第一講：一元微積分

1、高高 數(shù)數(shù) 精精 講講梳理知識體系梳理知識體系提高解題能力提高解題能力主講人主講人 理學院數(shù)學系理學院數(shù)學系 岳瑞鋒岳瑞鋒高數(shù)知識體系及考研要求高數(shù)知識體系及考研要求函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù)多元微分多元微分（123）多元積分多元積分（123）一元微分一元微分（123）一元積分一元積分（123）無窮級數(shù)無窮級數(shù)（13）空間解析空間解析（1）平面解析平面解析微分方程微分方程（123）(一一)高等教學高等教學56%(二二)高等數(shù)學高等數(shù)學78% (三三)微積分微積分56%第一講第一講 一元微積分一元微積分知識體系知識體系函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù)不定積分不定積分定積分及應用定積分及應用導數(shù)與微

2、分導數(shù)與微分微分中值定理微分中值定理第一講第一講 一元微積分一元微積分一元微分學一元微分學知識點匯總及典型題目知識點匯總及典型題目一元積分學一元積分學知識點匯總及典型題目知識點匯總及典型題目1、一元微分學一元微分學知識點匯總及典型題目知識點匯總及典型題目（1 1）函數(shù)）函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)：“冪指對三反（常）冪指對三反（常）”的性質(zhì)；的性質(zhì)；初等函數(shù)初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算算( (加、減、乘、除加、減、乘、除) )和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)并可用一個式子表示的函數(shù). .函

3、數(shù)的幾個特性函數(shù)的幾個特性：有界、單調(diào)、：有界、單調(diào)、奇偶奇偶、周期；、周期；特殊函數(shù)特殊函數(shù)：絕對值函數(shù)；符號函數(shù)；取整函數(shù)；：絕對值函數(shù)；符號函數(shù)；取整函數(shù)；絕對值函數(shù)絕對值函數(shù) | xy, 0 x0 x ,x,x xyO| xy xyO符號函數(shù)符號函數(shù) xysgn, 0 x,1, 0 x,00 x,1 11 取整函數(shù)取整函數(shù)如如 5 . 25 2 5 5 . 2 3 xy xyo 1 3 4 2 1 12 3 階梯曲線階梯曲線表示不超過表示不超過x的最大整數(shù)的最大整數(shù)定義定義：數(shù)列極限與函數(shù)極限：數(shù)列極限與函數(shù)極限. .（2 2）極限）極限.nxa 總總有有,時時當當Nn , 0 , 0

4、 N)N ：( ,limaxnn , 0 ,00 xx當當 Axf)(, 0 () ：,)(lim0Axfxx 數(shù)列極限幾何意義數(shù)列極限幾何意義：x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa無窮小無窮?。簶O限為零的變量（絕對值無限變小）：極限為零的變量（絕對值無限變?。? .無窮大：無窮大：極限為無窮大的變量（絕對值無限變大）；極限為無窮大的變量（絕對值無限變大）；分清無窮大與正、負無窮大的區(qū)別；無窮小與無窮大分清無窮大與正、負無窮大的區(qū)別；無窮小與無窮大的關系；的關系；左右極限左右極限：函數(shù)極限存在的充要條件是左右極限：函數(shù)極限存在的充要條件是左右極限都存在且相等都存在且相等. .極限與無窮

5、小的轉(zhuǎn)化極限與無窮小的轉(zhuǎn)化：f(x)極限為極限為a等價于等價于f(x)可可以表示為以表示為a與一個無窮小的和與一個無窮小的和. .無窮小的運算無窮小的運算：有限個無窮小的和仍是無窮小；有限個無窮小的和仍是無窮?。挥薪绾瘮?shù)與無窮小的乘積是無窮??；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小； 在同一過程中在同一過程中, ,有極限的變量與無窮小的乘積有極限的變量與無窮小的乘積是無窮??；是無窮??；常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小; ;有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小. .無窮小的階無窮小的階：同階（等價）、高階、低階：同階（等價）、高階、低階. .,lim)2( 如果如

6、果),0(lim)3( CC 如果如果, 0lim)1( 如如果果,1,時時當當特別特別 C 是是比比就就說說);( o 是是與與就說就說 是是與與則稱則稱 . 記作記作是同一過程中的兩個無窮小是同一過程中的兩個無窮小, ,高階的無窮小高階的無窮小; ;低階的無窮小低階的無窮小; ;同階無窮小同階無窮小; ;等價無窮小等價無窮小, ,ba,設設ab是比是比就說就說常見等價無窮小常見等價無窮小：時時當當0 x,tanxx,arcsinxx,sinxx,arctanxx.21cos12xx ,)1ln(xx xex1 ,111xnx n等價無窮小代換是計算極限的重要方法等價無窮小代換是計算極限的重

7、要方法.xxxxx2sin11lim320 解解,0時時當當 x,21xx2sin.2x故故23011lim.sin2xxxxx 求求xx2111 , 0 x)11(2 xx)(212xx )2sin(3xx 以及以及.41221lim0 xxxxxxx2sinsintanlim30 求求解解 原式原式. 0 解解,0時時當當 x xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 錯錯 ,0時時當當 x,tanxx,sinxx30)2(limxxxx )cos1(tanxx 330)2(21limxxx極限性質(zhì)極限性質(zhì)：唯一性：極限存在必唯一唯一性：極限存在必唯一. .有界性：極限

8、存在必（局部）有界有界性：極限存在必（局部）有界. .保序性（保號性）：函數(shù)大小與其極限大小一致保序性（保號性）：函數(shù)大小與其極限大小一致. . 數(shù)列：數(shù)列存在極限，則其任意子列都存在極限數(shù)列：數(shù)列存在極限，則其任意子列都存在極限且，且極限相同且，且極限相同. .函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系. .存在性判斷準則：存在性判斷準則：夾逼準則：兩端函數(shù)極限存在且相等，則中間函數(shù)夾逼準則：兩端函數(shù)極限存在且相等，則中間函數(shù)極限存在且等于兩端極限極限存在且等于兩端極限. .單有界必有極限單有界必有極限. .兩個重要極限：計算極限的重要方法兩個重要極限：計算極限的重要方法. .(1)1

9、sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim解解), 2 , 1( )3(, 3011 nxxxxnnn設設.,并求此極限并求此極限的極限存在的極限存在證明數(shù)列證明數(shù)列nx13x 均為正數(shù)均為正數(shù),故故)3(0112xxx 23)3(2111 xx設設)3(01kkkxxx ),1(230 kxk則則,23)3(21 kkxx由數(shù)學歸納法知由數(shù)學歸納法知, 對任意正整數(shù)對任意正整數(shù)1 n均有均有.230 nx因而數(shù)列因而數(shù)列nx有界有界. 又當又當,1時時 nnnnnnxxxxx )3(1)3(nnnxxx nnnnxxxx 3)23(, 0 因而有因而有),1(1 nxxnn即數(shù)列即

10、數(shù)列nx單調(diào)增加單調(diào)增加. 由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知 nnx lim存在存在.,limaxnn 設設)3(1nnnxxx 在在兩邊取極限兩邊取極限,得得 0,23 aa, )3(aaa 解之得解之得 (舍去舍去).23lim nnx故故230 nxnnnnn 121lim22 12221lim2nnnn2 ennn22122 12)22(2 nnnn222)1(coslimxxx =222)1sin1(limxxx 21 e)1( )1( 21sinlim22xxx 211sinlim21 xxx21 （3 3）連續(xù)）連續(xù)定義：定義：在某點的極限存在，且等于定義值在某點

11、的極限存在，且等于定義值. .數(shù)學描述數(shù)學描述：),()(lim00 xfxfxx 0lim0 xy 實質(zhì)：實質(zhì)：有定義，極限存在，極限值等于定義值有定義，極限存在，極限值等于定義值. .幾何意義幾何意義：其圖像為不斷開的曲線：其圖像為不斷開的曲線. .左右連續(xù)左右連續(xù)：000lim( )()xxf xf x ，000lim( )()xxf xf x 運算性質(zhì)：運算性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的“和差乘商反和差乘商反”仍保持連續(xù)仍保持連續(xù). .不連續(xù)（間斷）點不連續(xù)（間斷）點：不滿足：不滿足“有定義，有極限，有定義，有極限，相等相等”三個條件中至少一個條件的點三個條件中至少一個條件的點. .第一類

12、間斷點第一類間斷點：左右極限都存在的點，若相等：左右極限都存在的點，若相等稱為可去間斷點，不等則稱為跳躍間斷點稱為可去間斷點，不等則稱為跳躍間斷點. .第二類間斷點第二類間斷點：左右極限至少一個不存在的點，：左右極限至少一個不存在的點，常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點點. .,),()(內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設函數(shù)設函數(shù)xf)()()(yfxfyxf .0)(點連續(xù)點連續(xù)在在且且 xxf證證 任取任取),(0 x設設,為增量為增量x )0()(lim0fxfx )(lim)(lim000 xfxfxx )(lim00 xxfx )(0 xf)0(

13、0 xf)(0 xf 所以所以,.),()(連續(xù)連續(xù)在在xf對任意實數(shù)對任意實數(shù)x, y 滿足關系式滿足關系式處處連續(xù)處處連續(xù).)0(f內(nèi)內(nèi)在在試證試證),()(:xf)()(lim00 xfxfx ,11)(1的間斷點的間斷點求函數(shù)求函數(shù)xxexf 解解函數(shù)無定義函數(shù)無定義,1, 0時時當當 xx是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點., 0 x)(lim0 xfx由于由于xxex 111lim0, 所以所以0 x是函數(shù)的是函數(shù)的第二類間斷點第二類間斷點,且是且是無窮型無窮型., 1 x由于由于)(limxfxxex 111lim10 )(limxfxxex 111lim11 所以所以1 x是函數(shù)的是

14、函數(shù)的第一類間斷點第一類間斷點,且是且是跳躍型跳躍型.并指出其類型并指出其類型.0011 1x 1x閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：最值定理最值定理：能取到最大最小值，因此有界：能取到最大最小值，因此有界. .介值定理介值定理：能取到最大最小值之間的任何值：能取到最大最小值之間的任何值. .零點定理零點定理：不同符號的兩個函數(shù)值之間，存在零點：不同符號的兩個函數(shù)值之間，存在零點. .設設)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且恒為正且恒為正, ,證明證明: : 對任意的對任意的, ),(,2121xxbaxx 必存在一點必存在一點, ,21xx 使使.)()()(21xfxff 令令則

15、則,)(baCxF )()(21xFxF 221)()(xfxf 0 當當時時, , 取取1x 或或,2x 則有則有)()()(21xfxff 使使當當時時, ,故由故由零點定理零點定理知知, , ),(21xx 即即證證)()()()(212xfxfxfxF )()(21xfxf )()(21xfxf .)()()(21xfxff )()(21xfxf 0)( F（4 4）可導）可導定義：增量比的極限定義：增量比的極限. . 注意不同的表達形式注意不同的表達形式. . )(0 xf000()()= limxf xxf xx 0limxyx 0000( )()= limxf xf xxx 00

16、0()()=limhf xhf xh 實質(zhì)：實質(zhì)：導數(shù)是增量比的極限，表達了函數(shù)隨自變量變導數(shù)是增量比的極限，表達了函數(shù)隨自變量變化而變化的速度化而變化的速度函數(shù)變化率函數(shù)變化率. .用導數(shù)表示下列極限用導數(shù)表示下列極限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可導可導在在設設解解xafxafx5)()3(lim)1(0 )()3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3).(53af .2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知35hxfhxfxfh)()(lim)(0000 用導數(shù)表示下列極限用導數(shù)表示下列極限.5)(

17、)3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可導可導在在設設.2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 211 h 左右可導：左右可導：導數(shù)就是一種極限，如果其左、右極限分導數(shù)就是一種極限，如果其左、右極限分別存在，則稱為左、右可導別存在，則稱為左、右可導. .關系關系：函數(shù)在某點可導的充要條件為左右導數(shù)存在且：函數(shù)在某點可導的充要條件為左右導數(shù)存在且相等相等. .幾何意義幾何意義：導數(shù)值就是在此點的切線斜率：導數(shù)值就是在此點的切線斜率. .定義：定義：函數(shù)增量可以表示為

18、如下兩部分：函數(shù)增量可以表示為如下兩部分：（5 5）可微）可微 )()(00 xfxxfy()Axx 可微與可導關系：可微與可導關系：可導必可微，可微必可導，且可導必可微，可微必可導，且=()Afx 微分計算：微分計算：=()dyfx dx 可導與連續(xù)關系：可導與連續(xù)關系：可導必連續(xù)，連續(xù)未必可導可導必連續(xù)，連續(xù)未必可導. .y 也也稱稱為為的的線線性性主主部部（6 6）微分法）微分法基本導數(shù)表：基本導數(shù)表：以后各種計算問題的基礎，必須牢記以后各種計算問題的基礎，必須牢記. . )(sec)(tan)(sin)(xxxC )(csc)(cot)(cos)(xxxx )(log)(xaax )(

19、ln)(xex )(arccos)(arcsinxx )cot()(arctanxarcx221111xx xxxxtansecseccos02xxxxxcotcsccscsin21 axaaxln1lnxex1221111xx 基本求導方法基本求導方法：復合函數(shù)求導復合函數(shù)求導反函數(shù)求導反函數(shù)求導隱函數(shù)求導隱函數(shù)求導參數(shù)式函數(shù)求導參數(shù)式函數(shù)求導求高階導數(shù)求高階導數(shù) 設函數(shù)設函數(shù) 可導可導, 當自變量當自變量 處取得增量處取得增量增量增量 的的線性主部線性主部為為 則則)(uf )1(f)(2xfy 1 x在在,1 . 0 時時 xy , 1 . 0 x 相應的函數(shù)相應的函數(shù)1)( A1 .

20、0)(B1)(C5 . 0)(D 解解 uufyd)(d1 . 0 5 . 0)1 . 0()1(2)1( f1 . 0 5 . 0)1( fxxxf 2)(2 xxxfd2)(2016)(2 xxyexyyy由方程由方程已知函數(shù)已知函數(shù) )0(y則則解解ye確定確定,y yx 6y6 x2 0 yexyxy 662 y )6(yex )62(y )6(yey )62(yx 2)6(yex 00, 0 x00000 y000000000 y02 .,22yxyxxx 求求設設解解,21yyy ,21xxy ,22xxy ,lnln2112xxyxyx 兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得對對求求導導得得兩

21、兩邊邊對對xxxxxyy211ln2 ,ln2xxx .ln221xxxxyx 得得2lnln222xxxyyx 兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)得得對對求求導導得得兩兩邊邊對對x xeyyxxln12lnln22 ,2lnln xxe )ln1(22ln2xxyxxx 得得.21yyy 022dd,2 tyttxyeetex求求設設解解),1(ddtetxt , 0dd tyeeyt1dd0 ttx,0時時當當 t得得,ddytety 22ddxy tey1tx 1 2)1(t ye ty )1(t ye 22ddxy t0 t011 tx 10, 0 yx )1(ddteexytyttey 11dd0

22、 tty（7 7）中值定理）中值定理（重點！注意借助直觀理解定理）（重點！注意借助直觀理解定理）羅爾定理：羅爾定理：若某函數(shù)閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導，且兩若某函數(shù)閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導，且兩端函數(shù)值相等，則區(qū)間內(nèi)部至少有一點處的切線水平端函數(shù)值相等，則區(qū)間內(nèi)部至少有一點處的切線水平. .xyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 注：學會利用幾何直觀理解高數(shù)的概念和結(jié)論注：學會利用幾何直觀理解高數(shù)的概念和結(jié)論. .拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：若某函數(shù)閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間若某函數(shù)閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導，則區(qū)間內(nèi)部至少有一點處的切線平行于曲線兩可導，則區(qū)間內(nèi)部至少有一點處的切線平行于

23、曲線兩端連線端連線. .)(xfy xyOABbaC1 2 D柯西中值定理：柯西中值定理：若兩個函數(shù)均滿足閉區(qū)間連續(xù)，開若兩個函數(shù)均滿足閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導，則區(qū)間內(nèi)部至少有一點使得區(qū)間可導，則區(qū)間內(nèi)部至少有一點使得)()()()()()( FfaFbFafbf 泰勒中值定理：泰勒中值定理：若若f(x)有直到有直到n+1階導數(shù)，則階導數(shù)，則f(x)可以可以表示為一個多項式和一個余項的和（表示為一個多項式和一個余項的和（函數(shù)可以用多項函數(shù)可以用多項式函數(shù)無限逼近式函數(shù)無限逼近）. .nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(00)(200000 )(xf)(xRn 余項

24、的不同形式：余項的不同形式： )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 0( )() .nnR xo xx 邁克勞林公式：邁克勞林公式：泰勒公式的特例泰勒公式的特例. .nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 )(xRn 幾個重要的展開式：幾個重要的展開式：)(! 212nnxxonxxxe )()!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx試證至少存在一點試證至少存在一點使使法一法一 lncos 1sin即即證證用柯西中值定理用柯西中值定理. . lnc

25、os1sin 1lnln1lnsinlnsin ee 令令,)()()1()()1()( FfFeFfef ),1(e 因此因此 滿足柯西中值定理條件滿足柯西中值定理條件, , 則則 f (x) , F(x)在在 1 , e 上上 分析分析即證即證. .lncos1sin ),1(e 1lncos1,lnsin)(xxf xxFln)( 1lncos1則則f (x)在在 1 , e 上上, ),1(e 使使0)( f lncos1sin 因此因此試證至少存在一點試證至少存在一點使使法二法二 令令滿足羅爾中值定理條件滿足羅爾中值定理條件, , xxxlnsinln1sin 分析分析0 xxxfl

26、nsinln1sin)( 即即),1(e .lncos1sin 0lncos1sin ., 0)(, 0)()(baxxfbfaf :證明證明.)()(),(,kffbak 使使存在點存在點對任意的實數(shù)對任意的實數(shù) 分析分析,)()(kff 要證要證即證即證0)()( kfefekk0)()()( xkxkxxfexfe0 )( xkxxfe. 0)()( kff且且內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設設,),(,)(babaxf證證)()(xfexgkx 設設;,)()1(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxg. 0)()()3( bgag;),()()2(內(nèi)內(nèi)可可導導在在baxg即即, 0 ke由于由

27、于0)()( kfefekk0)()( kff即即.)()(kff 0 )( xkxxfe. 0)(),( gba使使:證明證明.)()(),(,kffbak 使使存存在在點點對對任任意意的的實實數(shù)數(shù)且且內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設設,),(,)(babaxf).,(, 0)(, 0)()(baxxfbfaf 定理定理由由Rolle設函數(shù)設函數(shù)0)( xxf在在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)導數(shù), , 0)0(, 0)0( ff且且)0()2()(fhbfhaf 若若時時在在0h是比是比h高階的無窮小高階的無窮小, ,試確定試確定a, b的值的值. .解解),()0()

28、0()(hohffhf ),()0(2)0()2(hohffhf 所以所以)0()2()(fhbfhaf ).()0()2()0()1(hohfbafba 因此當因此當,1, 2時時 ba有有).()0()2()(hofhbfhaf )()0()0()(xoxffxf （8 8）洛必達法則）洛必達法則00或或 求未定式極限的重要法則求未定式極限的重要法則兩個基本類型：兩個基本類型：0,五個變形：五個變形： ，00 ， 1 ，0 解解 法一法一 用三次用三次洛必達法則可求得洛必達法則可求得. 法二法二xexx1,0 時時xxeexxxsinlimsin0 求極限求極限xxeexxxxsin1li

29、msinsin0 原式原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0 111 法三法三)20( , 0 xx設設.sinxx 用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理;,sin上連續(xù)上連續(xù)在在xxex(1)(2),),(sin內(nèi)可導內(nèi)可導在在xxex.)(xxee ,),(sin內(nèi)內(nèi)在在xx使使至少有一點至少有一點 , O x xsin 同理同理,有有對對, 0 x所以所以,xxeexxxsinlimsin0 求極限求極限 exxeexx sinsin xxeexxxsinlimsin01lim0 e1sinlimsin0 xxeexxx1sinlimsin0 xxeexxx naaa

30、xnxxx210lim求求naaa,21其中其中均為正數(shù)均為正數(shù).)1( 解解x1 原式原式exnaaaxnxxx 210lnlim)00(e 0limx1lnlnln21naaan e naaa21n 法一法一1xnxxnxnxxaaaaaaaaa 212211lnlnln解解 原式原式 nnaaaxnxxx2101limx1xnnaaaxnxxx1lim210 )00(naaaanxnxxlnlnlim110 naaan21ln naaa21ln n 原式原式naaa21n 法二法二 naaaxnxxx210lim求求x1naaa,21其其中中均為正數(shù)均為正數(shù).)1( exxx 101li

31、m（9 9）導數(shù)應用）導數(shù)應用單調(diào)性判斷：單調(diào)性判斷：導數(shù)大于導數(shù)大于0 0，則函數(shù)單增，小于，則函數(shù)單增，小于0 0，單減，單減. .駐點駐點：導數(shù)為：導數(shù)為0 0的點，該點處的切線水平的點，該點處的切線水平. .凹凸性定義凹凸性定義：,2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf )(xfy )(xfy 1x2x1x2x221xx 221xx xyOxyO第一種：圖形為凹的，第二種：圖形為凸的第一種：圖形為凹的，第二種：圖形為凸的. .注意：稱第一種函數(shù)為凸函數(shù)，第二種函數(shù)為凹函數(shù)注意：稱第一種函數(shù)為凸函數(shù)，第二種函數(shù)為凹函數(shù)（主語不同，正好相反）（主語不

32、同，正好相反）. .凹凸性判斷凹凸性判斷：二階導數(shù)大于：二階導數(shù)大于0 0，圖形為凹，小于，圖形為凹，小于0 0，圖形，圖形為凸為凸. .xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 拐點：拐點：函數(shù)圖形凹凸性的分界點（位于圖形上）：函數(shù)圖形凹凸性的分界點（位于圖形上）. .拐點的懷疑對象拐點的懷疑對象：二階導數(shù)的零點和二階導數(shù)不存在的：二階導數(shù)的零點和二階導數(shù)不存在的點點. .函數(shù)極值函數(shù)極值：必要條件必要條件：可導函數(shù)的極值點必是駐點，反之未必：可導函數(shù)的極值點必是駐點，反之未必. .一階充分條件一階充分條件：某點兩側(cè)導數(shù)符號改變，該點必為極：某點兩側(cè)導數(shù)符號改變，該點必為極值點值點

33、. .二階充分條件二階充分條件：一階導數(shù)為：一階導數(shù)為0 0，二階導數(shù)為，二階導數(shù)為正（負）正（負）的的點必為點必為極小（大）極?。ù螅┲迭c值點. .極值點的懷疑對象極值點的懷疑對象：駐點和不可導點：駐點和不可導點. .函數(shù)最值函數(shù)最值：極值是局部性質(zhì)，最值是整體性質(zhì)：極值是局部性質(zhì)，最值是整體性質(zhì). .最值的可能位置最值的可能位置：極值點：極值點( (包括駐點和不可導點包括駐點和不可導點) )，端點，端點. .實際問題可以利用其實際背景確定最值實際問題可以利用其實際背景確定最值. .,0ba 設設證明不等式證明不等式.1lnln222abababbaa 證證 先證右邊不等式先證右邊不等式.設

34、設axaxaxx lnln)( ),0( ax0)( a )221(11)(xxaxaxx axxax2)(2 0 ,時時當當ax )(x 單調(diào)減少單調(diào)減少,故有故有)()(ax 0 即即axaxax lnln bbb再證左邊不等式再證左邊不等式 (課下練習課下練習)2、一元積分學一元積分學知識點匯總及典型題目知識點匯總及典型題目（1 1）不定積分）不定積分原函數(shù)：原函數(shù)： 若若f(x)是是F(x)的導函數(shù)，則的導函數(shù)，則F(x) 就是就是f(x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù). .不定積分不定積分： f(x)的全部原函數(shù)，記為的全部原函數(shù)，記為CxFxxf )(d)( Ckxxkd)1( (k是常

35、數(shù)是常數(shù))1(1d)2(1 Cxxx Cxxx|lnd)3(基本積分公式：基本積分公式：由基本求導公式反推得到，必須熟記由基本求導公式反推得到，必須熟記 xxd11)4(2Cx arctan xxd11)5(2Cx arcsin xxdcos)6(Cx sin xxdsin)7(Cx cos xx2cosd)8( xxdsec2Cx tan xx2sind)9( xxdcsc2Cx cot xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caax lncot dx x ( (1 15 5) )tan dx x (14)

36、 (14) Cx cosln(17) csc dx x Cxx )cotln(csc(16) secdx x ln sin xC ln(sectan )xxC )tan1(cosd. 12xxx xxtan1)tan1(dd3 xe)3(d323xex xxexd. 23 Cex 332Cx tan1ln2x基本積分法：基本積分法：換元積分法換元積分法xxad122 解解xxad122 xaxad111222 xaxad11122 Caxa arctan1 xxd112Cx arctan axaxad1112xxxd25812 解解xxxd25812 xxd9)4(12 Cx 34arctan

37、31xxad122 Caxa arctan1 22)4(3)4(dxxxxd)4(3122 解解xxxd2arcsin412 xxxd2arcsin412 2d2arcsin2112xxx )2(arcsind2arcsin1xx Cx 2arcsinln)()(dxfxf 求求xxfxfxfxfxfd)()()()()(32 解解 Cxfxf 2)()(21)()(d)()(xfxfxfxf 原式原式= )()(xfxfxxfxfxfxfd)()()()(22 axa22 ax)0(d22 axxa解解 令令taxsin ttaxdcosd 2,2 txxad22 ttadcos22 taa

38、222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa 輔助三角形輔助三角形axarcsinttadcos axaarcsin22Cttta )cossin(22Cxax 222 回代回代有效的化掉根式，有效的化掉根式，注注所以需根據(jù)被積函數(shù)的具體情況做出選擇所以需根據(jù)被積函數(shù)的具體情況做出選擇.三角代換是常用的換元法，通常可三角代換是常用的換元法，通?？傻谴鷵Q的計算比較繁瑣但三角代換的計算比較繁瑣,.d125xxx 求求（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）,12xt 令令, 122 tx,ddttxx xxxd125 tt22)1( tttd1224 Cttt

39、353251Cxxx 2421)348(151解解txtan xxd12 4xx ttd 回代回代解解xxxxd)ln1()ln(d )ln(d)ln(xxxxp xxxxpd)1(ln)ln( ,1)ln(1Cpxxp 1 pln| ln |,xxC 1 p求積分求積分.d)1(ln)ln(xxxxp 基本積分法：基本積分法：分部積分法分部積分法uvuvvudd 分部積分公式分部積分公式求求.dcos xxx xxxdcosxxsin Cxxx cossin xxdsin 解解=dsinxx xxfxd)( )(dxfx Cexxfx2d)(22)(xxexf xxfxd)( xxfxxfd

40、)()(222xex Cex 2兩邊同時對兩邊同時對x求導，求導，得得解解,)(2xexf 的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為已知已知 xxfxd)(求求 xxfxfxd)()(.d)(1,sin)(sin2xxfxxxxxf 求求設設解解 令令,sin2xu 則有則有,sinux ,arcsin)(uuuf xxx于是于是 xxfxxd)(1)d(1x xxxd1arcsin xx1arcsin xarcsin2 x 1dxxarcsin12 xdCxxx 2arcsin12,arcsinux xx1112（2 2）定積分）定積分定義：分割，取近似，求和，取極限定義：分割，取近似，求和，取極限幾何

41、意義：幾何意義：面積代數(shù)和面積代數(shù)和. .性質(zhì)性質(zhì)：（注意從幾何直觀上理解這些性質(zhì)）：（注意從幾何直觀上理解這些性質(zhì)）線性性質(zhì)線性性質(zhì)積分區(qū)間可加性積分區(qū)間可加性比較性質(zhì)比較性質(zhì)積分中值定理積分中值定理iniixfI )(lim10 baxxfd)()(xfy ab )( fOxy0dsinsinlim40 xxnxnn 求證求證證證,4, 0時時當當 x |sinsin|xnxn n4sin n 21xxnxndsinsin40 0421 n0)( n即得即得0dsinsinlim40 xxnxnn sinlimdn annxxx 求求解解 由由積分中值定理積分中值定理有有 xxxannds

42、in annn xxxannndsinlim sinlimnnna 0 (a為正的常數(shù)為正的常數(shù))nn sin)(nan sinlimnnna 積分上限函數(shù)（重點）：積分上限函數(shù)（重點）： attfd)(x )(d)(ddxgattfx)(xgf)(xg 積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù)：)(xf xattfd)(xdd其他情況：其他情況：()d( )ddbh xf ttx )()(d)(ddxgxhttfxd(1) ( ) ( )ddxag x f ttx xattfxgd)()()(xg xattfd)(xdd )()(xfxg (2)(2).(,d)(23xftexfxxt 求求設設

43、解解tetexfxtxtdd)(32 20dxttetextd30 00且且滿滿足足連連續(xù)續(xù)時時當當,)(,0 xfx ).2(f求求,d)()1(02 xxxttf解解 對所給積分方程兩邊關于對所給積分方程兩邊關于x求導求導,得得.51)2( f即即,1時時當當 x1 即即)32()1(22xxxxf 1 15)2( f )1(2 xx)1(2xx f解解求極限求極限 )cos1(dd)1arctan(lim0002xxuttxux 00 原式原式3000dd)1arctan(lim22xuttxux 0lim2 x2cos12xx )0(x 20d)1arctan(utt23xx0lim3

44、2 xx2)1arctan( 2xx2 6432 00已知兩曲線已知兩曲線 0d)(2teyxfyt與與在點在點)0 , 0(處的切線相同處的切線相同,寫出此切線方程寫出此切線方程,并求極限并求極限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切線方程為故所求切線方程為.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n22)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0證證 )(xF )(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).上上在在1 ,

45、0)(xF1 10td,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設xf. 1)( xf且且證明證明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或N-LN-L公式：公式：)()(d )(aFbFxxfba 公式的意義：公式的意義：定積分的計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)定積分的計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)F(x)的問題，的問題，而求原函數(shù)既是計算不定積分而求原函數(shù)既是計算不定積分. . 因此，掌握了不定積分的計算，即可利用因此，掌握了不定積分的計算，即可利用N-LN-L公式輕公式輕易地計算定積分易

46、地計算定積分. .定積分的計算定積分的計算：換元積分法和分部積分法：換元積分法和分部積分法. . 填空題填空題 nnnnnn cos12cos1cos11lim 22解解nninin1cos1lim1 xxd2cos2102 原式原式 22 xx dcos1 10 xxttxtx020dsin1lim求求極極限限解解被積函數(shù)中除積分變量被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量外還含有變量x,故不能直接應用對積分上限函數(shù)的導數(shù)的公式故不能直接應用對積分上限函數(shù)的導數(shù)的公式,應先作換元變換應先作換元變換,uxt 令令,xut 則則0 t; 0 u.2xu xt xttxt0dsin.ddxut uuux

47、dsin20 xxxxx22sinlim220 1 00分析分析02xxuusinxud 2002dsinlimxuuuxx 原式原式選擇題選擇題設函數(shù)設函數(shù))(xf連續(xù)連續(xù),則下列函數(shù)中則下列函數(shù)中,必為必為偶函數(shù)偶函數(shù)的是的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()( 0d)(ttfx x )(Attfxd)(02 )( xut ud x0utdd )(2uf )(x 解解 21,dsin)(xtttxf設設.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(

48、21xfx 102)(d21xfx)1(21f 102d)(21xxfx 10)(xf21 21dsin)(xtttxf 110)1( f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 102dsin221xxx 1022dsin21xx 10d)(xxxf102cos21x ).11(cos21 （3 3）廣義積分）廣義積分廣義積分廣義積分：無窮限上的積分和無界函數(shù)的積分（瑕積分）：無窮限上的積分和無界函數(shù)的積分（瑕積分）函數(shù)在區(qū)間上某點處無界函數(shù)在區(qū)間上某點處無界 axxfd)( bxxfd)( xxfd)( baxxfd)(無窮限上的積分：無窮限上的積分：無界函數(shù)的積分（瑕積分）：無界函數(shù)

49、的積分（瑕積分）： 實質(zhì)實質(zhì)：定積分的某種極限，因此廣義積分的計算分為：定積分的某種極限，因此廣義積分的計算分為兩步：先計算定積分，再求極限兩步：先計算定積分，再求極限. .計算反常積分計算反常積分解解 2d1sin12xxx 21d1sinxx 21cosxxx1coslim . 1 2cos 2d1sin12xxx,d11d04204xxxxx 并求其值并求其值. . 041dxx令令xt1 tttd1042 xxxd1042 041dxxxxxd1121042 xxxxd111210222 證明證明解解xxx xxxxxd11d0420421tttd)1(11124 0 )1(d2)1(

50、12102xxxx 021arctan221xx22 xxxxd111210222 xxad122 Caxa arctan1（4 4）定積分的應用）定積分的應用微元法微元法：)2( I這種簡化了的建立積分式的方法稱為這種簡化了的建立積分式的方法稱為元素法元素法或或微元法微元法. .xxfd)( ba)1(求出求出上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間在在,d,xxxba 也是它的也是它的的近似值的近似值上所求量上所求量(d,Ixxx 即即的微分的微分,d)()xxf.d)(xxfI Oxyab)(xfy xxxd .軸軸圍圍成成與與x這個小區(qū)間上所這個小區(qū)間上所對應的小曲邊梯形面積對應的小曲邊梯形面積面

51、積元素面積元素xxfAd)(d 得得比如比如 曲邊梯形面積的積分式也可以用曲邊梯形面積的積分式也可以用元素法元素法 Axxfd)( ba地等于高為地等于高為f(x)、寬為、寬為dx 的的小矩形面積小矩形面積,故有故有近似近似Adxxfd)(上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間在在,ba,d,xxx bxaxxfy 、直線、直線設曲邊梯形由設曲邊梯形由)(解解 取坐標如圖所示取坐標如圖所示.圓的方程為圓的方程為222)(rRyx oxy R 和下半圓下的曲邊梯形和下半圓下的曲邊梯形 rrxxrRd)(222 VxxrRrrd)(222 22xrRy 22xrRy 所求圓環(huán)體可看成是所求圓環(huán)體可看成是上半

52、圓下的上半圓下的曲邊梯形曲邊梯形繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積之差旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積之差.r r條直線條直線的圓繞同平面內(nèi)圓外一的圓繞同平面內(nèi)圓外一求半徑為求半徑為r設圓心到直線的設圓心到直線的旋轉(zhuǎn)成的圓環(huán)體的體積旋轉(zhuǎn)成的圓環(huán)體的體積.).(rRR 距離為距離為xxrRrrd422 xxrRrd8022 482rR 222Rr 對稱性對稱性四分之一圓面積四分之一圓面積及及和直線和直線是由拋物線是由拋物線設設2,221 xaxxyD所圍成的平面區(qū)域所圍成的平面區(qū)域;和和是由拋物線是由拋物線222xyD axy , 0所圍成的平面區(qū)域所圍成的平面區(qū)域;其中其中. 20 a(1)試求試求D1繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積V