大學(xué)物理上剛體定軸轉(zhuǎn)動02

1、第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院力的空間累積效應(yīng)力的空間累積效應(yīng) 力的功力的功,動能動能,動能定理動能定理.力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng) 力矩的功力矩的功,轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能,動能定理動能定理.2.4 2.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理Kinetic Energy Theorem of Rigid Bodys Rotation 2.4.1轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能Rotational kinetic energy2222121iiiikirmvmE 對剛體中距轉(zhuǎn)軸為對剛體中距轉(zhuǎn)軸為ri處的質(zhì)點(diǎn)，若其質(zhì)量為處的質(zhì)點(diǎn)，若其質(zhì)量為mi，

2、速度為速度為vi，則其動能為：，則其動能為： 將剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的動能相加得將剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的動能相加得剛體的轉(zhuǎn)動動能為：剛體的轉(zhuǎn)動動能為：22221)(21JrmEniiikviri第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功2.4.2 力矩作功力矩作功Work done by a torque MtMtWPdddd力矩的功率力矩的功率:orvFxvFoxrtFrdd結(jié)論：剛體內(nèi)力矩的功的代數(shù)之和恒為零。結(jié)論：剛體內(nèi)力矩的功的代數(shù)之和恒為零。第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效

3、應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院21222121d21JJMW2.4.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理Kinetic Energy Theorem of rigid bodys rotation21dMW 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量 .2111ddddJtJ例例1：一質(zhì)量為：一質(zhì)量為m、長為、長為L的均勻細(xì)棒，可繞其一端的均勻細(xì)棒，可繞其一端在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。細(xì)棒從水平位置開始自由下擺，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。細(xì)棒從水平位置開始自由下擺，求求: 細(xì)棒擺至豎直位置時的角速度。細(xì)棒擺至豎直位置時

4、的角速度。第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院OCmgC設(shè)棒擺到豎直位置時角速度為設(shè)棒擺到豎直位置時角速度為，則由轉(zhuǎn)動動能定理，則由轉(zhuǎn)動動能定理得：得：細(xì)棒以一端為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為：細(xì)棒以一端為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為：3/2mLJ Lg /3代入得：代入得：解：下擺時，棒所受的力矩只有重力力解：下擺時，棒所受的力矩只有重力力矩矩mgLsin/2，所作的功為：，所作的功為：mgLdmgLW21sin2102021212JmgL第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院本題也可用機(jī)械能守恒定律求解，即：本題也可

5、用機(jī)械能守恒定律求解，即：021212mgLJ 這說明，一般質(zhì)點(diǎn)系的功能原理和機(jī)械能守恒定這說明，一般質(zhì)點(diǎn)系的功能原理和機(jī)械能守恒定律同樣可用于剛體轉(zhuǎn)動。律同樣可用于剛體轉(zhuǎn)動。 在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式為：常常數(shù)數(shù)CmghJ221其中：其中：hC為剛體質(zhì)心到重力勢能零點(diǎn)的為剛體質(zhì)心到重力勢能零點(diǎn)的 距離。距離。第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 力矩的時間累積效應(yīng)力矩的時間累積效應(yīng) 沖量矩、角動量、沖量矩、角動量、角動量定理角動量定理.ipjp0,0p2.52.5角動量定理和

6、角動量守恒定律角動量定理和角動量守恒定律 Theorem of Angular Momentum and Conservation of Angular Momentum in Rigid Bodys Rotation 22kvvmEmp 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的描述運(yùn)動狀態(tài)的描述 力的時間累積效應(yīng)力的時間累積效應(yīng) 沖量、動量、動量定理沖量、動量、動量定理. 22kJEJL剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的描述定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的描述0,0p第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院v(1) 質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量vmrprLvrLLrpmo 質(zhì)點(diǎn)以角速度質(zhì)點(diǎn)以角

7、速度 作半徑作半徑為為 的圓運(yùn)動，相對圓心的的圓運(yùn)動，相對圓心的角動量角動量rJmrL2Lrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動，某時刻相對原點(diǎn)在空間運(yùn)動，某時刻相對原點(diǎn) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對于原，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動量點(diǎn)的角動量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.L2.5.1 角動量角動量Angular Momentum 第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院（2）質(zhì)點(diǎn)系的）質(zhì)點(diǎn)系的角動量：角動量：（3）剛體的角動量）剛體的角動量：iiiiiiiiiiirmvmrPrL)(

8、)()(2 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部所有質(zhì)點(diǎn)的動量對某一定點(diǎn)的轉(zhuǎn)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部所有質(zhì)點(diǎn)的動量對某一定點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩，即：矩，即： 作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其內(nèi)部所有質(zhì)點(diǎn)具有作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其內(nèi)部所有質(zhì)點(diǎn)具有相同的角速度：相同的角速度：JrmrmLiiiiii)()(22第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的力矩的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn) O 的的角角動量動量隨時間的隨時間的變化率變化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv2.

9、5.2 角動量定理角動量定理Theorem of Angular MomentumprL第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn) O 的合力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)對該的合力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的角動量為一恒矢量的角動量為一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 沖量矩沖量矩tMttd2112d21LLtMtt2.5.3 角動量守恒定律角動量守恒定律Low of Conservation of Angular MomentumtLMdd結(jié)論：合外力矩的角沖量等于物體角動量的增量，結(jié)論：合外力矩的角沖量等于物體角動量

10、的增量， 即是角動量定理。即是角動量定理。00dtMLLt第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院角動量守恒定律討論：角動量守恒定律討論：（1）單個剛體）單個剛體single rigid body J=恒量，角動量守恒恒量，角動量守恒 =C 即：剛體作慣性轉(zhuǎn)動。即：剛體作慣性轉(zhuǎn)動。（2）多個剛體）多個剛體 rigid bodies system ，角動量守恒表，角動量守恒表達(dá)式為：達(dá)式為：CJLiii（3）質(zhì)點(diǎn)和剛體）質(zhì)點(diǎn)和剛體a particle and a rigid body ，角動量守，角動量守恒表達(dá)式為：恒表達(dá)式為：JvmrJvmr000

11、注意：注意： 是質(zhì)點(diǎn)速度在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量。是質(zhì)點(diǎn)速度在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量。vv、0第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院（4）對于非剛體）對于非剛體nonrigid body ，即轉(zhuǎn)動慣量變化。角，即轉(zhuǎn)動慣量變化。角動量守恒的表達(dá)式：動量守恒的表達(dá)式：0)(dJdJJdLd若動作后角速度增加，則若動作后角速度增加，則 與與d 同向，所以同向，所以JJJJdJdJdJdJJJ0000lnln000即即：例如：花樣滑冰運(yùn)動員。例如：花樣滑冰運(yùn)動員。 the figure skater問題：花樣滑冰運(yùn)動員由伸臂到收臂動能問題：花樣滑冰運(yùn)動員由伸臂到收臂

12、動能 如何變化？如何變化？第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對比質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對比 dtrdvdtd22dtrddtvda22dtddtddmrJ2FFrMamFJM 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度速度 角速度角速度 加速度加速度 角加速度角加速度 質(zhì)量質(zhì)量 m 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 力力 力矩力矩 運(yùn)動定律運(yùn)動定律 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 vmP動量動量 角動量角動量 vmrLJL 第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院dtvmd

13、F)(dtJdM)(0iiF0MiiivmJBAABrdFWBAABdMW221mvEk221JEk動量定理動量定理 角動量定理角動量定理 動量守恒動量守恒 時時 角動量守恒角動量守恒 時時 恒量恒量 恒量恒量力矩的功力矩的功 動能動能 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 力的功力的功222121ABmvmvW222121ABJJWmghEPCPmghE動能定理動能定理 動能定理動能定理 重力勢能重力勢能 重力勢能重力勢能 第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院練習(xí)題練習(xí)題1、質(zhì)量為、質(zhì)量為m、長為、長為l的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的的棒，可繞通過棒中心且與棒

14、垂直的豎直光滑固定軸豎直光滑固定軸O在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jm l 2 / 12)開始時棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是開始時棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是m，在，在水平面內(nèi)以速度水平面內(nèi)以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中則子彈嵌入垂直射入棒端并嵌在其中則子彈嵌入后棒的角速度后棒的角速度_ 3v0 / (2l)2、一轉(zhuǎn)臺繞豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，每、一轉(zhuǎn)臺繞豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，每10 s轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺對軸的轉(zhuǎn)動慣量為對軸的轉(zhuǎn)動慣量為1200 kgm2質(zhì)量為質(zhì)量為80kg的人，開始的人，開始時站在臺的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺時站在臺的中心，隨后沿半徑

15、向外跑去，問當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺中心中心2m時，轉(zhuǎn)臺的角速度為時，轉(zhuǎn)臺的角速度為_ 0.496 rads1第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院例例2 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動自由轉(zhuǎn)動 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、速率為、速率為v 的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為問子彈的初速率為多少多少 ? A thin stick can rotate about a fixed fulcrum O freely. Now a bullet is

16、shot into the stick, and the distance between the bullet and the fulcrum is a when the bullet rests in the stick. The impulse force of the bullet makes the angle of deflecting of the stick is 30. Try to determine the initial speed of the speed. (The mass of the stick is m and the length of the stick

17、 is l, the mass of the bullet is m.) 解解 把子彈和竿看作一個系統(tǒng)把子彈和竿看作一個系統(tǒng) .子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamv第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細(xì)桿和射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)地球?yàn)橄到y(tǒng) ，機(jī)械能守恒，機(jī)械能守恒 .2233malmamv第二章

18、第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 例例3：長為：長為L的勻質(zhì)細(xì)棒，一端懸于的勻質(zhì)細(xì)棒，一端懸于O點(diǎn)，自由下垂，點(diǎn)，自由下垂，緊接緊接O點(diǎn)懸一單擺，輕質(zhì)擺繩的長為點(diǎn)懸一單擺，輕質(zhì)擺繩的長為L，擺球的質(zhì)量為，擺球的質(zhì)量為m，單擺從水平位置由靜止開始自由下擺，與細(xì)桿作完，單擺從水平位置由靜止開始自由下擺，與細(xì)桿作完全彈性碰撞，碰后單擺停止。全彈性碰撞，碰后單擺停止。 求：求：(1) 細(xì)桿的質(zhì)量；細(xì)桿的質(zhì)量； (2) 細(xì)桿擺動的最大細(xì)桿擺動的最大 角度角度max。OLm第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院

19、解解: :mgLmv 221222121Jmv JmvL)cos1 (2212LMgI解得解得: :31cos3mMOLm第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院例例4：如圖，質(zhì)量為：如圖，質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R 的邊緣的邊緣有光滑擋板圍成側(cè)槽的圓盤，可以繞有光滑擋板圍成側(cè)槽的圓盤，可以繞中心軸自由轉(zhuǎn)動，開始時盤靜止。今中心軸自由轉(zhuǎn)動，開始時盤靜止。今有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r 的棋子以初的棋子以初速速 v0沿圓盤邊緣的切線方向進(jìn)入側(cè)槽，沿圓盤邊緣的切線方向進(jìn)入側(cè)槽，若棋子與圓盤表面的摩擦系數(shù)為若棋子與圓盤表面的摩擦系數(shù)為。求：多

20、長時間后棋子與圓盤處于相對求：多長時間后棋子與圓盤處于相對靜止?fàn)顟B(tài)？靜止?fàn)顟B(tài)？mv0oR光滑側(cè)槽光滑側(cè)槽第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院解：棋子進(jìn)入側(cè)槽后，與盤面之間存在摩擦力解：棋子進(jìn)入側(cè)槽后，與盤面之間存在摩擦力f= mg ，由于它的作用使得圓盤作加速轉(zhuǎn)動而棋子，由于它的作用使得圓盤作加速轉(zhuǎn)動而棋子作減速轉(zhuǎn)動，最后兩者相對靜止具有共同角速度作減速轉(zhuǎn)動，最后兩者相對靜止具有共同角速度。整個系統(tǒng)在轉(zhuǎn)軸方向上所受合外力矩為零，整個系統(tǒng)在轉(zhuǎn)軸方向上所受合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒：則系統(tǒng)的角動量守恒：)(000JJJrRvMRJrRmmrJ

21、00222021)(21其中：第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院)(rRmgM對圓盤而言，摩擦力矩為：對圓盤而言，摩擦力矩為：設(shè)在設(shè)在t 時間內(nèi)圓盤角速度由時間內(nèi)圓盤角速度由0-則由角動量則由角動量定理可得：定理可得：0JtM)(/1 (21)(002rRJJvMRtrRmg即：)(/1 (00rRJJv即：)/1 ()(20202JJrRmgvMRt第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院)2()2(200MmgMvtRMmmv討論：若討論：若r R ，即可認(rèn)為棋子是質(zhì)點(diǎn)，求，即可認(rèn)為棋子是質(zhì)點(diǎn)

22、，求最終角速度和所需時間。最終角速度和所需時間。第二章第二章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的累積效應(yīng)力矩的累積效應(yīng)哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 例例4 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿,可繞過其中心可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時位置時, 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處處, 并并背離點(diǎn)背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈