高數(shù)考研輔導課件方法上

1、1 第二講第二講 研究函數(shù)與極限研究函數(shù)與極限 的的 基本方法基本方法2函數(shù)函數(shù)研究的對象研究的對象極限極限研究的工具研究的工具連續(xù)連續(xù)研究的橋梁研究的橋梁微積分學的基礎微積分學的基礎(英 1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)3 1-1 函數(shù)和連續(xù)的概念、性質和應用函數(shù)和連續(xù)的概念、性質和應用一一. 方法指導方法指導1. 對函數(shù)的理解和討論對函數(shù)的理解和討論(1) 定義定義XxfXxxfyyYy, )(定義域 對應規(guī)律值域基本要素基本要素定義域定義域使表達式及實際問題有意義的自變量取值集合 .對應規(guī)律對應規(guī)律表示方式:圖象法; 表格法 .解析法;值域值域4(2)

2、 基本特性基本特性有界性 ,單調性 ,奇偶性,周期性.(3) 基本結構基本結構基本初等函數(shù)復合運算反演運算初等函數(shù)非初等函數(shù)分段函數(shù)級數(shù)表示的函數(shù)四則運算有限次運算且用一個式子表示(4) 常用的等式與不等式常用的等式與不等式1212nnnxxxx xxn54、 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n 項和的公式項和的公式設等比數(shù)列na前n 項的和為S n ,即nnaaaS21根據(jù)等比數(shù)列的通項公式， 上式可以寫成：上式兩邊同時乘以q 有：上（1）式兩邊分別減去（2）式的兩邊得：) 1 (112111nnqaqaqaaSnnqaaSq11)1 ()2(131211nnqaqaqaqaqSqqaSnn1)1

3、(11q當時01,11nkkqqq特別62. 函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷(1) 連續(xù)性的等價形式連續(xù)性的等價形式)(xfy 在0 x連續(xù))()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()(00 xfxfyxxx000()()()f xf xf x,0,0當0 xx時)()(0 xfxf7(2) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質有界定理 ; 最值定理 ;介值定理 ;零點定理 (3) 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點:00()()f xf x跳躍間斷點:00()()f xf x第二類間斷點第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點二二. 實例分析實例分析8例例1

4、. 設其中)(,1,0 xaa滿足, )()()(yxyx判斷)(xf的奇偶性.解解: 令,2111)(xaxg則)()(xgxg)2111)()(xaxxf2111xa211xxaa0故)(xg為奇函數(shù)為奇函數(shù) .又令 y = 0 ,得, )0()()0(xx故,0)0(而)0(0)(xx)()(xx故)(x為奇函數(shù)為奇函數(shù) .因此)()()(xgxxf為偶函數(shù) .9例例2. 求常數(shù)k及函數(shù)g(x),使函數(shù)2,0( ),( ),0 xekxf xg xx為連續(xù)的奇函數(shù)。解解: 連續(xù)的奇函數(shù)有 f (0) = 0, 即( )f x0 x 21,xe0 x ( ),g x而( )()g xfx

5、22()11xxee 所以0 x 21,xe0 x 21,xe( )f x 10,1,kk 10例例3. 設31,1( ),1xxf xxx求( ( ).f f x解解:)(f( )f x( )1f x 3 ( ) 1,f x ( )1f x ( ),f x當( )1f x 時0 x ; 當( )1f x 時,1,01xx0 x 94,x01x31,x1x ,x)(f( )f x11例例4. 設,1sin1)(xxxf證明)(xf但.)(lim0 xfx證證: 在 (0,1) 中取點列在 (0,1 上無界,212kxk,2, 1 ,0k則有)2sin()2()(22kkxfk22 k顯然 ,2

6、, 1 ,0k)(xf在 (0,1 上無界 .但 , 若取點列,1nxn,2, 1 ,0n則, )(0nxn而,0)(nxf故.)(lim0 xfx02. 0, 7 . 07 . 0,02. 0(P8.例例4)12的間斷點 , 并) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx, 1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點可去間斷點,)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點無窮間斷點, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點跳躍間斷點例例5.求函數(shù)判別間斷點的類型 .解解:) 1(sin)1 ()(2xxxxxf所以 f (x) 有間斷點

7、) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf1,0, 1x13例例6.6.設函數(shù) (2008(2008考研考研) )解解: :只有兩個間斷點ln( )sin1xf xxx( )f xA.A.B.C.D0,1xx00lnlnlimsinlim011xxxxxxxx0 x 11lnln 1(1)limsinsin1limsin111xxxxxxx 則 有（ ）；1個可去間斷點，1個跳躍間斷點； 1個可去間斷點，1個無窮間斷點；2個跳躍間斷點； 2個無窮間斷點。為可去間斷點；11lnln 1(1)limsinsin1limsin111xxxxxxx1x 為跳躍間斷點。lnlim lnlim01xx

8、xxxx14例例7. 函數(shù)2;1;.A.B.C.D1( )(1)lnxxf xx xxC3001lim( )lim(1)lnxxxxf xx xxln01lim(1)lnxxxex xx0lnlim1;(1)lnxxxx xx1lim( )xf x1ln1lim;(1)ln2xxxx xx1lim( )xf x1lnlim(1)lnxxxx xx 0,1xx個數(shù)為（ ）解解 故是可去間斷點。（2013考研）考研）的可去間斷點的0;15例例8. 討論下述函數(shù)的連續(xù)與間斷問題),0) 1)(1( ()11(lim)(txtxtxxftxtxt(P8.例例5(1)解解:txtttxxfxt)11(l

9、im)(1limx tttx ttxe1xxe顯然 ,)(xf在區(qū)域), 1 () 1,(上連續(xù) .因11(1 )limxxxfe,011(1 )limxxxfe故 x =1 為第二類無窮間斷點.1161-2 求極限的方法求極限的方法 (P13 第二節(jié)第二節(jié))一一. 方法指導方法指導1. 求極限的基本方法求極限的基本方法 (P16-P19)(1) 已知極限值利用極限定義驗證(用“ - N ” 或 “ - ”語言)(2) 未知極限值先判別極限存在后再求極限根據(jù)法則演算, 判定與計算同時進行.17求極限的基本方法求極限的基本方法 1）用驗證極限的定義。8) 用極限運算法則與函數(shù)的連續(xù)性求極限。2）

10、用消去不定型法求極限。3）用有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小的結論求極限。5）用等價無窮小的替代定理求極限。6）用變量代換求極限。4）用兩個重要極限公式求極限。7）用左、右極限存在且相等的方法求極限。9）用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關系求極限。10）利用極限存在準則求極限。1812）用導數(shù)的定義或定積分定義求極限。13）利用微分中值定理求極限。14）利用泰勒公式求極限。16）用無窮級數(shù)的有關知識求極限。11）用洛必達法則求極限。15）用積分中值定理求極限。17） 其他。192.求未定式的極限的方法求未定式的極限的方法通分通分轉化轉化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化3. 求極限的基

11、本技巧求極限的基本技巧(1) 定式部分應盡早求出; 各種方法注意綜合使用.(2) 注意利用已知極限的結果 . 例如, 當 時00!lim!limlimlnlimnnnnnnnnnneennnlnlimlimlim0 xxxxxxxxexexn時nnnnenn, !,ln速度一個比一個快 .20(3) 善于利用等價無窮小替換利用麥克勞林公式找等價無窮小)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 當0 x時)(xfnnxnf!)0()(xff)0()0(替換定理替換定理（整個分子、整個分母或分子分母乘積的因子）211xe;xxex1;221x)1ln(x;xxx )

12、1ln( ;221x1)1 (x.xxtan;xxarcsin;xxsin;xxx sin;3!31xxcos1;221x當 x 0 時, 有下列常用等價無窮小 : ( P16)一般形式，如：( )0f x ln(1( )f x( );f x(1( )1( )f xf xxarctan;x1xa ln.xa22泰勒公式泰勒公式 135212111( 1)sin()3!5!(21)!nnnxxxxxo xn1242211( 1)cos1()2!4!(2 )!nnnxxxxo xn 231( 1)ln(1)()23nnnxxxxxo xn2(1)(1)(1)(1)1()2nnnxxxxo xn 2

13、1()2!nxnxxexo xn 23設對同一變化過程 , , 為無窮小 ,說明說明:無窮小的性質, (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則. 若 = o() , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則證明證明lim）（1lim120ln(12)limsinxxxx02lim2xxx練習練習、求 24,不等價與且若,則,limlim且.時此結論未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: 25(3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x界, 則)(limx

14、)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例4. 求01limarcsinsinxxx解解: 原式 01limsin0 xxx26如, 利用導數(shù)定義 ,微分中值定理 ,泰勒公式等求極限 .3. 判斷極限不存在的主要方法判斷極限不存在的主要方法 (1) 對分段函數(shù), 在界點處討論左右極限 ;(2) 利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系 ;(3) 利用反證法 , 設極限存在推出矛盾.(4) 注意用求極限的特殊方法 27例例1. 求).1sin(lim2nn解解:原式2limsin(1)nnnn)1(si

15、n) 1(lim2nnnnnnnn1sin) 1(lim20二二. 實例分析實例分析28例例2. 求01limxxx limttt. 1lim0 xxx0型解解:令 1tx有1例例3. 求.lim100021xexx00型解解:不能直接用洛必達法則 !令,12xt 則ttet50lim原式0說明說明: 有許多極限問題可通過變量代換使其簡化 . 再如, P27 例729例例4. 求sinsin2cossin2240sinsin(sin )sinlimxxxxx30sinsin(sin )limxxxx（洛必達法則或泰勒公式）2008考研考研30sinlimxxxx1630例例5. 設)(xf解解

16、: 利用前一極限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一極限式 , 得xxfx)(lim30可見0,3ba是多項式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(2331例例6. 求.sin12lim410 xxeexxx解解:1402sinlim1xxxexxe0sinlim 0 xxx11402sinlim1xxxexxe0sinlim 2xxx1原式 = 1 .320 x例例7. 求函數(shù)xxx解解:xxx12141xxx當0 x時的等價無窮小.81 xxxx1214381xxx33例例80 x sin cos c

17、os2xxxxkCx01sin cos cos2limkxxxxxCx1011cos4limkxxCkx21018lim1kxxCkx3,8 3.kC時 與小，求C. 解 是等價無窮01sin414limkxxxCx則34例例4 (2014考研考研4)0 x1ln (1 2 ),(1 cos )xx0ln (12 )limxxx0(2 )limxxx102 lim0 xx120(1 cos )limxxx1201()2limxxx12101( )lim02xx210,2. 當時，若均是比x高階的無窮小，則的取值范圍是（ ）； 所以 解解35練習練習 已知11( ),sinxf xxx0lim(

18、 )xaf xa0 x ( )f xakxk011lim()sinxxaxx220sinlimxxxxx012coslim12xxxx，(1)求的值，(2)當時，是求常數(shù)解解 由題意 (1)；的同階無窮小,的值。2012考研考研36(2) 因為33sin()6xxxo x0( )limkxf xx220sinsinlimkxxxxxxx322320()()6limkxxxxxxo xx3320()6limkxxo xx32k( )f xa1.k ，則可知當 時，因此 與x是同階無窮小，20sin1sinlimkxxxxxxx11( ),sinxf xxx37例例9.9. 當0 x( )o x時

19、，用D23()();x o xo x23( )()();o xo xo x222()()();o xo xo x22( )()()o xo xo x2( );xo x32()xo x2320lim1xxxx232()xxo x表示比x高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（ ）；解解 如果，但 ，即 （2013考研）考研）.A.B.C.D38例例10. 已知.A.B.C.D0arctanlimkxxxcx, k c0c D，其中為常數(shù)，且，則（ ）；（20132013考研）考研） 12,;2kc 12,;2kc13,;3kc 13,.3kc0arctanlimkxxxx210111limkxxkx

20、210limkxxckx12,k 13,.3kc解解 39例例5 設函數(shù)解解:( )arctanf xx( )( )f xxf220limxx1;2;31;21.32( )arctan11f xxxx220limxx20arctanlimarctanxxxxx30arctanlimxxxx220111lim3xxx2201lim33xxx，若則 A、B、C、D、故 (2014考研考研5)40例例11 當0 x 時 與解解 是等價無窮小，求n和a. 1cos cos2 cos3xxxcos()cos()coscos221cos2cos201cos cos2 cos3limnxxxxax0cos6

21、cos4cos2114limnxxxxax03cos6cos4cos2lim4nxxxxax106sin64sin42sin2lim4nxxxxnax2036cos616cos44cos2lim4 (1)nxxxxn nax36164142 1a2,7na（20132013考研）考研） 利用nax41例例12. 設1sin( )cosxxx ( )2x0 x ( )xC0( )limxxx20sin( )limxxxx20cos11lim2xxx ( )x，其中，則當時，是（ ）；比x高階的無窮?。?（20132013考研）考研） 比x同階但不等價的無窮??； 是x的等價無窮小。所以是比x同階但

22、不等價的無窮小。.A.B.C.D比x低階的無窮??； 解解 因為42例例13 計算(2013考研考研)解解10ln(1)lim1xxxIx10ln(1)limln1xxxxIe20ln(1)limxxxxe0111lim2xxxe01lim2 (1)2xxxxee43例例14 (2013考研考研)1ln(1)lim2xxxx11ln(1)lim2 12xxxxx1ln(1)lim12xxxx101144nne21例例15 求.lim120 xneeexnxxx1型證證:原式120lim 1xxxnxxeeenn( )( )1( )lim( )u xf xu xf x ex0lim對指數(shù)用洛必達法

23、則) 1(21nexnneeexnxx2( )lim1 ( ( ) 1)u xf xlim( ) 1 ( )f xu xe45例例16、求21lim( arctan)xxxx21lim( arctan)xxxx21lim(1( arctan1)xxxx21( arctan1)limxxxxe1, tx21lim( arctan1)xxxx30arctanlimtttt13 2131lim( arctan)xxxex解解 令 則46例例17 求極限求極限2lim()()xxxxa xb()lim1()()xxab xabxa xb()lim()()xx a b x aba bx ax bee20

24、10考研考研1、47解解110ln(1)limxexxIx2011考研考研10ln(1)lim 1xxxxIx20ln(1)limxxxxe0111lim2xxxe01lim22xxxee2、483、1cossin4lim (tan )xxxx1cossin4lim (1(tan1)xxxxtan1cossin4limxxxxe4tan1limcossinxxxx41tan1limcos1tanxxxx2 1cossin4lim (tan )xxxxtan12cossin4limxxxxee所以因為2012考研考研49.sinlimsin0 xxeeIxxx解解: sinsin01limsin

25、xxxxeIexxxxexxsin1sin1例例18 1、 求一般，若lim( ), lim ( )f xag xa( )( )lim( )( )f xg xeeIf xg x則( )( )1lim( )( )f xg xaeef xg xae502、計算22 2cos40limxxxeex22 2cos2 2cos401limxxxxeex 24022coslimxxxx30sinlim2xxxx301cos1lim126xxx2012考研考研51例例19. 求.)(sinlim30 xxxxxx( P43 題題21(3) )解解:原式=3sin0)(1 limxxxxxxx30 limxx

26、xxeln1 sinlnxxxe利用ln0lim1,xxxeueu12sin0lnlimxxxx)1sin(1lnsinlnxxxx1sinxx2sin01limxxxx30sinlimxxxx33!310limxxx3! 31sinxxx6152例例20 ln(1)xxx lnxx解解: 因為當或所以所以)sinlnarctan(limxxxx1|sin|xxlnsinxxxlnsinxxxlim arctan(lnsin )2xxxxlnsin(1)xxxx 53說明說明 利用泰勒公式求極限 利用導數(shù)定義求極限 利用微分中值定理求極限 求極限的特殊方法求極限的特殊方法: 利用定積分定義求極

27、限 54例例2120lncos3arctan4limln(1 2 ) lncos5xxxxxx20ln(1 cos31)4lim2ln(1 cos51)xxxxxx0(cos31)2lim2(cos51)xxxxx01cos31lim4cos51xxx 2201(3 ) /2lim4(5 ) /2xxx 9100 55例例22 解解 21lnlim1xxdttx21lnlnlimxxxdttx(P27 例例8)原式=由洛必達法則1lim11lnxx 56例例23 23 設函數(shù)解解(2005 考研）考研）( )f x連續(xù)， 求極限000() ( )lim.()xxxxt f t dtxf xt

28、dtxtu 00()( )xxf xt dtf u du0000( )( )lim( )xxxxxf t dttf t dtxf u du000( )lim( )( )xxxf t dtf u duxf x令原式00( )( )( )xxf t dtf u duxf(0, )x( ,0)x0( )lim( )( )xxfxfxf x0( )(0)1lim( )( )(0)(0)2xffff xff由積分中值定理 或原式57例例17 求極限（20142014考研考研178178） 1212 (1)lim1ln(1)xtxtet dtxx121 (1)limxtxtet dtx121lim(1)xxxex201limttett 222011( ) 12limttto ttt 1258例例23 解解: 設由夾逼準則得,122) 1(nnknkxlim.nnx222) 1(1.111nnnxn222222(1)nnnxnn222lim2nnn222lim2(1)nnn2limnnx求59例例24 設證明證明:嚴格單調增加，且有界，則 x1210( )( )fxfxx且)(limnf