高等數(shù)學(xué)微積分課件偏導(dǎo)數(shù)

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院Partial Derivatives四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Recall 0limxyx 00()()yf xxf x yx0()fx( )yf x000()()limxf xxf xx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁0 x0 xx xyyx0()tanfx0 x0yAverage rate of change Instantaneous rate of change四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 |

2、下一頁Functions of two variable 0000(,)(,)xzf xx yf xy ( , )zf x y（partial increment in x ）0 x0y0 xx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁0limxxzx 00(,)xfxy00|x xy yzxThe partial derivative of f(x, y) with respect to x 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁

3、| 首頁 | 下一頁Partial derivatives0000(,)(,)yzf xyyf xy ( , )zf x ypartial increment in y 0 x0y0yy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁0limyyzy 00(,)yfxy00|x xy yzyThe partial derivate of f(x, y) with respect to y 0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy 00000(,)(,)limyf xyyf xyy 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下

4、一頁Notations( , )xfx yzx( , )yfx y( , )x yDfxxzxfzyfyyzyf四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Partial derivatives of three variables( , , )uf x y z0(, , )( , , )limxuf xx y zf x y zxx 0( , )( , , )limyuf x yy zf x y zyy 0( , ,)( , , )limzuf x y zzf x y zzz 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Finding parti

5、al derivative Compare the two definitions0000( )()()( )limlimxxxf xf xdyf xxf xdxxxx and 0000( , )(, )(, )( , )limlimxxxf x yf xyzf xx yf x yxxxx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁To findzxy is a “constant”, and take derivative with respect to x ( , )( , )df x yf x yxdx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 |

6、 下一頁To find zyx is a “constant”, take derivative with respect to y ( , )( , )df x yf x yydyAll the derivative laws apply to partial derivatives四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Example2223zxyxySolution22(23)xzxyxyx4x243xy22(23)yzxyxyy016xy 23y016xy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Example( , )sincos

7、()f x yxyyxyFind(0,)2xf(,0)2yfSolution( , )xfx ysin y( , )yfx ycosxy(0,)2xf(,0)2yfsin()yxycos()xysin()yxy12 2四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Also can plug in first2ycos()22xxThen find derivative with respect to x( )g x (0,)2xfNOTE( , )sincos()f x yxyyxy( )( ,)2g xf xsin2xx(sin )2xx1cos2x (0)12g 四川

8、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Example (0, 1)yzxxxShow that 12lnxzzzy xx ySolutionzyPower rulezxDerivative of an exponential function()yxx1yyx()yyxlnyxx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁so1lnxzzy xx y1lnlnyxxxyyxx2yx2z1yzyxxlnyzxxy1yxyxy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁ExampleIf arctan, find and x

9、zzzyxySolution(arctan)xzxxy()xxy222yyx22yyx211( )xy1y四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁(arctan)yzxyy211( )xy222yyx22xyx ()yxy2()xy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Find the partial derivatives222 rxyzSolution222()xrxyzx222xxyz22212 xyzxrBy symmetryryyrrzzr222()xxyz 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁

10、ProofP: pressure，T：temperature，V：volume四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁pVRTRVpTTRpV pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 2pRTVV TVpRVRTpTemperature is not changingThe volume is not changingThe pressure is fixed四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁1pVTVTp Unlike is the quotient of two differentials dy and dx dyd

11、xzxAnd so is an integrated notation, is not interpreted as a quotient. 1dpdVdTdVdTdp1四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁2.30.91.2PL Cwhere，P: product，L: labor，C: capitalFind the marginal product with respect to the labor and capital respectively SolutionIn economics，margin is derivative四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5

12、, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁PL2.30.9(1.2)L CL1.30.91.2(2.3)L C1.30.92.76L CPC2.30.9(1.2)L CC2.30.11.2(0.9)L C2.30.11.08L C四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5

13、, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁00(,)xy( , )zf x y0yy0( , ):zf x ylyy00(,)tanxfxy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁fx(x0, y0) is slope of the curve0( , ):zf x ylyyat x = x000(,)tanxfxy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁00(,)tanxfxya00(,)tanyfxy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁00(,)xyThe partial derivatives at (

14、x0, y0) still exist!But the function is not continuous at (x0, y0) any moreShift the two lines upwardInvestigation: Continuity and Partial derivatives 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁00(,)xySo for functions of several variables Partial derivative existsFunction is continuous 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一

15、頁 | 首頁 | 下一頁四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Example 22, ( , )(0,0)( , )0, ( , )(0,0)xyx yxyf x yx yFind the partials of f(x, y) at (0,0)solution0(0,0)(0,0)limxfxfx 000limxx 00limxx 0And so (0,0)0yf(0,0)xf四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁But 2200limxyxyxydoes not exist, as we saw before so，f(x, y)

16、 is not continuous at (0,0)For functions of several variables at a point MPartial derivatives existContinuous at MLimit of f exists四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁But for functions of one variable， at a point x0 exists0fx 0 is continuous at f xx 0lim existxxf x四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁Exa

17、mple 22( , )zf x yxyShow that fx(0, 0) and fy(0, 0) does not existProof(,0)(0,0)zfxf 22()00 xx (0,0)xf0limxzx 0limxxx Does not exist00limlim1xxxxxx 00limlim1xxxxxx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁So does fy(0, 0) 22zxyUpper coneNo partialsNo derivativeyx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁END四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)

18、院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁例例2.5()Tf XX AX111213112321222323132333( ,)aaaxx x xaaaxaaaxA 是對稱矩陣：是對稱矩陣：ijjiaa四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁111213112321222323132333( ,)aaaxfx x xaaaxaaax22211 1222333121213 132323 222a xa xa xa x xa x xa x x四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院July 5, 2022上一頁 | 首頁 | 下一頁22211 1222333121213 132323 222fa xa xa xa x xa x xa x x1fx1112312132( ,)ax x xaa11 1122133222a xa xa x四川