微積分(多元微積分)實(shí)驗(yàn)積分與多元函數(shù)

1、實(shí)驗(yàn)積分與多元函數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)史上的微積分進(jìn)程微積分Calculus是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個根底學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。 微積分Calculus微積分學(xué)根本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。 它是一

2、種數(shù)學(xué)思想，無限細(xì)分就是微分，無限求和就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的根底，它是用一種運(yùn)動的思想看待問題。比方，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。 微積分的發(fā)現(xiàn)公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)根底的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比方我國的莊周所著的?莊子?一書的“天下篇中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，那么與圓周和體而無所失矣。這

3、些都是樸素的、也是很典型的極限概念。 近代的開展到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 名字序列十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多

4、很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的根底上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里單獨(dú)研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利和他的兄弟約翰貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的開展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 成功的造就了近代工業(yè)文明和列強(qiáng)。我們需要努力知道我們有多落后，知恥而后勇。知道它，理解它，學(xué)會它，用它。站在巨人肩上再向前看。知道原理，然后用工具進(jìn)行計算，為工程效勞。1.學(xué)

5、習(xí)用軟件求一元函數(shù)積分的方法；2.從幾何圖形上直觀理解定積分的定義；3.學(xué)習(xí)用軟件解決定積分應(yīng)用問題；4.學(xué)習(xí)用軟件求解多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5.學(xué)習(xí)用軟件求解二元函數(shù)的極值，并將二元函數(shù)可視化；6.會用軟件解決積分的應(yīng)用問題；7.學(xué)習(xí)用軟件計算二重積分，三重積分；8.會用軟件描繪空間區(qū)域及其投影；9.會用軟件解決重積分應(yīng)用問題；10.學(xué)習(xí)用軟件計算曲線積分；11.學(xué)習(xí)用軟件計算曲面積分；12.學(xué)習(xí)用軟件解決曲線積分和曲面積分的應(yīng)用問題；實(shí)驗(yàn)?zāi)康姆e分表6-1 int函數(shù)表命令功能描述備注int(f)求f關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分f為符號表達(dá)式或字符串表達(dá)式（下同）int(f,t)求f關(guān)于變量t的不定積分

6、int(f,a,b)求f關(guān)于默認(rèn)變量由a到b的定積分a,b為數(shù)值常數(shù)int(f,t,a,b)求f關(guān)于變量t由a到b的定積分a,b為數(shù)值常數(shù)int(f,m,n)求f關(guān)于默認(rèn)變量由m到n的定積分m,n為符號常量舉例例6-1設(shè)函數(shù)，分別對變量，進(jìn)行積分。【求解】這里，x可以認(rèn)為是默認(rèn)的變量，而對t的積分就一定要指明積分變量。編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcsyms x t k lf=cos(3*x+t);I1=int(f)%求不定積分I2=int(f,t)%對t求不定積分I3=int(f,0,pi/2)%求定積分I3=eval(I3)%轉(zhuǎn)化求值I4=int(f,t,0,pi/2)%求定積分I5=

7、int(f,m,n)%求定積分I6=int(f,k,l)%求定積分舉例例6-2計算廣義積分【求解】編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcf=1/(1+x2);%定義字符串表達(dá)式I=int(f,-inf,inf)%代入字串表達(dá)式，求廣義定積分舉例例6-3計算積分【求解】編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcf=exp(-x)*x(-1/2);%定義字串表達(dá)式gamma=int(f,0,inf)%求定積分舉例例6-4求變上、下限積分的導(dǎo)數(shù)【求解】編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcsyms x t %定義變量f=cos(pi*t2);%定義函數(shù)F=diff(int(f,sin(x),cos(x)%先求

8、積，再求導(dǎo)pretty(F)%美化格式顯示舉例例6-5求變上限積分的極限【求解】編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcsyms x t %定義變量f=cos(t2);%定義函數(shù)I=limit(int(f,0,x)/x)%先求積分，再求極限本卷須知被積函數(shù)表達(dá)式積分上下限確實(shí)定不定積分的常數(shù)項(xiàng)功能函數(shù)的嵌套調(diào)用格式積分在定義上的幾何意義交互式近似黎曼求和函數(shù)rsums可以給我們很形象的演示積分在定義上的幾何意義：無限分割再逼近。表6-2 rsums函數(shù)表命令功能描述說明rums(f)計算f在區(qū)間0,1上的近似積分該命令展示積分定義上的幾何意義注：rsums命令將0，1區(qū)間分割成10個等分子區(qū)間，界

9、面上方為被積函數(shù)與小矩形面積的累加和，向右拉動界面下方的滑動鍵，分割越細(xì)，小矩形越多，而矩形面積和就越接近曲邊梯形的面積，即累加和越接近于積分準(zhǔn)確值。積分限代換而在計算的近似值需作變換，于是使得積分區(qū)間，即積分上下限滿足黎曼求和函數(shù)的近似積分區(qū)間要求。例6-7利用rsums命令求積分的近似值，并觀察定積分定義的幾何意義?！厩蠼狻烤帉懳募?，內(nèi)容如下：clearclcsyms x u t%定義變量f=exp(-t2);%定義函數(shù)s=eval(int(f,-1,1)%求定積分，并轉(zhuǎn)化為數(shù)值a=-1;b=1;u=a+(b-a)*x;%自變量換元rsums(subs(f,u)*(b-a)%元素替換后，黎

10、曼求和函數(shù)模擬定積分應(yīng)用實(shí)例 平面圖形的面積 體積 曲線的弧長 實(shí)際領(lǐng)域的中的微元法 例6-8拋物線與箕舌線所圍圖形的面積?！厩蠼狻糠治?，先求兩曲線的交點(diǎn)，然后作圖觀察，確定積分上下限；最后積分求面積。解題步驟：作圖確定積分限積分求解編寫文件 例6-9計算心形線所圍成圖形的面積?！厩蠼狻棵娣e即定積分：編寫文件，內(nèi)容如下：clearclca=1; %不妨取a=1作圖t=0:pi/20:2*pi;%生成作圖數(shù)據(jù)r=a*(1-cos(t);%生成作圖數(shù)據(jù)polar(t,r)%極坐標(biāo)作圖syms a t%定義變量r=a*(1-cos(t);%定義函數(shù)s=int(r2,t,0,2*pi)/2%積分定積分

11、的應(yīng)用解積分模型的應(yīng)用問題6-12等求解實(shí)際問題的步驟：提出問題，即題目本身；分析問題，建數(shù)學(xué)模型這里肯定是積分模型；對模型求解；回到實(shí)際問題，作出合理解答。多元函數(shù)偏導(dǎo)與全微分表6-3 diff函數(shù)表命令功能diff(z,x)求函數(shù)z對x的偏導(dǎo)數(shù)diff(z,x,n)求函數(shù)z對x的n階偏導(dǎo)數(shù)，n為整數(shù)diff(diff(z,x),y)先求函數(shù)z對x的偏導(dǎo)數(shù)，再對y求二階的混合偏導(dǎo)數(shù)例6-14設(shè)，求【求解】編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcsyms x yz=x4+y4-4*x2*y2;%定義表達(dá)式zxx=diff(z,x,2)%求2階偏導(dǎo)zyy=diff(z,y,2)zxy=diff(di

12、ff(z,x),y)%求混合2階偏導(dǎo)例6-16計算函數(shù)的全微分?！厩蠼狻烤帉懳募?，內(nèi)容如下：clearclcsyms x y zu=x+sin(y/2)+exp(y*z);%定義表達(dá)式du=diff(u,x)*dx+diff(u,y)*dy+diff(u,z)*dz%寫成全微分形式du = dx+(1/2*cos(1/2*y)+z*exp(y*z)*dy+y*exp(y*z)*dz結(jié)果：這里，全微分只是個形式。即表示成全微分的形式。多元微積分的應(yīng)用幾何學(xué)，求曲線方程，曲面方程等多元極值，如二元函數(shù)極值等近似計算梯度計算二元極值無條件極值：通過二階偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)組成的判別式來確定。diff等，也

13、叫判定定理法。條件極值 ：如拉格朗日數(shù)值法，解方程得解 solve等。matlab給我們提供了fminsearch函數(shù) 表6-4 fminsearch函數(shù)表命令功能描述x,fmin=fminsearch(f,x0)單純形法，以x0為初始搜索點(diǎn)，x是極小值點(diǎn)，fmin是極小值,x0可以是一個標(biāo)量，向量或矩陣x,fmin=fminunc(f,x0)擬牛頓法注：f為字符串，內(nèi)聯(lián)函數(shù)，M函數(shù)文件，自變量必須寫成x(1),x(2),。二重積分求解二重積分的方法是把二重積先轉(zhuǎn)成二次積分，然后用int命令完成計算求值。1.在直角坐標(biāo)下化為二次積分2.在極坐標(biāo)下化為二次積分3.二重積分的幾何意義：曲頂柱體的體

14、積。三重積分與求解二重積分的方法一樣，我們是把三重積先轉(zhuǎn)成三次積分，然后用int命令完成計算求值。1.在直角坐標(biāo)下化為三次積分2.在柱面坐標(biāo)下化為三次積分3.在球面坐標(biāo)下化為三次積分二重積分表達(dá)式：三重積分表達(dá)式：求解命令：int(int(int(f,z,zmin,zmax),y,ymin,ymax),x,xmin,xmax)求解命令：int(int(f,y,ymin,ymax),x,xmin,xmax)表6-6 重積分函數(shù)表重積分計算例6-24計算積分，其中【求解】先化二重積分為二次積分，關(guān)鍵是積分限確實(shí)定。編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcsyms x y I=int(int(x2+y2

15、,y,-1,1),x,-1,1)%求二重積分例6-25計算其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域。【求解】步驟：（1）求與的交點(diǎn)。（2）作積分區(qū)域圖形（3）借助圖形確定積分上、下限（4）積分編寫文件對弧長的曲線積分假設(shè)曲線弧，那么對弧長的曲線積分假設(shè)空間曲線弧，那么對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分假設(shè)是二維有向曲線，那么對坐標(biāo)的曲線積分假設(shè)是三維有向曲線，那么對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分若曲面的方程為，則對面積的曲面積分其中區(qū)域是在面的投影。對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分其中為有向曲面。將其化為二重積分例6-33計算，其中為中的一段弧，如圖所示。方法：選為參數(shù)，則有參數(shù)方程，編寫文件，內(nèi)容如下：clearclcsyms a xy=sqrt(a2-x2);I=int(x*y*sqrt(1+diff(y)2),x,0,a/2)I=simple(I)編程求解例題例6-37計算，其中是上半球面的上側(cè)