高數(shù)第十二章 全微分方程

1、1第五節(jié)第五節(jié) 全微分方程全微分方程0 全微分方程及其解法全微分方程及其解法0 積分因子積分因子2一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法( , )( , )( , )du x yP x y dx Q x y dy 如如果果一一階階微微分分方方程程 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy():u = u x, y的的左左端端恰恰好好是是某某一一個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分(1)則則稱稱方方程程為為全全微微分分方方程程. .3例如對于方程例如對于方程, 0 ydyxdx221(),2xdxydydxy 所以方程是全微分方程所以方程是全微分方程. .全微分方程的判別全微分

2、方程的判別( , )( , )0P x y dxQ x y dy 是是全全微微分分方方程程PQyx 4全全微微分分方方程程的的解解法法 ( )yx 如如果果是是全全微微分分方方程程 1 1 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy ,的的解解 則則有有( , ( )0du xx ,( , ( )u xxC 因因此此( )( , )yxu x yC 即即是是由由所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù). .( , )( , )( , )P x y dxQ x y dydu x y其其中中50uu dyxxy dx兩兩端端對對 求求導(dǎo)導(dǎo), ,得得 ( , ( )u xxC 0uudxdyx

3、y即即有有 ( , )( , )0P x y dxQ x y dy亦亦即即 ( , )(1).u x yC 這這表表明明由由所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)是是方方程程的的解解 ,( , )( ),u x yCyx 反反之之 如如果果確確定定一一個個可可微微的的隱隱函函數(shù)數(shù)則則6:結(jié)結(jié)論論 如如果果方方程程 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy( , )u x yC ( , ),u x y的的左左端端是是函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分 則則C就就是是該該微微分分方方程程的的隱隱式式通通解解. .其其中中 為為任任意意常常數(shù)數(shù). . yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),

4、(),(0000( , )( , )( ,)yxyxu x yQ x y dyP x y dx或或 ( , )u x y 的的求求法法7 423222(53)(33)01xxyydxx yxyydy解解例例求求Qx 423222( )53,( )33P x =xxyyQ xx yxyy解解 263Pxyyy .所所以以方方程程是是全全微微分分方方程程423200( , )(53)xyu x yxxyydxy dy522333123xx yxyy8所所以以原原方方程程的的通通解解為為522333123xx yxyyC( , )u x y另另解解 設(shè)設(shè)滿滿足足 42322253,33uuxxyyx

5、 yxyyxy,x第第一一式式對對 積積分分 得得52233( )2uxx yxyy 9,y上上式式對對 求求導(dǎo)導(dǎo) 得得2233( )ux yxyyy 22233x yxyy31( )3yy 2( )yy 所所以以 5223331( , )23u x yxx yxyy于于是是522333123xx yxyyC故故原原方方程程的的通通解解為為10.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 方程是全微分方程方程是全微分方程,將左端重新組合將左端重新組合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解為原方程的

6、通解為),1(32yxyd 例例2湊全微湊全微分法分法11 有有些些方方程程被被判判定定是是全全微微分分方方程程后后，不不必必按按上上述述一一般般方方法法求求解解，可可以以采采取取“分分項項組組合合”的的方方法法, ,先先將將那那些些本本身身已已構(gòu)構(gòu)成成全全微微分分的的項項分分出出, ,再再把把剩剩余余的的項項湊湊成成全全微微分分。一一些些簡簡單單的的二二元元函函數(shù)數(shù)全全微微分分有有： 222222()()()(ln)1(arctan)(ln)2ydxxdyxydxxdyd xydyyydxxdyyydxxdyxddxxxyyydxxdyxydxxdyxyddxyyxyxy 12二、積分因子法

7、二、積分因子法問題問題: : 如何求方程的積分因子如何求方程的積分因子?( , ) ( , )( , ) ( , )0 x y P x y dxx y Q x y dy x, y 如如果果有有一一個個適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡暮瘮?shù)數(shù) = (= (定定義義) )使使,( , )x y 是是全全微微分分方方程程 則則稱稱函函數(shù)數(shù)是是方方程程( , )( , )0P x y dxQ x y dy .的的積積分分因因子子13在在簡簡單單的的情情形形, ,可可用用觀觀察察法法求求積積分分因因子子. .0.ydxxdy 求求解解方方程程例例 3 32()xydxxdydyy 解解 因因 21,y用用乘乘以以原原方方程

8、程的的兩兩端端 得得20ydxxdyy 就就化化為為一一個個全全微微分分方方程程. .()0又又xdy .xCy 所所以以原原方方程程的的通通解解為為 14 1.,:0ydxxdy同同一一方方程程可可以以有有不不同同的的積積分分因因子子 例例如如 注注22221111,.xyxyxy 的的積積分分因因子子有有,因因此此 在在具具體體解解題題過過程程中中由由于于所所用用的的積積分分因因子子不不同同，從從而而通通解解可可能能具具有有不不同同的的形形式式. . 2.,在在實實際際解解方方程程時時 可可以以采采取取“分分項項組組合合” 的的方方法法, ,先先將將那那些些本本身身已已構(gòu)構(gòu)成成全全微微分分

9、的的 項項分分出出, ,再再把把剩剩余余的的項項組組合合, ,再再考考慮慮積積 分分因因子子. .15(1)(1)0.xy ydxxy xdy 求求微微分分方方 例例程程的的通通解解4 4解解 分分項項組組合合()()0ydxxdyxy ydxxdy22()()0dxdyd xyx yxy即即 22()()0d xydxdyxyx y 11ln |ln |xyCxy積積分分得得1xyxCey 或或 16),(yxfy 可降階高階微分方程 第六節(jié)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第十二章 1

10、7一、一、)()(xfyn解法：連續(xù)積分n 次, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 .型的微分方程型的微分方程 .cos2xeyx 求解例例1. 解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC18,00tx例例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點受力F 的作用沿 ox 軸作直線運動,在開始時刻,)0(0FF隨著時間的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時 F(T) = 0 . 如果開始時質(zhì)點在原點, 解解: 據(jù)題意有)(dd22tFtxmtFoT0FF0(1)tFT0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時

11、設(shè)力 F 僅是時間 t 的函數(shù): F = F (t) . 小,求質(zhì)點的運動規(guī)律. 初速度為0, 且對方程兩邊積分, 得 19120)2(ddCTttmFtx利用初始條件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點運動規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx20),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、21例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3

12、 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為22例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標(biāo)系如圖. 考察最低點 A 到sg( : 密度, s :弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHT1tansa M Mgsgsoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問該繩索的平衡狀態(tài)

13、是怎樣的曲線 ? 任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況: T T A 點受水平張力 HM 點受切向張力T兩式相除得H H A A23MsgoyxHA211yya , aOA 設(shè)則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得2 2A Ar rs sh hl ln n( (1 1) )p pp pp p ,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為axaych)(2axaxeeaa21p24三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令,yp x

14、pydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy25例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解解:,yp 設(shè)設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd26M : 地球質(zhì)量m : 物體質(zhì)量例例6. 靜止開始落向地面, 求它落到地面時的速度和所需時間(不計空氣阻力). 解解: 如圖所示選取坐標(biāo)系. 則有定解問題:22ddtym2yMmk,0lyt00

15、ty,ddtyv 設(shè)tvtydddd22則ddddvyytddvvy 代入方程得,dd2yyMkvv積分得122CyMkv一個離地面很高的物體, 受地球引力的作用由 yoRl27,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2兩端積分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得28由于 y = R 時,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )時的速度和所需時間分別為)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222d

16、dtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl29說明說明: 若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv問問: 此時開方根號前應(yīng)取什么符號? 說明道理 .則定解問題為30例例7. 解初值問題解解: 令02 yey,00 xy10 xy,yp ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得31內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令,yp xpy