件邊界條件 ： 邊界邊界上的物理量上的物理量始終始終具有的情況。具有的情況。第二類邊界條件第二類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方 向?qū)?shù)的數(shù)值；向?qū)?shù)的數(shù)值；第一類邊界條件第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；第三類邊界條件第三類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的，規(guī)定了所

19、研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值線性組合在邊界上的數(shù)值. .（1 1）第一類邊界條件）第一類邊界條件： 直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式 比如：弦的兩端固定0| ),(| ),(0lxxtxutxu若弦的兩端按固定規(guī)律運動)(| ),()(| ),(0tgtxutftxulxx（2 2）、第二類邊界條件：）、第二類邊界條件：規(guī)定了系統(tǒng)邊界上物理量法向方向上的方向?qū)?shù)的函數(shù)形式。例1：桿在x=a處絕熱。x熱流例：熱傳導的桿在x=a端自由冷卻，自由冷卻的意思是：界面法向方向上的熱流與桿端溫度和環(huán)境的溫差成正比邊界條件概括為：(aunbu)|f(t) 0a時 第一類邊界條件 =0

20、 時 第二類邊界條件 0, 0ba時，第三類邊界條件 （3）、系統(tǒng)幾個邊界就有幾個邊界條件3 注意的問題：（1）、邊界條件中不是系統(tǒng)的初始條件（2）、邊界條件只是時間的函數(shù)1、定義：由于某種原因，由于物理量在某些點上發(fā)生突變，則使系統(tǒng)分為兩部分，使偏微分方程為兩部分或多部分。每個部分都滿足偏微分方程，但在這點（或區(qū)域上）對方程來說，相當于邊界而又無法給出邊界條件。三、銜接條件2、銜接條件：如右圖的弦連續(xù)性), 0(0txu=), 0(0txux x0F21 豎直方向受力平衡：（1）、銜接條件只是時間的函數(shù)（2）、銜接條件常常由物理規(guī)律給出。注意問題：1、當系統(tǒng)由于某種原因，方程只在兩個子區(qū)域內(nèi)

21、成立，給出兩區(qū)域的初始狀態(tài)：四、常見問題的初始條件，邊界條件，銜接條件：x x0F21確定C：) 1 (sin11hctgaa)2(sin22hlctgaa1coscos21aads=dx力平衡條件： )4(0coscos)3(0sinsin112222110aTaTaTaTFx hF0習題1 如右圖 初始位移為：)()0(|0lxhxlhlchxxhcut21)5(021TTT（1）（5）解出：hlcThcTF000lThlhFc00)( )()0()(|00000lxhxllThFhxxlThlFut若端點是自由的，則例3、長為l的均勻桿，兩端有恒定熱流進入，其強度為 ，0q寫出這個熱傳導

22、問題的邊界條件。3 桿的熱傳導：解：在邊界上有：若端點是絕熱的，則4、電介質(zhì)的銜接條件：電勢電位移矢量nnDDuu2121nnEEuu22011021nunuuu221121初始條件一維弦振動未知函數(shù)對時間為二階，需要兩個初始條件初始位移處于平衡位置： u|t=0 = 0兩端固定，在c點拉開距離h： u|t=0 = hx/c， 0 xc; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，cxL;初始速度處于靜止狀態(tài)： ut|t=0 = 0在c點受沖量I： ut|t=0 = I (x-c)/m邊界條件舉例 典型線性邊界條件一維弦振動固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/k一維桿振動

23、固定端 u |x=0 = 0自由端 ux|x=0 = 0受力端 ux|x=0 = F/YS一維熱傳導恒溫端 u |x=0 = a 絕熱端 ux|x=0 = 0吸熱端 ux|x=0 = F/k7、3數(shù)學物理方程的分類一 方程的分類：1.數(shù)學物理方程的一般形式2.方程的分類;按其符號，將方程化為三種類型; 7、4達朗貝爾公式 定解問題一 達朗貝爾公式對于常微分方程我們常來用先求出通解，然后利用附加條件給出通解中所含的常數(shù)，能否利用此方稱來求解偏微分方程呢？ 2 將方程變?yōu)橥ㄟ^積分可得通解的形式若我們可將關(guān)于z(x,y)的偏微分 方程化為形式， 02yxz則可通過積分求出z(x,y)1.問題的提出：

24、以一維波動方程為例進行討論02xxttuau若令tax)( 則則有：02u為了書寫方便 ，作代換 )(21)(21atxatxatx波動方程為： 0422ua則有：02u3 積分求通解：02u積分一次)(fu所以通解為)()(),(21atxfatxftxu4 通解的物理意義：若)(2xf是波在t=0時的波形。選動坐標系，以速度a沿x正向移動，則坐標變換tTatxX)()(22Xfatxf則靜坐標系的波形)(2xf和動坐標系的波形f2(X)完全相同，說明t時刻的波形f2(x-at)是由t=0 時刻的波形沿+x方向平移at得來的，即這種波保持波形不變，沿+x方向保持的運動波行波。 5 波形的具體

25、形狀的確定若所討論的問題是在無界空間無界空間中，則無邊界條件。只有初始條件，初始條件為： )(|0 xut)(|0 xxutt將初始條件帶入通解而有：) 1 (),()()(|210 xxfxfut)2(),()( )( |210 xxafxafutt將（2）積分有：由（1）（3）得：帶回到通解有：注意上述是t=0時的x, t時刻達朗貝爾公式這是偏微分方程的定解6 定解的物理意義：例如 弦的初始速度為零,初始位移如圖 Xx1)(xx2)(2121xx u011( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda =由達朗貝爾公式x1x2t=0t1t2t3t4例2 初始位移為

26、零，初速度為：由達朗貝爾公式121100112002120,()11()()2211()()22xxxxxxdxxxxxaadxxxxaax(X)x1x2x(X)x1x2因此u(x,t)是如下圖形的疊加傳播x)(atx ()xatt=0時( , )()()u x txatxat二、半無界空間達朗貝爾公式的應用1、問題的提出： 以一維橫振動為例)( , 02xuauxxtt),(|0 xut)(x),(|0 xutt)(x而對于半無界空間，在x0區(qū)域，初始條件不存在，如何來解決此問題？2 解決問題的基本思路實際問題是在x=0處存在邊界條件，我們可以將半弦視為無限長度的一部分，且將在x=0處的邊界

27、條件處的邊界條件虛擬為x0部分的初始條件部分的初始條件來代替： 3 滿足邊界條件的虛擬x0部分初始條件的確定（方法）實際定解問題：令x=at所以對于x=0處固定的半無界問題，我們只需要將初始條件做奇延拓即可，就得到能夠滿足邊界條件的達朗貝爾公式給出的解得表達形式。 這樣給出解為： 解的物理意義：端點的影響表現(xiàn)為反射波，反射波的相位與入射波相反，這就是所謂的半波損。5半無界空間問題的推廣：在x=0處-為uxx=0=0自由端 作偶延拓達朗貝爾法小結(jié)：達朗貝爾法小結(jié)：20,()(1)ttxxua ux ),(|0 xut()(2)x ),(|0 xutt()(3)x 的解為：的解為：方程（方程（1）的通解為：）的通解為：)()(),(21atxfatxftxu1 解決問題解決問題行波法：行波法：2 半無界空間達朗貝爾公式的應用半無界空間達朗貝爾公式的應用對于x=0