高等幾何習(xí)題答案

1、高幾習(xí)題集及參考解答第一章 仿射幾何的基本概念1、證明線段的中點是仿射不變性，角的平分線不是仿射不變性。證明：設(shè)T為仿射變換，根據(jù)平面仿射幾何的基本定理，T可使等腰ABC（AB=AC）與一般A'B'C'相對應(yīng)，設(shè)點D為線段BC的中點，則ADBC，且=，T（D）=D'（圖1）。T保留簡比不變，即（BCD）=（B'C'D'）= -1，D'是B'C'的中點。因此線段中點是仿射不變性。 在等腰ABC中，=。設(shè)T（ ）= '，T（ ）= '， 但一般A'B'C'中，過A'的中線

2、A'D'并不平分A'，即B'與'一般不等。 角平分線不是仿射不變性。在等腰ABC中，設(shè)D是BC的中點，則ADBC，由于T(ABC)= A'B'C'（一般三角形），D'仍為B'C'的中點。由于在一般三角形中，中線A'D'并不垂直底邊B'C'。得下題2、兩條直線垂直是不是仿射不變性？答:兩直線垂直不是仿射不變性。3、證明三角形的中線和重心是仿射不變性。證明：設(shè)仿射變換T將ABC 變?yōu)锳'B'C'，D、E、F分別是BC、CA，AB邊的中點。由于仿射變換保留簡

3、比不變，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F(xiàn)'=T(F)分別是B'C',C'A',A'B'的中點，因此A'D'，B'E'，C'F'是A'B'C'的三條中線（圖2）。設(shè)G是ABC的重心，且G'=T(G) GAD，由結(jié)合性得G 'A'D'；又（AGD）=（A'G'D'）即 G'是A'B'C'的重心。 4、證明梯形在仿射對應(yīng)下仍為梯形。證明：設(shè)在仿射對應(yīng)下梯形ABCD

4、（ABCD）與四邊形A'B'C'D'相對應(yīng)，由于仿射對應(yīng)保持平行性不變，因此 A'B'C'D'，所以A'B'C'D'為梯形。5、證明兩個全等矩形經(jīng)過仿射變換為兩個等積平行四邊形。證明：設(shè)T為仿射變換，A1B1C1D1與A2B2C2D2為兩個全等矩形，其面積分別以S1=S2。由于T保留平行性，所以： T（A1B1C1D1）= 平行四邊形A'1B'1C'1D'1, 面積記為：S'1 T（A2B2C2D2）= 平行四邊形A'2B'2C'2D&

5、#39;2, 面積記為：S'2，且 S'1=K S1，S'2=KS2， A'1B'1C'1D'1與A'2B'2C'2D'2是等積的平行四邊形。6、經(jīng)過A（-3，2）和B（6，1）兩點的直線被直線X+3y-6=0截于P點，求簡比（ABP）解：設(shè)P點的坐標(biāo)為（x0，yo）（分割比）， 且P在直線x+3y-6=0上，解得=1，即P是AB中點，且（ABP）=1。7、證明直線Ax+By+C=0將兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的聯(lián)線段分成的比是證明 設(shè)分點為P（x0，y0），則分割比= ， P（x0，y0）

6、在直線Ax+By+C=0上， Ax1+By 1+C+(Ax2+By2+C)=0 8、證明一直線上二線段之比是仿射不變量。 證明：若直線a上兩線段AB和CD經(jīng)仿射變換T后與直線a'上的兩段A'B'和C'D'對應(yīng)圖（3） 得證。9、證明圖形的對稱中心是仿射不變性，圖形的對稱軸和對稱平面是不是仿射不變性？證明：設(shè)仿射變換T將中心對稱圖形F變?yōu)閳D形F'，點O是F的對稱中心，A，B為圖形F上關(guān)于點O對稱的任意一對對稱點。設(shè)T（O）=O'，T（A）=A' T（B）=B'。 T（F）=F'，由結(jié)合性，點A'，B'

7、在圖形F'上；由簡比不變性，（ABO）= (A'B'O')。所以F'是中心對稱圖形，從而圖形的對稱中心是仿射不變性。 如果點A、B關(guān)于直線l（平面）對稱，則線段AB1（AB）。但仿射變換不保留角的度量，所以當(dāng)T（A）=A'，T（B）=B'，T（1）=1'（T（）='）時，線段A'B'不一定垂直線1'（平面'）。10、在仿射坐標(biāo)系下，直線方程是一次的。 證明：設(shè)在笛氏坐標(biāo)系下直線方程為： Ax+By+C=0 （1） （x,y）為笛氏坐標(biāo)，（x'，y'）為仿射坐標(biāo)。笛氏到仿射的變

8、換式為： 設(shè)其逆變換為： 將（3）式代入（1），得 A（a1x'+a2y'+a0）+B (b1x'+b2y'+b0) +C=0, 即：(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0，記為： 是x',y'的一次式。其中 =Aa1+Bb1, =Aa2+Bb2， =Aa0+Bb0+C0 且不全為0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=0 11、利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？（從而明確1.2定理5所指常數(shù)的意義）。解：A1A2A3和A'1A'2A'3的面

9、積分別以S, S'表示，= 這結(jié)果與§1.2系2一致，三角形（從而多邊形或曲線形）的面積經(jīng)仿射變換后乘以一個常數(shù)k，此地進一步明確了這常數(shù)就是仿射變換式的行列式的絕對值，仿射變換式不同，這常數(shù)也不同。12、在等腰梯形中，兩底中心，兩對角線交點，兩腰（所在直線）交點，這四點顯然共線（在對稱軸上），試用仿射變換于此圖形，得出什么推廣了的命題？解：設(shè)E，F(xiàn)，Q，P分別是等腰梯形ABCD下底，上底的中點，對角線交點，要腰所在直線交點，T為仿射變換，則梯形ABCD梯形A'B'C'D'，EE'為B'C'中點，F(xiàn)F'為A

10、9;D' 中點。 （BDQ）=（B'D'Q'）,(ACQ)=（A'C'Q'）,（BAP）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')且E，Q，F(xiàn)，P共線，由結(jié)合性得E'，Q'，F(xiàn)'，P' 四點共線，但直線P'E'已不是對稱軸（圖4）。由此得出，任意梯形上、下底中點，對角線交點，兩腰所在直線交點凡四點共線。 13、求仿射變換的自對應(yīng)點和自對應(yīng)直線； 解：求自對應(yīng)點：設(shè)x=x', y =y'，因此得 解得自對應(yīng)點的坐標(biāo)為x=-6

11、，y=-8。求自對應(yīng)直線，設(shè)任意直線l（u,v,w）在所給的變換下的像1' 的方程為： u'x'+v'y'+w'=0u' (3xy+4)+v' (4x2y) +w' =0，或（3u'+4v'）x(u'+2v')y+4u'+w'=0。若1為自對應(yīng)直線，則u=u'，v=v'，w=w'，因此 因為u'，v'，w'不全為零，所以方程組(1)有非零解。故 解得1=2，2=1，3=1，將1=2代入方程組(1)，得u'= 4, v&#

12、39; =1，w' =16。 將2=1代入方程組(1)，得u'=1, v'=1，w'=2。 將3=1代入方程組(1)，得u'=0, v'=0，w'=1。 就本章內(nèi)容而言，=1時，自對應(yīng)直線不存在，故所求自對應(yīng)直線為：4xy+16=0和xy2=0。第二章 歐氏平面的拓廣1、證明中心投影一般不保留共線三點的簡比。證：設(shè)SAC為等腰三角形（SA=SC）,SBAC, 過A作一射線平行于SC交SB的延長線于B1, 交SC于C（圖5），則A,B1,C在中心S的投影下分別是A,B,C的像點，（ABC）= , 而（AB1C）= ，（ABC）（AB1C）,

13、 即中心投影一般不保留共線三點的簡比。 2、以下面的坐標(biāo)表示的直線是怎樣的直線？ （1）（1，11）； （2）（1，1，0）；（3）（0，1，0）。 解 利用點線結(jié)合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0. (1) u1=1, u2=1, u3=1, x1+x2x3=0，非齊次化為：x+y1=0. (2) x1x2=0或xy=0。（3）x2=0或y=0是x軸的方程。3、求聯(lián)接點（1,2,1）與二直線（2,1,3），（1，1，0）之交點的直線方程。解 先求二直線（2,1,3），（1，1，0）的交點坐標(biāo)：x1：x2：x3= 再求兩點（1，1，1），（1，2，1）的聯(lián)線的坐標(biāo)： u1：u2：u3=

14、所求直線方程為：x1+x3=0或x+1=04、求直線（1,1,2）與二點（3，4，1）,(5,3,1)之聯(lián)線的交點坐標(biāo)。解：先求二點（3，4，1），(5,3,1)的聯(lián)線坐標(biāo)：u1：u2：u3=再求二直線（1,1,2），（1，8，29）的交點坐標(biāo)：x1：x2：x3= 所求交點坐標(biāo)為（45，31，27）。 5、方程u1u2+2u3=0代表什么？u12u22=0代表什么？ 解：方程u1u2+2u3=0表點（1，1，2）的方程或表示以點（1，1，2）為中心的線束方程。 u12u22=（u1+u2）（u1u2）= 0， u1+u2=0表示點（1，1，0）的方程；u1u2=0表示點（1，1，0）的方程。

15、u12u22=0表示兩點（1，1，0）和（1，1，0）的方程。6、將2xy+1表示成3x+y2，7xy的線性組合，這種表達的幾何依據(jù)何在？解：設(shè)2xy+1=（3x+y2）+（7xy）=（3+7）x+（）v2，得方程組 2xy+1=(3x+y2)+ (7xy)。依據(jù)是若令它們?yōu)榱?，所得三直線共點。7、將（2，1，1）表成（1，1，1）和（1，0，0）的線性組合，這說明什么幾何性質(zhì)？解：設(shè)（2，1，1）=（1，1，1）+（1，0，0）（1）則此方程組無解，即找不到和滿足（1）式，這說明它們表示的三點（線）不共線（點）。8、求直線x2y+3=0上的無窮遠點的坐標(biāo)。 解：x3=0是無窮遠直線方程從而x

16、12x2=0, 取x1=2, 得x2=1, 所求無窮遠點坐標(biāo)為（2,1.0）。9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？非平行線段的相等； 不垂直的直線；四邊形； 梯形；菱形； 平行移動；關(guān)于點的對稱； 關(guān)于直線的對稱；繞點的旋轉(zhuǎn)； 面積的相等。答：歐氏； 歐氏；仿射；仿射；歐氏；仿射； 仿射；歐氏；歐氏；仿射。第三章 一維射影幾何1、設(shè)A、B、C、D、E為直線上五點，證明(AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)=1。證明: (AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)2、證明一線段中點是這直線上無窮遠點的調(diào)和共軛點。 證明：設(shè)C為線段AB的中點，D為直線AB上的無窮遠點， （AB

17、3;CD）3、直線上順序四點A、B、C、D相鄰兩點距離相等，計算這四點形成的六個交比的值。解:（AB，CD）（AB，DC） (AC，BD)=1（AB，CD） （AC，DB）（AD，BC） （AD，CB） 4、求四點（2，1，1）,（1，1，1）,（1，0，0）,（1，5，5）順這次序的交比。 解：以（2，1，1）和（1，1，1）為基底。則（2，1，1）+1（1，1，1）=（1，0，0）；（2，1，1）+2（1，1，1）=（1，5，-5） 所求交比為 5、設(shè)P1,P2,P4三點的坐標(biāo)為（1，1，1）,（1，1，1）,（1，0，1）且（P1P2, P3P4）=2,求點P3的坐標(biāo)。 解：以 P1，P

18、2為基底，則（1，1，1）+2（1，1，1）（1，0，1）。設(shè)1是基底P1，P2表示P3的參數(shù)，由已知條件（P1P2, P3P4）=，且2=1，1=2，因此，P3的坐標(biāo)為（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3）。6、設(shè)A、B、C、D為共線四點，O為CD的中點，且OC2=OA·OB，證明（AB，CD）=-1 證明：OC2=OA·OB，由合分比得 因此（OC=OD）， 7、設(shè)A、B、C、D成調(diào)和點列，即(AB，CD)=1，求證 證明：由假設(shè)得：(AB，CD) BD=CDCB, AD=CDCA,代入（1）式得 AC（CDCB）+BC（CDCA）=0，化簡得： AC&#

19、183;CDAC·CB+BC·CDBC·CA=0， CA·CD+CA·CBCB·CD+CB·CA=0 2CB·CA=CA·CD+CB·CD （2） 以CA·CB·CD除（2）式兩邊，得：8、證明在X軸上由方程a11x2+2a12x+a22=0和b11x2+2b12x+b22=0之根所決定的兩個點偶成調(diào)和分割的充要條件是a11b222a12b12+a22b11=0。 證明：必要性，設(shè)兩方程的根依次是x1,x2和x3，x4，則 x1+x2=，x1·x2= x3+x4=，

20、x3·x4= （1）若 (x1x2，x3x4)=1，即 有（ x1x3）（ x2x4）+（ x1x4）（x2x3）=0， 2（x1x2x3x4）（x1x2）（x3x4）=0， （2）將（1）代入（2），得： a11b22+a22b11-2a122b12=0。 充分性，以 乘a11b22+a22b112a12b12=0的兩邊，得 將（1）代入上式后按必要性步驟倒推即得：(x1x2，x3x4)=1。9、試證四直線2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0共點，并順這次序求其交比。 證明：以2xy+1=0和3x+y2=0為基線表示 7xy=0，5x1=0， 7xy=0與（2x

21、y+1）+1（3x+y2）=0重合， 5x1=0與（2xy+1）+2（3x+y2）=0重合.所求交比為，由于交比存在，所以四直線共點。10、試證，一角的兩邊和它的內(nèi)外分角線成調(diào)和線束。 證明：設(shè)直線c、d是a、b為邊的角的內(nèi)外分角線， 以直線1截a、b、c、d分別于A、B、C、D （AB，CD） （ab，cd）=（AB，CD）=1。 11、ABCD為平行四邊形，過A引AE與對角線BD平行，證明 A（BD，CE）=1。證明：設(shè)AC×BD=O，AE×BD=P（圖7），因此A（BD，CE）=（BD，OP）=（BDO） 12、AB為圓之直徑，C為直徑延長線上一點，從C向圓引切線CT

22、，證明T在AB上的垂直射影D是C對于A、B的調(diào)和共軛點，若C在線段AB本身上，如何作它的調(diào)和共軛點？證法1：設(shè)O是AB的中點，OTCT，TDAB OT2=OD·OC，即OA2=OD·OC， 由本章6題結(jié)論得（AB，CD）=1。 證法2：ATD=ATE，DTB=BTC， TB，TA是DTC的內(nèi)外分角線（圖8），因此（AB，CD）=T（AB，CD）=1。如果C在線段AB內(nèi)部，過C作CTAB交圓于T，過T作圓的切線交AB的延長線于D，則A，B調(diào)和分割C，D，因為當(dāng)C確定后，T也確定，所以點D唯一確定。13、設(shè)兩點列同底，求一射影對應(yīng)使0，1，分別變?yōu)?，0解：設(shè)第四對對應(yīng)點為x，

23、x'，由于射影對應(yīng)保留交比不變，所以（01,x）=（1，0x'）由交比性質(zhì)得：（10，x）=(0x'，1) ，即：（10x）=（0x'1），展開得：14、設(shè)點列上以數(shù)x為笛氏坐標(biāo)的點叫做x，試求一射影對應(yīng)，使點列上的三點1,2,3對應(yīng)于點列上三點： （1）4,3,2；（2）1,2,3；（3）1,2,3. 解：設(shè)第四對對應(yīng)點x，x'， （1）（12，3x）=（43，2x'） （2）（12,3x）=(12,3x')，x'=x為恒等變換， （3）（12,3x）=（-1-2，-3x'），x' = - x15、當(dāng)射影對應(yīng)使一

24、點列上的無窮遠點對應(yīng)于另一點列上的無窮遠點時，證明兩點列的對應(yīng)線段成定比。 證法1：三對對應(yīng)點AA' ，BB'，CC'，決定射影對應(yīng)，設(shè)MM'為任一對對應(yīng)點，則由（AB，CM）=（A'B'，C'M'）得：（ABM）=（A'B'M'），即 證法2：射影變換式為； 因為當(dāng)x時，x'，所以c=0。此時射影變換式為：，或dx'axb=0。設(shè)x1x1'，x2x2' 為兩對對應(yīng)點，因此 dx1'ax1b=0 dx2'ax2b=0 式減式，得d(x1'x2'

25、)=a(x1x2) 16、圓周上的點和其上二定點相聯(lián)得兩個線束，如果把線束交于圓周上的兩線叫做對應(yīng)直線，證明這樣的對應(yīng)是射影的。 證明：設(shè)A，A'為圓周上二定點，Mi（i=1，2，3，4）為圓周上任意四點（圖9）A（M1M2，M3M4）= = =A'（M1M2,M3M4） 。A'（M1M2,M3M4A'（M1M2,M3M4）17、從原點向圓（x2）2+(y2)2=1作切線t1,t2。試求x軸，y軸，t1,t2順這次序的交比。（設(shè)t1是鄰近x軸的切線）解： 設(shè)直線y=kx與圓相切，則，兩邊平方得：，解得：k1,2= t1鄰近x軸，t1的斜率為k1= t2的斜率為k

26、2= ，因此t1的方程為yx=0，t2的方程為yx=0，故（xy，t1,t2）=。18、設(shè)點A（3，1，2），B（3，-1，0）的聯(lián)線與圓x2+y25x7y6=0相交于兩點C和D，求交點C，D及交比（AB，CD）。 解： 圓方程齊次化：x12+x225x1x37x2x3+6x23=0, 設(shè)直線AB上任一點的齊次坐標(biāo)是（3+3，1，2），若此點在已知圓上，則（3+3）2+（1）2 5（3+3）27（1）2+6×22 =0，化簡得：10210=0， 1=1，2=-1，即直線AB與圓有兩個交點，設(shè)1，2分別對應(yīng)的交點是C，D，則C的坐標(biāo)是（3,0,1），D的坐標(biāo)是（0,1,1）且（AB，C

27、D）=-1. 19、一圓切于x軸和y軸，圓的動切線m交兩軸于M及M'，試證MM'。證明：設(shè)圓半徑為r，M（a,0），M'（0，b），a，b為參數(shù)（圖10），則m的方程為或bx+ay-ab=0，由于m與圓相切，因此，此式兩邊平方，得r2a2+r2b2+a2b2+2abr2a2br2b2ara2r2b2r2,或 ab2ra2rb+2r2=0 點M，M'的參數(shù)間有一個行列式不等于零的雙一次函數(shù)， 故MM'。 20、x表直線上點的笛氏坐標(biāo)，這直線上的射影變換,0,在什么條件下以無窮遠點作為二重點。解：設(shè)x=x'是無窮遠點，因此 = = 所以，以無窮遠點作

28、為二重點的射影變換是 21、設(shè)兩個重迭一維射影幾何形式有兩個二重元素 S1、S2 ，證明它們之間的對應(yīng)式可以寫作,k是個常數(shù)。證明：已知S1S2，S2S2，設(shè)1'1是第三對對元素，'是任一對對應(yīng)元素，因為三對對應(yīng)元素確定唯一射影對應(yīng)， （S1S2 ，1'）=（S1S2 ，1''），因而 = 22、設(shè)S1，S2是對合對應(yīng)的二重元素，證明這對合可以寫作: 證明：設(shè)'是對合對應(yīng)下任一對對應(yīng)元素，從而（S1S2 ，'）=-1，即 或23、一直線上點的射影變換是x'=，證明這直線上有兩點保持不變，且這兩點跟任意一對對應(yīng)點的交比為一常數(shù)。證明

29、：設(shè)固定點為 x=x' ，所以x(x+4)=3x+2，即x2+x2=0，解得固定點為x= -2 和x=1 設(shè)任一對對應(yīng)點為x， ，交比：（1，2，x ）= 24、試證對合對應(yīng)的二線束中，一般只有一對互相垂直的對應(yīng)直線，若有兩對互垂的對應(yīng)直線，則每對對應(yīng)直線都互垂。 證明：取二線束公共頂點為原點，取對應(yīng)線的斜率為、'，則對合方程為 a'+b(+')+d=0, 且adb20，互垂對應(yīng)線應(yīng)滿足'=1，所以所以當(dāng)方程（1）有兩個不等實根1，2時，只有一對互垂對應(yīng)線，這是因為12=1,因而1'= =2，'2=1。 當(dāng)方程（1）有兩個相等實根時，必須

30、ad=0，b=0，這時對合變?yōu)?#39;=1，每對對應(yīng)線都互垂。25、設(shè)A，A'；B，B'；C，C'是對合的三對對應(yīng)點，試證（ABC'）（BCA'）（CAB'）=1。證明：由對合對應(yīng)的相互交換性，有AA'，BB'，A'A，C'C，所以（AB，A'C'）=（A'B'，AC），于是得 （ABC'）（BCA'）（CAB'）=126、AB是定圓直徑，作一組圓使其中心都在直線AB上并且都跟定圓正交，證明這組圓跟直線AB的交點構(gòu)成一個雙曲對合。 證明：設(shè)圓O'是與

31、定圓O正交的任一圓，T為一個交點，且圓O'與直線AB交于點和P'（圖11） 已知OTO'T，OT2=OP·OP'，即 OA2=OB2=OP·OP'。 點P，P'是以A，B為二重元素，O為中心的雙曲對合的一對對應(yīng)點。 27、O是笛氏正交坐標(biāo)的原點，A是y軸上一定點，以A為頂點的直角繞A旋轉(zhuǎn)，證明直角兩邊被x軸所截的點偶構(gòu)成一個橢圓型對合。 證明：設(shè)直角邊交x軸的任意兩個位置為A1，A2；B1，B2（圖12） 設(shè)OA2=k，則OA1·OA2=OB1·OB2=OA2=k，因為A1，A2；B1，B2在x軸上的位置為

32、一正一負，故OA1·OA2=OB1·OB20，因而A1，A2；B1，B2，在x軸上構(gòu)成橢圓型對合第四章 代沙格定理、四點形與四線形1、 設(shè)ABC的頂點，A，B，C分別在共點的三直線，上移動，且直線AB和BC分別通過定點P和Q，求證CA也通過PQ上一個定點（圖13）。證：設(shè)A0是上的一個定點，AOP交于B0，B0Q交于C0，則A0C0是定直線（圖13）。若R是定直線A0C0與定直線PQ的交點，從而R是PQ上 的定點，若ABC是合于條件的，因為在ABC及A0B0C0中，A0A，B0B，C0C共點，根據(jù)代沙格定理，P，Q及A0C0×AC共線，即AC通過A0C0×

33、;PQ=R（定點）。2、 ABC的二頂點A與B分別在定直線和上移動，三邊AB，BC， CA分別過共線的定點P，Q，R，求證頂點C也在一定直線上移動。 證：設(shè)×=0（定點），A0B0C0是滿足條件的定三角形，ABC是滿足條件的任意三角形。 A0B0×BC=Q，A0C0×AC=R。由代沙格定理逆定理得，三線A0A，B0B，C0C共點O，即C在定直線C0O上移動（圖14）。3、 設(shè)P，Q，R，S是完全四點形的頂點，A=PS×QR，B=PR×QS，C=PQ×RS， 證明A1=BC×QR，B1=CA×RP，C1=AB

34、5;PQ三點共線。 證：在ABC及PQR中（圖15），AP，BQ，CR共點S。對應(yīng)邊的交點C1=AB×PQ，B1=CA×RP，A1=BC×RQ三點共線。4、已知線束中的三直線a，b，c求作直線d使（ab，cd）=1。 解：設(shè)線束中心為S，以直線1分別截a,b，c于A，B，C在直線c上任意取一點Q，聯(lián)AQ交d于R，聯(lián)BQ交a于P，聯(lián)PR與1交于D （圖16），則直線SD為所求。因為，SPQR構(gòu)成一完全四點形，（AB，CD）=1，從而（ab，cd）=（AB，CD）=1。 5、 設(shè)AD，BE，CF為ABC的三高線，EF×BC=D'，求證（BC,DD&#

35、39;）=1，在等腰三角形AB=AC的情況，這命題給出什么結(jié)論？ 證明：設(shè)P為ABC的垂心，由完全四點形AFPE（圖17）的性質(zhì)，得（BC，DD'）=1。在等腰ABC中，若AB=AC，D為垂足，因而D為BC的中點。（BC，DD'）=1，所以D'為BC直線上的無窮遠點，因而FEBC。 即在等腰三角形中，底邊的頂點到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。 第五章射影坐標(biāo)系和射影變換1、將一維笛氏坐標(biāo)與射影坐標(biāo)的關(guān)系：以齊次坐標(biāo)表達。 解 設(shè)一維笛氏坐標(biāo)系中，一點的坐標(biāo)為x，則齊次坐標(biāo)為（x1，x2），且x， 一點的射影坐標(biāo)為，齊次坐標(biāo)為（1,2）且=，將和x代入關(guān)系式（1）有，化簡得

36、： 2、在直線上取笛氏坐標(biāo)為 2，0，3的三點作為射影坐標(biāo)系的A1,A2, E，(i)求此直線上任一點P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)的關(guān)系；（ii）問有沒有一點，它的兩種坐標(biāo)相等？ 解：笛氏坐標(biāo) 0 2 3 x 射影坐標(biāo)： A2 A1 E （i）由定義 =（A1A2，EP）=（2 0，3x）=(ii) 若有一點它的兩種坐標(biāo)相等，即x=則有，即3x27x=0，當(dāng)x=0及x=時兩種坐標(biāo)相等。 3、在二維射影坐標(biāo)系下，求直線A1E，A2E，A3E的方程和坐標(biāo)。 解：坐標(biāo)三角形頂點A1（1，0，0）,A2（0，1，0）,A3（0，0，1）和單位點E（1，1，1） 設(shè)P（x1，x2，x3）為直線A1E上任一點

37、，其方程為：即x2x3=0，線坐標(biāo)為（0，1, 1）直線A2E的方程為：，即x1x3=0，線坐標(biāo)為（1，0，1）；直線A3E的方程為：，即x2x1=0，線坐標(biāo)為（1，1，0）4、寫出分別通過坐標(biāo)三角形的頂點A1，A2，A3 的直線方程。 解：設(shè)平面上任意直線方程為 u1x1+u2x2+u3x3=0，過點A1(1，0，0)時u1=0，即為u2x2+u3x3=0 ， 過點A2(0，1，0)時u2=0，即為u1x1+u3x3=0 ，過點A3(0，0，1)時u3=0，即為u1x1+u2x2=0 。5、取笛氏坐標(biāo)系下三直線xy=0，x+y1=0，x2=0分別作為坐標(biāo)三角形的邊A2A3，A3A1，A1A2

38、，取E（）為單位點，求一點的射影坐標(biāo)（x1，x2，x3）與笛氏坐標(biāo)（x，y，t）的關(guān)系。解：E（），e1=，e2=，e3=。（圖18）任意一點M（x，y）到三邊的距離為： 1=，2= ，3= 射影坐標(biāo)（x1，x2，x3）與笛氏坐標(biāo)的關(guān)系為：x1=xy，x2=x+yt，x3=2x+4t 即： 6、從變換式 求出每一坐標(biāo)三角形的三邊在另一坐標(biāo)系下的方程。解： A1'A2'A3'三邊，A1'A2'：x'3=0；A1'A3'：x'2=0；A2'A3'：x'1=0。從變換式（1）可求得A1'A2

39、9;A3'的三邊在坐標(biāo)系A(chǔ)1A2A3下的方程： A1'A2'的方程為：x'3=0，即x1+x2x3=0；A1'A3'的方程為：x'2=0，即x1x2+x3=0。A2'A3'的方程為：x'1=0，即x1+x2x3=0。由（1）可求出逆變換式為：A1A2A3的三邊，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。從變換式（2）可求得A1A2A3的三邊在坐標(biāo)系A(chǔ)1'A2'A3'下的方程： x'1+x'2=0，即A1A2的方程。 x'1+x'3=0，即A1

40、A3的方程。 x'2+x'3=0，即A2A3的方程。 7、若有兩個坐標(biāo)系，同以A1A2A3為坐標(biāo)三角形，但單位點不同，那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換式為何？ 解：設(shè)變換式為： 已知（1,0,0）（1,0,0）,（0,1,0）（0,1,0）,（0,0,1）（0,0,1）分別代入變換式得 1=a11，a21=0，a31=0； 2=a22，a12=0，a32=0；3=a33，a13=0，a23=0 故有 又（1,1,1）（a,b,c） 即a：b：c = a11：a22：a33故變換式為： 8、在拓廣歐氏平面上求平移 的二重元素。解：設(shè)x=，y=，則有 （1）求二重點：，即=1為三重根。將=1代

41、入方程組：解得： 所以在有限歐氏平面上，在平移變換下無二重元素，在拓廣歐氏平面上，1上的所有點（ x1，x2，0）皆為二重點。（2）求二重直線： =1為三重根。將=1代入方程組：得u1，u2可取任意數(shù)，且au1+bu2+0u3=0所以二重直線是通過點（a，b，0）的一切直線，即以為斜率的平行線束及無窮遠線，這平行線束即平移方向的直線集合。 9、求射影變換的二重元素。 解：（i）求二重點：二重點（x1，x2，x3）應(yīng)滿足，1=1為二重根，2=1為單根。 將1=1代入（2）式得x1=0，x2，x3為任意數(shù)，所以二重點為（0，x2，x3），但x2，x3不同時為零，此為坐標(biāo)三角形的邊x1=0上的一切點

42、；將2=1代入（2）式得二重點（x1，0，0），此為坐標(biāo)三角形的頂點A1（1，0，0）。（ii）求二重直線： 1=1及2=1，將1=1代入得二重直線u1=0，即過A1（1，0，0）的一切直線；將=1代入（3）得二重直線x1=0，為坐標(biāo)三角形的邊A2A3。10、求射影變換的二重元素。解：（i）求二重點：（x1，x2，x3）滿足 ，有三重根=1，將=1代入（2）式得二重點為x2=0, 即坐標(biāo)三角形的邊A1A3上所有的點。（ii）求二重直線：=1為三重根，將=1代入得u1=0, u2, u3為任意數(shù)，即二重直線為以A1(1,0,0)為中心的線束。 11、求射影變換的二重元素。解 （i）求二重點：二重

43、點（x1，x2，x3）滿足，得(+1) (+2) (+3) = 0，所以特征根=-1，-2，3。 取=1代入（2）得二重點為（0，0，x3）即（0,0,1），取=2代入（2）得二重點為（1，6，5）， 取=3 代入（2）得二重點為（1，1，0）。 （ii）求二重直線：特征根=1，2，3。 取=1代入 得二重直線為（1，1，1） 取=2代入（3）得二重直線為（1，1，0）取=3 代入（3）得二重直線為（6，1，0）。 12、證明射影變換 只有一個二重點及通過該點的一條二重直線。證：若有二重點（x1，x2，x3）則滿足，即 = a為三重根， 將 = a代入（2）得二重點為（1，0，0）。若有二重直

44、線（u1，u2，u3），得=a為三重根，將=a 代入，得二重直線為（0，0，u3）即x3=0，所以二重直線A1A2通過二重點A1（1，0，0）。13、（i）求變換：x'=，y'=的二重點。（ii）設(shè)O為原點，P為直線x=1上任一點，m'為直線OP上一點M的對應(yīng)點，求交比（OP，MM'）； （iii）從這個交比得出什么結(jié)論？解出逆變換式以驗證這結(jié)論。解（i）求二重點：由題設(shè)有x=，解出x=0, 1。 y=，化簡為：y(2x2)=0，所以x=1時，y為任何值都行，故二重點為（0，0）及直線x=1上的任意點。 （ii）交比（OP，MM'）=（01，xx'

45、;）=（0 1，x ）=1. (iii) 從原變換求其逆變換： x' = x=；y' = y= 所以在每條直線OP上有一個對合對應(yīng)，對合的兩個二重點是原點及P點。14、求證這里的R，S，T表示變換。 證：設(shè)A'=T（A），A"=S（A'），A"'=R（A"）， A'''=(RST)（A），則（RST）-1（A"'）=A。而R-1（A"'）=A"，S-1（A"）=A'，T-1（A'）=A 15、證明直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。證：設(shè)

46、T：， S：， 所以S·T： 故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；又因為 T-1： 故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。16、證明直線上非奇異射影變換 構(gòu)成群。證：設(shè)T：， S：， 所以S·T： 故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；又因為 T-1： 故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。17、證明直線上非奇異射影變換不構(gòu)成群。證：設(shè)T：， S：， 所以S·T： 即直線上行列式<0的非奇異射影變換之積不再是直線上行列式<0的非奇異

47、射影變換，故不構(gòu)成群。18、證明繞原點的全體旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。證：設(shè)T： ，且A=1 S：， 且所以S·T：，且故旋轉(zhuǎn)變換之積仍為旋轉(zhuǎn)變換；又因為 T-1： 且 A-1=，故旋轉(zhuǎn)變換之逆仍為旋轉(zhuǎn)變換，所以繞原點的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。第六章 二次曲線的射影性質(zhì)1、 試求二階曲線的方程，它是由兩個射影線束x1x3=0與x2'x3=0（）所決定的。解： （1）由x1x3=0； x2'x3=0將(2)(3)代入(1)得：故所求二階曲線的方程為：2、 在平面上給定四點A，B，C，D，其中無三點共線，求滿足條件P(AB，CD)=定值k的點P的軌跡。解：由本章6.1定理3給定無三點共線的

48、任意五點，可決定唯一的二階曲線，由定理4，二階曲線上四點與其上任意第五點所聯(lián)直線的交比為常數(shù)。因此，此題關(guān)鍵是作出一點E，使E(AB，CD)=k。則滿足條件P(AB，CD)=k。假設(shè)E點已作出，過無三點共線的五點A，B，C，D，E可唯一決定一條二階曲線。作法：過A任作一直線1與直線CD交于A'，再在CD上作B'使(A'B'，CD)=k，然后連接B'B交1于E，則二階曲線唯一確定之后，在其上任取一點P都有P(AB，CD)=E(AB，CD)=E(A'B'，CD)=k（圖18）3、 建立一個透視對應(yīng)使以A1(1，0，0)為中心的線束對應(yīng)于以A2

49、（0，1，0）為中心的線束；并求這兩透視線束所產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程。解：因為的交點為A1，過A1的線束方程為：x2x3=0 （1）又的交點A2，過A2的線束方程為：x1x3=0 （2） 若線束A1線束A2，則 （3）將(1)(2代入(3)得：x2 ( x1+ x3 ) - x3 (a x1+ x3 ) = 0 （4）若線束A1線束A2，則x3=0為自對應(yīng)直線（即x3=0，變?yōu)閤3=0），即（3）式中=時對應(yīng)于=，=0 ，化簡為x3（ x1+ x2 x3）=0, 且0 （5）若A3（0，0，1）在（5）式所表示曲線上，則有 = 0，再E（1，1，1）在（5）式所表示曲線上，則有 + =0，這

50、時（5）式變?yōu)椋簒3(ax1+ax2)=0，a0,二透視線束產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程為：x3（x1 x2）=0 4、給定二次曲線上五點，求作曲線上另外一些點。 解：（圖19 ）已知二次曲線上五點1，2，3，4，5。根據(jù)巴斯卜逆定理可作出二次曲線上其余的點。作法： 12×45=A，過A任作一直線P作為巴斯卡線，34×P=C，23×P=B，所以1C×5B=6，即為二次曲線上的另一點，因為1，2，3，4，5五點決定唯一的二次曲線，由巴斯卡定理及作圖知，點6在上，當(dāng)直線P變動時，得到不同位置的點6。5、給定一二次曲線上五點，利用巴斯卡定理作曲線在此五點之一的切線

51、。 解：（圖20）已知二次曲線上五點1，2，3，4，P（令P56），則（12×45）A，（16×34）C，（AC×23）B，則PB即為所求的以P為切點的切線。由巴斯卡定理得證。 6、設(shè)六角形的對邊互相平行，求證這六角形內(nèi)接于一二次曲線。 解：（圖21） 由巴斯卡定理：因為（12×45）= I，（23×56）=， （34×61）= ，因為平面上只有一條無窮遠直線l，所以六邊形對邊交點共線（共無窮遠直線），則此六邊形必內(nèi)接于一二次曲線。7、 內(nèi)接于圓的兩個三角形ABC與A'B'C'中，設(shè)交點P=AB×A'B'， Q=BC×B'C'，X=CA'×C'A，證這三點共線。 解：（圖22）兩三角形的頂點看成圓內(nèi)接六邊形ABCA'B'C'，由巴斯卡定理：令A(yù)1，B2，C3，A'4，B'5，C'6，則有P=AB×A'B'=12×45，Q=BC×B