概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙大版)第四章課件

1、關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征問題的提出： 在一些實際問題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。例： 在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的 偏離程度； 考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度；1 數(shù)學(xué)期望 例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績 如下： 評定他們的成績好壞。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次數(shù)1080108

2、910乙次數(shù)20651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100對于甲來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；2065158910100100100對于乙來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；數(shù)學(xué)若用期望它們相應(yīng)的概率表示，就得到了，也稱為均值(加權(quán)均值)。 解：計算甲的平均成績： 計算乙的平均成績： 所以甲的成績好于乙的成績。定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機(jī)變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂，

3、 , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為隨機(jī)變量 的，記為 數(shù)學(xué)期望 即 絕對收斂 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。 例2：有2個相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時計)的數(shù)學(xué)期望。 解：1,2 ,kXk 1 0( ) 00 0 xexf xx1 0 (1,2) ( )0 0 xkexXkF xx的分布函數(shù)221 0( )1 (1( )0 0 xminexFxF

4、 xx 22 0( )0 0 xminexfxx222000 |22xxxxeedxe 是指數(shù)分布的密度函數(shù)12,Nmin XXN串聯(lián)情況下，故 的分布函數(shù)為：問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)的平均壽命又該如何計算？根據(jù)N的概率密度fmin(x),可得到E(N).202 ()xE Nxedx()2E N從而 例3：設(shè)有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器 時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。4812()012545459E X 解：X的分布律為：01282 82 11010 910 9kXp0124 58 451 45

5、kXp 例4：設(shè)一臺機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生 故障時全天停工。若一周5個工作日里無故障，可獲 利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障 獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi) 期望利潤是多少？( )5.216E Y 于是 （萬元）解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)， (5, 0.2)Xb則設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則5(10)(0)(1 0.2)0.328,P YP XY其余同理可得，于是 的分布率為：205100.0570.2050.4100.328kYp 例5：( ),()XE X 。設(shè) 求() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律為：X的數(shù)

6、學(xué)期望為：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即例6：( , )()XU a bE X。設(shè) ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度為： 其他X的數(shù)學(xué)期望為：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點10幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX則則的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè) (),YXYg Xg定理：設(shè) 是隨機(jī)變量 的函數(shù)

7、：是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。 ,X Y若二維離散型隨機(jī)變量的分布律為：,(, ),ZX YZg X Yg定理：設(shè) 是隨機(jī)變量的函數(shù)：是連

8、續(xù)函數(shù)(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp則有這里設(shè)上式右邊的級數(shù)絕對收斂，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 則有這里設(shè)上式右邊的積分絕對收斂,X Y若二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為：()( , )E Xxf x y dxdy 特別地， 例7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進(jìn) 行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截 面面積S的數(shù)學(xué)期望。2( )( )4E Sx f x dx1, 12( )0, xXf x解： 的密度函數(shù)為：其他2

9、214xdx71224XS 例8：,X Y設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。()(00)(1 0)( )sinsin0.1 sin0.15222(0 1)(1 1)(02)sin0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYE ZE解： 例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為： 3231 ,12( , ) 0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求數(shù)學(xué)期望。X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx 解：321323 0123( )( )( )

10、12 0 yYYydxyx yE Yyfy dyfydxyx y先求，這里 其他考慮：321132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 11()( , )Ef x y dydxXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算對了嗎？哪個更容易呢?10例 ：某商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨量X與需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間10,20上均勻分布。商店每售出一單位商品可獲利1000元；若需求量超過進(jìn)貨量，商店可從它處調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品可獲利500元

11、；試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所獲得利潤的數(shù)學(xué)期望。1000 , (, )500(X+Y), YYXZg X YYX若若解：設(shè)Z表示該種商品每周所得的利潤，則 (, )1 100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互獨(dú)立，因此的概率密度為其他202020101010( )( , ) ( , )10001 100500() 1 10014166.7(xxE Zg x y f x y dxdydxydydxxydy 元）數(shù)學(xué)期望的特性： ()()( )E aXbYcaE XbE Yc將上面三項合起來就是：這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量線性組合的情況( )CE CC

12、設(shè) 是常數(shù)，則有1.()()XCE CXCE X設(shè) 是一個隨機(jī)變量， 是常數(shù)，則有2.,()()( )X YE XYE XE Y設(shè)是兩個隨機(jī)變量，則有3.,()() ( )X YE XYE X E Y設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有4.證明：1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常數(shù)，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面僅對連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：19 dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，則，則密度為密度為的概率的概率二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量：設(shè)：設(shè)證明證明 dydxyxyfdydxyxxf),(),()(

13、)()()(YEXEdyxyfdxxfxYX dydxyxfydxdyyxfx ),(),(20 dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),()4(，則，則密度為密度為的概率的概率二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量：設(shè)：設(shè)證明證明 dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(獨(dú)立獨(dú)立與與)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX 例例1111：一民航送客車載有一民航送客車載有2020位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有1010 個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就 不停車，以不停車，以X X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次

14、數(shù)，求 ( (設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨(dú)立客是否下車相互獨(dú)立) )()E X。0 1,2,101 iiXii第 站沒有人下車第 站有人下車1210 XXXX易知：121020()()()()9 101 () 8.784()10E XE XE XE X次()(1)iiE XP X()Pi第 站有人下車2091 ()10 本題是將本題是將X X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理

15、方法具有一定的普遍意義。數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解：引入隨機(jī)變量： 例12： (),1,2,3,4.iE Xi i解：12341234,(0, 2 ),( ).XXXXUiXXYXXE Yi設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，X求行列式的數(shù)學(xué)期望1423YX XX X14231423( )()()() ()() ()1 42 32E YE X XE X XE X E XE XE X 由條件，23總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計算方法總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計算方法 數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 例例11的方法：的方法：“X分解成數(shù)個隨機(jī)變量

16、之分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，和，利用利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也可能結(jié)合使用?？赡芙Y(jié)合使用。24定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機(jī)變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , 0!keXP Xkkk的分布律為：()E X由上節(jié)例5已算得2 ()E X而22 ()() ()D XE XE X所以即泊松分布的均值與方差相等，都等于參數(shù)(1)()E X XE X(1

17、)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。設(shè)，求 例4：( , )() XU a bD X。設(shè)，求22()( )E Xx f x dx22()() ()D XE XE X1 ( )0 axbbaf x其他()2abE X上節(jié)例6已算得：21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：X的概率密度為： 例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：1 0( ) 0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()( )E Xxf x dx解：即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)即

18、對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)01xxedx00|xxxeedx 22()( )E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx 22()() ()D XE XE X于是 2222方差的性質(zhì)： 22, ,()()( )X Ya b cD aXbYca D Xb D Y綜合上述三項，設(shè)相互獨(dú)立，是常數(shù)，則( )0CD C 1. 設(shè) 是常數(shù)，則2()()XCD CXC D X2. 設(shè) 是隨機(jī)變量， 是常數(shù)，則有,()()( )2()( ),()()( )X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XD Y3. 設(shè)是兩個隨機(jī)變量， 則有 特別

19、，若相互獨(dú)立，則有4. ()0()1 ()D XP XCCE X且證明：21. ( )( )0D CECE C22222222222. ()() ()() () () ()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223. ()()()()( ) ()( )2()( ) ()( )2()( )D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEYE YEXE XYE YD XD YEXE XYE Y4. 證略。,()( )()( )() ( )0()()( )X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y當(dāng)相互獨(dú)立時，與相互

20、獨(dú)立故所以40X與與Y 相互獨(dú)立：已知相互獨(dú)立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3 。 E(X-2Y)；D(X-2Y) 。解：由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)解：由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì) 例6：( , )(),()Xb n pE XD X。設(shè)，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次試驗發(fā)生在第 次試驗不發(fā)生Xkpk011-pp12 nXXXX易知：11()()()nniiiiE XEXE Xnp故知：()()(1)E XnpD Xnpp即，11()()()(1)nniiiiD XDXD XnppXnAp。解：隨機(jī)變量 是 重伯努利試驗中事件 發(fā)生的次數(shù)，設(shè)P(A)= 引入隨機(jī)變量：12,0 1

21、nXXX于是相互獨(dú)立，服從同一分布：,0 1n pnp以為參數(shù)的二項分布變量，可分解為 個相互獨(dú)立且都服從以 為參數(shù)的分布的隨機(jī)變量之和。 例7： 解：2( ,)(),()XNE XD X 。設(shè)，求XZ先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和方差221( )2tZte的概率密度為：221( )02tE Ztedt于是 22()(),()()( )XZE XEZD XDZD Z因為，故2( )()D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2, 即正態(tài)分布的兩個參數(shù)分別是該分布的數(shù)學(xué)期望和方差。012121222222220111122(,) 1,2, ,(,)nnnnnniiin

22、CC XC XC XN CXNinCCCCCCCC若且它們相互則它們的線性組合獨(dú)立是不全：為0的常數(shù) (1,3)(2,4),23( 4,48)XNYNX YZXYN如:，且相互獨(dú)立，則n獨(dú)立的 個正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布：例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。2(22.40,0.03 ),XN2(22.50,0.04 ),YN()(0)P XYP XY解：按題意需求2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.9772表表1 1 幾種常見分布的均

23、值與方差幾種常見分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望 方差 分布率或分布率或 密度函數(shù)密度函數(shù) 分布分布01分布分布 p p(1-p)二項分布二項分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布U(a,b)指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )EP,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 246幾個與期望及方差有關(guān)的練習(xí)題幾個與期望及方差有關(guān)的練習(xí)題1

24、、設(shè)、設(shè)X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,方差方差D(X)=4,則則E(X2)= ；2、設(shè)、設(shè)X B(n,p),已知已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,則則 n= ; P= ;3、設(shè)、設(shè)X P()，且，且P(X=1)=P(X=2),則則E(X)= , D(X)= ;8820.2247總結(jié)方差的計算方法總結(jié)方差的計算方法 定義法：函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義法：函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 常用公式：常用公式：D(X)=E(X2)-E(X)2 X分解成數(shù)個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，分解成數(shù)個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，利用利用D(X)=D (X1 +X2+Xn)= D (X1)+ D (X2

25、)+ +D (Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也可能結(jié)合使用?？赡芙Y(jié)合使用。48作業(yè)題作業(yè)題P94 ：1，73 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。 定義： ()( )(, )(, )()( ) .(, )()( )XYXYEXE XYE YXYCov X YCov X YEXE XYE YCov X YD X D YXY量稱為隨機(jī)變量 與 的協(xié)方差，記為：，即稱為隨機(jī)變量 與 的相關(guān)系數(shù).是一個無量綱的量50 dxdyyxfYEyXExyxpYE

26、yXExjiijji),()()(),()()(協(xié)方差的計算協(xié)方差的計算)()(),()(YEYXEXEYXCOV 定義法：定義法：1證證(2):(2):)()()(),()(YEXEXYEYXCOV 公式法：公式法：2)()(),(YEYXEXEYXCOV )()()()(YEXEXYEYXEXYE )()()()()()()(YEXEXEYEYEXEXYE )()()(YEXEXYE 注注: X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 0 ),cov(YX協(xié)方差的性質(zhì)：(,)? ()?Cov aXbY cXdYD aXbY22()( )()(, ) ()( )2(, )acD XbdD Yadbc Cov X

27、 Ya D Xb D YabCov X Y答案：思考題：思考題： (, )( ,)(,)()1. Cov X YCov Y XCov X XD X， (,2. )()() ( )Cov X YE XYE X E Y (,)(, ) ,3. Cov aX bYabCov X Ya b是常數(shù)1212 (, )(, )(,4.)Cov XXYCov X YCov XY5)()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y52124)()COV XXY，)()()()()()(YEXEYXEYEXEYXE2211 )()()(YEXXEYXXE2121 證明證明4)4)：利用利用)()()()

28、(YEXEXEYXYXE2121 )()()(),(YEXEXYEYXCOV ),(),(21YXCOVYXCOV 53例例1、設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為：的分布律為：0101-p010pXY求求COV(X,Y).求解求解用用)()()(),(YEXEXYEYXCOV ppyxXYEijijji )()(解：解：XY0101-p010p540101-p010pXYjp. ipp1pp1p155易知易知:X01Y01E(X)=P E(Y)=P)()()(),(YEXEXYEYXCOV )1()(22ppppppyxijijji ipp 1pjpp 1p56例例2：設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度為：的概率

29、密度為：).,(.,;,),(YXCOVyxyxyxf求求其它其它 01010)()()(),(YEXEXYEYXCOV 解：解： dxdyyxfxyXYE),()()(31)(1010 dyyxxydx57 1010)(dyyxxdxXY11D0 dxdyyxxfXE),()(127 58 1010)(dyyxydx127 dxdyyxyfYE),()(：同同理理1441127312 )()()()(),(YEXEXYEYXCOV59 0, 10, 1)0(211aaabaXYXYXY ）（）（相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)線性關(guān)系線性關(guān)系60證明（證明（1）Rk 022 )(),cov()(

30、)(YDYXkXDkYkXD 0442 )()(),cov(YDXDYX122 )()(),(covYDXDYXXY 1 XY 61baXY )2()()()()(),cov(),cov(XaDXEXaEbaXEbaXXEXEbaXXYX 2)()()(XDabaXDYD2 aaXDaXDXaDYDXDYXCOVXY )()()()()(),( 0, 10, 1aa 略略62不相關(guān)不相關(guān), 0 XY 相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義 相關(guān)系數(shù)是描述了相關(guān)系數(shù)是描述了X與與Y線性相關(guān)程度線性相關(guān)程度負(fù)負(fù)相相關(guān)關(guān)正正相相關(guān)關(guān), 0,0 XYXY X,Y不相關(guān)不相關(guān)(弱弱)X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立(強(qiáng)強(qiáng))

31、(沒有線性關(guān)系）沒有線性關(guān)系）(沒有任何關(guān)系）沒有任何關(guān)系）可能會有別的關(guān)系，可能會有別的關(guān)系，如二次關(guān)系。如二次關(guān)系。63復(fù)習(xí)公式復(fù)習(xí)公式()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y()()( )2()( )XYD XYD XD YD XD Y()()( )2()( )D XYD XD YEXE XYE Y64實用的相關(guān)系數(shù)計算公式實用的相關(guān)系數(shù)計算公式(, )()( )XYCov X YD X D Y22()( ) ( ,)()( ,)( )( ,)ijijijiijjijijijxE XyE Yp x yxE Xp x yyE Yp x y22()( )()( )ijiji

32、ipiiiiixE XyE YxE XyE Y 651XY1XY66-2-1.5-1-0.500.511.52-3-2-10123Variable 1Variable 2Data Correlations67-2-1.5-1-0.500.511.52-3-2-10123Variable 1Variable 2Data Correlations68-2-1.5-1-0.500.511.52-3-2-10123Variable 1Variable 2Data Correlations% Compute sample correlationr = corrcoef(var1,var2)69-2-1.

33、5-1-0.500.511.52-3-2-10123Variable 1Variable 2Data Correlations% Compute sample correlationr = corrcoef(var1,var2)r = 1.0000 0.7051 0.7051 1.000070練習(xí)題練習(xí)題計算文檔計算文檔testdata2.txt中數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)中數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)步驟：步驟：1、用、用textread函數(shù)讀取文檔testdata2.txt中的數(shù)據(jù) 2、用corrcoef函數(shù)計算讀取的兩個隨機(jī)變量數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)71Solution%read datavar1, var2 = tex

34、tread(testdata2.txt,%f%f,headerlines,1)% Compute sample correlation r = corrcoef(var1,var2)% Plot data pointsfigure(1)plot(var1,var2,ro) Variable 2Variable 172程序運(yùn)行結(jié)果程序運(yùn)行結(jié)果r = 1.00000000000000 0.59479245787995 0.59479245787995 1.00000000000000所以相關(guān)系數(shù)等于：所以相關(guān)系數(shù)等于：0.5947924578799573相關(guān)系數(shù)等于：相關(guān)系數(shù)等于：0.594792

35、4578799574應(yīng)用應(yīng)用1：缺陷檢測：缺陷檢測 例1：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(| X| =|Y| )=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否 不獨(dú)立？ .,10111 401 211 41 41 21 4jiX YXYpp解： 先求的聯(lián)合分布率：000001 41 41 41 4()( 1) 1 40 1 2 1 1 40()( 1) ( 1) 1 4( 1) 1 1 41 ( 1) 1 4 1 1 1 40E XE XY (, )0,OVYCX YX所以，與即不相關(guān).(1,1)0,(1) (1)1 4 1 4P XYP XP Y

36、(1,1)(1) (1)P XYP XP YXY 所， 與以不獨(dú)立。 21222112222212121 ( , )21()()()()1exp22(1) f x yxxyyXYXYXY 它的概率密度為：求 和 的相關(guān)系數(shù)，并證明 與 相互獨(dú)立與 不相關(guān),X Y解：由于的邊緣概率密度為：121()2211( ) 2XXfxex ；222()2221( ) 2YYfyey 續(xù)221122(),()( ),( )E XD XE YD Y所以；),(),(222121 NYX二二維維正正態(tài)態(tài)例例 212(, )()()Cov X YEXY而12()() ( , )xyf x y dxdy 121()

37、221221222212212()()2211()2(1)Xxyedxexpyxdy 121()221221211()()2Xxexdx 121()2222111() 2Xxedx 221121 (, )()( )XYCov X YD XD Y于是續(xù)(, ),X YX YX Y即二維正態(tài)變量的概率密度中的參數(shù)就是的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)變量的分布完全可由各自的均值、方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定。 (, )0 (, )XYXYXYX YXYX Y若服從二維正態(tài)分布，那么 和 相互獨(dú)立現(xiàn)在知道，從而和 不相知：對于二維正態(tài)變量來關(guān)，與說相互獨(dú)立 例3：設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布， 記U=X-Y,V=X+Y,則隨機(jī)變量U與V是否一 定不相關(guān)，是否一定獨(dú)立？,( , )(,)()( )0VCOV U VCOV XY XYD XD YUV解： 先求U的協(xié)方差：所以， 與 一定不相關(guān)。1UVXYUV當(dāng)與 不一定獨(dú)立。舉例如下：（） 設(shè) 與 獨(dú)立，服從正態(tài)分布，則（ ， ）也服從正態(tài)分布，對于二維正態(tài)分布，獨(dú)立與不相關(guān)等價，從而U與V獨(dú)立。2 (1,1 2),(0 1)(1,0)(1,0)0(1)(1)(1,0)1 4,(0)(0)(0,