數(shù)值分析課件插值法

1、2.1 2.1 引引 言言 第第2 2章章 插值法插值法一、問題背景一、問題背景 用來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。但有些只能給出a,b的一系列點，有些雖有解析表達(dá)式但計算復(fù)雜，它們都只能形成一個函數(shù)表。但在很多情況下，我們往往需要求出不在表上的函數(shù)值，所以我們希望做一個既能反映函數(shù)f(x)的特性，又便于計算的簡單函p(x)，用p(x) 近似f(x)。 )(xfy ), 1 , 0( )( nixfyii n)n), ,0,1,0,1,(i (i ) )f(xf(x) )P(xP(x 選簡單P(x)，滿足選簡單P(x)，滿足i ii i應(yīng)用：例如程控加工機械零件等。應(yīng)用：例如程控加工機械零件等。

2、這樣確定的這樣確定的 就是插值函數(shù)。就是插值函數(shù)。P(x)P(x)二、一般概念二、一般概念若存在一個若存在一個 . .y y, , ,y y, , y yb上的函數(shù)值b上的函數(shù)值x xx xx x 且已知它在點a且已知它在點a b上有定義,b上有定義,a,a, f(x)在區(qū)間f(x)在區(qū)間設(shè)函數(shù) y設(shè)函數(shù) yn n1 10 0n n1 10 0.,)()(1.1) ), 1 , 0( )( )(10插值節(jié)點插值節(jié)點插值函數(shù)插值函數(shù)為為，點，點的的為為則稱則稱，滿足條件，滿足條件簡單函數(shù)簡單函數(shù)niixxxxfxPniyxPxP 。與本章只討論。為三角多項式，就稱為若。為為分段的多項式，就稱若。

3、相應(yīng)的插值法稱為為則稱為實數(shù)其中的代數(shù)多項式是一個次數(shù)不超過若分段插值分段插值多項式插值多項式插值三角插值三角插值分段插值分段插值多項式插值多項式插值)()( .)(1.2) )( )( )(10 xPxPxPaxaxaaxPnxPinn插值多項式插值多項式從幾何上看，插值法就是求曲線y=p(x),使其通過給定的n+1個點(xi,yi),i=0,1,n,并用它近似已知曲線y=f(x). )(xfy )(xpy y1ynxx1xnyx0圖 2-12.1.2 2.1.2 多項式插值多項式插值設(shè)在區(qū)間a,b上給定n+1個點 ax0 x1xnb上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,n),求次數(shù)不超過

4、n的多項（1,2）使 p(xi)=yi, i= 0,1,n. (1.3)由此可得到關(guān)于系數(shù)a0,a1,an的n+1元線性方程組,101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa（1.4）此方程組的系數(shù)矩陣為nnnnnxxxxxx1111100A =稱為范德蒙德（Vandermonde)矩陣，由于xi(i=0,1,n)互異，故.0)(10,jnjijiixxdetA =因此，線性方程組（1.4）的解a0,a1,an存在且唯一，于是有下面的結(jié)論：定理一定理一 滿足條件（滿足條件（1.3）的插值多項式）的插值多項式p(x)是存在唯一的。是存在唯一的。（1.5）2 2 拉

5、格朗日插值拉格朗日插值一、線性插值和拋物插值一、線性插值和拋物插值對給定插值點,求出形如(1.2) )( )( 10為實數(shù)其中innaxaxaaxP的插值多項式的方法有多種.)( ,)( )(),(),( , ,111111111kkkkkkkkkkyxLyxLxLxfyxfyxxn，滿足要求線性插值多項式及端點函數(shù)值假定給定區(qū)間時先考察幾何意義：就是通過兩點（xk,yk) 與（xk+1,yk+1)的直線，如圖2-2所示y=L1(x)y=f(x)yk+1ykxk+1xkyx0 )()( 111kkkkkkxxxxyyyxL 已有公式：已有公式： )( 11111 kkkkkkkkyxxxxyx

6、xxxxL (2.3) ),()()( 2.2 )( ,)( 1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk 則所求線性插值多項式則所求線性插值多項式）（令令 (2.3) ),()()( 2.2 )( ,)( 1111111xlyxlyxLxxxxxlxxxxxlkkkkkkkkkkkk 則所求線性插值多項式則所求線性插值多項式）（令令.1,)(0)( 0)(1)( )()(11111線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)稱為稱為，并滿足并滿足也是線性插值多項式，也是線性插值多項式，和和其中其中 kkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlyx0 xkxk+1)(xlk)

7、(1xlk111圖 2-3.)( ,)( ,)( )(, ,21122112211kkkkkkkkkyxLyxLyxLxLxxxn，滿足二次插值多項式，要求假定給定插值節(jié)點時再考察(2.4) 1.)(0)(0)( 0,)(1)(0)( 0)(0)(1)( )()(),(11111111111111 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxl，并滿足并滿足是二次函數(shù)，是二次函數(shù)，和和采用基函數(shù)法，基函數(shù)采用基函數(shù)法，基函數(shù)幾何上就是通過三點（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的拋物線。.)()()( 111111 kkkk

8、kkxxxxxxxxxl 同理同理 .)()()( ,)()()( 111111111kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl yx0)(xlk)(1xlk)(1xlkxkXk+1Xk-11圖 2-4. )()( )()( )()()( ,111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL 也也就就是是 (2.5) ),()()()( 11112xlyxlyxlyxLkkkkkk 項式項式于是，所求二次插值多于是，所求二次插值多(2.7) ), 1 , 0,( , 1 , 0)( ),(

9、nkikikixlxlnikk 滿足滿足次次個個仍采用基函數(shù)法，求一仍采用基函數(shù)法，求一插值基函數(shù)插值基函數(shù) ),()()()( 110nkkkkxxxxxxxxAxl 可知可知2.2.2 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式(2.6) )., 1 , 0( ,)( )(1 10niyxLxLnxxxniinnn ，滿足，滿足次插值多項式次插值多項式要求要求，個插值節(jié)點個插值節(jié)點對于給定的對于給定的一般情況，一般情況， ),()()()( 110nkkkkxxxxxxxxAxl 可知可知(2.8) ), 1 , 0( )()()()()()()( ,1)(110110nkxxxxxxxxxxx

10、xxxxxxlAxlnkkkkkknkkkkkk 于是于是得到得到由由 ).(,),(),(1,11010 xlxlxlnnxxxnnn 朗日基函數(shù)朗日基函數(shù)拉格拉格次次個個上的上的個節(jié)點個節(jié)點從而得到在從而得到在 .)(2.9) )( )( 0拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式次次稱為稱為次插值多項式次插值多項式于是，所求于是，所求nxLxlyxLnnnkkkn (2.8) ), 1 , 0( )()()()()()()( ,0110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkjjjkjnkkkkkknkkk 也就是也就是需要指出需要指出(2.3)(2.3)式與（式與（2.5

11、2.5）式是當(dāng)）式是當(dāng)n=1n=1和和n=2n=2時的特殊時的特殊情形。情形。(2.10) )()()( 101nnxxxxxxx 引入記號引入記號)()()()( 1101nkkkkkkknxxxxxxxxx 則得則得(2.11) )()()( )( 011 nkknknknxxxxyxL 于是于是注意：n次插值多項式Ln(x)通常是次數(shù)為n的多項式，特殊情況下次數(shù)可能小于n.練習(xí)練習(xí) 給定數(shù)據(jù)表給定數(shù)據(jù)表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉格朗日插值多項式求三次拉格朗日插值多項式L3(x).123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10 xx

12、xxxxxxx)(14)(5)(1)(0)(39 . 232103xlxlxlxlxLn 解解并代入數(shù)據(jù)表值得并代入數(shù)據(jù)表值得）中，?。┲?，取：在（：在（).12)(1(616)132( 2 xxxxxx )()()()()()(0110110 nkjjjkjnkkkkkknkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx或或. ),(2.12) , )()!1()()()()( , ,)(2.61)()( ,),()( ,)( 0)1(10)1()(xbaxxnfxLxfxRbaxbxxxanxfxLbaxfbaxfnjjnnnnnnn且依賴于其中插值余項則對于任何的插值多項式足條件上的滿個節(jié)點

13、在是內(nèi)存在在設(shè)上連續(xù)在設(shè)定理2定理22.2.3 插值余項與誤差估計插值余項與誤差估計定義：若在a,b上用Ln(x)近似f(x)，則其截斷誤差為Rn(x)=f(x)- Ln(x)，也稱為插值多項式的余項余項。證明：由給定條件知Rn(x)在節(jié)點xk(k=0,1,，n)上為零，即Rn(xk)=0 (k=0,1,，n)，于是 ),()()()()()(R110nxxKxxxxxxxKxnn其中K(x)是與x有關(guān)的待定函數(shù)。 現(xiàn)把x看成a,b上的一個固定點，作函數(shù)),()()()()()(10nnxtxtxtxKtLtft（2.13）根據(jù) f 的假設(shè)可知 在a,b上連續(xù)， 在(a,b)內(nèi)存在，根據(jù)插值條

14、件及余項定義，可知 在點 及 x 處均為零，故 在a,b上有n+2個零點，根據(jù)羅爾定理， 在 的兩個零點間至少有一個零點，故 在a,b內(nèi)至少有n+1個零點，對 再應(yīng)用羅爾定理，可知 在a,b內(nèi)至少有n個零點。依此類推， 在(a,b)內(nèi)至少有一個零點，記為 ，使)()(tn)()1(tn)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t )()1(tnnxxx,10),(ba0)()!1()()()1()1(xKnfnn于是.),( ,)!1()()()1(xbanfxKn且依賴于將它代入（2.13）式，就得到余項表達(dá)式（2.12）。證畢。注意：余項表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用。(2.1

15、5) , ),)( )(21)()(21)( ,1101021xxxxxxfxfxRn 線性插值余項時當(dāng)(2.16) , ),)()( )(61)( ,2202102xxxxxxxxfxRn 拋物插值余項時當(dāng)(2.14) |,)(|)!1(| )(| ,| )(|max1n11)1(xnMxRMxfnnnnbxa則若.,0,1, ,)(0nkxxlxkniiki1)(0niixl利用余項表達(dá)式（2.12），當(dāng)f(x)=xk(kn)時，由于f n+1(x)=0,于是有, 0)()(0 xlxxxRinikikn由此得（2.17）特別當(dāng)k=0時，有（2.18）例例1 1 已知已知sin0.32=0

16、.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用線性插值計算和用線性插值計算和拋物插值計算拋物插值計算sin0.3367的值的值, 并估計誤差并估計誤差.0.330365. )3367. 0()3367. 0(3367. 0sin0010101 xxxyyyL解：解： |,)( |2| )(|1021xxxxMxR .1092. 00033. 00167. 00.333521| )3367. 0(|,3335. 0sin| )(|max511220 RxxfMxxx例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.33348

17、7, sin0.36= 0.352274,用拋物插值計算用拋物插值計算sin0.3367的值的值, 并估計誤差并估計誤差.0.330374.(0.3367)Lsin0.3367 )x)(xx(x)x)(xx(xy )x)(xx(x)x)(xx(xy )x)(xx(x)x)(xx(xy (x)解：L2201021210120120102102.10 2.0132 0.0233 0.033 0.0167 0.949361 |(0.3367)R|0.9493,)(x cosM |,)x)(xx)(xx(x|6M|(x)R|620321032 2.3 2.3 差商與牛頓插值差商與牛頓插值2.3.1 插

18、值多項式的逐次生成插值多項式的逐次生成利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為重要.但當(dāng)插值節(jié)點增減時，計算要全部重新進行，甚為不便。 (3.1) ),()( )()()( 10101010nnnxxxxaxxxxaxxaaxP為此考察.), 1 , 0( ,)( ,10確定件為待定系數(shù)，由插值條其中niyxLaaaiinn.)(,0000faxPxxn時當(dāng). )()(,01011101011xxffafxxaaxPxxn，推得時當(dāng). )()()(,12010102022212022021022xxxxffxxffafxxxxaxxaaxPxxn推得，時當(dāng). .,

19、3差商定義的一般表達(dá)式，引進為寫出系數(shù)依此遞推得到knaaa .)(, 一階差商一階差商定義2定義2的及在兩點為函數(shù)稱jiijijjixxxfxxxfxfxxf.,)(, 二階差商二階差商的三點在為稱kjijkjikikjixxxxfxxxxfxxfxxxf一般地，稱. )(,1)( (3.3) , 101102010均差均差階差商階差商 也稱為的點在為k kkkkkkkkxxxkxfxxxxfxxxfxxxf2.3.2 均差及其性質(zhì)差商的基本性質(zhì):(3.4) . )()()()(, : (1)01100kjnjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxf如的線性組合，差商可以表示為函數(shù)值. ,

20、,1 . :011100010110命題成立時當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法證明xxxfxxxfxxxfxfxxfkmmjjmjjjjjjjmmmjmjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010111010 )()()()(, )()()()(, , ,1和即命題成立時設(shè)1102001, mmmmmmxxxxfxxxfxxfm知階差商定義和上面兩式由121011120201211011)()()( 1)()()( 1)()()(11)( mmmmmmmmmmmmmjmmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf. .

21、 )()()()(0110歸納法完成時命題成立于是，當(dāng)mkxxxxxxxxxfmjmjjjjjjj , : (2)00kijkjixxxxfxxxxf如性，無關(guān)，稱為差商的對稱差商與所含節(jié)點的次序(3.5) , (3)010110 xxxxfxxfxxxfkkkk差商還可表示為(3.6) , ,!)(, , ,)( )4()(010banfxxfnbaxxxxfnnn使得點則在此區(qū)間內(nèi)至少有一階導(dǎo)數(shù)上具有的區(qū)間在含有如果) 1 () 2(羅爾定理差商定義由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一階差商 二階差商 三階差商 01234x0 x1x2x3x4f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f

22、(x4)fx0, x1fx1, x2 fx0,x1,x2fx2, x3 fx1,x2,x3 fx0,x1,x2,x3fx3, x4 fx2, x3,x4 fx1,x2,x3,x4 : ,一種形式次代數(shù)插值多項式的另可推出由差商的定義n,)(,)(,)(,)(0010210221010101100000nnnnxxxfxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf,)()( ,)()( ,)(,)()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf2.3.3 牛頓插值多項式牛頓插

23、值多項式,)()()(1010nnnxxxxfxxxxxxxE,)()( ,)(,)()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN).()()(xExNxfnn ),()( ),()( ),0,1,()(xRxExLxNniyxNnnnniin .(4).,( ,)!1()(, ) 1(0再次得證性質(zhì)并有banfxxxfnn,)()(10001xxfxxxfxN,)()()(2101012xxxfxxxxxNxN,.,)()()()(10101kkkkxxxfxxxxxxxNxN（3.7）（3.8）牛頓均差插值多項式. . 6 , 8 , 7 ,

24、 4 , 1)(,5 , 4 , 3 , 2 , 1 插值多項式求四次牛頓時設(shè)當(dāng)iixfx練習(xí)練習(xí)kxkf(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3) 1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx,63192. 0)596. 0()596. 0(),8 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0 )65. 0)(55. 0)(4 . 0(19733. 0

25、)55. 0)(4 . 0(28. 0)4 . 0(116. 141075. 0)(44NfxxxxxxxxxxxN做出差商表，得到,)()()(4104104xxxxfxxxxxxxR.)596. 0( )( 的近似值，估計誤差，計算求四次牛頓插值多項式的函數(shù)表，給定fxf例2例2.1063. 3| )596. 0(,| )(|955104xxxfxR.,63192. 0)(596. 041的近似值得和或由xxxfxfx2.3.4 2.3.4 差分與等距節(jié)點插值差分與等距節(jié)點插值.,3.11)( , : 3.10)( , : 3.9)( , : ), 1 , 0)(. ,)(), 1 , 0

26、(1)(21211110向后和中心差分算子分別稱為向前和中心差分向后差分向前差分。為步長的處以為稱點的函數(shù)值為設(shè)為常數(shù)，稱為這里函數(shù)值上的個等距節(jié)點在已知kkkkkkkkkkkkkkkkiiifffffffffhxfffnkxffxhfxfniihxxnxf義3義3定一階（向前）差分步長上節(jié)討論任意分布節(jié)點的插值公式，應(yīng)用時常碰到等距節(jié)點的情形，此時插值公式可簡化，為此先介紹差分一、差分及其性質(zhì)一、差分及其性質(zhì) .2 1212kkkkkkffffff階差分利用一階差分可定義二 . ; 111111kmkmkmkmkmkmffffffm階差分一般地可定義.: , , :21212121211kk

27、kkkkkkkfffffffff二階中心差分一階中心差分.: ,1kkkkfEfEfIfI位移算子不變算子 ：引進. ,)(IEfIEIfEffkkkk可得到則. , 2/12/11EEEI同理，差分的基本性質(zhì):(3.12) ,) 1() 1()( (1)00 fjnfEjnfIEfnjjknjnjkjnjknkn如：差分可用函數(shù)值表示，(3.13) ,) 1( ) 1()(001 fjn fEjnfEIfnjnjkjnnjknjjnknkn）（如：函數(shù)值可用差分表示，14. 3 .)( (2)00njkjknjjknknknfjn fjnfIfEf,2, , (3)22212121111hf

28、xxxxfxxfxxxfhfxxffxxfkkkkkkkkkkkkkkkkk差商與差分關(guān)系，如：）（一般地，15. 3 .!1, kmmmkkfhmxxf）（61 . 3 .!1, kmmmkkfhmxxf）（以及71 . 3 ).,(),( )(nkknnknxxfhf差分表:2f0 2f1 2f2 f0f1f2f3f0f1f2f3f401234 2 3 fkk)()(1f)(2f)(3f)(4f)(2)(3)(22f)(32f)(42f)(3303ff)(4313ff )(4404ff)(44(4.11) ),( ),()!1()() 1()(0) 1(1nnnn,xxfhnntttxR時

29、，當(dāng)函數(shù)值上的個等距節(jié)點在已知) 10( ,)(), 1 , 0(1)(00tthxxfxfniihxxnxfiii二、等距節(jié)點插值公式二、等距節(jié)點插值公式,)() 1()()( 101kkjjkhktttxxx,)()( ,)(,)()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN,!1,kmmmkkfhmxxf(3.18) . ,!) 1() 1(! 2) 1()(002000牛牛頓頓前前插插公公式式fnntttfttftfthxNnn.)!1()(, ,)()()() 1(01010nfxxxfxxxxfxxxxxxxRnnnnn,)()( ,

30、)( ,)()(,0111211101xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNxxxnnnnnnnnnnnnnnnn則次序為在牛頓插值公式中節(jié)點(3.20) ),( ),()!1()() 1()(0) 1(1nnnn,xxfhnntttxR(3.19) ,!) 1() 1(! 2) 1()(,) 01(2nnnnnnnnfnntttfttftfthxNtthxx時當(dāng),)()()(0101xxxxfxxxxxxxRnnnnn.105845. 1 ) 1 . 0(| )448. 0() 148. 0(48. 0|! 5|6 . 0sin|)048. 0(.99885. 0)048.

31、0(7544RN插公式得到做出差商表，用牛頓前.)566. 0()048. 0( 1 . 0, 6 , 1 , 0,cos)( 近似值，并計誤差的及算用四次等距插值公式計函數(shù)值，處的的在給出ffhkkhxxxfk例3例3.107064. 1 ) 1 . 0(| )448. 0() 143 . 0(43 . 0|! 5|6 . 0sin|)566. 0(. 54408 . 0)566. 0(7544RN用牛頓后插公式得到，2.4 2.4 埃爾米特插值埃爾米特插值.Hermite ,)插值問題)插值問題埃爾米特(埃爾米特( . .種插值問題稱為這相等導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值在某些節(jié)點上對應(yīng)的的而且要求

32、在節(jié)點上函數(shù)值相等不少插值問題不僅要求(4.1) ., 1 , 0 ,)( ,)( )(12 , 1 , 0,)()(112121210nifxHfxHxHnnifxffxfbxxxaniiniinniiiin滿足次的多項式超過要求一個次數(shù)不和上已知個節(jié)點著重討論一種情況：在次多項式，且滿足是都和函數(shù)采用基函數(shù)法，插值基12), 1 , 0)()(nnjxxjj(4.2) ), 1 , 0,( .)( , 0)( ; 0)( ,)( nkjxxxxjkkjkjkjjkkj (4.3) . )()()(012njjjjjnxfxfxH ),()()( 2xlbaxxjj令(4.4) ).(1)(

33、21)( 20 xlxxxxxjnjkkkjjj ),()()( 2xlxxAxjjj令(4.5) ).()()( 2xlxxxjjj .唯一性，. ),(4.6) ),()!22()()()()( ),(22),()(2)22(12)22(1xbaxnfxHxfxRxfnbaxfnnnn且依賴于其中插值余項為則階導(dǎo)數(shù)內(nèi)有在插值區(qū)間若. )()()(1)( 21 )()()(00220012njnjjjjjjnjkkkjjnjjjjjnfxlxxfxlxxxxxfxfxH爾米特插值多項式：時，應(yīng)用廣泛的三次埃當(dāng)1n .)()( 2121)(120101021010120101010210101

34、03fxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxH.)()(),()(),()(),()( ,)( 11221100的插值多項式及其余項試求滿足條件上有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在若xfxHxfxHxfxHxfxHbaxf例4例4 ).,( ,)()(! 4)( )()()( 102120)4(33xxxxxxfxHxfxR余項為.)()(),()(),()( ,)( 001100的插值多項式及其余項試求滿足條件上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在若xfxHxfxHxfxHbaxf練習(xí)練習(xí)).)(,)()()( )()()( ),()(),()( 1010001011100 xxxxAxxfxxxfxH

35、xxxxAxNxHxfxHxfxH即，可設(shè)由條件解解.)(, ),()(0101000 xxxfxxfAxfxH可得再由條件得到余項構(gòu)輔),()()()()(120 xtxtxKtHtftg).()(6)()()()(120 xxxxfxHxfxR 2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值一、高次插值的病態(tài)性質(zhì)一、高次插值的病態(tài)性質(zhì)上面我們用插值多項式Ln(x)近似f(x),一般認(rèn)為Ln(x)的次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好，實際并非如此。 龍格給出了一個等距節(jié)點插值多項式Ln(x)不收斂于 f(x)的例子。他給出的函數(shù)為f(x)=1/(1+x2),它在-5,5上各階導(dǎo)數(shù)均存在。在-5,5上

36、取n+1個等距節(jié)點), 1 ,0(105nknkxk所構(gòu)造的拉格朗日插值多項式為.)()()(11)(1102jnjnnjjnxxxxxxLnxxxxnnnn55),(212/112/1則令如下表所示，n 2 4 6 8101214161820)(2/1nxf)(2/1nnxL)(2/1nxR0.1379310.0663900.0544630.0496510.0470590.0454400.0443340.0435300.0429200.042440 0.759615-0.356826 0.607879-0.831017 1.578721-2.755000 5.332743-10.173867

37、 20.123671-39.952449-0.621864 0.423216-0.553416 0.880668-1.531662 2.800440-5.288409 10.217397-20.080751 39.994889龍格證明了，存在一個常數(shù)c3.63,使得發(fā)散。時而當(dāng)時，當(dāng))(),()(limxLcxxfxLcxnnn下面取n=10，根據(jù)計算畫出上的圖形，見下圖在及5,5)1/(1)(210 xyxLy可以看出，在x=5附近偏離很遠(yuǎn)與)1/(1)(210 xyxLy這說明用高次插值多項式Ln(x)近似f(x)效果并不好，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。-51.5yx501.0

38、0.5)(10 xL211x二、分段線性插值二、分段線性插值所謂分段線性插值就是用通過插值點的折線段逼近f(x).)(,)( (3) , 1 , 0,)( (2) ,)( (1) )(,max , ,11010分段線性函數(shù)分段線性函數(shù)xIxxxInkfxIbaCxIxIhhxxhffbxxxahkkhkkhhhkkkkknn則稱上是線性函數(shù)在每個小區(qū)間滿足求折線函數(shù)記上的函數(shù)值已知節(jié)點）（上在每個小區(qū)間由定義知5.1 , ,)( ,111111kkkkkkkkkkhkkxxxfxxxxfxxxxxIxx(5.3) ., , 0),(,),0( ,)( ), 1 , 0,( ,)( (5.2)

39、, )()( ,11111110jjjjjjjjjjjjjjkkjnjjjhxxxnjxxxxxxxjxxxxxxxxlnkjxlxlfxIba略去略去表示為其中上則在整個區(qū)間若用插值基函數(shù)表示）（或，得到誤差估計時，記當(dāng)5.4 .8| )()(|max , | )( |max2| )()(|max | )(|max,)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk 0.)()()()()( |)(| )(|)(| )( |)()()()()(| )()(| ,)(111111hhhxlxlfxfxlfxfxlxlfxlfxlxlxfx

40、IxfbaCxfkkkkkkkkkkkkkkh時，另一方面，當(dāng)).(| )()(| |,)()(hxfxfhxxxxbaxfh ，就有只要上的連續(xù)模，即對任意在是其中二、分段三次埃爾米特插值二、分段三次埃爾米特插值分段線性插值函數(shù)導(dǎo)數(shù)間斷，若已知節(jié)點上函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)，可構(gòu)造一個導(dǎo)數(shù)連續(xù)的插值函數(shù)Ih(x)，滿足.,)( (3) , 1 , 0,)(,)( (2) ,)( (1) 11上是一個三次多項式在每個小區(qū)間kkhkkhkkhhxxxInkfxIfxIbaCxI(5.5) .)()( 21 21)(1211211121112111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhfxxxxx

41、xfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxI(5.6) , )()()( )(), 1 , 0( )()(,0njjjjjhhjjxfxfxIxInjxxba可表示為則及值基函數(shù)上定義一組分段三次插若在整個區(qū)間(5.7) ., , 0),(,21),0( ,21)( 111211112111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxnjxxxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxxx略去略去其中(5.9) . 0| )(| max2735| )()(| max xfhxIxfbxahbxa(5.8) ., , 0),(,)(),0( ,)()( 1112111211jjjjjjj

42、jjjjjjjjxxxnjxxxxxxxxxjxxxxxxxxxx略去略去|),|(|(4/27) |)(| )(|)(| )( |)()( )()()()()(| )()(| 11111111kkkkkkkkkkkkkkkkkhffhfxfxfxfxxfxfxfxfxxxfxIxf).(max,)(max384)()(max )()(,. 11044a104kknkbxahbxnhxxhxfhxIxfbxxxaxfxIbaCf其中插值多項式，則有上的分段三次埃爾米特在節(jié)點為設(shè)定理4根據(jù)以上證明可得：7 7 樣條插值樣條插值問題背景.,)(, 2);3, ) 1:)( 10110三次樣條函數(shù)三

43、次樣條函數(shù)定義4定義4上的是節(jié)點則稱直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)在每一個內(nèi)節(jié)點上具有次的多項式是一個次數(shù)不超過在每個小區(qū)間滿足函數(shù)，若存在對于給定節(jié)點njjnxxxxsxxxsbxxxa一、樣條插值的概念一、樣條插值的概念.)(7.1 , 0,)( )3), 0()(三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)是則稱）（并滿足若在節(jié)點上給定函數(shù)值xsnjyxsnjyxfjjjj:)(的確定三次樣條插值函數(shù)xs.),(,),()(1101nnnxxxxsxxxxsxs.44,1個參數(shù)個待定系數(shù)，共上要確定在每個nxxjj）（上滿足連續(xù)性條件內(nèi)節(jié)點因二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故在7.2 ) 1, 1( ).0()0( ),0()0

44、(),0()0( njxsxsxsxsxsxsxjjjjjjj.24個條件再加上插值條件，共n.2邊界條件邊界條件點加上個條件，通常在兩個端還需:常見三種邊界條件.)(,)(:00nnyxsyxs第一種邊界條件.)(,)(:00nnyxsyxs 第二種邊界條件. 0)(, 0)(:,0 nxsxs自然邊界條件特別地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已經(jīng)成立故注意：因插值條件邊界條件）第三種邊界條件（周期 nnnnxsxsyyxsxsxsxs二、三次樣條插值函數(shù)的建立二、三次樣條插值函數(shù)的建立.用三彎矩法和三轉(zhuǎn)角法求三次樣條插值函數(shù)常(7.6) ,)()()( 0njjjjjxmxfxs.,數(shù)，得到三次樣條插值函對角方程組，求出的三，可得關(guān)于連續(xù)性條件和邊界條件由插值條件jjmm埃爾米特插值多項式，根據(jù)分段三次三轉(zhuǎn)角法：假定 , ), 0()(njmxsjj. , 0,)( 1jjjjjxxhnjMxs 三彎矩法：令）（則7 . 7 ., ,)( 111 jjjjjjjjxxxMhxxMhxxxs ,2)(2)()(11221cMhxxMhxxxsjjjjjj ,6)(6)()(211331cxcMhxxMhxxxsjjjjjj,61)( ,61)(1211121212jjjjjjjjjjycxcMhxsycxcMhxs. )(61),(611111211