熱力學統(tǒng)計 第六章 課件

1、第六章第六章近獨立粒子的最概然分布近獨立粒子的最概然分布統(tǒng)計物理學統(tǒng)計物理學出發(fā)點：出發(fā)點：宏觀物質系統(tǒng)由大量微觀粒子組成的客觀事宏觀物質系統(tǒng)由大量微觀粒子組成的客觀事實。實。觀點：觀點：物質的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體表物質的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值?，F(xiàn)，宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。6.1 粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子運動狀態(tài)的經典描述粒子粒子：組成宏觀物質系統(tǒng)的基本單元。：組成宏觀物質系統(tǒng)的基本單元。粒子的運動狀態(tài)粒子的運動狀態(tài)是指它的力學運動狀態(tài)。是指它的力學運動狀態(tài)。描述：經典描述、量子描述描述：經典描述、量子描述 經

2、典描述經典描述設粒子的設粒子的自由度自由度為為r。經典力學指出，粒子在任一時刻的經典力學指出，粒子在任一時刻的力學運動狀態(tài)力學運動狀態(tài)由粒由粒子的子的r個個廣義坐標廣義坐標q1，q2 ，qr和與之共軛的和與之共軛的r個個廣義動量廣義動量p1，p2，pr在該時刻的數(shù)值確定。在該時刻的數(shù)值確定。粒子的粒子的能量能量是其廣義坐標和廣義動量的函數(shù)是其廣義坐標和廣義動量的函數(shù)=(q1,qr; p1,pr)如果存在外場，如果存在外場，還是描述外場參量的函數(shù)。還是描述外場參量的函數(shù)。用用q1,qr; p1,pr共共2r個變量為直角坐標，構成一個個變量為直角坐標，構成一個2r維空間，稱為維空間，稱為空間空間。

3、粒子在某一時刻的運動狀態(tài)粒子在某一時刻的運動狀態(tài)(q1,qr; p1,pr)可用可用空間中的一點表示，稱為粒子力學運動狀態(tài)的代表點?？臻g中的一點表示，稱為粒子力學運動狀態(tài)的代表點。當粒子的運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應在當粒子的運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應在空空間中移動，描畫出一條軌道。間中移動，描畫出一條軌道。 自由粒子自由粒子自由粒子是不受力的作用而作自由運動的粒子。自由粒子是不受力的作用而作自由運動的粒子。當粒子在三維空間中運動時，它的自由度是當粒子在三維空間中運動時，它的自由度是3。粒子在任一時刻的位置可由坐標粒子在任一時刻的位置可由坐標x、y、z確定，與之共確定，與之共軛的動量

4、為軛的動量為其中其中m是粒子的質量。自由粒子的能量就是它的動能是粒子的質量。自由粒子的能量就是它的動能二維二維空間中一維自由粒子空間中一維自由粒子運動狀態(tài)的描述運動狀態(tài)的描述,xyzpmxpmypmz22212xyzpppmxpxLxp( ,)xx p 線性諧振子線性諧振子質量為質量為m的粒子在彈性力的粒子在彈性力F=-Ax作用下，將沿作用下，將沿x軸軸在原在原點附近作簡諧振動，稱為點附近作簡諧振動，稱為線性諧振子線性諧振子。在一定條件下，分子內原子的振動、晶體中原子或離子在其平在一定條件下，分子內原子的振動、晶體中原子或離子在其平衡位置附近的振動都可以看作簡諧振動。衡位置附近的振動都可以看作

5、簡諧振動。振動的圓頻率振動的圓頻率 取決于彈性力系數(shù)取決于彈性力系數(shù)A和粒子質和粒子質量量m。對于自由度為對于自由度為1的線性諧振子，在任一時刻，粒子的的線性諧振子，在任一時刻，粒子的位置由它的位移位置由它的位移 x 確定，與之共軛的動量為確定，與之共軛的動量為 p=m，而能，而能量是其動能和勢能之和量是其動能和勢能之和A m2222212222pApxmxmm在二維在二維空間空間中，如果給定振子的能量中，如果給定振子的能量，則振子運，則振子運動狀態(tài)代表點的軌道將是能量表達式確定的橢圓，即動狀態(tài)代表點的軌道將是能量表達式確定的橢圓，即可以看出，橢圓的兩個半軸分別等于可以看出，橢圓的兩個半軸分別

6、等于 和和 ，面積等于面積等于 。222122pxmm2m22m2/ xp 轉子轉子例例考慮質量為考慮質量為m的質點的質點A被具有一定被具有一定長度的輕桿系于原點長度的輕桿系于原點O時所作的運動。時所作的運動。在直角坐標系中，質點的位置由在直角坐標系中，質點的位置由坐標坐標x、y、z確定。質點的能量就是確定。質點的能量就是它的動能它的動能如果用球極坐標如果用球極坐標r、描述質點的位置描述質點的位置則質點能量則質點能量22212m xyzsincos ,sinsin ,cosxryrzr02222222222211=sinsin22rm rrrm rrAm引入與引入與、共軛的動量共軛的動量則質點

7、能量則質點能量式中式中I=mr2是質點對原點是質點對原點O的轉動慣量。的轉動慣量。、和和 就是在球極坐標系中描述質點運動狀態(tài)就是在球極坐標系中描述質點運動狀態(tài)的廣義坐標和廣義動量。此時，質點的自由度為的廣義坐標和廣義動量。此時，質點的自由度為2，它的，它的空間是四維的?？臻g是四維的。轉子轉子是這樣一個物體，它在任何時刻的位置可以由其是這樣一個物體，它在任何時刻的位置可以由其主軸主軸在空間的在空間的方位角方位角、確定。確定。前面例子中，主軸是OA。222,sinpmrpmr22211=2sinppI、pp以細棒聯(lián)結的質量為以細棒聯(lián)結的質量為m1和和m2的兩個質點（啞鈴）繞其的兩個質點（啞鈴）繞其

8、質心的轉動也是一個轉子。質心的轉動也是一個轉子。由于二體問題可以約化為單體問題，只要將前面相關由于二體問題可以約化為單體問題，只要將前面相關公式中的公式中的m換成約化質量換成約化質量 ，結果就完全適用。，結果就完全適用。對于轉子的能量，當固定對于轉子的能量，當固定，從而，從而p=0時，有時，有其中其中 是轉子的角動量。是轉子的角動量。1212m mmmm2222pLIILrp6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述微觀粒子普遍具有微觀粒子普遍具有波粒二象性波粒二象性。德布羅意提出，能量為德布羅意提出，能量為、動量為、動量為 的的自由粒子自由粒子聯(lián)系聯(lián)系著圓頻率為著圓頻率為、波矢為、

9、波矢為 的的平面波平面波（德布羅意波）。（德布羅意波）。能量能量與圓頻率與圓頻率，動量動量 與波矢與波矢 的關系為的關系為此式稱為此式稱為德布羅意關系德布羅意關系，適用于一切微觀粒子。常量，適用于一切微觀粒子。常量h和和=h/2都稱為都稱為普朗克常量普朗克常量，數(shù)值為，數(shù)值為其量綱為其量綱為 時間時間 能量能量=長度長度 動量動量=角動量角動量 。pkpk,pk34346.626 10J s=1.055 10J s，h波粒二象性的一個重要結果是微觀粒子不可能同時具波粒二象性的一個重要結果是微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標。有確定的動量和坐標。如果以如果以q表示粒子坐標表示粒子坐標q的不確

10、定度，的不確定度，p表示相應表示相應動量動量p的不確定度，則有的不確定度，則有qp h此式稱為此式稱為不確定關系不確定關系。不確定關系生動說明了微觀粒子的。不確定關系生動說明了微觀粒子的運動不是軌道運動。運動不是軌道運動。在量子力學中微觀在量子力學中微觀粒子粒子的的運動狀態(tài)運動狀態(tài)稱為稱為量子態(tài)量子態(tài)。量子。量子態(tài)由一組態(tài)由一組量子數(shù)量子數(shù)表征，這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由表征，這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。度數(shù)。 線性諧振子線性諧振子圓頻率圓頻率為的線性諧振子，能量的可能值為為的線性諧振子，能量的可能值為線性諧振子的自由度為線性諧振子的自由度為1，n是表征振子運動狀態(tài)和能量的是表征振

11、子運動狀態(tài)和能量的量子數(shù)。量子數(shù)。上式給出的能量值是分立的，分立的能量稱為上式給出的能量值是分立的，分立的能量稱為能級能級。 轉子轉子軌道角動量 轉子的能量轉子的能量在量子理論中在量子理論中L2只能取分立值只能取分立值L2 = l(l+1)2, l = 0,1,2,1,0,1,2nnn22LI對于一定的對于一定的l，角動量在其本征方向（取為，角動量在其本征方向（取為z軸）的投影軸）的投影Lz只能取分立值只能取分立值Lz = m，m = -l,-l+1,l共共2l+1個可能值。個可能值。故而，在量子理論中自由度為故而，在量子理論中自由度為2的轉子的運動狀態(tài)由的轉子的運動狀態(tài)由l、m兩個量子數(shù)表征

12、。兩個量子數(shù)表征。由由L2的取值可知，在量子理論中轉子的能量是分立的的取值可知，在量子理論中轉子的能量是分立的由于轉子的運動狀態(tài)由由于轉子的運動狀態(tài)由l、m兩個量子數(shù)表征，而能量只取兩個量子數(shù)表征，而能量只取決于決于l，因此能級為，因此能級為l的量子態(tài)有的量子態(tài)有2l+1個。我們說能級個。我們說能級l是是簡并簡并的，簡并度為的，簡并度為2l+1 。2(1),0,1,2,.2ll llI一般而言，如果某一能級的量子狀態(tài)不止一個，該能一般而言，如果某一能級的量子狀態(tài)不止一個，該能級就稱為簡并的。一個能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的級就稱為簡并的。一個能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并簡并度度。 自旋角動量自

13、旋角動量 某些基本粒子具有內稟的角動量，稱為某些基本粒子具有內稟的角動量，稱為自旋角動量自旋角動量 。其平方其平方S2的數(shù)值等于的數(shù)值等于S2 = S(S+1)2S稱為稱為自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)，可以是整數(shù)或半整數(shù)。，可以是整數(shù)或半整數(shù)。自旋量子數(shù)的數(shù)值是基本粒子的固有屬性。例如電子自旋量子數(shù)的數(shù)值是基本粒子的固有屬性。例如電子的自旋量子數(shù)等于的自旋量子數(shù)等于1/2。自旋角動量的狀態(tài)由自旋角動量的大小（自旋量子數(shù)自旋角動量的狀態(tài)由自旋角動量的大?。ㄗ孕孔訑?shù)S）及自旋角動量在其本征方向的投影確定。）及自旋角動量在其本征方向的投影確定。S以以z表示本征方向，表示本征方向，Sz的可能值為的可能值為S

14、z = mS，mS = S, S-1,-S共共2S+1個可能值。個可能值。電子電子的自旋量子數(shù)既為的自旋量子數(shù)既為1/2，則，則ms的可能值為的可能值為1/2。以以m表示電子質量，表示電子質量，-e表示電子電荷，則電子的自旋表示電子電荷，則電子的自旋磁矩磁矩 與自旋角動量與自旋角動量 大小之比為大小之比為當存在外磁場時，自旋角動量的本征方向沿外磁場方當存在外磁場時，自旋角動量的本征方向沿外磁場方向。以向。以z表示外磁場方向，表示外磁場方向， 表示磁感應強度，則電子自旋表示磁感應強度，則電子自旋角動量和自旋磁矩在角動量和自旋磁矩在z方向的投影分別為方向的投影分別為S eSmB,22 zzeSm電

15、子在外磁場中的能量為電子在外磁場中的能量為 自由粒子自由粒子設設一維一維粒子處在長度為粒子處在長度為L的一維容器中。的一維容器中。周期性周期性邊界條件邊界條件要求，粒子可能的運動狀態(tài)，其德布要求，粒子可能的運動狀態(tài)，其德布羅意波波長羅意波波長的整數(shù)倍等于容器長度的整數(shù)倍等于容器長度L，即，即L=|nx|，|nx|=0,1,2,根據(jù)波矢大小根據(jù)波矢大小kx與波長的關系，并考慮到一維空間中波動與波長的關系，并考慮到一維空間中波動可以有兩個傳播方向，可求得可以有兩個傳播方向，可求得2 eBBm2,0, 1, 2, xxxknnL將上式代入德布羅意關系，又可得一維自由粒子動量的可將上式代入德布羅意關系

16、，又可得一維自由粒子動量的可能值能值nx就是表征一維自由粒子運動狀態(tài)的量子數(shù)。一維自由粒就是表征一維自由粒子運動狀態(tài)的量子數(shù)。一維自由粒子能量的可能值為子能量的可能值為對于對于三維三維自由粒子，設粒子處在邊長為自由粒子，設粒子處在邊長為L的立方容器的立方容器中，粒子三個動量分量的可能值分別為中，粒子三個動量分量的可能值分別為2,0, 1, 2, xxxpnnL222222,0, 1, 2,2 xxxnxpnnmmL222,0, 1, 2, xxyyzzxyzpnpnpnLLLn n nnx、ny、nz就是就是表征三維自由粒子運動狀態(tài)的量子數(shù)。三表征三維自由粒子運動狀態(tài)的量子數(shù)。三維自由粒子能量

17、的可能值為維自由粒子能量的可能值為如果粒子局限在微觀大小的空間范圍內運動，上兩式給出的動如果粒子局限在微觀大小的空間范圍內運動，上兩式給出的動量和能量值的分立性是顯著的。量和能量值的分立性是顯著的。如果粒子在宏觀大小的容器內運動，上兩式給出的動量和能量如果粒子在宏觀大小的容器內運動，上兩式給出的動量和能量值是值是準連續(xù)準連續(xù)的。的。這時通常考慮在體積這時通?？紤]在體積V=L3內，在內，在px到到px+dpx，py到到py+dpy，pz到到pz+dpz的動量范圍內自由粒子的量子態(tài)數(shù)。的動量范圍內自由粒子的量子態(tài)數(shù)。由動量表達式知，由動量表達式知，px與與nx是一一對應的，且相鄰兩個是一一對應的，

18、且相鄰兩個nx之差為之差為1。因此在。因此在px到到px+dpx范圍內，可能的范圍內，可能的px數(shù)目為數(shù)目為222222222122xyzxyznnnpppmmLdd2xxLnp同理，在同理，在py到到py+dpy范圍內可能的范圍內可能的py數(shù)目及在數(shù)目及在pz到到pz+dpz范范圍內可能的圍內可能的pz數(shù)目分別為數(shù)目分別為進而，在體積進而，在體積V=L3內，在內，在px到到px+dpx，py到到py+dpy，pz到到pz+dpz內，自由粒子的內，自由粒子的量子態(tài)數(shù)量子態(tài)數(shù)為為不確定關系指出，粒子坐標的不確定值不確定關系指出，粒子坐標的不確定值q和與之共和與之共軛的動量的不確定值軛的動量的不確

19、定值p滿足滿足qph。如果用坐標如果用坐標q和動量和動量p來描述粒子的運動狀態(tài)，一個狀來描述粒子的運動狀態(tài)，一個狀態(tài)必然對應于態(tài)必然對應于空間的一個體積，稱之為一個空間的一個體積，稱之為一個相格相格。dd,dd22yyzzLLnpnp33ddddddddd2xyzxyzxyzLVnnnpppppph對于自由度為對于自由度為1的粒子，相格大小為的粒子，相格大小為h。如果粒子自由。如果粒子自由度為度為r，各自由度的坐標和動量的不確定值，各自由度的坐標和動量的不確定值qi和和pi分別分別滿足滿足qipih，相格的大小為，相格的大小為q1qr p1 prhr由此，前一式可理解為，將由此，前一式可理解為

20、，將空間的體積空間的體積Vdpxdpydpz除以除以相格大小相格大小h3而得到的三維自由粒子在而得到的三維自由粒子在Vdpxdpydpz內的量子內的量子態(tài)數(shù)。態(tài)數(shù)。對于自由粒子的動量，若采用球極坐標對于自由粒子的動量，若采用球極坐標p、來描來描寫，則有寫，則有動量空間體積元為動量空間體積元為p2sindpdd。sincos ,sinsin ,cosxyzpppppp進而，在體積進而，在體積V內，動量大小在內，動量大小在p到到p+dp，動量方向在，動量方向在到到+d ，到到+d范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為如果再對如果再對和和積分，由積分，由可得，在體積可得，在體積

21、V內，動量大小在內，動量大小在p到到p+dp，自由粒子可能的，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為狀態(tài)數(shù)為根據(jù)公式根據(jù)公式=p2/2m，由上式又可求出，在體積，由上式又可求出，在體積V內，在內，在到到+ d 的能量范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為的能量范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為23sin d d d Vpph200dsin d4 234dVpphD()表示單位能量間隔內的可能狀態(tài)數(shù)，稱為表示單位能量間隔內的可能狀態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零，還要計及自旋的貢獻。如果粒子的自旋不為零，還要計及自旋的貢獻。假如粒子的自旋量子數(shù)為假如粒子的自旋量子數(shù)為1/2，自旋角動量在動量方向，自旋角動量在動

22、量方向的投影有的投影有/2兩個可能值，上面求得的結果式都應乘以兩個可能值，上面求得的結果式都應乘以因子因子2。3/21/232( )d2dVDmh6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)就是它的力學運動狀態(tài)。就是它的力學運動狀態(tài)。全同粒子組成的系統(tǒng)全同粒子組成的系統(tǒng)就是由具有完全相同的內稟屬性就是由具有完全相同的內稟屬性（相同的質量、電荷、自旋等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。（相同的質量、電荷、自旋等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。近獨立粒子組成的系統(tǒng)近獨立粒子組成的系統(tǒng)，是指系統(tǒng)中粒子之間相互作，是指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱，用很弱，相互作用的平均能量遠小

23、于單個粒子的平均能量，因而因而可以忽略粒子間的相互作用，將整個系統(tǒng)的能量表達為單可以忽略粒子間的相互作用，將整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子能量之和個粒子能量之和式中式中i是第是第i個粒子的能量，個粒子的能量，N是系統(tǒng)的粒子總數(shù)。是系統(tǒng)的粒子總數(shù)。1NiiE理想氣體就是由近獨立粒子組成的系統(tǒng)。理想氣體就是由近獨立粒子組成的系統(tǒng)。近獨立粒子之間雖然相互作用微弱，但仍然是有相互近獨立粒子之間雖然相互作用微弱，但仍然是有相互作用的。作用的。 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經典描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經典描述 設粒子的自由度為設粒子的自由度為r。在任一時刻，第在任一時刻，第i個粒子的力學運動狀態(tài)由個粒子的力學運動狀態(tài)由

24、r個廣義坐個廣義坐標標qi1,qi2,qir和和r個廣義動量個廣義動量pi1,pi2,pir的數(shù)值確定。的數(shù)值確定。當組成系統(tǒng)的當組成系統(tǒng)的N個粒子在某一時刻的力學運動狀態(tài)都個粒子在某一時刻的力學運動狀態(tài)都確定時，整個系統(tǒng)在該時刻的微觀運動狀態(tài)也就確定了。確定時，整個系統(tǒng)在該時刻的微觀運動狀態(tài)也就確定了。因此確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要因此確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要2Nr個變量。個變量。在經典物理中，全同粒子是可以分辨的。因為經典粒在經典物理中，全同粒子是可以分辨的。因為經典粒子的運動是軌道運動，原則上可以被追蹤。子的運動是軌道運動，原則上可以被追蹤。因為全同粒子可以分辨，如果在含有多個全同粒子

25、的因為全同粒子可以分辨，如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，在交換前后，系統(tǒng)中，將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，在交換前后，系統(tǒng)的力學運動狀態(tài)是不同的。系統(tǒng)的力學運動狀態(tài)是不同的。一個粒子在某一時刻的力學運動狀態(tài)可用一個粒子在某一時刻的力學運動狀態(tài)可用空間中的一個點表空間中的一個點表示。由示。由N個全同粒子組成的系統(tǒng)在某一時刻的微觀運動狀態(tài)可在個全同粒子組成的系統(tǒng)在某一時刻的微觀運動狀態(tài)可在空空間中用間中用N個點表示。個點表示。如果交換兩個代表點在如果交換兩個代表點在空間中的位置，相應的系統(tǒng)的微觀狀空間中的位置，相應的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。態(tài)是不同的。 系統(tǒng)微觀運動狀

26、態(tài)的量子描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述 微觀粒子全同性原理微觀粒子全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以對換，不改在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以對換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。對于不可分辨的全同粒子，確定由全同近獨立粒子組對于不可分辨的全同粒子，確定由全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。數(shù)。自然界中的微觀粒子可分為兩類，稱為自然界中的微觀粒子可分為兩類，稱為玻色子玻色子和和費米子費米子

27、。在在“基本基本”粒子中，自旋量子數(shù)為半整數(shù)的，是粒子中，自旋量子數(shù)為半整數(shù)的，是費米費米子子；自旋量子數(shù)是整數(shù)的，是；自旋量子數(shù)是整數(shù)的，是玻色子玻色子。在復合粒子中，凡是由玻色子構成的復合粒子是在復合粒子中，凡是由玻色子構成的復合粒子是玻色玻色子子，由偶數(shù)個費米子構成的復合粒子也是，由偶數(shù)個費米子構成的復合粒子也是玻色子玻色子，由奇數(shù)，由奇數(shù)個費米子構成的復合粒子是個費米子構成的復合粒子是費米子費米子。由費米子組成的系統(tǒng)稱為由費米子組成的系統(tǒng)稱為費米系統(tǒng)費米系統(tǒng)，遵從泡利不相容，遵從泡利不相容原理。原理。泡利不相容原理泡利不相容原理說，在含有多個全同近獨立的費米子的系統(tǒng)說，在含有多個全同近

28、獨立的費米子的系統(tǒng)中，一個個體量子態(tài)最多能容納一個費米子。中，一個個體量子態(tài)最多能容納一個費米子。由玻色子組成的系統(tǒng)稱為由玻色子組成的系統(tǒng)稱為玻色系統(tǒng)玻色系統(tǒng)，不受泡利不相容，不受泡利不相容原理的約束。原理的約束。即是說，由多個全同近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)中，即是說，由多個全同近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)中，處在同一個體量子態(tài)的玻色子數(shù)目是不受限制的。處在同一個體量子態(tài)的玻色子數(shù)目是不受限制的。在統(tǒng)計物理學發(fā)展的早期，玻爾茲曼把粒子看作可以分辨的，并導出了這種粒子的統(tǒng)計分布。由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱為

29、子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱為玻爾茲曼系統(tǒng)玻爾茲曼系統(tǒng)。 三系統(tǒng)的區(qū)別三系統(tǒng)的區(qū)別設系統(tǒng)含有兩個粒子，粒子的個體量子態(tài)有設系統(tǒng)含有兩個粒子，粒子的個體量子態(tài)有3個。個。玻爾茲曼系統(tǒng)，粒子可以分辨，每一個體量子態(tài)能夠玻爾茲曼系統(tǒng)，粒子可以分辨，每一個體量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制。以容納的粒子數(shù)不受限制。以A、B表示可以分辨的兩個粒表示可以分辨的兩個粒子，它們占據(jù)子，它們占據(jù)3個個體量子態(tài)可以有以下方式個個體量子態(tài)可以有以下方式因此，對于玻爾茲曼系統(tǒng)，可以有因此，對于玻爾茲曼系統(tǒng)，可以有9個不同的狀態(tài)。個不同的狀態(tài)。玻色系統(tǒng)，粒子不可分辨，每一個體量子態(tài)能夠容納玻色系統(tǒng)，粒子不可分辨，每一個

30、體量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制。兩個粒子占據(jù)的粒子數(shù)不受限制。兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)可以有個個體量子態(tài)可以有以下方式以下方式因此，對于玻色系統(tǒng)，可以有因此，對于玻色系統(tǒng)，可以有6個不同的狀態(tài)。個不同的狀態(tài)。費米系統(tǒng)，粒子不可分辨，每一個體量子態(tài)最多能容費米系統(tǒng)，粒子不可分辨，每一個體量子態(tài)最多能容納一個粒子數(shù)。兩個粒子占據(jù)納一個粒子數(shù)。兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)可以有以下個個體量子態(tài)可以有以下方式方式因此，對于費米系統(tǒng)，可以有因此，對于費米系統(tǒng)，可以有3個不同的狀態(tài)。個不同的狀態(tài)。在經典基礎上建立的統(tǒng)計物理學稱為在經典基礎上建立的統(tǒng)計物理學稱為經典統(tǒng)計物理學經典統(tǒng)計物理學，在量子力學基礎

31、上建立的統(tǒng)計物理學稱為在量子力學基礎上建立的統(tǒng)計物理學稱為量子統(tǒng)計物理學量子統(tǒng)計物理學。兩者在統(tǒng)計原理上是相同的，區(qū)別在于對微觀運動狀兩者在統(tǒng)計原理上是相同的，區(qū)別在于對微觀運動狀態(tài)的描述。態(tài)的描述。6.4 等概率原理等概率原理平衡態(tài)統(tǒng)計物理基本假設平衡態(tài)統(tǒng)計物理基本假設熱力學和統(tǒng)計物理學都研究宏觀物質系統(tǒng)的特性。熱力學和統(tǒng)計物理學都研究宏觀物質系統(tǒng)的特性。宏觀物質系統(tǒng)由大量微觀粒子組成，其粒子數(shù)的典型宏觀物質系統(tǒng)由大量微觀粒子組成，其粒子數(shù)的典型數(shù)值為數(shù)值為1023/mol。作為熱運動的宏觀理論，熱力學討論的狀態(tài)是宏觀狀作為熱運動的宏觀理論，熱力學討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由一系列宏觀參量表征。

32、態(tài)，由一系列宏觀參量表征。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是其力學運動狀態(tài)。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是其力學運動狀態(tài)。在確定的在確定的宏觀狀態(tài)宏觀狀態(tài)下，系統(tǒng)可能的下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)微觀狀態(tài)是大量的，是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生著極其復雜的變化。而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生著極其復雜的變化。玻爾茲曼在玻爾茲曼在19世紀世紀70年代提出了著名的年代提出了著名的等概率原理等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎，它是一個基本假設，其等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎，它是一個基本假設

33、，其正確性由它的種種推論都與客觀實際相符而得到肯定。正確性由它的種種推論都與客觀實際相符而得到肯定。6.5 分布和微觀狀態(tài)分布和微觀狀態(tài)設有一個系統(tǒng)，由大量全同近獨立的粒子組成，具有設有一個系統(tǒng)，由大量全同近獨立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)確定的粒子數(shù)N、能量、能量E和體積和體積V。以以l (l=1,2,)表示粒子的能級，表示粒子的能級，l 表示能級表示能級l 的簡并的簡并度。度。N個粒子在各能級的分布可以描述如下個粒子在各能級的分布可以描述如下能級能級1,2,l,簡并度簡并度1,2,l,粒子數(shù)粒子數(shù) a1, a2, al,即能級即能級1上有上有a1個粒子，能級個粒子，能級2上有上有a2個粒子

34、個粒子以符號以符號al表示數(shù)列表示數(shù)列a1,a2,al,，稱為一個，稱為一個分布分布。對。對于具有確定于具有確定N、E、V的系統(tǒng)，分布的系統(tǒng)，分布al必須滿足必須滿足分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念。分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念。給定一個分布給定一個分布al ，只確定了在每一個，只確定了在每一個能級能級l上的粒上的粒子數(shù)子數(shù)al。對于玻色和費米系統(tǒng)，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定對于玻色和費米系統(tǒng)，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。處在每一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。因此在給定分布后，要確定玻色和費米系統(tǒng)的微觀狀因此在給定分布后，要確定玻色和費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，還必須對每一個能

35、級確定態(tài)，還必須對每一個能級確定al個粒子占據(jù)其個粒子占據(jù)其l個量子態(tài)個量子態(tài)的方式。的方式。,lllllaNaE對于玻爾茲曼系統(tǒng)，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每對于玻爾茲曼系統(tǒng)，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每一個粒子的個體量子態(tài)。一個粒子的個體量子態(tài)。因此在給定分布后，要確定玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，因此在給定分布后，要確定玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，還必須確定處在各能級還必須確定處在各能級l上的是哪上的是哪al個粒子，以及這些粒個粒子，以及這些粒子占據(jù)其子占據(jù)其l個量子態(tài)的方式。個量子態(tài)的方式。對于對于玻爾茲曼系統(tǒng)玻爾茲曼系統(tǒng)，與分布，與分布al相應的系統(tǒng)的微觀狀相應的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是態(tài)數(shù)是對于對

36、于玻色系統(tǒng)玻色系統(tǒng)，與分布，與分布al相應的微觀狀態(tài)數(shù)是相應的微觀狀態(tài)數(shù)是對于對于費米系統(tǒng)費米系統(tǒng)，與分布，與分布al相應的微觀狀態(tài)數(shù)是相應的微觀狀態(tài)數(shù)是M.B.!=!lallllNaB.E.1 !=!l !lllllaaF.D.!=!lllllaa如果在玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng)中，任一能級如果在玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng)中，任一能級l上的粒子上的粒子數(shù)均遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即數(shù)均遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即all (for all l)則上兩式給出的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)可近似則上兩式給出的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)可近似為為B.E.M.B.F.D.M.B.1 !12=!l !11!=! l

37、lllllllllllllallllllllllllllalllaaaaaaNaaaaaN條件條件al1上式可化為上式可化為為求得使為求得使ln為極大的分布，令各為極大的分布，令各al有有al的變化，的變化，ln將將因而有因而有l(wèi)n的變化。使的變化。使ln極大的分布極大的分布al必然使必然使但這些但這些al不完全是獨立的，它們需滿足條件不完全是獨立的，它們需滿足條件lnln0 llllaalnln1ln1 +lnlnln+ln llllllllllllNNaaaNNaaa0,0 lllllNaEa在滿足此約束條件時，引入兩個參量在滿足此約束條件時，引入兩個參量、，不論其取什，不論其取什么數(shù)值，

38、下式都和前一式等價么數(shù)值，下式都和前一式等價上面上面al的兩個約束條件使得兩個的兩個約束條件使得兩個al（假設是（假設是a1和和a2）不能任意取值。用下述兩個條件確定參量）不能任意取值。用下述兩個條件確定參量和和此時前一式化為此時前一式化為此式中各此式中各al可以獨立取值，而此式等于零要求各可以獨立取值，而此式等于零要求各al的系的系數(shù)等于零，即數(shù)等于零，即lnln0 lllllaNEa121212ln0,ln0aa=3ln0lllllaaln0,3,4,.lllal故而有故而有或或此式給出的分布即此式給出的分布即玻爾茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻爾茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為，稱為麥克斯韋麥克

39、斯韋-玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布，簡稱，簡稱玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布。其中參量。其中參量、也可由下式確定也可由下式確定玻爾茲曼分布給出處在能級玻爾茲曼分布給出處在能級l的粒子數(shù)。能級的粒子數(shù)。能級l有有l(wèi)個量子態(tài)，個量子態(tài)，處在其中任何一個量子態(tài)的平均粒子數(shù)應該是相同的。處在其中任何一個量子態(tài)的平均粒子數(shù)應該是相同的。因此處在能因此處在能量為量為s的量子態(tài)的量子態(tài)s上的平均粒子數(shù)為上的平均粒子數(shù)為 lllae, lllllllNeEeln0,1,2,3,.lllal ssfe此時約束條件也可表為此時約束條件也可表為其中求和項是對粒子的所有量子態(tài)求和。其中求和項是對粒子的所有量子態(tài)求和。說明：說明

40、：對前面的對前面的ln一級變分一級變分ln再取變分，得再取變分，得由于由于al0，故上式總是負的。這證明，故上式總是負的。這證明玻爾茲曼分布是使玻爾茲曼分布是使ln為極大的分布為極大的分布。設設+是對玻爾茲曼分布有偏離是對玻爾茲曼分布有偏離al(l=1,2,)的一的一個分布的微觀狀態(tài)數(shù)。將個分布的微觀狀態(tài)數(shù)。將ln (+)展開，得展開，得, sslssNeEe22lnln lllllllaaaa將前面將前面ln和和2ln的表達式代入，有的表達式代入，有如果假設對玻爾茲曼分布的相對偏離為如果假設對玻爾茲曼分布的相對偏離為al /al10-5，則，則對于對于N1023的宏觀系統(tǒng)，的宏觀系統(tǒng)，這個估

41、計說明，即使對最概然分布僅有極小偏離的分布，這個估計說明，即使對最概然分布僅有極小偏離的分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)相比也是幾近它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)相比也是幾近于零的。于零的。21lnlnlnln2 21lnln2 lllaa21011ln1022 llllaaNa131exp102這就是說，最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)非常接近于全部這就是說，最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)非常接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù)?？赡艿奈⒂^狀態(tài)數(shù)。在前面推導中，對所有的在前面推導中，對所有的al都應用了都應用了lnm! = m(lnm-1), m1的近似關系式。這要求所有的近似關系式。這要求所有al

42、都遠大于都遠大于1。這個條件實際上往往并不滿足，這是推導過程的一個這個條件實際上往往并不滿足，這是推導過程的一個嚴重缺點。嚴重缺點。上述理論可以推廣到含有多個組元的情形。上述理論可以推廣到含有多個組元的情形。根據(jù)經典和量子統(tǒng)計中微觀狀態(tài)數(shù)的相似性，可以直根據(jù)經典和量子統(tǒng)計中微觀狀態(tài)數(shù)的相似性，可以直接寫出經典統(tǒng)計中玻爾茲曼分布的表達式接寫出經典統(tǒng)計中玻爾茲曼分布的表達式其中其中、滿足滿足0 lllraeh00, lllllrrllNeEehh6.7 玻色分布和費米分布玻色分布和費米分布玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的分別為分別為 玻色系統(tǒng)玻色系統(tǒng)對對=B.E.取對數(shù)，得取對數(shù)，得假設假

43、設al1,l1，因而因而l+al-1l+al，l-1l，且可用，且可用近似式近似式lnm! = m(lnm-1), m1B.E.F.D.1 !=,=!l !llllllllllaaaaln=ln1 ! ln! lnl !lllllaa即有即有令各令各al有有al的變化，的變化，ln將因而有將因而有l(wèi)n的變化。使的變化。使ln極大極大的分布的分布al必然使必然使但各但各al不完全是獨立的，它們需滿足條件不完全是獨立的，它們需滿足條件用拉氏乘子用拉氏乘子和和乘這兩個式子，并從乘這兩個式子，并從ln中減去，得中減去，得根據(jù)拉氏乘子法原理，上式中每一個根據(jù)拉氏乘子法原理，上式中每一個al的系數(shù)都必須為零的系數(shù)都必須為零ln=lnlnlnllllll