自動控制原理-閉環(huán)零點對二階系統(tǒng)的暫態(tài)影響分析

1、閉環(huán)零點對二階系統(tǒng)暫態(tài)的影響作者:智世寧 班級：10電本2班 學號：4100208211摘要二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是典型的二階系統(tǒng)。因此分析二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，對于研究自動控制系統(tǒng)的暫態(tài)特性具有重要意義。在實際工作中，在一定的條件下，常常需要把一個高階系統(tǒng)降為二階系統(tǒng)來處理，這樣的近似處理可以大大簡化分析方法，減少計算量，而且任然不失其運動過程的基本性質(zhì)。二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應(yīng)雖有振蕩，但阻尼比取值恰當，則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因此在控制過程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計為欠阻尼的情況。大多數(shù)高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則該系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)就可以近似的用這對主導(dǎo)極點所描述的二

2、階系統(tǒng)來表達。本論文是通過直接求解系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通過對設(shè)零點系統(tǒng)與未設(shè)零點系統(tǒng)上升時間、峰值時間、最大超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等暫態(tài)特性各個方面的對比，以及零點位置的變化對各動態(tài)性能變化趨勢最終找到閉環(huán)零點對實際二階系統(tǒng)的作用效果。關(guān)鍵字：暫態(tài)響應(yīng) 動態(tài)指標 單位階躍 二階系統(tǒng) 欠阻尼 閉環(huán)零點 0 引言由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。欠阻尼振蕩的二階系統(tǒng)在實際中可以看成是穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此分析欠阻尼系統(tǒng)具有實際意義。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是反映二階系統(tǒng)本質(zhì)的重要表現(xiàn)形式。我們在實際生產(chǎn)過程中，二階系統(tǒng)總是需要滿足工程最佳參數(shù)的要求，但是通過改變開環(huán)放大系

3、數(shù)的方法可能會增大系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。因此需要通過設(shè)置零點的方法從而達到既滿足工程所需的阻尼比，又保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的目的。正是由于閉環(huán)零點對二階系統(tǒng)如此重要，所以此文主要分析閉環(huán)零點對二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。1 二階系統(tǒng)的描述一個系統(tǒng)的階次是由其最簡閉環(huán)傳遞函數(shù)分母S的最高次項的冪決定的。而二階系統(tǒng)就是以2為S的最高次冪的閉環(huán)傳遞函數(shù)所對應(yīng)的系統(tǒng)典型。簡單來說，由二階微分方程所描述的系統(tǒng)就叫做二階系統(tǒng)。1.1 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù) 圖1.1-1 二階系統(tǒng)標準形式的結(jié)構(gòu)圖由圖可知：二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 1.2 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)當輸入單位階躍信號時 ，可得該二

4、階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 為： 求其拉氏反變換有 （） 其中阻尼振蕩角頻率： ，阻尼角：1.3 二階系統(tǒng)極點分布圖圖1.3-1 時的極點分布圖1.4 二階系統(tǒng)動態(tài)特性1.4.1 上升時間 （系統(tǒng)輸出量第一次達到穩(wěn)態(tài)值時所用的時間）令中 時 得 在系統(tǒng)沒有達到最后的穩(wěn)定以前，為滿足上式，使得 1.4.2 峰值時間 (系統(tǒng)輸出量第一次達到最大值時所用的時間)令中 則第一個峰值對應(yīng)的時間 1.4.3 最大超調(diào)量 （發(fā)生在第一個周期的峰值時間處）由于 且在單位階躍輸入下，穩(wěn)定值因此得 1.4.4 調(diào)節(jié)時間 （與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許范圍而不再超出的動態(tài)過程時間）（） （） 2 具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)分

5、析2.1 具有零點的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù) 圖2.1-1 帶零點的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖具有零點的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其中為時間常數(shù)。令=z，則上式可寫為如下形式：由式可得，該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有零點，將式分解，由 得 2.2 具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為求其階躍響應(yīng)，設(shè)，取初始條件為零，則Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反變換為求出中兩項然后相加即得輸出量，經(jīng)過運算得上述式子中的“l(fā)”為極點與零點間的距離，在復(fù)平面上畫出其位置（假設(shè)零點在極點左側(cè)）Zl-Zjw圖2.2-1 復(fù)平面上的零點與極點分布由上圖可知：故式子可以寫成：式子中：令，則上式中的可以寫為r代表閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點的實

6、部與零點實部之比。因此式子可以寫為：（）由此計算得到了典型的具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式，即為公式。3 具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標由公式得到了具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式： 3.1上升時間在動態(tài)過程中，系統(tǒng)的輸出第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間。根據(jù)定義在公式中令時，得=0但在期間，即沒有達到最終穩(wěn)定之前，>0，所以使上式為零的原因是=0，因此討論=0所出現(xiàn)的情況。由=0得：=3.2 最大超調(diào)量%最大超調(diào)量發(fā)生在第一周期中時刻，即導(dǎo)數(shù)為0的時刻。得因此即 因為第一次達到最大值經(jīng)過時間，因此n取值為1，當n=1時，由于 且在單位階躍輸入下，穩(wěn)定值因此得 3.3

7、調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許的范圍而不再超出的動態(tài)過程時間。在動態(tài)過程中的偏差為當時采用近似計算法得到： （或0.02）由此求得調(diào)節(jié)時間為：，0<<0.9,0<<0.93.4 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，波動的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為：其中為阻尼振蕩的周期時間。4 閉環(huán)零點的不同對二階系統(tǒng)動態(tài)指標的影響4.1對上升時間的影響上升時間由上式可以看出上升時間受到，的影響，當，一定的時候，上升時間只與有關(guān)。 -p1-zzz-z-p1-z-p1z 圖4 零點實部大于極點實部 圖3 零點實部等于極點實部 圖2 零點實部小于極點實部 由圖2，圖3，圖4

8、可以看出隨著z值的減小，零點越來越靠近虛軸，值逐漸增大，由可得逐漸減小。4.2 對最大超調(diào)量%影響超調(diào)量 由式子可以看出，的值隨的值增大而減小，結(jié)合圖3.1-1，圖3.1-2，圖2，圖3，圖4得到結(jié)論：z值逐漸減小，值逐漸增大，逐漸減小，超調(diào)量逐漸增大。4.3 對調(diào)節(jié)時間的影響調(diào)節(jié)時間，0<<0.9,0<<0.9由上面的兩個式子可以看出，具有零點的二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間只與和有關(guān)，與z的大小無關(guān)。4.4 振蕩次數(shù)其中為阻尼振蕩的周期時間。由上述公式可以看出，振蕩次數(shù)只與與阻尼和振蕩角頻率有關(guān)，因此振蕩次數(shù)不受零點的位置影響，即與零點的大小無關(guān)。5 閉環(huán)零點的不同對二階系統(tǒng)暫

9、態(tài)響應(yīng)的影響具有零點的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)：下面是在極點位置不同（值不同）的情況下隨著閉環(huán)零點不斷向負無窮移動過程中對系統(tǒng)的暫停態(tài)響應(yīng)的圖形當，系統(tǒng)無零點的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖當，的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖當，的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖當，的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖 當，系統(tǒng)無零點的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖當，的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖當，的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖當，的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖6 總結(jié)通過上述分析可以看出，有具有零點的二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標與無零點的系統(tǒng)有很大的差別。無零點的上升時間只與阻尼和振蕩角頻率有關(guān)，而在具有零點的二階系統(tǒng)中，上升時間還與零點的實部有關(guān)，反映到圖像上，即零點離虛軸越近上升時間越小。由可知，r值越大，振蕩性就越強。最大超調(diào)量%也與零點的位置有關(guān)，z值越小，值越大，影響的值變小。調(diào)節(jié)時間只與阻尼和振蕩角頻率有關(guān)，所以不受零點位置的影響，同樣，振蕩次數(shù)也不受其影響。參考文獻：【1】王建