簡諧振動的規(guī)律

1、第四部分第四部分 振動與波動振動與波動 ( (第第9 9，10 10 章章) ) 第九章第九章 振動學(xué)基礎(chǔ)振動學(xué)基礎(chǔ)第十章第十章 波動學(xué)基礎(chǔ)波動學(xué)基礎(chǔ)9.1 簡諧振動的定義簡諧振動的定義9.2 簡諧振動的規(guī)律簡諧振動的規(guī)律9.3 簡諧振動的合成簡諧振動的合成9.2.1 簡諧振動的運動學(xué)描述簡諧振動的運動學(xué)描述9.2 簡諧振動的規(guī)律簡諧振動的規(guī)律9.2.2 描述簡諧振動的三要素描述簡諧振動的三要素9.2.5 例題分析例題分析9.2.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量9.2.4 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示9.2.6* 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振9.2.1 簡諧振動

2、的運動學(xué)描述簡諧振動的運動學(xué)描述 tAxcos 此式表示出了作簡諧振動物體的位移隨此式表示出了作簡諧振動物體的位移隨時間變化的關(guān)系時間變化的關(guān)系. x-t 曲線稱之為振動曲線曲線稱之為振動曲線. 簡諧振動的運動學(xué)方程為簡諧振動的運動學(xué)方程為oAA tx對運動學(xué)方程求導(dǎo)得振動速度為對運動學(xué)方程求導(dǎo)得振動速度為 tAdtdxvsin對振動速度求導(dǎo)得振動的加速度為對振動速度求導(dǎo)得振動的加速度為 tAdtxdacos222 從以上兩式可知，作簡諧振動物體的速從以上兩式可知，作簡諧振動物體的速度和加速度是時間的周期函數(shù)，而且加速度度和加速度是時間的周期函數(shù)，而且加速度和位移成正比但方向相反和位移成正比但

3、方向相反.x2 tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa9.2.2 描述簡諧振動的三要素描述簡諧振動的三要素1.振幅振幅A物體離開平衡位置的最大距離物體離開平衡位置的最大距離.它給出了簡諧振動的振動范圍它給出了簡諧振動的振動范圍.2.周期周期T完成一次全振動所需的時間完成一次全振動所需的時間.頻率頻率 表示單位時間內(nèi)物體完成全振動表示單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)的次數(shù). 它是周期的倒數(shù)它是周期的倒數(shù).T1 周期和頻率給出了簡諧振動往復(fù)的快慢程度周期和頻率給出了簡諧振動往復(fù)的快慢

4、程度.角頻率角頻率 22 T3. .相位（相位（ t t+ + ） 確定振動系統(tǒng)在任意瞬時運動狀態(tài)的物確定振動系統(tǒng)在任意瞬時運動狀態(tài)的物理量理量（任意瞬時的位移和速度任意瞬時的位移和速度）. .當(dāng)當(dāng) 時的相位時的相位 稱為初相位稱為初相位. .0 t 周期和頻率僅與振動系統(tǒng)周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān)物體在物體在 2 秒內(nèi)所作的完全運動的次數(shù)。秒內(nèi)所作的完全運動的次數(shù)。 相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調(diào)上的差異。步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達(dá)式分別為：設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達(dá)式分別為：)cos( )

5、cos(20221011tAxtAx10201020)()(tt(b)(b)當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱兩個振動為反相；稱兩個振動為反相；) 12(k(d)(d)當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱第二個振動落后第一個振動稱第二個振動落后第一個振動 。0(c)(c)當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱第二個振動超前第一個振動稱第二個振動超前第一個振動 ；0討論討論: : (a) (a)當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱兩個振動為同相；稱兩個振動為同相；k210201020)()(tt 振幅振幅A圓頻率圓頻率 初相位初相位 簡稱簡諧振動的三要素簡稱簡諧振動的三要素. 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相

6、位超前位比位移的相位超前 。2例簡諧振動的相位關(guān)系例簡諧振動的相位關(guān)系22020vxA00tanxv 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定振幅和初相由初始條件決定.)sin(tAv)cos(tAx)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE 以彈簧振子為例以彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學(xué)意

7、義）（振幅的動力學(xué)意義）一一 彈簧振子彈簧振子的能量的能量9.2.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒kxF22pk21AkAEEE二二 簡諧運動能量守恒簡諧運動能量守恒簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21簡諧運動勢能曲線簡諧運動勢能曲線簡諧運動能量守恒，振幅不變簡諧運動能量守恒，振幅不變kEpEx221kAE EBCAApExO9.2.4 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示簡

8、諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示 簡諧振動除了用運動學(xué)方程簡諧振動除了用運動學(xué)方程（振動方程振動方程）和位移時間曲線和位移時間曲線（振動曲線振動曲線）來表示以外，來表示以外，還可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示還可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示. . 這種幾何圖示法可這種幾何圖示法可以幫助我們形象直觀理解簡諧振動中的三要以幫助我們形象直觀理解簡諧振動中的三要素素. .A t xox0 x)cos(tAx 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量矢量 的的端點在端點在 軸上的投軸上的投影點的運影點的運動為簡諧動為簡諧運動運動. .xA tAxcos 矢量矢量 以角速度以角速度 沿逆時針旋轉(zhuǎn)沿逆時針旋轉(zhuǎn), ,當(dāng)當(dāng) 時它與時它與 軸的夾角為軸的夾角為 ，則在任意刻，則

9、在任意刻 ，矢量，矢量 端點在端點在 軸上的投影為軸上的投影為 0 tx txA旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 的模的模A簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅 上式恰好是沿上式恰好是沿ox 軸作簡諧振動的物體在軸作簡諧振動的物體在t 時刻相對于原點的位移時刻相對于原點的位移. 所以簡諧振動可以用所以簡諧振動可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示旋轉(zhuǎn)矢量表示. .旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 轉(zhuǎn)動角速度轉(zhuǎn)動角速度A簡諧振動圓頻率簡諧振動圓頻率9.2.5 例題分析例題分析 1.一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m 的物體系于一倔強(qiáng)系數(shù)為的物體系于一倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的輕彈簧下，掛在固定的支架上，由于物體的輕彈簧下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長了的重量使

10、彈簧伸長了l =9.8 10-2m. 如圖所示，如圖所示，如果給物體一個向下的瞬時沖擊力，使它具有如果給物體一個向下的瞬時沖擊力，使它具有向下的速度向下的速度v =1m s-1，它就上下振動起來，試它就上下振動起來，試寫出振動方程寫出振動方程. . 解解 取掛上物體，物體處于平衡時的位置取掛上物體，物體處于平衡時的位置為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點o，向下為向下為y 軸的正向，如圖所示軸的正向，如圖所示當(dāng)物體偏離平衡位置時它所受的合力為當(dāng)物體偏離平衡位置時它所受的合力為- -ky ，因此動力學(xué)方程為因此動力學(xué)方程為oyykmP 213kydtydm 22則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)閙k 2 令令0222 ydt

11、yd 物體在作簡諧振動，只要求出三要素，物體在作簡諧振動，只要求出三要素，即可寫出振動方程即可寫出振動方程.oyykmmk mlkl mlmg lg 1s10098. 08 . 9 以物體處于平衡位置且向下運動時為計以物體處于平衡位置且向下運動時為計時起點，則時起點，則y0=0 ，v0= 1m s-1， 于是有于是有 1sin0cos00 AvAy22020 vyA m1 . 01012 23,2 23 結(jié)合此式結(jié)合此式于是可該物體的振動方程為于是可該物體的振動方程為m2310cos1 . 0 ty 2.質(zhì)量為質(zhì)量為m =0.1kg的物體，以振幅的物體，以振幅A =0.01m作簡諧振動，其最大

12、加速度為作簡諧振動，其最大加速度為amax=4.0m s-2 ，求：求： （1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置通過平衡位置時的動能；時的動能； （3）總能量；總能量； （4）物體在何處物體在何處其動能和勢能相等？其動能和勢能相等？解解（1） 2max Aa Aamax 2 T12s20100 . 10 . 4 s314. 0202 P 214（2）因通過平衡位置時的速度最大，所以因通過平衡位置時的速度最大，所以222maxmax,2121AmmvEk J1023 （3）總能量總能量J1023max, kEE（4）當(dāng)當(dāng) 時，時，kpEE J100 . 1213 EEpkpEE m1

13、007. 72 x故故2222121xmkx 3.一個作簡諧振動的彈簧振子歷時四分一個作簡諧振動的彈簧振子歷時四分之一周期，先后通過相對于平衡位置為對稱之一周期，先后通過相對于平衡位置為對稱的的B, ,C 兩點，設(shè)簡諧振動的振幅為兩點，設(shè)簡諧振動的振幅為A，試確試確定定B, ,C 兩點的位置兩點的位置. .2 1t2tBCoxAAxB224cos AxC22 解解24,2 TTB, ,C 兩點對稱兩點對稱, , 所以所以P 215一一 阻尼振動阻尼振動 振動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用振動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動，稱為下所作的振動，稱為無阻尼自由振動無阻尼自

14、由振動。 在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動阻尼振動。阻尼：阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因消耗振動系統(tǒng)能量的原因。 9.2.6* 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振)cos()()cos()(tAetxtAtxttAe0txO阻尼振動的準(zhǔn)周期性阻尼振動的準(zhǔn)周期性減幅振動減幅振動 阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因位移不是時間的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。位移不是時間的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)otx三種阻尼的比較三種阻尼的比較阻尼振動位移時間曲線阻尼振動位移時間曲線AAtO

15、x)0( b b）過阻尼）過阻尼 a a）欠阻尼）欠阻尼 c c）臨界阻尼）臨界阻尼t(yī)AeTabctAetcos振幅逐步衰減為零的振動振幅逐步衰減為零的振動無振動，從一方緩慢無振動，從一方緩慢單調(diào)回到平衡位置。單調(diào)回到平衡位置。無振動，以最快的方無振動，以最快的方式從一方單調(diào)回到平式從一方單調(diào)回到平衡位置。衡位置。 通過控制阻尼的大小，可通過控制阻尼的大小，可以滿足不同實際需要。以滿足不同實際需要。220220220振子固有角頻率振子固有角頻率二二 受迫振動受迫振動 物體在物體在周期性外力周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動的持續(xù)作用下發(fā)生的振動稱為稱為受迫振動受迫振動。 在受迫振動中，周期性的驅(qū)

16、動力對振動系統(tǒng)提供在受迫振動中，周期性的驅(qū)動力對振動系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)。等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)。PAo共振頻率共振頻率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼0三三 共振共振 對于受迫振動，當(dāng)外對于受迫振動，當(dāng)外力幅值恒定時，穩(wěn)定態(tài)振力幅值恒定時，穩(wěn)定態(tài)振幅隨驅(qū)動力的頻率而變化。幅隨驅(qū)動力的頻率而變化。當(dāng)驅(qū)動力的角頻率等于某當(dāng)驅(qū)動力的角頻率等于某個特定值時，受迫振動的個特定值時，受迫振動的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振。為共振。達(dá)到共振時的頻率達(dá)到共振時的頻率叫共振頻率

17、。叫共振頻率。mk0振子固有角頻率若體系振子固有角頻率若體系為彈簧振子則為彈簧振子則共振演示實驗共振演示實驗236145 共振現(xiàn)象在實際中的應(yīng)用共振現(xiàn)象在實際中的應(yīng)用樂器：共鳴箱樂器：共鳴箱(利用共振來利用共振來提高樂器的音響效果提高樂器的音響效果)收音機(jī)：調(diào)諧收音機(jī)：調(diào)諧(利用串聯(lián)諧利用串聯(lián)諧振電路作為收音機(jī)的調(diào)諧振電路作為收音機(jī)的調(diào)諧電路電路) 單擺單擺1作垂直于紙面作垂直于紙面的簡諧運動時，單擺的簡諧運動時，單擺5將將作相同周期的簡諧運動，作相同周期的簡諧運動，其它單擺基本不動其它單擺基本不動.利用核磁共振來研究物利用核磁共振來研究物質(zhì)的結(jié)構(gòu)以及醫(yī)療診斷質(zhì)的結(jié)構(gòu)以及醫(yī)療診斷等等。等等。

18、共振現(xiàn)象的危害共振現(xiàn)象的危害:而共振的危害性也是多方面的，在建筑工程，機(jī)而共振的危害性也是多方面的，在建筑工程，機(jī)械制造，配電網(wǎng)絡(luò)中等等都存在共振的危害。械制造，配電網(wǎng)絡(luò)中等等都存在共振的危害。避免和減小共振的辦法：破避免和減小共振的辦法：破壞外力的周期性、改變物體的固有頻率等。壞外力的周期性、改變物體的固有頻率等。1940 年年7月月1日美國日美國 Tocama 懸索橋因共振而坍塌懸索橋因共振而坍塌美國華盛頓州Tocama（托卡馬）市? 建成后建成后4個月后，在一場不算太強(qiáng)的大風(fēng)中坍塌。風(fēng)產(chǎn)生的周期性效果導(dǎo)個月后，在一場不算太強(qiáng)的大風(fēng)中坍塌。風(fēng)產(chǎn)生的周期性效果導(dǎo)致大橋共振，實際振了一天（十幾個小時）橋就塌了。致大橋共振，實際振了一天（十幾個小時）橋就塌了。 復(fù)習(xí)思考問題及要點：復(fù)習(xí)思考問題及要點：1.如何利用初始條件求出簡諧運動方程？如何利用初始條件求出簡諧運動方程？2.旋轉(zhuǎn)矢量與簡諧振動有什么關(guān)系？旋轉(zhuǎn)矢量與簡諧振動有什么關(guān)系？3.受迫振動的頻率是由什么確定的？受迫振動的頻率是由什么確定的？4.受迫振動的在什么情況下達(dá)到最大值受迫振動的在什么情況下達(dá)到最大值？5.避免和減小共振的辦法是什么避免和減小共振的辦法是什么？6.