2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時7.4《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》達標練習(xí)（教師版）

1、2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時7.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用達標練習(xí)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2ln x1(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)=ax2ex3，求證：f(x)g(x)在(0，)上恒成立.【答案解析】解：(1)由于f(x)=ax2ln x1(aR)，故f(x)=2ax=(x0).當a0時，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù).當a0時，令f(x)=0，得x=.當x變化時，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：xf(x)0f(x)極小值由表可知，f(x)在(0,)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(,+)上是單調(diào)遞增函數(shù).綜上所述，當a0時，f(x)的

2、單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞增區(qū)間；當a0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,+).(2)證明：f(x)g(x)=ax2ln x1ax2ex3=exln x2，令F(x)=exln x2(x0)，要證f(x)g(x)，只需證F(x)0.F(x)=ex，由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)知，F(xiàn)(x)=ex在(0，)上是增函數(shù).又F(1)=e10，F(xiàn)()=e30，所以F(1)·F()0，F(xiàn)(x)在(，1)內(nèi)存在唯一的零點，也即F(x)在(0，)上有唯一的零點.設(shè)F(x)的零點為t，則F(t)=et=0，即et=(<t<1)，由F(x)的單調(diào)性知，當x(0，t)時

3、，F(xiàn)(x)F(t)=0，F(xiàn)(x)為減函數(shù)；當x(t，)時，F(xiàn)(x)F(t)=0，F(xiàn)(x)為增函數(shù).所以當x0時，F(xiàn)(x)F(t)=etln t2=ln2=t222=0，當且僅當t=1時，等號成立.又t1.故等號不成立.所以F(x)0，即f(x)g(x)在(0，)上恒成立.已知函數(shù)f(x)=aln x(a0)，e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若過點A(2，f(2)的切線斜率為2，求實數(shù)a的值；(2)當x0時，求證：f(x)a(1-)；(3)若在區(qū)間(1，e)上0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案解析】解；(1)由題意得f (x)=，f (2)=2，a=4.(2)證明：f(x)a(1-)等價于a0，令g

4、(x)=a(ln x1)，則g(x)=a.令g(x)=0，即a=0，解得x=1，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增.g(x)的最小值為g(1)=0，f(x)a(1-).(3)由題意可知：eex，化簡得ln x，又x(1，e)，a.令h(x)=，則h(x)=，由(2)知，當x(1，e)時，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，h(x)h(e)=e1.ae1.已知函數(shù)f(x)=(x1)ex1，x0，1.(1)證明：f(x)0；(2)若a<<b在x(0，1)上恒成立，求ba的最小值.【答案解析】解：(1)證明：因為f(x)=xex0，即f(x)在0

5、，1上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)=0，結(jié)論成立.(2)令g(x)=，則g(x)=>0，x(0，1)，所以，當x(0，1)時，g(x)<g(1)=e1，要使<b，只需be1.要使>a成立，只需exax1>0在x(0，1)上恒成立.令h(x)=exax1，x(0，1)，則h(x)=exa，由x(0，1)，得ex(1，e)，當a1時，h(x)>0，此時x(0，1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a1滿足條件；當ae時，h(x)<0，此時x(0，1)，有h(x)<h(0)=0，不符合題意，舍去；當1<a<e時，令h(x)=0，得

6、x=ln a，可得當x(0，ln a)時，h(x)<0，即x(0，ln a)時，h(x)<h(0)=0，不符合題意，舍去.綜上，a1.又be1，所以ba的最小值為e2.已知函數(shù)f(x)=2ex(xa)23，aR.(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線與x軸平行，求a的值；(2)若x0，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.【答案解析】解：(1)f(x)=2(exxa)，函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線與x軸平行，即在x=0處的切線的斜率為0，f(0)=2(a1)=0，a=1.(2)由(1)知f(x)=2(exxa)，令h(x)=2(exxa)(x0)，則h(x)=2(ex1)0，

7、h(x)在0，)上單調(diào)遞增，且h(0)=2(a1).當a1時，f(x)0在0，)上恒成立，即函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(0)=5a20，解得a，又a1，1a.當a1時，則存在x00，使h(x0)=0且當x0，x0)時，h(x)0，即f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減，當x(x0，)時，h(x)0，則f(x)0，即f(x)單調(diào)遞增，f(x)min=f(x0)=2ex0(x0a)230，又h(x0)=2(ex0x0a)=0，2ex0(ex0)230，解得0x0ln3.由ex0=x0aa=x0ex0，令M(x)=xex,0xln3，則M(x)=1ex0，M(x)在(0，ln3上單

8、調(diào)遞減，則M(x)M(ln3)=ln33，M(x)M(0)=1，ln33a1.綜上，ln33a.故a的取值范圍是ln33，.已知函數(shù)f(x)=mx，g(x)=3ln x.(1)當m=4時，求曲線y=f(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)若x(1, (e是自然對數(shù)的底數(shù))時，不等式f(x)g(x)<3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍 .【答案解析】解：(1)當m=4時，f(x)=4x，f(x)=4，f(2)=5，又f(2)=6，所以所求切線方程為y=5x4.(2)由題意知，x(1， 時，mx3ln x<3恒成立，即m(x21)<3x3xln x恒成立，因為x(1， ，所以x2

9、1>0，則m<恒成立.令h(x)=，x(1，則m<h(x)min，h(x)=，因為x(1， ，所以h(x)<0，即h(x)在(1， 上是減函數(shù).所以當x(1， 時，h(x)min=h()=.所以m的取值范圍是（-，）.設(shè)函數(shù)已知函數(shù)f(x)=aex-x+1. （1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)在(0,3) 上只有一個零點，求a的取值范圍； 【答案解析】解: 已知函數(shù)(1)當a=2時，求曲線f(x)在x=1處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若，在上存在一點，使得成立，求的取值范圍【答案解析】解：已知函數(shù)f(x)=x2ax(a0)，g

10、(x)=lnx，f(x)的圖象在它與x軸異于原點的交點M處的切線為l1，g(x1)的圖象在它與x軸的交點N處的切線為l2，且l1與l2平行(1)求a的值；(2)已知tR，求函數(shù)y=f(xg(x)+t)在x1，e上的最小值h(t)；(3)令F(x)=g(x)+g(x)，給定x1，x2(1，+)，x1x2，對于兩個大于1的正數(shù)，存在實數(shù)m滿足：=mx1+(1m)x2，=(1m)x1+mx2，并且使得不等式|F()F()|F(x1)F(x2)|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案解析】解：(1)y=f(x)圖象與x軸異于原點的交點M(a，0)，f(x)=2xa，y=g(x1)=ln(x1)圖象與x軸的交

11、點N(2，0)，g(x1)=由題意可得k l1=k l2，即a=1；(2)y=fxg(x)+t=xlnx+t2(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t1)(xlnx)+t2t，令u=xlnx，在 x1，e時，u=lnx+10，u=xlnx在1，e單調(diào)遞增，0ue，u2+(2t1)u+t2t圖象的對稱軸u=，拋物線開口向上，當u=0，即t時，y最小=t2t，當u=e，即t時，y最小=e2+(2t1)e+t2t，當0e，即t時，y最小=y|u=；(3)F(x)=g(x)+g(x)=lnx+，F(xiàn)(x)=0，所以F(x)在區(qū)間(1，+)上單調(diào)遞增，當x1時，F(xiàn)(x)F(1)0，當m(0，1)時，有，=mx1+(1m)x2mx1+(1m)x1=x1，=mx1+(1m)x2mx2+(1m)x2=x2，得(x1，x2)，同理(x1，x2)，由f(x)的單調(diào)性知 0F(x1)F()、f()f(x2)，從而有|F()F()