傅里葉級數(shù)和傅里葉變換

1、傅里葉級數(shù)和傅里葉變換內(nèi)容傅里葉級數(shù)1. 周期函數(shù)的傅里葉展開2. 奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開3. 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)傅里葉積分1. 實數(shù)形式的傅里葉積分2. 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分3. 傅里葉變換式的物理意義頻譜傅里葉變換1. 傅里葉變換的定義2. 多維傅氏變換3. 廣義傅里葉變換(不要求)積分變換(不要求)一個有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象otu11 1,0( )1,0tu tt 矩形波當(dāng)當(dāng) sin( ),sin(2 ),sin(3 )ttt 正弦波，矩形波可看成如下各不同頻率正弦波的逐個疊加矩形波可看成如下各不同頻率正弦波的逐個疊加44 14 14 1sin ,sin3 ,sin5 ,sin7 ,357

2、tttt4sint41(sinsin3 )3tt411(sinsin3sin5 )35ttt4111(sinsin3sin5sin7 )357tttt41111(sinsin3sin5sin7sin9 )3579ttttt4111( )(sinsin3sin5sin7)357 (,0)u ttttttt 物理意義：把一個比較復(fù)雜的周期運動物理意義：把一個比較復(fù)雜的周期運動看成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加?？闯墒窃S多不同頻率的簡諧振動的疊加。一點歷史 1807年法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J. Fourier, 1768-1830)在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角

3、函數(shù)的無窮級數(shù)，但遭到拉格朗日(Lagrange)的強(qiáng)烈反對,論文從未公開露面過。 1822年，他在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了熱的分析理論，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。傅里葉、傅利葉、傅立葉Fourier傅里葉變換 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為較簡單的運算，人們常采用變換的方法來達(dá)到目的例如較簡單的運算，人們常采用變換的方法來達(dá)到目的例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較簡單的加法和減法運算在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎趾唵蔚募?/p>

4、法和減法運算在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，正是積分變換析運算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一為重要的方法之一積分變換的理論方法積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸不僅在數(shù)學(xué)的諸多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無線電技術(shù)以及信號處理例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無線電技術(shù)以及信號處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用等方面，作為一種研究

5、工具發(fā)揮著十分重要的作用 7.1 傅里葉級數(shù)( )f x2l7.1.1周期函數(shù)的傅里葉展開周期函數(shù)的傅里葉展開定義定義7.1.1 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 傅里葉級數(shù)展開式傅里葉級數(shù)展開式 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 若函數(shù)若函數(shù) 以以為為周期周期，即，即為為(2 )( )f xlf x的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域為的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域為 ，則可取三角，則可取三角函數(shù)族函數(shù)族(7.1.2) 作為作為基本函數(shù)族基本函數(shù)族，將，將 展開為展開為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)（即下式右端（即下式右端級數(shù)）級數(shù)） (7.1.3) , l l21, cos, cos,., cos,.2 sin, sin,.,

6、sin,.xxk xlllxxk xlll( )f x01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll式（式（7.1.3）稱為周期函數(shù)）稱為周期函數(shù) 的的傅里葉級數(shù)展開式傅里葉級數(shù)展開式（簡稱傅氏級數(shù)展開），其中的展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（簡（簡稱傅氏級數(shù)展開），其中的展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（簡稱傅氏系數(shù)）稱傅氏系數(shù)） 函數(shù)族函數(shù)族 (7.1.2)是正交的即為：是正交的即為：其中任意兩個函數(shù)的乘其中任意兩個函數(shù)的乘積在一個周期上的積分等于零積在一個周期上的積分等于零，即，即( )f x利用三角函數(shù)族的正交性，可以求得利用三角函數(shù)族的正交性，可以求得(7.1.3)的展開系數(shù)為的展開系數(shù)

7、為1 cosd0 (0) 1 sind0 coscosd0 () sinsind0 ()cossind0 llllllllllk xxklk xxlk xn xxknllk xn xxknllk xn xxll 積化和差公式積分積化和差公式積分 （7.1.4）關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題，有如下定理：關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題，有如下定理： 狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）定理）定理 7.1.1 若函數(shù)若函數(shù) 滿足條件：滿足條件： 01( )d21( )cos()d1( )sin()d lllkllklaf xxlk xaf xxllk xbf xxll( )f x(1) 處處連續(xù)，或在

8、每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點；處處連續(xù)，或在每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點； (2) 在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則級數(shù)（在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則級數(shù)（7.1.3）收斂，）收斂，則則在在收斂點收斂點有：有： 在在間斷點間斷點有：有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll011 (0)(0)(cossin)2kkkk xk xf xf xaabll7.1.2 奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開定義定義 7.1.2 傅里葉正弦級數(shù)傅里葉正弦級數(shù) 傅里葉余弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù)若周期函數(shù)若周期函數(shù) 是是奇函數(shù)奇函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)的計算公式，則

9、由傅里葉系數(shù)的計算公式(7.1.4)可見，所有可見，所有 均等于零，展開式均等于零，展開式(7.1.3)成為成為 (7.1.5)這叫作這叫作傅里葉正弦級數(shù)傅里葉正弦級數(shù)容易檢驗（容易檢驗（7.1.5）中的正弦級數(shù)在）中的正弦級數(shù)在 處為零處為零 ( )f x0,ka a1( )sinkkk xf xbl0,xxl由于對稱性，其展開系數(shù)為由于對稱性，其展開系數(shù)為若周期函數(shù)若周期函數(shù) 是偶函數(shù)是偶函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)計算公，則由傅里葉系數(shù)計算公式可見，所有式可見，所有 均等于零，展開式均等于零，展開式(7.1.3)成為成為 (7.1.6)這叫作這叫作傅里葉余弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù) 02( )sin(

10、)d lkk xbf xxll( )f xkb01( )coskkk xf xaal同樣由于同樣由于對稱性對稱性，其，其展開系數(shù)展開系數(shù)為為(7.1.7)由于余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級數(shù)，所以余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在由于余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級數(shù)，所以余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在 處為零處為零 而對于定義在有限區(qū)間上的非周期函數(shù)而對于定義在有限區(qū)間上的非周期函數(shù) 的傅里葉級的傅里葉級數(shù)展開，需要采用類似于高等數(shù)學(xué)中的延拓法，使其延拓為周數(shù)展開，需要采用類似于高等數(shù)學(xué)中的延拓法，使其延拓為周期函數(shù)期函數(shù)02( )cos()d lkk xaf xxll0,xxl( )g x7.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

11、定義定義7.1.3 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 取一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)取一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)(7.1.8)作為作為基本函數(shù)族基本函數(shù)族，可以將周期函數(shù)，可以將周期函數(shù) 展開為復(fù)數(shù)形式的展開為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) (7.1.9)22iiiiii,1,k xxxxxk xlllllleeeeee( )f xi()kxlkkfxC e 利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的正交性正交性，可以求出復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)，可以求出復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù) (7.1.10)式中式中“*”代表復(fù)數(shù)的共軛代表復(fù)數(shù)的共軛 上式上式(7.1.9)的的物理意義物理意義為一個周期為為一個周期為2l 的函數(shù)的函

12、數(shù) 可以分解可以分解為頻率為為頻率為，復(fù)振幅為，復(fù)振幅為 的復(fù)簡諧波的疊加的復(fù)簡諧波的疊加 稱為譜點，稱為譜點，所有譜點的集合稱為譜對于周期函數(shù)所有譜點的集合稱為譜對于周期函數(shù) ( )f x而言，譜是離散的而言，譜是離散的( )f xii*11( ) d( )d22k xk xllllkllCf x exf x exllnlncnl( )f x盡管盡管 是實函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)，是實函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)，且滿足：且滿足： 或或 (7.1.11)7.2 實數(shù)與復(fù)數(shù)形式的傅里葉積實數(shù)與復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分分 上一節(jié)我們討論了周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，下面討論非上一節(jié)我們討論

13、了周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，下面討論非周期函數(shù)的級數(shù)展開周期函數(shù)的級數(shù)展開 7.2.1 實數(shù)形式的傅里葉積分實數(shù)形式的傅里葉積分( )f x*kkCCkkCC定義定義 7.2.1 實數(shù)形式的傅里葉變換式實數(shù)形式的傅里葉變換式 傅里葉積分傅里葉積分 傅里葉積分表示式傅里葉積分表示式設(shè)非周期函數(shù)設(shè)非周期函數(shù) 為一個周期函數(shù)為一個周期函數(shù) 當(dāng)周期當(dāng)周期 2l 時的極限情形這樣，時的極限情形這樣， 的傅里葉級數(shù)展開式的傅里葉級數(shù)展開式(7.2.1)在在 時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù) ( )f x的傅里葉展開下面我們研究這一極限過程：的傅里葉展開下面我們研究這

14、一極限過程：( )f x( )g x( )g x01( )(cossin)kkkk xk xg xaablll 設(shè)不連續(xù)的參量設(shè)不連續(xù)的參量 故（故（7.2.1）為）為 （7.2.2） 傅里葉系數(shù)為傅里葉系數(shù)為(7.2.3) 1 (0,1,2,), kkkkkkll01( )(cossin)kkkkkg xaaxbx01( )d21( )cosd1( )sind lllkkllkklaf xxlaf xxxlbf xxxl代入到代入到 (7.2.2)，然后取，然后取 的極限的極限 對于系數(shù)對于系數(shù) ，若，若 有限，則有限，則 而而余弦部分余弦部分為為當(dāng)當(dāng) ，不連續(xù)參變量，不連續(xù)參變量 變?yōu)樽優(yōu)?/p>

15、 連續(xù)參量，以符號連續(xù)參量，以符號 代替對代替對 的求和變?yōu)閷B續(xù)參量的求和變?yōu)閷B續(xù)參量 l 0alim( )dlllf xx,0kll kk01limlim( )d02llllaf xxl的積分，上式變?yōu)榈姆e分，上式變?yōu)橥砜傻谜也糠滞砜傻谜也糠秩袅钊袅睿?.2.4）01( )cosd cosdf xxxx01( )cosd cosdf xxxx01( )sind sindf xxxx1( )( )cosd1( )( )sindAf xxxBf xxx式（式（7.2.4）稱為）稱為 的（實數(shù)形式）傅里葉變換式的（實數(shù)形式）傅里葉變換式 故（故（7.2.2）在）在 時的極限形式變?yōu)椋ㄗ?/p>

16、意到時的極限形式變?yōu)椋ㄗ⒁獾?） (7.2.5)上式上式(7.2.5)右邊的積分稱為右邊的積分稱為（實數(shù)形式）（實數(shù)形式）傅里葉積分傅里葉積分 (7.2.5)式稱為式稱為非周期函數(shù)非周期函數(shù) 的（實數(shù)形式）傅里的（實數(shù)形式）傅里 葉積分表示式葉積分表示式 ( )f xl ( )( )g xf x00( )( )cosd( )sindf xAxBx( )f x事實上，上式（事實上，上式（7.2.5）還可以進(jìn)一步改寫為）還可以進(jìn)一步改寫為（7.2.6） 上式上式(7.2.6)的物理意義為：的物理意義為： 稱為稱為 的的振幅譜振幅譜， ( ) 稱為稱為 的的相位譜相位譜可以對應(yīng)于物理現(xiàn)象中波動（或振

17、動）可以對應(yīng)于物理現(xiàn)象中波動（或振動）120022( ) ( )cos( )sind( )( )cos( )d( )( )( ) , ( )arctan ( )/ ( )f xAxBxf xCxxCABBA ( )C( )f x( )f x我們把上述推導(dǎo)歸納為下述嚴(yán)格定理：我們把上述推導(dǎo)歸納為下述嚴(yán)格定理： 1傅里葉積分定理傅里葉積分定理定理定理7.2.1 傅里葉積分定理傅里葉積分定理 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上滿足條件上滿足條件（1）( )f x在任一有限區(qū)間上滿足在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷狄利克雷條件；條件；（2） 在在 上絕對可積，則上絕對可積，則 里葉積分形式（里葉積分形式（7.

18、2.5)， 可表為傅可表為傅且在且在 的連續(xù)點處傅里葉積分值的連續(xù)點處傅里葉積分值 ( )f x(,) ( )f x( )f x(,) ( )f x( )f x；在間斷點處傅里葉積分值；在間斷點處傅里葉積分值 2奇函數(shù)的傅里葉積分奇函數(shù)的傅里葉積分定義定義 7.2.2 實數(shù)形式的傅里葉正弦積分實數(shù)形式的傅里葉正弦積分 傅里葉正弦變換傅里葉正弦變換 若若 ( )f x為奇函數(shù)，我們可推得奇函數(shù)為奇函數(shù)，我們可推得奇函數(shù) ( )f x分為傅里葉正弦積分：分為傅里葉正弦積分： 的傅里葉積的傅里葉積(7.2.7)式（式（7.2.7）滿足條件）滿足條件 (0)0f其中其中 ( )B是是 ( )f x的的

19、傅傅 里葉正弦變換：里葉正弦變換： 0( )()sindf xBx( )f x( )f x(0)0f( )B( )f x (0)(0)2f xf x( )f x（7.2.8） 3. 偶函數(shù)的傅里葉積分偶函數(shù)的傅里葉積分定義定義 7.2.3 實數(shù)形式的傅里葉余弦積分實數(shù)形式的傅里葉余弦積分 傅里葉余弦變換傅里葉余弦變換若若 ( )f x為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， ( )f x的傅里葉積分為的傅里葉積分為傅里葉余弦積分傅里葉余弦積分：(7.2.9) 02( )( )sindBf xx x( )f x02( )() cosdfxAx( )f x式（式（7.2.9）滿足條件）滿足條件 其中其中 是是 ( )

20、f x的的傅里葉余弦變換傅里葉余弦變換： （7.2.10） 上述公式可以寫成另一種對稱的形式上述公式可以寫成另一種對稱的形式（7.2.11）(0)0f ( )B02( )( )cosdAf xx x2020( )( )sind( )( )sindf xBxBf xxx(7.2.12)7.2.2 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分定義定義7.2.4 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式 對于上述實數(shù)形式的傅里葉變換，我們覺得還不夠緊湊下對于上述實數(shù)形式的傅里葉變換，我們覺得還不夠緊湊下面我們討論復(fù)數(shù)形式的傅氏積分與變換，而且很多情形下，復(fù)數(shù)

21、面我們討論復(fù)數(shù)形式的傅氏積分與變換，而且很多情形下，復(fù)數(shù)2020( )( )cosd( )( )cosdf xAxAf xx x形式（也稱為指數(shù)形式）的傅氏積分變換使用起來更加方便形式（也稱為指數(shù)形式）的傅氏積分變換使用起來更加方便 利用利用歐拉公式歐拉公式則有則有 代入式（代入式（7.2.5）得到）得到iiii11cos(), sin()22ixxxxxeexeeii0011( ) ( ) i ( )d ( ) i ( )d22xxf xABeABe將右端的第二個積分中的將右端的第二個積分中的 換為換為，則，則 上述積分能合并為上述積分能合并為 (7.2.13)其中其中0ii011( ) (

22、 ) i ( )d (|) i (|)d22xxf xABeABei( )( )dxf xFe ( )i ( )/ 2, (0)( ) (|)i (|)/ 2, (0)ABFAB將（將（7.2.4）代入上式可以證明無論對于）代入上式可以證明無論對于 ，還是，還是 均可以均可以合并合并為為 （7.2.14）證明證明：（：（1） 時時 （2） 時時00i*1()( ) d2xFf xex00i*11( )( )cos()isin()d( ) d22xFf xxxxf x ex 證畢證畢 （7.2.13）是）是 的復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分表示式的復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分表示式,（7.2.14）則是）則是的復(fù)

23、數(shù)形式的傅里葉變換式的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式上述變換可以寫成另一種上述變換可以寫成另一種對稱的傅氏變換（對）形式對稱的傅氏變換（對）形式i| |ii*11( )( )cos|isin | )d( )d2211( )d( ) d22xxxFf xxxxf x exf x exf x ex( )f x( )f x（7.2.15）7.2.3 傅里葉變換式的物理意義傅里葉變換式的物理意義頻譜頻譜 傅氏變換和頻譜概念有著非常密切的聯(lián)系頻譜這個術(shù)語來傅氏變換和頻譜概念有著非常密切的聯(lián)系頻譜這個術(shù)語來自于光學(xué)自于光學(xué).通過對頻譜的分析，可以了解周期函數(shù)和非周期函數(shù)的通過對頻譜的分析，可以了解周期函數(shù)和非周期

24、函數(shù)的一些基本性質(zhì)一些基本性質(zhì). i12i12( )( )d( )( )dxxf xFeFf x ex若已知若已知 是以是以 為周期的周期函數(shù)，且滿足為周期的周期函數(shù)，且滿足狄利狄利克雷條件，則可展成傅里葉級數(shù)克雷條件，則可展成傅里葉級數(shù) (7.2.16) 其中其中 2 nnnT,我們將我們將 稱為稱為 的第的第次次諧波諧波，稱為第稱為第次次諧波的頻率諧波的頻率( )f xT01( )(cossin)nnnnnf xaaxbx2 nnnTcossinnnnnaxbx( )f xnnn由于由于其中其中 稱為初相，稱為初相， 22nnba 稱為第稱為第 次諧波的振幅，記為次諧波的振幅，記為 ，即，

25、即 00Aa（7.2.17） 22cossincos()nnnnnnnnaxbxabxarctannnnbannA22 (1,2,)nnnAabn若將傅里葉級數(shù)表示為復(fù)數(shù)形式，即若將傅里葉級數(shù)表示為復(fù)數(shù)形式，即 (7.2.18)其中其中 恰好是恰好是 次諧次諧波的振幅的一半波的振幅的一半.我們稱我們稱 為為復(fù)振幅復(fù)振幅.顯然顯然 n次諧波的振幅次諧波的振幅與復(fù)振幅有下列關(guān)系：與復(fù)振幅有下列關(guān)系：i( )nxnnf xC e221| |22nnnnnACCabnnCn （7.2.19）當(dāng)取當(dāng)取 這些數(shù)值時，相應(yīng)有不同的頻率這些數(shù)值時，相應(yīng)有不同的頻率 和不同的振幅，所以式和不同的振幅，所以式(7

26、.2.19)描述了各次諧波的振幅隨頻率變化描述了各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況頻譜圖通常是指頻率和振幅的關(guān)系圖的分布情況頻譜圖通常是指頻率和振幅的關(guān)系圖. nA稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的振幅頻譜（簡稱頻譜）振幅頻譜（簡稱頻譜）. 若用橫坐標(biāo)表示頻率若用橫坐標(biāo)表示頻率 ，縱坐標(biāo)表示振幅，縱坐標(biāo)表示振幅 ，把點，把點 2| (0,1,2,)nnACn0,1,2,n ( )f xnnAnA用圖形表示出來，這樣的圖用圖形表示出來，這樣的圖形就是頻譜圖形就是頻譜圖. 由于由于 ,所以頻譜所以頻譜 不連續(xù)的，稱之為不連續(xù)的，稱之為離散頻譜離散頻譜的圖形是的圖形是7.3 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義7.

27、3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義(,), (0,1,2,)nnAn0,1,2,n nA化學(xué)中的頻譜 光譜 1991年 諾貝爾化學(xué)獎 Richard R. Ernst主要貢獻(xiàn)之一：傅里葉變換核磁共振譜 傅里葉變換紅外光譜(Fourier Transform Infrared, FT-IR) 由上一節(jié)對實數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分的討論，最后我由上一節(jié)對實數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分的討論，最后我們以簡潔的復(fù)數(shù)形式（即指數(shù)形式）作為傅里葉變換的定義們以簡潔的復(fù)數(shù)形式（即指數(shù)形式）作為傅里葉變換的定義定義定義7.3.1 傅里葉變換傅里葉變換 若若 滿足傅氏積分定理條件，滿足傅氏積分定理條件，稱表達(dá)

28、式稱表達(dá)式 （7.3.1） 為為 ( )f x的的傅里葉變換式傅里葉變換式,記作記作 我們我們稱函數(shù)稱函數(shù) 為為 的傅里葉變換，簡稱的傅里葉變換，簡稱傅氏變換傅氏變換( )f x i( )dxFf x ex( )f x( ) ( )Ff xF( )F( )f x（或稱為像函數(shù)）（或稱為像函數(shù)）定義定義7.3.2 傅里葉逆變換傅里葉逆變換 如果如果 (7.3.2)則上式為則上式為 的的傅里葉逆變換式傅里葉逆變換式，記為，記為 我們稱我們稱 為為 （或稱為像原函數(shù)或原函數(shù)）（或稱為像原函數(shù)或原函數(shù)）的的傅里葉逆變換，簡稱傅氏逆變換傅里葉逆變換，簡稱傅氏逆變換 i1( )d2xf xFe( )f x

29、1( ) ( )f xFF( )f x( )F 由（由（7.3.1）和（）和（7.3.2）知傅里葉變換和傅里葉逆變換是）知傅里葉變換和傅里葉逆變換是互互逆變換逆變換，即有，即有 (7.3.3)或者簡寫為或者簡寫為 7.3.2 多維傅氏變換多維傅氏變換在多維（在多維（ 維）情況下，完全可以類似地定義函數(shù)維）情況下，完全可以類似地定義函數(shù) 111( )( )( )( )Ff xf xf xFFFF F1( )( )f xf xF Fn的的傅氏變換傅氏變換如下：如下： 它的它的逆變換公式逆變換公式為：為：7.3.3 傅里葉變換的三種定義式傅里葉變換的三種定義式12( ,)nf x xx1 12 21

30、212()1212(,) ( ,)( ,)n nnnixxxnnFF f x xxf x xx edxdxdx 1 12 212i()12121( ,)(2)(,)dddn nnnxxxnnf x xxFe 在實際應(yīng)用中，傅里葉變換常常采用如下三種形式，由于在實際應(yīng)用中，傅里葉變換常常采用如下三種形式，由于它們采用不同的定義式，往往給出不同的結(jié)果，為了便于相互它們采用不同的定義式，往往給出不同的結(jié)果，為了便于相互轉(zhuǎn)換，特給出如下關(guān)系式：轉(zhuǎn)換，特給出如下關(guān)系式：1.第一種定義式第一種定義式2.第二種定義式第二種定義式ii1111( )( )d , ( )( )d22xxFf x exf xFei

31、i221( )( )d , ( )( )d2xxFf x exf xFe3.第三種定義式第三種定義式三者之間的關(guān)系為三者之間的關(guān)系為 三種定義可統(tǒng)一用下述變換對形式描述三種定義可統(tǒng)一用下述變換對形式描述i2i233( )( )d , ( )( )dxxFf t exf xFe12311( )( )()222FFF1( ) ( ) ( ) ( )Ff xf xFFF 特別說明：不同書籍可能采用了不同的傅氏變換對定義，特別說明：不同書籍可能采用了不同的傅氏變換對定義，所以在傅氏變換的運算和推導(dǎo)中可能會相差一個常數(shù)倍數(shù)比如所以在傅氏變換的運算和推導(dǎo)中可能會相差一個常數(shù)倍數(shù)比如 11,22 ，讀者應(yīng)能

32、理解本書采用的傅氏變換，讀者應(yīng)能理解本書采用的傅氏變換(對對)是大量是大量書籍中常采用的統(tǒng)一定義書籍中常采用的統(tǒng)一定義, 若未特殊申明，均使用的是第二種若未特殊申明，均使用的是第二種定義式定義式 ii( )d 1( )d2xxFf x exf xFe1( ) ( ) ( ) ( )Ff xf xFFF11,22傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn) “周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)信號的加權(quán)和和”傅里葉的第一個傅里葉的第一個主要論點主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分積分表示表示”傅里葉的第二個主要論

33、點傅里葉的第二個主要論點7.3.4 廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換(不要求不要求) 前面我們定義的傅氏變換要求滿足狄利克雷條件，那么對前面我們定義的傅氏變換要求滿足狄利克雷條件，那么對一些很簡單、很常用的函數(shù)，例如單位階躍函數(shù)，正、余弦函一些很簡單、很常用的函數(shù)，例如單位階躍函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都無法確定其傅氏變換這無疑限制了傅氏變換的應(yīng)用數(shù)等都無法確定其傅氏變換這無疑限制了傅氏變換的應(yīng)用所以我們引入廣義傅氏變換概念系指所以我們引入廣義傅氏變換概念系指 函數(shù)及其相關(guān)函數(shù)函數(shù)及其相關(guān)函數(shù)的傅氏變換的傅氏變換 在后面我們將看到，在后面我們將看到， 函數(shù)的傅氏變換在求解數(shù)理方程中有函數(shù)的傅氏變換在求解

34、數(shù)理方程中有著特殊的作用著特殊的作用 這里先介紹其有關(guān)基本定義和性質(zhì)這里先介紹其有關(guān)基本定義和性質(zhì)1. 函數(shù)定義函數(shù)定義 定義定義7.3.3 函數(shù)函數(shù) 如果一個函數(shù)滿足下列條件，則稱之為如果一個函數(shù)滿足下列條件，則稱之為 函數(shù)，并記為函數(shù)，并記為 ( )x (7.3.4) 且且 (7.3.5)0, 0( ), 0 xxx()d1xx我們不加證明地指出與定義我們不加證明地指出與定義7.3.3等價的等價的 函數(shù)的另一定義函數(shù)的另一定義 定義定義7.3.4 函數(shù)函數(shù) 如果對于任意一個在區(qū)間如果對于任意一個在區(qū)間 上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù) ( )f t恒有恒有 則稱滿足上式中的函數(shù)則稱滿足上式中的函數(shù)

35、 為為函數(shù)函數(shù)， 對于任意的連續(xù)可微函數(shù)對于任意的連續(xù)可微函數(shù) ,定義定義 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (,) 00() ( )d()xxf xxf x0()xx( )f t( )x( )f t （7.3.6）根據(jù)上式顯然有根據(jù)上式顯然有（7.3.7）由由函數(shù)定義函數(shù)定義7.3.4有有 (7.3.8)( ) ( )d( )( )dx f xxx fxx ( )( )( ) ( )d( 1)( )( )d , 1,2,3,nnnx f xxx fxxn ( )( )( )000() ( )d( 1)()( )d( 1)()nnnnnxxf xxxxfxxfx 2. 函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 對于

36、對于 的實常數(shù)，有的實常數(shù)，有 (7.3.9)性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè) ，則，則 當(dāng)當(dāng) 時，即對應(yīng)為時，即對應(yīng)為 ，故為，故為偶函偶函數(shù)數(shù)0a 1()( )|axxa0,1,2,n ( )( )()( 1)( )nnnxx 0n ()( )xx( )f t所謂積分變換所謂積分變換，就是把某函數(shù)類，就是把某函數(shù)類A中的任意一個函數(shù)中的任意一個函數(shù)，經(jīng)過某種，經(jīng)過某種可逆的積分方法可逆的積分方法（即為通過含參變量（即為通過含參變量的積分）的積分）變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類 B中的函數(shù)中的函數(shù) 這里這里 是一個確是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核該積分變換的核 稱為稱為 的

37、的像函數(shù)或簡稱為像像函數(shù)或簡稱為像， 稱為稱為 的的原函數(shù)原函數(shù)()( )( ,) dbaFft Ktt( ),F( , )K t( )F( )f t( )f t( )F( )f t 在這樣的積分變換下，微分運算可變?yōu)槌朔ㄟ\算，原來的偏在這樣的積分變換下，微分運算可變?yōu)槌朔ㄟ\算，原來的偏微分方程可以減少自變量的個數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；微分方程可以減少自變量的個數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像原來的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像函數(shù)類函數(shù)類B中找到解的像；再經(jīng)過逆變換，便可以得到原來要在中找到解的像；再經(jīng)過逆變換，便可以得

38、到原來要在A中所求的解，而且是顯式解中所求的解，而且是顯式解 另外需要說明的是，當(dāng)選取不同的另外需要說明的是，當(dāng)選取不同的積分區(qū)域和核函數(shù)積分區(qū)域和核函數(shù)時，時，就得到不同名稱的就得到不同名稱的積分變換積分變換: （1）特別當(dāng)核函數(shù)）特別當(dāng)核函數(shù) （注意已將積分參（注意已將積分參變量變量改寫為變量改寫為變量），當(dāng)），當(dāng)，則，則稱函數(shù)稱函數(shù) 為函數(shù)為函數(shù) 的的傅里葉（傅里葉（Fourier）變換，）變換，簡稱簡稱為函數(shù)為函數(shù)的的傅氏變換傅氏變換同時我們稱同時我們稱 ( )f t為為的傅里葉逆變換的傅里葉逆變換it( ,)K te,ab i( )( )dtFf t et( )F( )f t( )f t( )f t( )F( )F（2）特別當(dāng)核函數(shù)）特別當(dāng)核函數(shù) （注意已將積分參