第四講 權(quán)及中誤差的計算

1、本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法 權(quán)的定義權(quán)的定義 單位權(quán)單位權(quán) 測量中常用的定權(quán)方法測量中常用的定權(quán)方法二、單位權(quán)中誤差的計算二、單位權(quán)中誤差的計算 由真誤差計算中誤差由真誤差計算中誤差 由改正數(shù)計算中誤差由改正數(shù)計算中誤差 由三角形閉合差計算測角中誤差由三角形閉合差計算測角中誤差 由雙觀測值之差計算中誤差由雙觀測值之差計算中誤差22002:,),.,2 , 1(iiiipniL，則定義如選定任一常數(shù)它們的方差為設(shè)1 1、權(quán)的定義、權(quán)的定義稱為觀測值稱為觀測值LiLi的權(quán)。權(quán)與方差成反比。的權(quán)。權(quán)與方差成反比。2222122022202120211:1:1:nnn

2、ppp一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法第四講第四講 權(quán)與單位權(quán)中誤差權(quán)與單位權(quán)中誤差123,2,4,3,kmkmkmkm例：已知若02km則123221,43ppp若04km則12342,1,3ppp一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法3 3）權(quán)是衡量精度的相對指標，為了使權(quán)起到比較精）權(quán)是衡量精度的相對指標，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個問題只選一個度的作用，一個問題只選一個 0 0。4 4）權(quán)可能有量綱，也可能無量綱，視）權(quán)可能有量綱，也可能無量綱，視 0 0和和 的單位而的單位而定。定。5 5）方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征。）方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征。一、權(quán)與定權(quán)的

3、常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法2 2）選定了）選定了 0 02 2，即對應(yīng)了一組權(quán)。，即對應(yīng)了一組權(quán)。1 1）權(quán)的大小隨）權(quán)的大小隨 0 02 2 而變化，但權(quán)比不會發(fā)生變化。而變化，但權(quán)比不會發(fā)生變化。2 2、單位權(quán)中誤差、單位權(quán)中誤差測值。的觀測值稱為單位權(quán)觀等于稱為單位權(quán)中誤差，權(quán)10iiP02202021令i=0，則得:一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法例：在圖中水準網(wǎng)中，在認為每公里觀測值高差的精例：在圖中水準網(wǎng)中，在認為每公里觀測值高差的精度相同的前提下，確定各條路線的權(quán)度相同的前提下，確定各條路線的權(quán)令：按權(quán)的定義各路線觀測值的權(quán)為按權(quán)的定義各路線觀測值的權(quán)為一、權(quán)與定

4、權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法S1=1.0kmS2=2.0kmS3=4.0kmS4=8.0km12=S12公里公里22=S22公里公里32=S32公里公里42=S42公里公里02=12P1=1.0, P2=0.5， P3=0.25， P4=0.125 02=42 ?設(shè)每公里觀測值高差的方差為設(shè)每公里觀測值高差的方差為 ,各水準路線的方差為各水準路線的方差為2公里公里3 3、測量上確定權(quán)的常用方法舉例、測量上確定權(quán)的常用方法舉例 （1 1）同精度獨立觀測算術(shù)平均數(shù)的權(quán)）同精度獨立觀測算術(shù)平均數(shù)的權(quán) )(121nLLLnL222222212211)(1nnnnnL220pnpnnpLL2202

5、20220)(算術(shù)平均數(shù)的權(quán)是等精度觀測值的權(quán)的算術(shù)平均數(shù)的權(quán)是等精度觀測值的權(quán)的n倍倍一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法3 3、測量上確定權(quán)的常用方法舉例、測量上確定權(quán)的常用方法舉例 （2 2）水準測量的權(quán)）水準測量的權(quán) 水準測量中高差的權(quán)與路線長成反比水準測量中高差的權(quán)與路線長成反比 一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法設(shè)每公里觀測高差獨立且等精度，每公里中誤差為設(shè)每公里觀測高差獨立且等精度，每公里中誤差為km設(shè)水準路線長設(shè)水準路線長S S，且，且SkmSkm的觀測高差值為的觀測高差值為h h，有，有 h2=S2km02=C2km則有則有SkmSkm的觀測高差的權(quán)為：的觀

6、測高差的權(quán)為： SCSCpkmkmhh222203 3、測量上確定權(quán)的常用方法舉例、測量上確定權(quán)的常用方法舉例 （3 3）水準測量的權(quán)）水準測量的權(quán)一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法設(shè)每站觀測高差獨立且等精度，每站中誤差為設(shè)每站觀測高差獨立且等精度，每站中誤差為站站 n n站所測的總高差為：站所測的總高差為：h2=n2站站02=C2站站總高差的權(quán)為總高差的權(quán)為nCnCphh站站22220解：由同精度觀測值的算術(shù)解：由同精度觀測值的算術(shù)平均值的基本公式得平均值的基本公式得所以每次丈量所以每次丈量10km10km的距離的權(quán)為：的距離的權(quán)為：iSiiSCP 長度為長度為的距離的權(quán)為：的距離

7、的權(quán)為：例例1 1：設(shè)對丈量：設(shè)對丈量1010公里的距離，同精度丈量公里的距離，同精度丈量1010次，令其平次，令其平均值的權(quán)為均值的權(quán)為5 5，每次丈量，每次丈量1010公里的權(quán)為多少？現(xiàn)以同樣等公里的權(quán)為多少？現(xiàn)以同樣等級的精度丈量級的精度丈量2.52.5公里的距離。問丈量此距離一次的權(quán)是公里的距離。問丈量此距離一次的權(quán)是多少？在本題演算中是以幾公里的丈量中誤差作為單位多少？在本題演算中是以幾公里的丈量中誤差作為單位權(quán)中誤差的？權(quán)中誤差的？一、權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)與定權(quán)的常用方法npnnpLL220220220)(5 . 010510nppL5C02=C2KM本題演算中是以本題演算中是

8、以5km5km距離一次丈量距離一次丈量中誤差作為單位權(quán)中誤差的。中誤差作為單位權(quán)中誤差的。 25 . 25 . 2CP1010CP1 由真誤差計算中誤差由真誤差計算中誤差二、單位權(quán)中誤差的計算二、單位權(quán)中誤差的計算i設(shè)觀測值為設(shè)觀測值為Li，i=1，2，n；數(shù)學期望為；數(shù)學期望為u，觀測，觀測的真誤差為的真誤差為 ，并且服從正態(tài)分布，并且服從正態(tài)分布，（1）等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：）等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：n0（2）不等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：）不等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：np02 由改正數(shù)計算中誤差由改正數(shù)計算中誤差二、單位權(quán)中誤差

9、的計算二、單位權(quán)中誤差的計算在進行在進行n次觀測時，求得觀測值的改正數(shù)次觀測時，求得觀測值的改正數(shù)V=v1 v2 vn T之后，進而可求得中誤差之后，進而可求得中誤差（1）當）當n有限時，等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為有限時，等精度觀測的情況下，單位權(quán)中誤差估值為 10nvv（2）若是不等精度觀測，而且觀測對象不止一個而是）若是不等精度觀測，而且觀測對象不止一個而是t個的情個的情況下，單位權(quán)中誤差估值為：況下，單位權(quán)中誤差估值為：tnpvv0白塞爾公式白塞爾公式，菲列羅公式菲列羅公式3由三角閉合差求測角中誤差由三角閉合差求測角中誤差三角形的閉合差是中誤差，三角形的閉合差是中誤差，當當n

10、 n有限內(nèi)角和的中誤差為有限內(nèi)角和的中誤差為則由誤差傳播律得則由誤差傳播律得n223設(shè)三角形觀測時每個內(nèi)角的測角中誤差相等設(shè)三角形觀測時每個內(nèi)角的測角中誤差相等 ，且獨立，且獨立，n331 已知等精度獨立觀測三角形之內(nèi)角，由此得到內(nèi)角和已知等精度獨立觀測三角形之內(nèi)角，由此得到內(nèi)角和閉合差為閉合差為 ，求測角中誤差，求測角中誤差 ？i 例例1 1：對一三角形的三個角進行了九組同精度：對一三角形的三個角進行了九組同精度的觀測，各組觀測值是對各角分別觀測四回的平均的觀測，各組觀測值是對各角分別觀測四回的平均值，得到三角形閉合差為：值，得到三角形閉合差為：5 . 25 . 25 . 55 . 05 .

11、 25 . 35 . 35 . 15 . 2 經(jīng)檢驗，各閉合差包含有系統(tǒng)性的常誤差經(jīng)檢驗，各閉合差包含有系統(tǒng)性的常誤差5 . 0 1 1、求這組閉合差的中誤差；、求這組閉合差的中誤差；2 2、各角觀測值的中誤差；、各角觀測值的中誤差；3 3、每測回觀測值的中誤差、每測回觀測值的中誤差3由三角閉合差求測角中誤差由三角閉合差求測角中誤差2.02.04.03.03.01.05.02.03.08199n由 解：）由于包含系統(tǒng)誤差，故偶然誤差解：）由于包含系統(tǒng)誤差，故偶然誤差 為：為：i則這組閉合差的中誤差為：則這組閉合差的中誤差為：3 ）3L由于3L所以3 3）L一測回1由于422 3L 一測回所以3

12、由三角閉合差求測角中誤差由三角閉合差求測角中誤差4由雙觀測值之差計算中誤差由雙觀測值之差計算中誤差 在測量工作中，常常對一系列觀測量分別進行成對在測量工作中，常常對一系列觀測量分別進行成對的觀測，這成對的觀測稱為的觀測，這成對的觀測稱為雙觀測雙觀測雙觀測差數(shù)為：雙觀測差數(shù)為：又設(shè)又設(shè)同一對同一對觀測時等精度的，不同的觀測對精度不同，且各觀測時等精度的，不同的觀測對精度不同，且各觀測對的權(quán)為觀測對的權(quán)為求單位權(quán)中誤差？求單位權(quán)中誤差？設(shè)對量設(shè)對量X X1 1，X X2 2，XXn n各觀測兩次，得獨立觀測值為：各觀測兩次，得獨立觀測值為： 2 121,nnLLLLLL iiLLd一對觀測的一對觀

13、測的差數(shù)差數(shù)為：為：差數(shù)的真誤差差數(shù)的真誤差為：為：按權(quán)倒數(shù)傳播律可得按權(quán)倒數(shù)傳播律可得差數(shù)的權(quán)差數(shù)的權(quán)為：為：用不等精度觀測的真誤差計算用不等精度觀測的真誤差計算單位權(quán)中誤差估值單位權(quán)中誤差估值為：為：可得可得4由雙觀測值之差計算中誤差由雙觀測值之差計算中誤差npddnddpnpddd220iiidppppi21112idppi4由雙觀測值之差計算中誤差由雙觀測值之差計算中誤差觀測對之差的單位權(quán)中觀測對之差的單位權(quán)中誤差為誤差為npddnddpd20對于單個觀測值而言，其中誤差為對于單個觀測值而言，其中誤差為iLiLip10 第第i個觀測對的平均值的中誤差個觀測對的平均值的中誤差iLiLp2120 當所有觀測對為等精度是，當所有觀測對為等精度是，其單位中誤差為其單位中誤差為ndd20例：設(shè)分例：設(shè)分5段測定段測定A,B兩水準點間的高差，每段各測兩次兩水準點間的高差，每段各測兩次，其結(jié)果列于下表，試求（，其結(jié)果列于下表，試求（1）每公里觀測高差的中誤差，）每公里觀測高差的中誤差，（2）第二段觀測高差的中誤差，（）第二段觀測高差的中誤差，（3）第二段高差的平均）第二段高差的平均值的中誤差，（值的中誤差，（4）全長一次（往返測）觀測高差的中誤差）全長一次（往返測）觀測高差的中誤差解：令解：令C=1.即即1km觀測高差為單位權(quán)觀