鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論-3

1、為什么要近似求解？為什么要近似求解？v非等截面構(gòu)件v壓力沿軸線變化的構(gòu)件v具有變系數(shù)的平衡微分方程v壓桿的彈塑性屈曲問(wèn)題近似求解方法：近似求解方法：能量法、瑞利里茲法、迦遼金法、有限差分法、有限積分法、有限元法等。1）幾個(gè)基本概念v保守系統(tǒng)：體系由平衡位置1變化到平衡位置2時(shí)，力系（包括內(nèi)力和外力）做的功僅與始末位置有關(guān)，而與中間過(guò)程無(wú)關(guān)的系統(tǒng)。v能量守恒：如果貯存在結(jié)構(gòu)體系中的應(yīng)變能等于外力所做的功，則該保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，此謂之能量守恒。v能量準(zhǔn)則：當(dāng)一保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能的一階變分為0。總能量：VU 外力勢(shì)能內(nèi)力勢(shì)能、應(yīng)變能一階變分： 勢(shì)能駐值原理0VU外力勢(shì)能增量?jī)?nèi)力勢(shì)能

2、增量二階變分：VU222000222為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，此時(shí)總勢(shì)能最小為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)為隨遇平衡狀態(tài)2）彈性直桿的總勢(shì)能表達(dá)式v以直桿狀態(tài)為參考狀態(tài)（總勢(shì)能為0狀態(tài)），求微彎后總勢(shì)能表達(dá)式v應(yīng)變能1021MdUlldxyEIdxEIMUdxEIMddxdEIyEIM02022121 v外力勢(shì)能llldxyPdxyPVdxPPV0202021) (21)cos1 (v總勢(shì)能lldxyPdxyEIVU02022121 E、P和I可能不是常數(shù)，P(x)、I(x)不可拿到積分號(hào)之外。3）勢(shì)能駐值原理v當(dāng)作用著外力的結(jié)構(gòu)體系，其位移有微小變化而總的能量不變，即總勢(shì)能有駐值時(shí)，則該結(jié)構(gòu)體系處于平衡狀態(tài)，此

3、即為勢(shì)能駐值原理。v表達(dá)為： 其中：0)(VUWUVU外力勢(shì)能內(nèi)力勢(shì)能外力作功v例：現(xiàn)考查如下結(jié)構(gòu)上端B點(diǎn)具有彈簧鉸rB、抗側(cè)移彈簧kB；下端A點(diǎn)具有彈簧鉸rA。當(dāng)由(a)直桿狀態(tài)過(guò)渡到(b)微彎狀態(tài)時(shí)，體系的應(yīng)變能為：外力勢(shì)能為：22202)(21)(21)0(212lyklyryrdxyEIUBBAl ldxyPWV022則總勢(shì)能為：222022)(21)(21)0(2122lyklyryrdxyPyEIVUBBAl 利用勢(shì)能駐值原理（即總勢(shì)能一階變分為0）)()()()()0()0(0lylyklylyryyrdxyyPyyEIBBAl 利用分部積分和邊界條件 可知上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別

4、為：0)0(0)0(yy和將上二式代入 得0由于y(l)、y(0)、y(l)、y均為邊界上不為0的任意值，所以上式等于0的條件為其系數(shù)衡等于0：前三項(xiàng)為邊界上的彎矩和橫向剪力，即自然邊界條件；而第四項(xiàng)為平衡方程；可見(jiàn)勢(shì)能駐值與平衡方程等價(jià)；結(jié)論：很多復(fù)雜結(jié)構(gòu)很難建立平衡方程，這時(shí)可先寫(xiě)出總勢(shì)能表達(dá)式，令其一階變分為0，即可得到平衡方程；可以假設(shè)構(gòu)件的撓曲線函數(shù)，（必須滿足幾何邊界條件），將其代入總勢(shì)能表達(dá)式，通過(guò)一階變分為0，求解屈曲荷載，這就是著名的瑞利里茲法（Rayleigh,L., Ritz, W.）；如果假設(shè)的撓曲線函數(shù)既符合構(gòu)件的幾何邊界條件，又符合自然邊界條件，也可直接利用(4)式

5、求解屈曲荷載，這就是著名的迦遼金法（Galerkin, B.G.）。v假定滿足幾何邊界條件的撓曲線為：)()()(332211xfaxfaxfayai待定系數(shù)；fi(x)滿足邊界條件的函數(shù)(至少滿足幾何邊界條件)；可見(jiàn)撓曲線y為一個(gè)泛函（函數(shù)的函數(shù)）。v將y的表達(dá)式代入總勢(shì)能表達(dá)式中總勢(shì)能表達(dá)為系數(shù)ai的函數(shù)。v使用勢(shì)能駐值原理 ，可寫(xiě)成：00332211aaaaaava1、a2、a3不能同時(shí)為0，則可得到：臨界承載力行列式方程組的系數(shù)的齊次關(guān)于 0 00021iiaaaav給出幾種滿足幾何邊界條件的常用撓曲函數(shù)一般取前一、二項(xiàng)就有良好精度v例題1，如圖所示變截面懸臂柱，求其軸心受壓臨界承載力

6、（在工業(yè)廠房中常用此結(jié)構(gòu)形式）lllldxyEIdxyEIdxyEIU3/223/02102212121 根據(jù)前面表格，設(shè)撓曲線方程為： 滿足y(0)0，y(0)=0)2cos1 (lxaylxlaylxlay2cos)2(2sin)2(2 應(yīng)變能：代入y，并分步積分得：23236 .15alEIUllldxyPdxyPdxyPWV023/02022152121應(yīng)變勢(shì)能或外力功：代入y，并分步積分得：則總勢(shì)能為：lPaWV953. 32lPaalEIVU953. 36 .1522323利用勢(shì)能駐值原理：22232332395. 30953. 36 .15002)953. 36 .15(000l

7、EIPlPlEIaalPlEIdadacr討論如下：i. 如果利用平衡微分方程求解，精確解為 誤差僅為1.25。2224lEIPcrii. 若變形函數(shù)只取一項(xiàng)y=a f (x)時(shí)，即只有一個(gè)參變量a時(shí)，可以證明：iii. 能量法結(jié)果偏高。 因?yàn)閾锨瘮?shù)與真是變形不完全相符，相當(dāng)于對(duì)真實(shí)桿件人為添加了若干橫向水平約束，提高了壓桿的抗失穩(wěn)能力。llcrdxydxyEIP0202 v例題2，連續(xù)變截面桿件，假設(shè)忽略腹板的存在。求解其臨界力。 下部截面I1、h1已知，其它截面特征為：211/)1 (1 /)1 (1 lxmIIlxmhhxx解：（1）用靜力平衡方程求解： 0)(lxlxPyPlyEIy

8、yPyEI 變系數(shù)的微分方程，很難求解。（2）用能量法求解： 首先根據(jù)邊界條件選用合適的變形曲線若選用的變形曲線只有一個(gè)參變量，則：llcrdxydxyEIP0202 為了方便求解，令m0.5，則h2/h1=0.5，即I2=0.25I1。設(shè)撓曲線為：)2cos1 (lxay2202022341022210282sin)2( 5 .432cos)2()5 . 01 (aldxlxladxyalEIdxllxalxEIdxyEIllll 212212222341)33. 2(44. 585 .43lEIlEIalalEIPcr可見(jiàn)雖然變形曲線中的參數(shù)a是未知的，最后也沒(méi)有求出a的具體數(shù)值，但確通過(guò)

9、此方法求出了臨界力。v迦遼金法直接利用勢(shì)能駐值原理中的平衡微分方程求解，不再需要寫(xiě)出總勢(shì)能表達(dá)式。v但這樣做的前提是撓曲線必須既滿足幾何邊界條件，又同時(shí)滿足自然邊界條件。v由前面可知平衡微分方程為：0) (0lydxPyEIy令： 則：(1) (x1,x2更適于普遍情況) )(PyEIyyL0)(21xxydxyLv設(shè)位移函數(shù)v其一階變分為： (2)niiinnxaxaxaxay12211)()()()(niiinnniiinnaaaaaayaayaayaayy1221112211v將(2)代入(1)式v由于a1、a2、an都為不等于0的微小的任意值，而(1)式是恒等式，故：0)(.)()(2

10、12211xxnndxayLayLayL(3) 0)()(0)()(0)()(21212121xxnxxxxdxxyLdxxyLdxxyLv上式稱為迦遼金方程組，是關(guān)于ai的聯(lián)立方程組。如果是無(wú)常數(shù)項(xiàng)的齊次方程組，可以通過(guò)系數(shù)行列式為0，得到屈曲荷載。如果是有常數(shù)項(xiàng)的齊次方程組，則可解得ai，從而得到近似的撓曲線、最大撓度、彎矩等等。v例1。用迦遼金法確定如圖所示受均勻變化的軸向壓力作用的懸臂構(gòu)件的屈曲荷載。解：為積分方便建立如圖所示的坐標(biāo)系。(1) 假設(shè)撓曲線為一次項(xiàng)時(shí)：lxvy2sin上式符合幾何邊界條件y(0)=0, y(l)=v, y(l)=0；上式也滿足自然邊界條件y(0)=0。根據(jù)

11、隔離體(c)建立平衡方程：xxxdxyyqEIyyLdxyyqEIyyydxqEIyM011011011)( )(0)( )( 迦遼金方程為：02sin)(0ldxlxyL把y代入到L(y)，并代入到上述方程，并積分得：v不為0，故可求得：0)141(8222qllEIv2224/298. 8)4(2)(lEIlEIqlcr如果用平衡法利用Bessel函數(shù)可得精確解為(ql)cr=7.837EI/l2。故近似解稍大5.9。(2) 改用撓曲線為二次項(xiàng)時(shí)：lxvlxvy23sin2sin21這樣迦遼金方程組為：023sin)(02sin)(00lldxlxyLdxlxyL把y代入到L(y)，并代入

12、到上述方程，并積分得：0)9141(89303)141(822222212222221qllEIvqlvqlvqllEIv這是一組齊次方程式，有解的條件是其系數(shù)行列式為00)9141(8933)141(82222222222qllEIqlqlqllEI解得(ql)cr=7.838EI/l2 ，與精確解幾乎一致?？梢?jiàn)撓曲線由一項(xiàng)改為兩項(xiàng)時(shí)效果就十分顯著。vFinite Element Method (FEM)v通用程序有很多：Algor, Sap, Ansys, Adina, Abaqus, Nastran, CFD等等v是目前較為常用的數(shù)值解法，適用于用計(jì)算機(jī)對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行求解v可以分為平

13、面模型、空間模型等v可以使用不同單元求解不同問(wèn)題，如梁柱單元、殼體單元、實(shí)體單元、索單元等等v分析時(shí)可以考慮線性、幾何非線性、材料非線性等v有限元法的基本思路和過(guò)程如下：選擇適合的單元形式把結(jié)構(gòu)或構(gòu)件劃分成若干單元（網(wǎng)格）建立單元節(jié)點(diǎn)位移和內(nèi)力的關(guān)系,通常以矩陣形式表示(使用能量法或平衡方程)將單元組合成原系統(tǒng)(單剛總剛)求解線性或非線性方程組得到結(jié)構(gòu)荷載位移曲線、屈曲荷載等以單元節(jié)點(diǎn)位移為未知量利用邊界條件使用直接求解法或迭代法v例：受軸向力作用的平面梁柱單元 (單元在局部坐標(biāo)系中變形前后如圖)v桿端內(nèi)力以矩陣形式(列向量)表示為： 1、3剪力，2、4彎矩v與桿端內(nèi)力對(duì)應(yīng)的位移為：v桿端內(nèi)力

14、與位移之間存在如下關(guān)系：v如何建立單元?jiǎng)偠染仃嘖是問(wèn)題的關(guān)鍵v下面根據(jù)能量法建立單元?jiǎng)偠染仃嘥qqqqq4321T4321Kq v單元內(nèi)部應(yīng)變能：v內(nèi)外力對(duì)單元做功：v根據(jù)UW得： （1）v用一個(gè)三次拋物線代替單元撓曲線（形狀函數(shù)）內(nèi)力q引起軸力P引起v單元兩端幾何邊界條件為：v利用上述條件求出變形曲線中的a，b，c，d后，代回到變形曲線中去，得到變形曲線為：v變形曲線的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為：v由此可得：v將上式代入（1）中可得單元?jiǎng)偠染仃嚍椋簐其中：無(wú)軸向力時(shí)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噕則單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员磉_(dá)為：v利用邊界條件，形成結(jié)構(gòu)整體剛度方程后：v可以對(duì)上式求解，得到節(jié)點(diǎn)變形，及單元內(nèi)部各點(diǎn)變形（內(nèi)力等）?？紤]軸力作用的幾何剛度矩陣qK總v有關(guān)討論：幾何剛度矩陣kg與P、l有關(guān)；而ke與EI、