第二節(jié) 偏導數(shù)

1、第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算一、偏導數(shù)的定義及其計算二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù) 設(shè)設(shè)z = f (x, y)在在U(x0, y0)有定義，給有定義，給x0以增以增量量 x, 且使且使(x0+ x, y0) U(x0, y0)，稱稱),(),(0000yxfyyxfzy ),(),(0000yxfyxxfzx 為為 f (x, y)在點在點(x0, y0)處關(guān)于處關(guān)于x的偏增量的偏增量. 為為 f (x, y)在點在點(x0, y0)處關(guān)于處關(guān)于y的偏增量的偏增量.類似地稱類似地稱一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法1. 定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz

2、 在點在點),(00yx的某一鄰域內(nèi)有的某一鄰域內(nèi)有定義，當定義，當 y固定在固定在0y而而 x 在在 0 x處有增量處有增量 x 時，相應地函數(shù)有增量時，相應地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對 x的偏導數(shù)，記為的偏導數(shù)，記為 ,00yyxxxz ,00yyxxxf 或或00yyxxxz ),(00yxfx),(00yxfx x,yxf )(00定義定義同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對 y

3、 的偏的偏導數(shù)，導數(shù)， 為為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 由定義知由定義知y,yxf )(00記為記為,00yyxxyz ,00yyxxyf 00yyxxyz ),( 00yxfy或或如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點內(nèi)任一點),(yx處對處對x的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz 對對自變量自變量x的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx. 同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數(shù)，記作數(shù)，記

4、作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 求求(1) 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例1.)2 (12sin) ,( )2(3處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)，在點在點求求 yxyxf

5、解：解：yxyfyxxf2cos2,2sin332 02sin3212)2, 1( yxyxxf22cos2213)2, 1( yxyxyf設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx，求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例2. 222的偏導數(shù)的偏導數(shù)求求zyxu 解：解：22222zyxxxu 222zyxx 同理同理，222zyxyyu 222zyxzzu 例例3已已知知理理想想氣氣體體的的狀狀態(tài)態(tài)方方程程RTpV （R為為常常數(shù)數(shù)） ，求求證證：1 pTTVVp.證

6、證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 例例4偏導數(shù)偏導數(shù)xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),( . 5yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例 有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：1. 3.求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 2. 偏導數(shù)的計算關(guān)鍵在于：分清變量與常量，偏導數(shù)的計算關(guān)鍵在于：分清變量與常量，其本質(zhì)是一元函數(shù)的導數(shù)。其本質(zhì)是一元函數(shù)

7、的導數(shù)。偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù).2. 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，例例63. 偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 tan),(00 xyxf tan),(00 yyxfT2xyz

8、x0y0T1 1 2 M00P0 偏導數(shù)偏導數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線xTM0對對x軸的軸的斜率斜率. 偏導數(shù)偏導數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線yTM0對對y軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義:),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高

9、階定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)同樣可得同樣可得n階偏導數(shù)階偏導數(shù)(n=3, 4,)設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例7原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導函數(shù)圖形導函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導觀察上例中原函數(shù)、偏導

10、函數(shù)與二階混合偏導函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系：例例8 求求.arctan 的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù)xyz 解：解：2222)()(11yxyxyxyxz 2222222)(2)(yxyyxyxz ,)(222222yxxyxz 22222)(yxxy 2222222)(2)(yxxyxxyz 22222)(2yxxyyz 2221)(11yxxxxyyz ，22222)(yxxy 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導導數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .s

11、in2byabexyuax 例例9 0, 0 0,),( 22222222yxyxyxyxxyyxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))0 , 0(),0 , 0(yxxyff求求解解 0, 0 0,4),(22222222244yxyxyxyxyxyyxfx 0, 0 0,4),(22222222244yxyxyxyxyxxyxfy例例10yfyfxxy )0 , 0(), 0(lim0 )0 , 0(xyf1lim440 yyyyyxfxfyyx )0 , 0()0 ,(lim0 )0 , 0(yxf1lim440 xxxxx )0 , 0(xyf)0 , 0(yxf問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？驗證函數(shù)驗證函數(shù)22ln),(yxyxu 滿足拉滿足拉普拉斯方程普拉斯方程. 02222 yuxu例例11解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導純