兩角和與差的余弦公式

1、 第三章 三角恒等變換3.1 兩角和與差的正弦.余弦和正切公式3.2 簡單的三角恒等變換 變換是數學的重要工具，在初中，我們已經學過代數的變換，在數學4的第一章也學習過同角三角函數式的變換，在此基礎上，本章將學習包含兩個角的三角函數式的變換。三角變換是“只變其形不變其質”的，它可以揭示某些外形不同但實質相同的三角函數式之間的內在聯(lián)系，幫助我們簡化三角函數式，從而使研究更加方便、有效。 三角變換包括變換的對象、變換的目標以及變換的依據和方法等要素。兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據。通過對這些公式的探求，以及利用這些公式進行三角變換，我們將在怎樣預測變換目標，怎樣選擇變換公式

2、，怎樣設計變換途徑等方面作出思考，這些都將幫助我們進一步提高推理能力和運算能力。 兩角和與差的正弦 余弦公式3.1 兩角和與差的正弦 余弦和正切公式第一課時在本章開頭，給出了這樣一個問題： 某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上。如圖所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得A,C兩點間的距離約為67米，從A觀測電視發(fā)射塔的視角(CAD)約為450。求這座電視發(fā)射塔的高度。設電視發(fā)射塔高CD=x米， 則 在RtABD中， CAB6730 sin tanxtan3030450于是如果能由 求得 的值，那么就會3045300 tantanx6730 sin 045tanADBC45030

3、 x67得到一個的一元二次方程，由此解得電視發(fā)射塔的高就十分容易了。能不能由 求得 的值呢？或者說能不能用 把 表示出來呢？6730 sin 045tan 045tan sin更一般地說,對于任意角 ,能不能用 的三角函數值把 或 的三角函數值表示出來呢? , , 下面我們來研究如何勝任意角 的正弦余來表示 的問題。 , cos大家可以猜想，是不是等于大家可以猜想，是不是等于 呢呢?2cos4523cos302cos15cos 4530?cos45cos30cos?（一）導入：（一）導入：我們在初中時就知道我們在初中時就知道，由此我們能否得到由此我們能否得到根據我們在第一章所學的知識可知根據我

4、們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式下面我們就一起探討兩角差的余弦公式，00(75 ,75 ),acossin=設設向向量量00(15 ,15 ),bcossin=比比較較兩兩次次計計算算的的結結果果，你你能能發(fā)發(fā)現現什什么么？探究探究1 1試分別計算1212cosaba babx xy y 及000000060(7515 )75157515coscoscoscossinsin=-=+ 發(fā)現發(fā)現建構數學建構數學cos(7515)=cos75cos15+sin75sin15一般地一般地,cos(-)=coscos +sinsin是否也

5、成立呢是否也成立呢建構數學建構數學v由于這里涉及三角函數的問題,是這個角的余弦問題,所以可以考慮聯(lián)系單位圓上的三角函數線或向量的知識.v我們先對簡單的情況進行討論.如圖,設角，為銳角,且.角的終邊與單位圓的交為P1, 1POP xOP，則則v過點P作PM垂直于x軸,垂足為M,那么OM就是角 的余弦線.這里就是要用角 ,的正弦線,余弦線來表示OM. ,v過點P作PA垂直于OP1,垂足為A,過點A作AB垂直于軸,垂足為B,過點P作PC垂直于AB,垂足為C.那么,cos ,sin yxoP1PMBAC并且并且 OxPPAC1于是于是OM=OB+BMOM=OB+BM=OB+CP=OB+CP=OAcos

6、=OAcos+APsin+APsin=cos=coscoscos+sin+sinsinsin值得注意的是，以上結果是在值得注意的是，以上結果是在、-都是銳角，且都是銳角，且的情況下得到的。的情況下得到的。要說明此結果是否對任意角要說明此結果是否對任意角、都成立，都成立，還要做不少工作。還要做不少工作。下面我們運用向量的知識進行探究。下面我們運用向量的知識進行探究。yxoP1P2P在直角坐標系中在直角坐標系中xOy中，以中，以x軸為始邊軸為始邊分別作角分別作角，則設向量又又建構數學建構數學 sin,cosP,sin,cosP,P21001則建構數學建構數學依據向量數量積的概念，角必須符合條件，即

7、在此條件下，以上推導才是正確的 0由于都是任意角，也是任意角，因此就要研究當是任意角時，以上推導是否正確的問題 , 當是任意角時，由誘導公式，總可以找到一個角，使 20 , coscos ,0 coscosOBOA 2, ,02若，則若，則，且 coscos)cos(OBOA2于是，對于任意角,都有建構數學建構數學cos(cos(- -)=cos)=coscos cos +sin +sinsinsin簡記為簡記為C C（- -）=cc+ss=cc+ss注意:（） 為任意角; ,(2)知道coscos,cos ,cos , ,sinsin,sin,sin的值, ,就可以求得cos(cos(- -

8、) )的值.(3)右端是的同名三角函數積的和,左端為兩角差的余弦cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos +sinsin 簡記為C（-）兩角和與差的余弦公式兩角和與差的余弦公式那用那用-替換替換,我們可以得到我們可以得到?簡記為C（+）建構數學建構數學特征：特征：（）函數名（）函數名（）符號異號（）符號異號建構數學建構數學兩角和與差的余弦公式兩角和與差的余弦公式例例1利用差角的余弦公式求利用差角的余弦公式求cos15, cos75 的值的值解法：cos15=cos(4530) =cos45cos30+sin45sin30 解法：cos15=cos(6045) =cos

9、60cos45+sin60sin45 2321622222412322622224數學運用數學運用45,(,), cos,5213cos() 已 知 sin=是 第 三 象 限 角 ， 求的 值 。4s in,(,) ,52解 ： 由得2243cos1sin1;55 5cos,13 又 由是 第 三 象 限 角 ， 得225121 cos1 ().1313 sin =-cos()cos cossin sin 所以3541233() ()().51351365 例數學運用數學運用數學運用數學運用例例3分析分析由公式由公式cos(+)=coscossinsin可知，可知，欲求欲求cos(+)，應先

10、計算，應先計算cos，sin的值。的值。解解由由，得，得 ,2 2sin1cos353212 又由又由，得，得 23, 2cos1sin.545312 由余弦的和角公式得由余弦的和角公式得cos(+)=coscossinsin.1553854325335 1利用兩角和利用兩角和(差差)的余弦公式證明：的余弦公式證明：； sin23cos； cos23sinBACK2利用兩角和利用兩角和(差差)的余弦公式化簡：的余弦公式化簡：（1） cos78cos33+ sin78sin33；（2） cos 780sin570 + sin780sin330； （3） cos (600+)+cos (600 -

11、 ). BACK數學運用數學運用 221 222(3)cos3(1)已知已知，求，求的的值。值。 ,2,53cos 3cosBACK(2).(2).在在ABCABC中中, ,若若sinAsinB=cosAcosB,sinAsinB=cosAcosB,則則ABCABC是是 ( ).( ). (A)(A)直角三角形直角三角形 (B)(B)鈍角三角形鈍角三角形 (C)(C)銳角三角形銳角三角形 (D)(D)不確定不確定. .4化簡：化簡：（1）cos58sin37+sin122sin53；（2） cos () cos (+) sin () sin (+) . BACK5已知已知，求，求的值。的值。

12、23,135cos 6sinBACK6已知已知，求，求的值。的值。 51cos,31cos tantanBACKcos(+)=coscos -sinsin 簡記為C（+）cos(-)=coscos +sinsin 簡記為C（-）作業(yè)：P150 A組 1（1）、（3）； 3； 4.小結小結同學們再見同學們再見! !在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy內內,作單位圓作單位圓,并作并作、和和角角,使使角的始邊為角的始邊為Ox，交圓，交圓O于于P1,終邊交圓終邊交圓O于于P2;角的始邊為角的始邊為OP2,終邊交圓終邊交圓O于于P3;角的始邊為角的始邊為OP1,終邊交圓終邊交圓O于于P4; 此時此時,

13、P1.P2.P3.P4的坐標分別為的坐標分別為P1(1,0) ,P2(cos,sin), P3(cos(+),sin(+) ),P4(cos(), sin(). 由由P1P3 = P2P4及兩點間距離公式及兩點間距離公式,得：得： cos(+)1+sin(+)=cos()cos+sin()sin . 整理得整理得: cos(+)=coscossinsin. 證明證明:如圖所示如圖所示PPP P123 4 XyOcos(+)=coscossinsin cos(+)=coscossinsin 公式的結構特征公式的結構特征:左邊是復角左邊是復角+的余弦的余弦,右邊是單角右邊是單角、的余弦積與正弦積的差的余弦積與正弦積的差.)cos()