第1章 矢量分析(x4-48)1 (1)_第1頁(yè)
第1章 矢量分析(x4-48)1 (1)_第2頁(yè)
第1章 矢量分析(x4-48)1 (1)_第3頁(yè)
第1章 矢量分析(x4-48)1 (1)_第4頁(yè)
第1章 矢量分析(x4-48)1 (1)_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩115頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、第第1章章 矢量分析矢量分析 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 1.2 三種常用的正交系三種常用的正交系 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 第第1章章 矢量分析矢量分析 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散度無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散度 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 1.1.1 標(biāo)量和矢量 電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量, 能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量(Scalar)和矢量(Ve

2、ctor)。 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 1.1.1 標(biāo)量和矢量 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱(chēng)為標(biāo)量, 例如, 電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。 實(shí)際上, 所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 1.1.1 標(biāo)量和矢量 一個(gè)有大小和方向的物理量稱(chēng)為矢量,電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。 第第1章章 矢量分析矢量分析 單位矢量 的表示(代數(shù)) (1-1-1) AAeAAe其中, 代表矢量A的方向, 其大小等于1。 Ae第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量A的表示(代數(shù)) (1-1-2) 其中, A是矢量A的大小; AeA

3、A第第1章章 矢量分析矢量分析 一個(gè)大小為零的矢量稱(chēng)為空矢(Null Vector)或零矢(Zero Vector), 一個(gè)大小為1的矢量稱(chēng)為單位矢量(Unit Vector)。 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1.2 矢量的加法和減法 任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加, 它們的和仍然為矢量, 服從交換律和結(jié)合律A+B=B+A (交換律) (A+B)+C=A+(B+C) (結(jié)合律)(結(jié)合律)第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1.2 矢量的加法和減法 任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加, 即 A-B=A+(-B) 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.1.3 矢量

4、的乘法 矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。 1) 標(biāo)量積標(biāo)量積 任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量, 它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積, 記為 AB=AB cos 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1 .1.4 標(biāo)量積的圖示 BcosAB第第1章章 矢量分析矢量分析 標(biāo)積服從交換律和分配律AB=BA (交換律)(交換律) A(B+C)=AB+AC (結(jié)合律)(結(jié)合律)第第1章章 矢量分析矢量分析 2) 矢量積 任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積(Vector Product)是一個(gè)矢量, 矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積, 其方向垂直于矢量A與

5、B組成的平面, 記為 C=AB=anAB sin an=aAaB (右手螺旋)第第1章章 矢量分析矢量分析 圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積的圖示; (b) 右手螺旋CBAanaBaAOC ABBA(a)(b)第第1章章 矢量分析矢量分析 矢 量 積 又 稱(chēng) 為 叉 積 ( C r o s s Product), 如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零, 則這兩個(gè)矢量必然相互平行, 或者說(shuō), 兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量的叉積不服從交換律, 但服從分配律, 即 AB=-BA (同學(xué)課堂證明?。?A(B+C)=AB+AC (分配律)(分配律

6、) (同學(xué)課后證明?。┑诘?章章 矢量分析矢量分析 標(biāo)量三重積,有如下性質(zhì) A(BC)=B(CA)=C( AB) (同學(xué)課后證明?。?矢量三重積,有如下性質(zhì) A(BC)=B(AC)-C ( AB) (同學(xué)課后證明?。┑诘?章章 矢量分析矢量分析 1.2 三種常用的正交系三種常用的正交系 1.2.1 直角坐標(biāo)系 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1.2.1 直角坐標(biāo)系的矢量 P(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxay矢量A的表示(幾何)第第1章章 矢量分析矢量分析 直角坐標(biāo)系中的矢量可表示如下: A=exAx+eyAy+ezAz 第第1章章 矢量分析矢量分析 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系

7、式: exey=eyez= exez=0 exex=eyey=ezez=1 exey=ez, eyez=ex, ezex=ey exex=eyey=ezez= 0 第第1章章 矢量分析矢量分析 任意兩矢量的和等于對(duì)應(yīng)分量的和,即 A+B=ex (Ax+Bx)+ey ( Ay+By)+ez ( Az+Bz ) (同學(xué)課堂證明?。┑诘?章章 矢量分析矢量分析 任意兩矢量的標(biāo)量積, 用矢量的三個(gè)分量表示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz (同學(xué)課堂證明?。┑诘?章章 矢量分析矢量分析 在直角坐標(biāo)系中, 矢量的叉積還可以表示為 矢量的其他運(yùn)算詳見(jiàn)附錄。 zyxzyxzyxxyyxzzxxzyyzz

8、yxzzyyxxzzyyxxBBBAAAeeeBABAeBABAeBABAeBeBeBeAeAeAeBA )()()()()(第第1章章 矢量分析矢量分析 從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱(chēng)為位置矢量(Position Vector), 它在直角坐標(biāo)系中表示為 r=exx+eyy+ezz (1.2.6)其微分其微分dr=exdx+eydy+ezdz (1.2.7)第第1章章 矢量分析矢量分析 在直角坐標(biāo)系中面積元表示為dSx=dydz, dSy=dxdz, dSz=dxdy (1.2.8) 體積元表示為dV=dxdydz (1.2.9)第第1章章 矢量分析矢量分析 1.2.2 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 第第

9、1章章 矢量分析矢量分析 圖1.2.2 圓柱坐標(biāo)系z(mì)zazOrxP(, , z)yaa第第1章章 矢量分析矢量分析 00 2-z 圓柱坐標(biāo)中變量的范圍為 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖 1.2.3 圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系z(mì)z常數(shù)常數(shù)y常數(shù)Ox第第1章章 矢量分析矢量分析 x=cos y=sinz=z 圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為 第第1章章 矢量分析矢量分析 坐標(biāo)面 常數(shù)22yx 表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為的圓柱面, 的變化范圍為0。 坐標(biāo)面常數(shù)xyarctan表示一個(gè)以z軸為界的半平面, 的變化范圍為02。第第1章章 矢量分析矢量分析 坐標(biāo)面 z=常數(shù) 表示一個(gè)平行于xy平面的

10、平面。 z的變化范圍為-z+。 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1 .2 圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換Oyxaycosaaaysinaxcos axsin第第1章章 矢量分析矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量e和e在單位矢量ex和ey上的投影示于圖1-2, 顯然 e=ex cos+ey sin e=ex(-sin)+ey cos 圓柱坐標(biāo)系的位置矢量r可以表示為 r=e+ezz 第第1章章 矢量分析矢量分析 直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式為 zyxzeeeeee1000cossin0sincos第第1章章 矢量分析矢量分析 將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直角

11、坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 zzyxeeeeee1000cossin0sincos第第1章章 矢量分析矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中的矢量運(yùn)算:和、標(biāo)積和矢積: A+BABAB(同學(xué)課后推導(dǎo)!同學(xué)課后推導(dǎo)!)第第1章章 矢量分析矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量(與直角坐標(biāo)系的不同)除ez外, e和e都不是常矢量,它們的方向隨P點(diǎn)的位置不同而變化, 但e、e和ez三者始終保持正交關(guān)系, 并遵循右手螺旋法則, 即 ee=ez, eez=e, eze=e ee=ee=ezez= 0 第第1章章 矢量分析矢量分析 ee=eez=eez=0 ee=ee=ezez=1第第1章章 矢量分析矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中的任意一

12、點(diǎn)P沿、和z方向的長(zhǎng)度增量分別為 dl=d, dl=d, dlz=dz 它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為1, 1321dzdlhddlhddlhz第第1章章 矢量分析矢量分析 在圓柱坐標(biāo)系中,位置矢量表示為 r=e+ezz (1.2.20)其微分為其微分為dr=ed+ed+ezdz (1.2.21)第第1章章 矢量分析矢量分析 在圓柱坐標(biāo)系中面積元表示為dS =ddz, dS=ddz, dSz=dd(1.2.23) 體積元表示為dV= dddz (1.2.24)第第1章章 矢量分析矢量分析 作業(yè)作業(yè)1.11.4第第1章章 矢量分析矢量分析 1.2.3 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 第第1章章 矢量分析矢量分

13、析 圖 1 .2.5 球坐標(biāo)系 z常數(shù)常數(shù)r常數(shù)Oaaaryx第第1章章 矢量分析矢量分析 球坐標(biāo)也有三個(gè)坐標(biāo)面。 坐標(biāo)面 常數(shù)222zyxr表示一個(gè)半徑為r的球面, r的變化范圍為0 r 。 第第1章章 矢量分析矢量分析 坐標(biāo)面 =常數(shù) 表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、 以z軸為軸線的圓錐面, 的變化范圍為0 。 坐標(biāo)面常數(shù)xyarctan表示一個(gè)以z軸為界的半平面, 的變化范圍為0 2。 第第1章章 矢量分析矢量分析 0r0 0 2球坐標(biāo)中變量的范圍為 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖 1 .2-1 球坐標(biāo)系z(mì)rsinrcosryMxP(r, , )O第第1章章 矢量分析矢量分析 由圖1.2-1可以

14、看出, 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為 x=r sin cos y=r sin sin z=r cos 第第1章章 矢量分析矢量分析 球坐標(biāo)系中的矢量運(yùn)算:和、標(biāo)積和矢積: A+BABAB(同學(xué)課后推導(dǎo)!同學(xué)課后推導(dǎo)!)第第1章章 矢量分析矢量分析 球坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P(r, , )的三個(gè)單位矢量為ar、 a和a, 它們互相正交且遵循右手螺旋法則, 即 ara=a, aa=ar, aar=a arar=aa=aa= 0 ara=aa=ara=0 arar=aa=aa=1 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖 1.2-2 球坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量在ax、 ay和az 上的投影zOxPazcosaryaz(

15、sinaysinsinzPaOaycossinyaxcoscosaxsincosasinacosxzPaaycosxaax( sin(a)(b)(c)O第第1章章 矢量分析矢量分析 單位矢量ar、a和a在單位矢量ax、 ay 和az上的投影分別示于圖1.2-2(a)、(b)和(c)。 由圖1.2-2可以得到直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到球坐標(biāo)的表達(dá)式為zyxraaaaaa0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin第第1章章 矢量分析矢量分析 將上式求逆即可得到球坐標(biāo)中的單位矢量變換到直角坐標(biāo)的表達(dá)式為aaaaaarzyx0sincoscossincossinsin

16、sincoscoscossin第第1章章 矢量分析矢量分析 球坐標(biāo)系的位置矢量可以表示為 r=err 第第1章章 矢量分析矢量分析 在球坐標(biāo)系中,位置矢量表示為 r=err (1.2.35)其微分為其微分為dr=erdr +erd +ersind (1.2.36)第第1章章 矢量分析矢量分析 空間一點(diǎn)P沿r、和方向的長(zhǎng)度增量分別為 dlr=dr, dl=rd, dl=r sind 則球坐標(biāo)中的拉梅常數(shù)為 sin, 1321rddlhrddlhdrdlhr第第1章章 矢量分析矢量分析 而沿球面、=常數(shù)平面和=常數(shù)平面的三個(gè)面積元分別為 dSr=r2 sin dd dS=r sin drd dS=

17、r dr d 球坐標(biāo)的體積元為 dV=r2 sin drdd第第1章章 矢量分析矢量分析 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1.3.1 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。 在直角坐標(biāo)系中, 可將u表示為 u=u(x, y, z) 令 u(x, y, z)=C, C為任意常數(shù)第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1.3-1 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 100200300400第第1章章 矢量分析矢量分析 1.3.2 方向?qū)?shù) 1. 方向?qū)?shù)的定義 設(shè)P0為標(biāo)量場(chǎng)u=u(P)中的一點(diǎn), 從點(diǎn)P0出發(fā)引出一條射線l,在l上P0點(diǎn)鄰近取一點(diǎn)P,記線段 P0P =l, 如果當(dāng)PP0時(shí) 的極限存在, 則

18、稱(chēng)它為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)(Directional Derivative), 記為: lPuPululP)()(lim|000(1-3-3) lPuPululP)()(lim|000第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1.3.2 方向?qū)?shù)grad uuP0Plu u第第1章章 矢量分析矢量分析 2. 方向?qū)?shù)的計(jì)算公式 在直角坐標(biāo)系中, 設(shè)函數(shù)u=u(x, y, z)在P0(x0,y0,z0)處可微, 則有l(wèi)zzuyyuxxuPuPuu)()(0上式中, 當(dāng)l0時(shí)0。 第第1章章 矢量分析矢量分析 將上式兩邊同除以l并取極限得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式: coscoscoszuyux

19、ulu(1-3-4) 式中, cos, cos, cos為l方向的方向余弦。 第第1章章 矢量分析矢量分析 1.3.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1. 梯度的定義 定義一個(gè)矢量G, 其方向就是函數(shù)u在點(diǎn)P處變化率為最大的方向, 其大小就是這個(gè)最大變化率的值, 這個(gè)矢量G稱(chēng)為函數(shù)u在點(diǎn)P處的梯度(Gradient), 記為xyzuuugraduGaaaxyz(1-3-7)第第1章章 矢量分析矢量分析 2) 哈米爾頓(Hamilton)算子 引入一個(gè)矢性微分算子, 在直角坐標(biāo)系中有: zayaxazyx 式稱(chēng)作哈米爾頓算子, 記號(hào)(讀作del)是一個(gè)微分符號(hào), 同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。 第第1章章 矢量分析矢量

20、分析 2. 梯度的計(jì)算式梯度的計(jì)算式 算子與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。 在直角坐標(biāo)系中, 梯度又可以表示為(1-3-9) uzeyexeuzyx第第1章章 矢量分析矢量分析 標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的梯度表達(dá)式分別為sinrueruerueuzueueueurz第第1章章 矢量分析矢量分析 3. 梯度的性質(zhì) 梯度有以下重要性質(zhì): (1)標(biāo)量場(chǎng)u的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)。 (2) 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影, 即 (3) 標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度, 垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面, 且指向函數(shù)u(P)增大的方向。 即 梯度就是該等值面的法向矢量。 lulu第第1章章 矢量分析矢量分析 1.4

21、 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1.4.1 矢量場(chǎng)的矢量線 矢量場(chǎng)空間中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后, 它就可以寫(xiě)成如下形式: A=A(x, y, z)第第1章章 矢量分析矢量分析 設(shè)Fx, Fy, Fz為矢性函數(shù)F在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量, 且假定它們都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則F又可以表示為 F=exFx(x,y,z)+eyFy(x,y,z)+ezFz(x,y,z) 第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量線(ector Line) 定義:在曲線上的每一點(diǎn)處, 場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上(如圖1.4.1所示), 像靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的

22、磁力線、流速場(chǎng)中的流線等, 都是矢量線的例子。 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1 .4.1 力線圖 PA(r)drrO第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量線方程的表達(dá)式 設(shè)P為矢量線上任一點(diǎn), 其矢徑為r, 則根據(jù)矢量線的定義, 必有 Fdr= 0 第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量線方程的表達(dá)式 在直角坐標(biāo)系中, 矢徑r的表達(dá)式為 r=exx+eyy+ezz 根據(jù)定義得矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為zyxFdzFdyFdx(1.4.3)第第1章章 矢量分析矢量分析 【例1.4.1】 設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn), 它在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為rrqE304式中, q、 0

23、 均為常數(shù), r=exx+eyy+ezz為P點(diǎn)的位置矢量。求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1 .4.2 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線 zyx第第1章章 矢量分析矢量分析 1.4.2 通量 在矢量場(chǎng)A中取一個(gè)面元dS及與該面元垂直的單位矢量n(外法向矢量, 如圖1.4.3所示), 則面元矢量表示為 dS=ndS第第1章章 矢量分析矢量分析 dSnA 圖1.4.3 矢量場(chǎng)的通量及散度第第1章章 矢量分析矢量分析 由于所取的面元dS很小, 因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)A的值相同, A與面元dS的標(biāo)量積稱(chēng)為矢量場(chǎng)A穿過(guò)dS的通量(lux), 記作 AdS= cosdS 因此矢量

24、場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為 dSASdASScos第第1章章 矢量分析矢量分析 如果S是一個(gè)閉曲面, 則通過(guò)閉合曲面的總通量可表示為dSnASdASS第第1章章 矢量分析矢量分析 1.4.3 散度 1) 散度的概念 設(shè)有矢量場(chǎng)A, 在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S, 設(shè)S所限定的體積為V, 當(dāng)體積V以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí), 取下列極限: VdSnASV0lim第第1章章 矢量分析矢量分析 如果上式的極限存在, 則稱(chēng)此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度(Divergence), 記作VdSnAAdivSV0lim上式的物理意義物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。第第1章章 矢量分析矢

25、量分析 圖1 .4.5 單位立方體 O111zyx第第1章章 矢量分析矢量分析 在直角坐標(biāo)系中, 散度的表達(dá)式為zAyAxAAdivzyx第第1章章 矢量分析矢量分析 2) 哈米爾頓(Hamilton)算子 引入一個(gè)矢性微分算子, 在直角坐標(biāo)系中有: zayaxazyx 式稱(chēng)作哈米爾頓算子, 記號(hào)(讀作del)是一個(gè)微分符號(hào), 同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。 第第1章章 矢量分析矢量分析 算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。 在直角坐標(biāo)系中, 散度的表達(dá)式可以寫(xiě)為zAyAxAAAaAaAazayaxaAzyxzzyyxxzyx)(第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表

26、達(dá)式分別為ArArArrrAzAAAArzsin1)(sinsin1)(11)(122第第1章章 矢量分析矢量分析 1.4.4 散度定理在矢量分析中, 一個(gè)重要的定理是SdAdVASV上式稱(chēng)為散度定理。 第第1章章 矢量分析矢量分析 作業(yè)作業(yè)1.111.16第第1章章 矢量分析矢量分析 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 1.4.1 矢量場(chǎng)的矢量線 矢量場(chǎng)空間中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后, 它就可以寫(xiě)成如下形式: A=A(x, y, z)第第1章章 矢量分析矢量分析 1.5.1 環(huán)量 設(shè)有矢量場(chǎng)A, l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線, 定

27、義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線 積分為該矢量的環(huán)量(Circulation), 記作(如圖1.5.1所示)dlAl dAllcos 1.5 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1 .5-1 矢量場(chǎng)的環(huán)量 zxyOldlAP第第1章章 矢量分析矢量分析 1.5.2 旋度 1. 旋度的概念 設(shè)P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn), 作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元S, 其周界為l, 它的正向與面元S的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系右手螺旋關(guān)系(如圖1.5.2所示)。當(dāng)曲面S在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下, 以任意方式縮向P點(diǎn), 若其極限Sl dAlPSlim(1.5.2)第第1章章

28、矢量分析矢量分析 圖1 .5.2 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 nPlS第第1章章 矢量分析矢量分析 稱(chēng)固定矢量R為矢量A的旋度(Curl 或Rotation), 記作 rotA=R 上式為旋度矢量在n方向的投影, 如圖1.5.2所示, 即ArotSl dAnlPSlim第第1章章 矢量分析矢量分析 圖1.5.2 旋度及其投影 PlnrotA旋渦面第第1章章 矢量分析矢量分析 2. 旋度的計(jì)算式 矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。 在直角坐標(biāo)系中, 旋度的表達(dá)式為yAxAaxAzAazAyAaArotxyzzxyyzx第第1章章 矢量分析矢量分析 為方便起見(jiàn),也引入算子,則旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為zyxzyzAAAzyxaaaAArot第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為ArrAArrararaAAAAzaaaArrzzsinsinsin2第第1章章 矢量分析矢量分析 1.5.3 斯托克斯定理矢量分析中另一個(gè)重要定理是 dSrotAdlASl上式稱(chēng)為斯托克斯定理, 其中S是閉合路徑l所圍成的面積, 它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。第第1章章 矢量分析矢量

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論