同濟(jì)大學(xué) 第1章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課

1、( (一一) )事件間的關(guān)系事件間的關(guān)系1. 事件的包含事件的包含(子事件子事件)：A B;2.事件的和：事件的和：AB3.事件的積事件的積: AB;4. 差事件差事件: A-B=A-AB=AB5. 互斥事件互斥事件(互不相容事件互不相容事件):AB= 6. 互逆事件互逆事件: AB= 且且AB=S 事件的運(yùn)算法則事件的運(yùn)算法則1. 交換律交換律：AB=BA, AB=BA 4. 德德.摩根律摩根律(對(duì)偶原則對(duì)偶原則) ： 設(shè)設(shè)Ai(i=1,2,n) 表示事件表示事件 則則 = ; = iniA1iniA1iniA1iniA12. 結(jié)合律結(jié)合律：A(BC)=(AB)C; A(BC)=(AB)C

2、3. 分配律分配律：A(BC)=(AB)(AC) ; A(BC)=(AB)(AC) 5. 對(duì)必然事件的運(yùn)算法則對(duì)必然事件的運(yùn)算法則：AS=S, AS=A6.對(duì)不可能事件的運(yùn)算法則對(duì)不可能事件的運(yùn)算法則：A=A,A=A,A= 設(shè)設(shè)E -隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)，S-樣本空間樣本空間. 事件事件A P(A), 稱為事件稱為事件A的概率的概率, 如果如果P( )滿足下列滿足下列條件條件: 1 對(duì)于每一個(gè)事件對(duì)于每一個(gè)事件A，有，有 P(A)0 P(A)0 ； 2 對(duì)于必然事件對(duì)于必然事件S SP(S)=1S)=1；3 設(shè)設(shè)A1，A2， 是是兩兩互不相容兩兩互不相容的事件，即對(duì)于的事件，即對(duì)于 則則 P(A

3、1A2 )=P( A1)+P(A2 )+ , 2 , 1,jiAAjiji性質(zhì)性質(zhì)(2)(有限可加性) 若若A1，A2， An 兩兩不相容，兩兩不相容， P(A1A2An)=P()=P(A1)+P()+P(A2)+ )+ +P(+P(An) )(1) P()=0)=0 (3) 若若A B，則有，則有 P(B A)=P(B) P(A) ; (5) 對(duì)于任一事件對(duì)于任一事件A，有，有P(A )=1 P(A)，(4) 對(duì)于任一事件對(duì)于任一事件A，有，有P(A)1 一般有一般有 P(B A)=P(B) P(AB)(6) 加法公式 P(AB B)=P()=P(A)+P()+P(B B)-P()-P(AB

4、 B) ) P(A1AA2 2AA3 3)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P(A3 3)-P(A)-P(A1 1A A2 2)-)- P(A P(A1 1A A3 3)-P(A)-P(A2 2A A3 3)+P(A)+P(A1 1A A2 2A A3 3) )等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 1.1.定義：定義： 設(shè)設(shè)E是試驗(yàn)，是試驗(yàn)，S S是是E的的樣本樣本空間，若空間，若 (1) 試驗(yàn)的試驗(yàn)的樣本樣本空間的元素只有有限個(gè)；空間的元素只有有限個(gè)； (2) 試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同. 這種試驗(yàn)稱為等可能

5、概型或古典概型這種試驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型2.古典概型中事件古典概型中事件A的概率的計(jì)算的概率的計(jì)算公式公式中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)SAnkAP)(1.1.條件概率條件概率0)(,)()()(APAPABPABP2.2.乘法公式乘法公式 (P(A)0) (P(A)0)，)()( )()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP3.3.全概率公式全概率公式niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1,)()()()()()()(14.4.貝葉斯公式貝葉斯公式. .獨(dú)立獨(dú)立性性 設(shè)設(shè)A,BA,B是兩事件是兩事件, ,如果如果具有等式具有等式

6、P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)， 則稱事件則稱事件A,BA,B為為相互獨(dú)立的隨機(jī)事件相互獨(dú)立的隨機(jī)事件. . 設(shè)設(shè)A A1 1,A,A2 2.A.An n是是n n個(gè)事件，如果對(duì)于任意的個(gè)事件，如果對(duì)于任意的11ijn,ijn, P(AP(Ai iA Aj j)=P(A)=P(Ai i)P(A)P(Aj j) )則稱這則稱這n n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立. . 如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的k(kn),k(kn),及任意的及任意的22i i1 1ii2 2.i.ik knn, ,則稱這則稱這n n個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立. .)()()()(2121ki

7、iikiiiAPAPAPAAAP獨(dú)立的性質(zhì)獨(dú)立的性質(zhì): :1. 設(shè)設(shè)A和和B是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件,且且P(A) 0.若若A和和B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則則 P(B/A)=P(B).反之亦然反之亦然.2. 若事件若事件A和和B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立: A與與B, A與與B, A與與B3. 則則A、B互斥與互斥與A、B相互獨(dú)立不能相互獨(dú)立不能 同時(shí)存在同時(shí)存在.4. 若事件若事件A和和 獨(dú)立獨(dú)立, 且且 則事件則事件A和和 獨(dú)立獨(dú)立. , 0)(, 0)( BPAP), 2 , 1(niBi )(jiBBji iniB1 典型習(xí)題典型習(xí)題1. 從大批產(chǎn)品中取

8、產(chǎn)品檢驗(yàn)，設(shè)事件從大批產(chǎn)品中取產(chǎn)品檢驗(yàn)，設(shè)事件Ak表示表示“第第k次取到次取到合格產(chǎn)品合格產(chǎn)品”(k=1,2,3)，用，用A1,A2,A3表達(dá)下列各事件表達(dá)下列各事件.(1) A表示表示“僅第一次取到合格產(chǎn)品僅第一次取到合格產(chǎn)品”.(2) B表示表示“第一次取到不合格產(chǎn)品第一次取到不合格產(chǎn)品,第二、三次至少有一次第二、三次至少有一次取到合格產(chǎn)品取到合格產(chǎn)品”.解：解：(1) 321AAA)(321AAA(2)2對(duì)于任意兩事件對(duì)于任意兩事件A和和B,有有 P(A-B)= ( ). (A) P(A)-P(B); (B) P(A)-P(B)+P(AB) ; (C) P(A)-P(AB); (D) P

9、(A)+P(B)- P(AB). 答案：答案：C C解析：直接利用概率性質(zhì)（解析：直接利用概率性質(zhì)（3）3對(duì)于任意兩事件對(duì)于任意兩事件A和和B,若有若有 P(AB)=0,則下列命則下列命題正確的是題正確的是 ( ). (A) A與與B互斥互斥 ; (B) A與與B獨(dú)立獨(dú)立; (C) P(A)=0,或或P(B)=0; (D) P(A-B)= P(A) . 答案：答案：D D解析：直接利用概率性質(zhì)（解析：直接利用概率性質(zhì)（3）4. 假設(shè)事件假設(shè)事件A和和B滿足滿足P(B|A)=1,則則( )(A) 事件事件A是必然事件是必然事件 (B)P(A/B)=0(C) A B (D)B A答案答案:D解析解

10、析:由于由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知可知P(AB)=P(A).從而從而有有A B.5.設(shè)當(dāng)事件設(shè)當(dāng)事件A與與B同時(shí)發(fā)生時(shí)同時(shí)發(fā)生時(shí),事件事件C必發(fā)生必發(fā)生, 則下列則下列 結(jié)果正確的是結(jié)果正確的是( ). (A) P(C) P(A)+P(B)-1; (B) P(C) P(A)+P(B)-1; (C) P(C)=P(AB); (D) P(C)= P(A B). 答案答案:B解析解析:由題設(shè)知由題設(shè)知:AB C,且且P(AB) P(C) 又由又由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 1,知知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A)+P(B)-1 即即P(C)

11、 P(AB) P(A)+P(B)-16. 假設(shè)假設(shè) P(A)=0.4, P(A B)= 0.7, (1)若若A與與B互不相容互不相容, 則則P(B)= ; (2)若若A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則P(B)= .0.30.50.70.27. 假設(shè)假設(shè) P(A)=0.5, P(B)= 0.6, 則則P(A B)= ; P(B-A)= .8 . 0)( ABP8.8.設(shè)設(shè) P(A)=1/3,P(B)=1/2P(A)=1/3,P(B)=1/2， (1)(1)已知已知A A、B B互不相容互不相容, ,求求P(AB),P(AB),P(AB)P(AB),P(AB),P(AB) (2) (2)已知已知A

12、A、B B獨(dú)立獨(dú)立, ,求求P(AB),P(A-B)P(AB),P(A-B) (3) (3)已知已知A A與與B B具有包含關(guān)系具有包含關(guān)系, ,求求P(AB), P(AB).P(AB), P(AB).答案答案(1)1/2;1/6;2/3.(1)1/2;1/6;2/3.（2 2）2/32/3；1/6 (3) 0;1/6.1/6 (3) 0;1/6. 提示：1) 由已知，AB= , P(AB)=0; 由概率性質(zhì)3 : P(AB)=P(B)-P(AB)=1/2. P(AB)=P(AB) =1-P(AB)=1/6. P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3. 2) 當(dāng)A、B獨(dú)立,P(AB)

13、=P(A)P(B).且A和B獨(dú)立. 3)當(dāng)A B,AB= ;P(AB)=P(B)-P(A)D9. 從一副撲克牌的從一副撲克牌的1313張梅花中，有放回地取張梅花中，有放回地取3 3次，次， 則三張不同號(hào)的概率為則三張不同號(hào)的概率為_._.132/16910. 包括包括a、b兩人在內(nèi)共兩人在內(nèi)共n個(gè)人排隊(duì)，問個(gè)人排隊(duì)，問a、b之間恰有之間恰有r 人的概率人的概率!)!12(22nrnArn 11.已知已知 0P(A)1,0P(B)1, P(A|B)+P(A|B)=1,則則( ) (A) 事件事件A和事件和事件B互斥互斥; (B) 事件事件A與與B對(duì)立對(duì)立 ; (C) 事件事件A和事件和事件B 不

14、獨(dú)立不獨(dú)立; (D) 事件事件A和和B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.12. 設(shè)設(shè)A、B、C是三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則是三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則A、B、C相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的充分必要條件是充分必要條件是( )AA與與BC獨(dú)立獨(dú)立 B.A與與 獨(dú)立獨(dú)立C.AB與與AC獨(dú)立獨(dú)立 D. 與與 獨(dú)立獨(dú)立13. 將一枚硬幣獨(dú)立拋擲兩次，將一枚硬幣獨(dú)立拋擲兩次， 表示擲第一次出現(xiàn)正面，表示擲第一次出現(xiàn)正面， 表示擲第二次出現(xiàn)正面，表示擲第二次出現(xiàn)正面， 表示正、反面各一次，表示正、反面各一次， 表示正面兩次。則事件表示正面兩次。則事件( )A 互相獨(dú)立互相獨(dú)立 B. 互相獨(dú)立互相獨(dú)立C. 兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立 D. 兩兩獨(dú)立兩兩

15、獨(dú)立CACABA1A2A3A4A321,AAA432,AAA321,AAA432,AAACA14.14. 袋中有袋中有50個(gè)乒乓球，其中個(gè)乒乓球，其中20個(gè)黃，個(gè)黃，30個(gè)白，今有兩人依個(gè)白，今有兩人依次從袋中取出一球，取出后不放回，問第二人取得黃球的概次從袋中取出一球，取出后不放回，問第二人取得黃球的概率率_。15.設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱2020個(gè)，各箱含個(gè)，各箱含0,1,20,1,2個(gè)次品的概個(gè)次品的概 率分別為率分別為0.80.8，0.10.1，0.10.1，某顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，由，某顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，由 售貨員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)查看售貨員任取一箱，經(jīng)

16、顧客開箱隨機(jī)查看4 4個(gè)。若無次品，個(gè)。若無次品， 則買一箱玻璃杯，否則不買。則買一箱玻璃杯，否則不買。 求：求：1 1）顧客買此箱玻璃杯的概率；）顧客買此箱玻璃杯的概率； 2 2）在顧客買的此箱玻璃杯中）在顧客買的此箱玻璃杯中, ,確實(shí)沒有次品的概確實(shí)沒有次品的概率。率。20/50解：設(shè) =箱中恰好有i件次品,i=0,1,2. A=顧客買下所查看的一箱 由題設(shè)可知：P( )=0.8, P( )=0.1; P( )=0.1.iB0B1B2B P(A )=1; P(A )= ; P(A )=0B1B2B54420419CC1912420418CC1）由全概率公式：P(A)= 0.9420)()(

17、iiiBPBAP2）由貝葉斯公式： 0.85)()()()(000APBPBAPABP答案：答案：1）0.94 ; 2) 0.85. 16. 16. 假設(shè)有兩箱同種零件假設(shè)有兩箱同種零件, ,第一箱內(nèi)裝第一箱內(nèi)裝5050件件, ,其中有其中有1010件一等品件一等品; ;第二箱內(nèi)裝第二箱內(nèi)裝3030件件, ,其中有其中有1818件一等品件一等品. .現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱, ,然后從該箱中先后不放回地隨機(jī)取出兩個(gè)零件然后從該箱中先后不放回地隨機(jī)取出兩個(gè)零件, ,試求試求(1)(1)先取出先取出的是一等品的概率的是一等品的概率;(2);(2)在先取出一等品的條件下在先取出一

18、等品的條件下, ,第二次仍取得第二次仍取得一等品的概率一等品的概率. .解解: : (1)(1)設(shè)設(shè)A Ai i表示事件表示事件“第第i i次取到一等品次取到一等品” ” B Bi i表示事件表示事件 “ “被挑出的是第被挑出的是第i i箱箱”( (i i=1,2) =1,2) 則由全概率公式得則由全概率公式得52301821501021 )()()()()(2121111BAPBPBAPBPAP(2)(2)由條件概率的定義和全概率公式得由條件概率的定義和全概率公式得48557. 0522930171821495091021 )()()()()()()()(12212121112112APBA

19、APBPBAAPBPAPAAPAAP17. 三個(gè)人獨(dú)立的去破譯一份密碼三個(gè)人獨(dú)立的去破譯一份密碼.已知個(gè)人能譯出的概率分別為已知個(gè)人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?解答解答: 設(shè)設(shè)A=第一個(gè)人譯出密碼第一個(gè)人譯出密碼 B=第二個(gè)人譯出密碼第二個(gè)人譯出密碼 C=第三個(gè)人譯出密碼第三個(gè)人譯出密碼 D=至少有一個(gè)人譯出密碼至少有一個(gè)人譯出密碼 則則:P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4 所以所以 P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)

20、 +P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B) -P(A)P(C) -P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =3/518.(0318.(03考研考研) ) 已知甲乙兩箱裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝已知甲乙兩箱裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有有3件合格品和件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱件合格品，從甲箱中任取中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次件產(chǎn)品放入乙箱后，求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。品的概率。19.19.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各1010名、名、1515名和名和2525名考生的報(bào)名表名考生的報(bào)名表

21、, ,其中女生的報(bào)名表分別為其中女生的報(bào)名表分別為3 3份、份、7 7份和份和5 5份份, ,隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表的報(bào)名表, ,從中先后抽出兩份從中先后抽出兩份. .(1)(1)求先抽到的一份是女生表的概率求先抽到的一份是女生表的概率p;p;(2)(2)已知后抽到的一份是男生表已知后抽到的一份是男生表, ,求先抽到的一份是女生表的求先抽到的一份是女生表的 概率概率q.q.19.19.解：設(shè)解：設(shè)H Hi i表示事件表示事件“報(bào)名表是第報(bào)名表是第i i區(qū)考生的區(qū)考生的”i=1,2,3i=1,2,3 A Aj j表示事件表示事件“第第j j次抽到的報(bào)名表是次抽到的報(bào)名表是男生表

22、男生表”j=1,2j=1,2 則則9029 25515710331)()(1252015810731)()()( 3111312111321iiiHAPHP)AP() p()HP(A)H,P(A)HP(AHPHPHP( (2)2)由全概率公式得由全概率公式得31212131223212211213222129230530830731)()()(906125515810731)()()(305)HAP(,308)HAP(,307)HAP(2520)HP(A158)HP(A,107)HP(AiiiiiiHAAPHPAAPHAPHPAPAAA因此因此6120906192)()()(22121APAA

23、PAAPq20. 20. 將外形相同的球分別裝入三個(gè)盒子將外形相同的球分別裝入三個(gè)盒子. .第一個(gè)盒子裝入第一個(gè)盒子裝入7 7只紅只紅球和球和3 3只黃球只黃球; ;第二個(gè)盒子裝入第二個(gè)盒子裝入5 5只黑球和只黑球和5 5只白球只白球; ;第三個(gè)盒子裝第三個(gè)盒子裝入入8 8只黑球和只黑球和2 2只白球只白球. .先在第一個(gè)盒子中任取一球先在第一個(gè)盒子中任取一球, ,若取到紅球若取到紅球, , 則在第二個(gè)盒子中任取二球則在第二個(gè)盒子中任取二球; ;若在第一個(gè)盒子中取到黃球若在第一個(gè)盒子中取到黃球, , 則在則在第三個(gè)盒子中任取二球第三個(gè)盒子中任取二球. .求第二次取到的二球都是黑球的概率求第二次

24、取到的二球都是黑球的概率. .由全概率公式由全概率公式, ,有有22577)()()()()(ABPAPABPAPBP2.2. 設(shè)設(shè) 與與 為兩個(gè)隨機(jī)事件為兩個(gè)隨機(jī)事件, ,求求AB)(),(BAPBP,41)( AP,32)(,21)( ABPBAP),(ABP3.3. 設(shè)設(shè) 與與 獨(dú)立獨(dú)立, ,求求AB)()(,91)(BAPBAPBAP )(AP練習(xí)題練習(xí)題1. 袋內(nèi)放有袋內(nèi)放有2個(gè)伍分硬幣個(gè)伍分硬幣,3個(gè)貳分硬幣和個(gè)貳分硬幣和5個(gè)壹分個(gè)壹分硬幣硬幣,任取其中任取其中5個(gè)個(gè),求錢額總數(shù)超過壹角的概率求錢額總數(shù)超過壹角的概率.4. 設(shè)設(shè) ，求，求 和和 ，并問事件，并問事件 、 是否獨(dú)立，

25、是否獨(dú)立， 為什么？為什么？8 . 0)(, 6 . 0)(, 5 . 0)( ABPBPAP)(BAP)(ABPAB7 . 0)( BAP4 . 0)( ABP5. 甲袋中放有甲袋中放有5只紅球只紅球,10只白球只白球;乙袋中放有乙袋中放有5只白只白球球,10只紅球只紅球.今先從甲袋中任取一球放入乙袋今先從甲袋中任取一球放入乙袋,然后然后從乙袋中任取一球放回甲袋從乙袋中任取一球放回甲袋.求再?gòu)募状腥稳汕笤購(gòu)募状腥稳汕蚯?全是紅球的概率全是紅球的概率.6. 盒中有盒中有3 3個(gè)新晶體管和個(gè)新晶體管和2 2個(gè)舊晶體管個(gè)舊晶體管, ,某儀器需要安某儀器需要安裝上裝上3 3個(gè)晶體管個(gè)晶體管, ,若裝上的都是新管若裝上的都是新管, ,則儀器合格的概則儀器合格的概率為率為0.9;0.9;若裝上的恰有若裝上的恰有1 1個(gè)舊管個(gè)舊管, ,則儀器合格的概率為則儀器合格的概率為0.5;0.5;若裝上的恰有若裝上的恰有2 2個(gè)舊管個(gè)舊管, ,則儀器合格的概率為則儀器合格的概率為0.1.0.1.現(xiàn)從盒中任取現(xiàn)從盒中任取3 3個(gè)安裝在個(gè)安裝在儀器儀器上上,并已知儀器合格并已知儀器