直線方程的幾種形式(二)

1、圓直線直線圓8.2.3 直線方程的幾種形式（二）直線方程的幾種形式（二）1根據(jù)下列條件，寫出直線的方程：根據(jù)下列條件，寫出直線的方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn) A（8， 2），斜率是），斜率是 1； （2）截距是）截距是 2 ，斜率為，斜率為 1 ；（3）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn) A（4，2），平行于），平行于 x 軸；軸；（4）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn) A（4，2），平行于），平行于 y 軸軸2上述幾種形式的直線方程，可以用上述幾種形式的直線方程，可以用 A xB yC0來表示嗎？來表示嗎？y2 (x8)yx2y2x4平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個 關(guān)于關(guān)于 x、y

2、 的二元一次方程表示嗎？的二元一次方程表示嗎？對直線的傾斜角對直線的傾斜角 進(jìn)行討論：進(jìn)行討論： 當(dāng)當(dāng) 90 時，時， 直線斜率為直線斜率為 ktan ，其方程可，其方程可 寫成：寫成：yk xb ，可變形為：，可變形為：A xB yC0， 其中：其中：A = k，B = 1，C = b 當(dāng)當(dāng) 90 時，直線斜率不存在，其方程可寫成時，直線斜率不存在，其方程可寫成 xa 的形式，也可以變形為：的形式，也可以變形為：A xB yC0， 其中：其中：A1，B0，Ca平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可以用關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可以用關(guān)于 x、y 的二元一次方程的二元一次方程 A xB yC

3、0（A、B不同時不同時為零）來表示；反之，每一個關(guān)于為零）來表示；反之，每一個關(guān)于 x、y 的二元一次方的二元一次方程都表示一條直線程都表示一條直線 我們把關(guān)于我們把關(guān)于 x、y 的二元一次方程的二元一次方程 A xB yC0（ A、B 不同時為零不同時為零 ) 叫做直線的一般式方程叫做直線的一般式方程直線的一般式方程：直線的一般式方程：直線的方向向量與法向量直線的方向向量與法向量（1）如果非零向量）如果非零向量所在所在的直線與直線的直線與直線l 平行，則稱平行，則稱為為直線直線 l 的一個的一個方向向量；方向向量；aa（2）如果非零向量）如果非零向量所在所在的直線與直線的直線與直線l 垂直，

4、則稱垂直，則稱為為直線直線 l 的一個的一個法向量法向量nnanxyO （3）直線的方向向量與法向量有怎樣的關(guān)系？）直線的方向向量與法向量有怎樣的關(guān)系？你能找出直線你能找出直線 x2 的一個方向向量和一個法向量嗎？的一個方向向量和一個法向量嗎？向量向量 (x2x1，y2y1) 與向量與向量 (1，k) 是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？向量向量 (1，k) 是直線的一個方向向量嗎？是直線的一個方向向量嗎？（2）令）令 x2x1 ，如果，如果 0 ，且直線，且直線 l 的斜率為的斜率為k，由，由 (x2x1，y2y1) (1，) (1，k) 1212xxyy（1）如果直線）如果直線 l 過點(diǎn)過點(diǎn) P1 (

5、x1 ，y1) 和和 P2(x2 ，y2) ，向量向量 的坐標(biāo)是多少？它是直線的坐標(biāo)是多少？它是直線 l 的一個方向向量的一個方向向量嗎？嗎？21PP（1）設(shè)）設(shè) l 的一般式方程為的一般式方程為A xB yC0，如果如果 P2(x2，y2) 和和 P1(x1，y1) 都在直線上，兩點(diǎn)都在直線上，兩點(diǎn) P2，P1分別滿足怎樣的關(guān)系式？分別滿足怎樣的關(guān)系式？（2）把得到的兩個關(guān)系式相減，你能得到怎樣的）把得到的兩個關(guān)系式相減，你能得到怎樣的式子？式子？（3）式子）式子 A(x2x1)B(y2y1)0，能說明向量，能說明向量(A，B) 與向量垂直嗎？與向量垂直嗎？n（4）向量）向量(A，B) 是直

6、線是直線 l的一個法向量嗎？的一個法向量嗎？n 如果知道直線的斜截式方程如果知道直線的斜截式方程 yk xb ，則則 (1，k)是它的一個方向向量；是它的一個方向向量； 如果知道直線的一般式方程如果知道直線的一般式方程 A xB yC0 ，則則 (A，B) 是它的一個法向量是它的一個法向量 例例3求下列直線的一般式方程，并指出它的一個方向求下列直線的一般式方程，并指出它的一個方向向量和法向量：向量和法向量：（1）過點(diǎn)）過點(diǎn) (3，2) ，且斜率為，且斜率為 2 ；（2）過點(diǎn)）過點(diǎn) (5，5)，且傾斜角為，且傾斜角為 120 （1）直線的點(diǎn)斜式方程為）直線的點(diǎn)斜式方程為 y(2)(2)x(3)，

7、化簡得化簡得 y 2 x8 ，所以該直線的一般式方程為所以該直線的一般式方程為2 xy80由上知，由上知，(1，2) 為直線的一個方向向量，為直線的一個方向向量，(2，1) 為直線的一個法向量為直線的一個法向量解：解：解：解：（2）因?yàn)橹本€的斜率為）因?yàn)橹本€的斜率為 ktan120 ，所以直線，所以直線的點(diǎn)斜式方程為的點(diǎn)斜式方程為 y5 (x5) ，因此該直線的一，因此該直線的一般式方程為般式方程為xy550由上由上知，知，(1， ) 為直線的一個方向向量，為直線的一個方向向量，( ，1) 為為直線的一個法向量直線的一個法向量333333例例3求下列直線的一般式方程，并指出它的一個方向求下列直

8、線的一般式方程，并指出它的一個方向向量和法向量：向量和法向量：（1）過點(diǎn)）過點(diǎn) (3，2) ，且斜率為，且斜率為 2 ；（2）過點(diǎn)）過點(diǎn) (5，5)，且傾斜角為，且傾斜角為 120 求下列直線方程的一般式，并指出它的一個方向求下列直線方程的一般式，并指出它的一個方向 向量和法向量：向量和法向量： （1）斜率為）斜率為 ，過點(diǎn)（，過點(diǎn)（1，2）；）；（2）過點(diǎn)（）過點(diǎn)（1，1）且平行于）且平行于 x 軸軸21例例4求下列直線的一般式方程：求下列直線的一般式方程：（1）(1，4) 是直線的一個方向向量，且在是直線的一個方向向量，且在y軸上的截距為軸上的截距為5；（2）(3，4) 是直線的一個法向量

9、，且直線過點(diǎn)是直線的一個法向量，且直線過點(diǎn)(1，2)解：解： （1）由已知可得直線的斜率為）由已知可得直線的斜率為 4 ，所以直線的斜截式，所以直線的斜截式方程為方程為 y4 x5 ，因此一般式方程為，因此一般式方程為4 xy50（2）由已知可設(shè)直線方程為）由已知可設(shè)直線方程為 3 x4 yC0，其中其中 C 為待定系數(shù)代入點(diǎn)為待定系數(shù)代入點(diǎn) (1，2)，有，有3(1)4(2)C0，解得解得 C11 因此直線的一般式方程為因此直線的一般式方程為3 x4 y110已知直線的法向量為（已知直線的法向量為（1，2）且過點(diǎn)（）且過點(diǎn)（3，0），求該求該直線的一般式方程直線的一般式方程3直線的法向量：直線的法向量： 1直線一般式方程：直線一般式方程：2直線的方向向量：直線的方向向量：A xB yC0如果非零向量如果非零向量所在的直線與直線所在的直線與直線 l 平平 行，則稱行，則稱為直線為直線 l 的一個方向向