第三章量子力學(xué)初步1

1、H=E 第三章第三章 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ)Chapter 3. Introduction to Quantum Mechanics 一個(gè)能量為E ，動(dòng)量為P 的實(shí)物粒子同時(shí)具有波動(dòng)性，波長(zhǎng)和頻率分別是與粒子相聯(lián)系的波稱為物質(zhì)波或德布羅意波 - 德布羅意波長(zhǎng) 愛(ài)因斯坦-德布羅意 關(guān)系式mhPhhmchE2指出:1. 1924.11.29，把題為“量子理論的研究”的博士論文提交給巴黎大學(xué)，二、德布羅意關(guān)系式二、德布羅意關(guān)系式教學(xué)內(nèi)容 3.1 波粒二象性 德布羅意物質(zhì)波3.2 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)詮釋3.3 不確定關(guān)系3.4 力學(xué)量的算符及本征值方程3.5 薛定諤方程3.6 一維問(wèn)題的薛定諤方程解3.

2、7 量子力學(xué)對(duì)氫原子的處理教學(xué)要求教學(xué)要求（1）掌握德布羅依假設(shè)和波粒二象性，了解戴維孫）掌握德布羅依假設(shè)和波粒二象性，了解戴維孫革末實(shí)革末實(shí)驗(yàn)和雙縫干涉實(shí)驗(yàn)。驗(yàn)和雙縫干涉實(shí)驗(yàn)。（2）掌握不確定關(guān)系，并能用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。）掌握不確定關(guān)系，并能用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。（3）掌握波函數(shù)的物理意義。）掌握波函數(shù)的物理意義。（4）了解薛定諤方程在量子力學(xué)中的作用，掌握定態(tài)的概念，）了解薛定諤方程在量子力學(xué)中的作用，掌握定態(tài)的概念，了解求解定態(tài)薛定諤方程（本征問(wèn)題）的基本步驟。了解求解定態(tài)薛定諤方程（本征問(wèn)題）的基本步驟。（5）掌握運(yùn)用定態(tài)薛定諤方程求解氫原子問(wèn)題的基本步驟，）掌握運(yùn)用定態(tài)薛定諤方程求解

3、氫原子問(wèn)題的基本步驟，掌握描述電子空間運(yùn)動(dòng)的三個(gè)量子數(shù)。掌握描述電子空間運(yùn)動(dòng)的三個(gè)量子數(shù)。 重點(diǎn)重點(diǎn) 德布羅依假設(shè)和微觀粒子的波粒二象性德布羅依假設(shè)和微觀粒子的波粒二象性 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 定態(tài)的概念定態(tài)的概念 求解定態(tài)薛定諤方程（本征問(wèn)題）的基本步驟求解定態(tài)薛定諤方程（本征問(wèn)題）的基本步驟 量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述及三個(gè)量子數(shù)量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述及三個(gè)量子數(shù) 難點(diǎn)難點(diǎn) 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述 1）十九世紀(jì)末經(jīng)典物理學(xué)的成功 2）經(jīng)典物理學(xué)上空所漂浮的兩朵烏云 3）舊量子論的形成

4、(沖破經(jīng)典 量子假說(shuō)) 1900 Planck 黑體輻射 振子能量量子化 1905 Einstein 光電效應(yīng) 電磁輻射能量量子化 1913 N.Bohr 玻爾理論 原子能量量子化量子力學(xué)發(fā)展量子力學(xué)發(fā)展 4）量子力學(xué)誕生 1924 de Broglie 所有實(shí)物粒子具有波動(dòng)性 1925 Heisenberg 矩陣力學(xué) 1926 Schroedinger 波動(dòng)方程 1927 Heisenberg 不確定原理 1928 Dirac 相對(duì)論波動(dòng)方程玻爾理論玻爾理論 玻爾理論的成功 玻爾理論的缺陷玻爾理論的成功玻爾理論的成功 量子定態(tài)得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證量子定態(tài)得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 成功解釋氫原子光譜成功解釋氫原子

5、光譜 理論上計(jì)算理論上計(jì)算Rydberg常量常量 成功預(yù)測(cè)了類氫離子光譜成功預(yù)測(cè)了類氫離子光譜 說(shuō)明特征說(shuō)明特征X射線光譜射線光譜 部分闡明了元素周期表部分闡明了元素周期表玻爾理論的局限玻爾理論的局限 電子作軌道運(yùn)動(dòng)庫(kù)侖力提供向心力電子作軌道運(yùn)動(dòng)庫(kù)侖力提供向心力 有向心加速度而不輻射能量，定態(tài)有向心加速度而不輻射能量，定態(tài) 為什么定態(tài)？如何躍遷？為什么定態(tài)？如何躍遷？ 盧瑟福，薛定諤提出問(wèn)題盧瑟福，薛定諤提出問(wèn)題玻爾理論的局限玻爾理論的局限 無(wú)法解釋氦原子光譜無(wú)法解釋氦原子光譜 無(wú)法解釋氫原子精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜無(wú)法解釋氫原子精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜 無(wú)法解釋分子的組成無(wú)法解釋分子的組成 無(wú)法解釋原子如何形成液體

6、、固體無(wú)法解釋原子如何形成液體、固體“這一理論還是十分初步的理論，許多基本問(wèn)題還有待解決這一理論還是十分初步的理論，許多基本問(wèn)題還有待解決”放棄玻爾理論？回歸經(jīng)典？放棄玻爾理論？回歸經(jīng)典？尋找新的思想尋找新的思想 （1）經(jīng)典物理中的波和粒子）經(jīng)典物理中的波和粒子波和粒子是兩種完全不同的能量傳播方式波和粒子是兩種完全不同的能量傳播方式波：波：特征量波長(zhǎng)、頻率具有干涉、衍射性質(zhì)；理想的波可以特征量波長(zhǎng)、頻率具有干涉、衍射性質(zhì)；理想的波可以精確測(cè)量其波長(zhǎng)、頻率精確測(cè)量其波長(zhǎng)、頻率粒子：粒子：可以精確地測(cè)量位置、動(dòng)量、質(zhì)量等遵從牛頓運(yùn)動(dòng)定可以精確地測(cè)量位置、動(dòng)量、質(zhì)量等遵從牛頓運(yùn)動(dòng)定律律3.1 （2）

7、光的波粒二象性）光的波粒二象性 l 1672年年 Newton光的微粒學(xué)說(shuō)光的微粒學(xué)說(shuō)l 1678年年 Huygens光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)l 19世紀(jì)世紀(jì) Young驗(yàn)證光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)驗(yàn)證光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)l 19世紀(jì)末世紀(jì)末 Maxwell Hertz確定光是電磁波確定光是電磁波l 1905年年 Einstein光量子說(shuō)光量子說(shuō) （3）德布羅意假設(shè)德布羅意假設(shè)1924 11 29德布羅意把題為德布羅意把題為“量子理論的研究量子理論的研究”的博士論文的博士論文提交巴黎大學(xué)，獲得評(píng)委會(huì)的高度評(píng)價(jià)和愛(ài)因斯坦的稱贊提交巴黎大學(xué)，獲得評(píng)委會(huì)的高度評(píng)價(jià)和愛(ài)因斯坦的稱贊“揭開(kāi)了自然界巨大帷幕的一角揭開(kāi)了自然界

8、巨大帷幕的一角”1929獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)1. 實(shí)物微粒的波粒二象性實(shí)物微粒的波粒二象性 實(shí)物微粒是指靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子實(shí)物微粒是指靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子(m00),如電子、原子、分子、中子、質(zhì)子等，以區(qū)別于如電子、原子、分子、中子、質(zhì)子等，以區(qū)別于靜止質(zhì)量等于零的光子。靜止質(zhì)量等于零的光子。 De Brogile 1924年年 de Broglie 受光的波粒二象性的啟示，大膽受光的波粒二象性的啟示，大膽提出了實(shí)物微粒也具有波性的假設(shè)。提出了實(shí)物微粒也具有波性的假設(shè)。在光學(xué)上，是否太在光學(xué)上，是否太多針對(duì)波動(dòng)的研究方法而忽略了粒子的研究方法？多針對(duì)波動(dòng)的研究方法而忽略了

9、粒子的研究方法？在實(shí)物微粒上，是不是把粒子的圖象想得太多而過(guò)于忽在實(shí)物微粒上，是不是把粒子的圖象想得太多而過(guò)于忽略了波的圖象？略了波的圖象？（1）德布羅依（德布羅依（De Brogile）假設(shè)）假設(shè)EhmvhphDe Brogile關(guān)系式關(guān)系式普朗克常數(shù)的物理意義：普朗克常數(shù)的物理意義：它是量子化的量度，即它是不連續(xù)程度的最小量度單位；在物它是量子化的量度，即它是不連續(xù)程度的最小量度單位；在物質(zhì)的波粒性中起著橋梁作用；在量子化和波粒性中起著非常重質(zhì)的波粒性中起著橋梁作用；在量子化和波粒性中起著非常重要的作用要的作用 De Broglie提出實(shí)物微粒也具有波性，以此作為克服提出實(shí)物微粒也具有波性

10、，以此作為克服舊量子論的缺點(diǎn)，探求微觀粒子運(yùn)動(dòng)的根本途徑，這種實(shí)舊量子論的缺點(diǎn)，探求微觀粒子運(yùn)動(dòng)的根本途徑，這種實(shí)物微粒所具有的波就稱為物質(zhì)波或德布羅依波。物微粒所具有的波就稱為物質(zhì)波或德布羅依波。 這個(gè)假設(shè)形式上與這個(gè)假設(shè)形式上與Einstein關(guān)系式相同，但它實(shí)際上是一個(gè)完關(guān)系式相同，但它實(shí)際上是一個(gè)完全嶄新的假設(shè)，因?yàn)樗粌H適用于光，而且對(duì)實(shí)物微粒也適全嶄新的假設(shè)，因?yàn)樗粌H適用于光，而且對(duì)實(shí)物微粒也適用。用。 動(dòng)量為動(dòng)量為 p 的在一維方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子（位能的在一維方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子（位能V=常數(shù)常數(shù)或或V=0），其波函數(shù)可與一維平面單色波相聯(lián)系得到：），其波函數(shù)可與一維平面單色波相

11、聯(lián)系得到：1cos2 ()cos2 ()2 cos()cos()xxxxpEAtAthhAxpEtAxpEth 一維實(shí)物波的波函數(shù)：一維實(shí)物波的波函數(shù)：（2）德布羅意波長(zhǎng)的估算）德布羅意波長(zhǎng)的估算 動(dòng)量為動(dòng)量為P的自由粒子，當(dāng)它的運(yùn)動(dòng)速度比光速小得多時(shí)（的自由粒子，當(dāng)它的運(yùn)動(dòng)速度比光速小得多時(shí)（c） 221PET+V22mvmP2mE3431199 P2E2V6.626 10 2 9.11 101.602 10V1.22612.26 10 ( )VVhhhmmemA若若V=1000V，則波長(zhǎng)為，則波長(zhǎng)為39pm?？梢?jiàn)對(duì)電子等實(shí)物粒子，其德布羅意?？梢?jiàn)對(duì)電子等實(shí)物粒子，其德布羅意波長(zhǎng)具有波長(zhǎng)具有

12、數(shù)量級(jí)，與數(shù)量級(jí)，與x射線相近，用普通光柵無(wú)法檢出其波性。射線相近，用普通光柵無(wú)法檢出其波性。 （V 為加速電子運(yùn)動(dòng)為加速電子運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)電勢(shì)差）的電場(chǎng)電勢(shì)差）求以求以1.0106ms-1的速度運(yùn)動(dòng)的電子，其的速度運(yùn)動(dòng)的電子，其de Broglie波波長(zhǎng)。波波長(zhǎng)。大小相當(dāng)于分子大小的數(shù)量級(jí)，說(shuō)明原子中和分子中電子運(yùn)大小相當(dāng)于分子大小的數(shù)量級(jí)，說(shuō)明原子中和分子中電子運(yùn)動(dòng)的波效應(yīng)是重要的。但與宏觀體系的線度相比，波效應(yīng)是動(dòng)的波效應(yīng)是重要的。但與宏觀體系的線度相比，波效應(yīng)是微小的。微小的。 =（6.610-34J.s）/(9.110-31kg1.0106m.s-1)= 710-10m = 7 mvh例

13、a. 1000 kg 重的汽車以重的汽車以100ms-1的速度運(yùn)動(dòng)，其的速度運(yùn)動(dòng)，其de Broglie波波波波長(zhǎng)為長(zhǎng)為6.610-39 m。s-1b. 10g 重的子彈以重的子彈以500ms-1的速度運(yùn)動(dòng)，其的速度運(yùn)動(dòng)，其de Broglie波波長(zhǎng)波波長(zhǎng)為為1.310-34 m。c. 10-6g 重的灰塵以重的灰塵以1cms-1的速度運(yùn)動(dòng)，其的速度運(yùn)動(dòng)，其de Broglie波波長(zhǎng)波波長(zhǎng)為為6.610-23 m。宏觀粒子也具有波動(dòng)性，m大時(shí), 0（3）De Brogile 波的實(shí)驗(yàn)證實(shí)波的實(shí)驗(yàn)證實(shí) 當(dāng)當(dāng)V=102104V時(shí)，從理論上已估算出電子德布羅依波時(shí)，從理論上已估算出電子德布羅依波長(zhǎng)為

14、長(zhǎng)為1.20.12，與，與x光相近（光相近（0.1100 ），用普通的光），用普通的光學(xué)光柵學(xué)光柵（周期（周期 ）是無(wú)法檢驗(yàn)出其波動(dòng)性的。是無(wú)法檢驗(yàn)出其波動(dòng)性的。戴維遜戴維遜- -革末實(shí)驗(yàn)革末實(shí)驗(yàn)單晶鎳單晶鎳（C.J.Davisson - L.H.Germer）湯姆遜實(shí)驗(yàn)湯姆遜實(shí)驗(yàn)金金- -釩多晶釩多晶（G.P.Thomson）兩個(gè)證實(shí)的實(shí)驗(yàn)：兩個(gè)證實(shí)的實(shí)驗(yàn)：適用條件：適用條件：(1)(1)電子，電子，(2)(2)非相對(duì)論非相對(duì)論(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmhmhph粒子的德布羅意波長(zhǎng)：1當(dāng) 時(shí)，2當(dāng) 時(shí)， o

15、mm經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速的電子： cc若 V =100伏 則得 =1.225 X 射線波段a. 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了電子波的波長(zhǎng)，證實(shí)了德布羅意假設(shè)。1實(shí)驗(yàn)裝置 2實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1)當(dāng)U不變時(shí)，I與的關(guān)系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當(dāng)不變時(shí)，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時(shí)，I亦變；而且隨了U周期性的變化3實(shí)驗(yàn)解釋 晶體結(jié)構(gòu)：2)12(sin2nnd波程差： 對(duì)對(duì)Dovissn和和Germer單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)，由布拉格單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)，由布拉格（Bragg）方程）方程 和和 可分別計(jì)算出衍射電子的波長(zhǎng)可分別計(jì)算出衍射電子的波長(zhǎng)。兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常吻。兩種方

16、法的計(jì)算結(jié)果非常吻合，證實(shí)電子確實(shí)具有波動(dòng)性。合，證實(shí)電子確實(shí)具有波動(dòng)性。 2dsinhklh k ln 12.26V 實(shí)驗(yàn)證明了電子確實(shí)具有波動(dòng)性，也證明了德布羅意公式的正確性。)(225. 1VUnm2 , 1n 可見(jiàn)，當(dāng)、滿足此式時(shí)，測(cè)得電流的極大值。 對(duì)于通過(guò)電壓U加速的電子：當(dāng)U不變時(shí)，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值 當(dāng)不變時(shí)，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。對(duì)對(duì)Thomson 多晶電子衍射實(shí)驗(yàn)，由花紋的半徑及底片多晶電子衍射實(shí)驗(yàn)，由花紋的半徑及底片到衍射源之間的距離等數(shù)值，也可以求出到衍射源之間的距離等數(shù)值，也可以求出 。都證明實(shí)驗(yàn)結(jié)。都證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論推斷一致，電子

17、確實(shí)具有波動(dòng)性。果與理論推斷一致，電子確實(shí)具有波動(dòng)性。后來(lái)，人們采用電子、質(zhì)子、氫原子和氦子等粒子流，也觀察到衍后來(lái)，人們采用電子、質(zhì)子、氫原子和氦子等粒子流，也觀察到衍射現(xiàn)象，充分證明了實(shí)物微粒具有波性，而不只限于電子。電子顯微鏡射現(xiàn)象，充分證明了實(shí)物微粒具有波性，而不只限于電子。電子顯微鏡以及用電子衍射和中子衍射測(cè)定分子結(jié)構(gòu)都是實(shí)物微粒波性的應(yīng)用。以及用電子衍射和中子衍射測(cè)定分子結(jié)構(gòu)都是實(shí)物微粒波性的應(yīng)用。電子在電子在金金- -釩釩多晶上的多晶上的衍射衍射 Thomson 多晶電子衍射實(shí)驗(yàn)多晶電子衍射實(shí)驗(yàn)單電子雙縫實(shí)驗(yàn)單電子雙縫實(shí)驗(yàn) 現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以做到一次一個(gè)電子通過(guò)縫現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以做

18、到一次一個(gè)電子通過(guò)縫7 7個(gè)電子在觀察屏上個(gè)電子在觀察屏上的圖像的圖像100100個(gè)電子在屏個(gè)電子在屏上的圖像上的圖像屏上出現(xiàn)的電子說(shuō)明了電子的粒子性屏上出現(xiàn)的電子說(shuō)明了電子的粒子性（4）微觀粒子的波粒二象性的理解微觀粒子的波粒二象性的理解 隨著電子數(shù)目的增多，在屏上逐漸形成了衍射圖樣隨著電子數(shù)目的增多，在屏上逐漸形成了衍射圖樣說(shuō)明說(shuō)明 “一個(gè)電子一個(gè)電子”就具有的波動(dòng)性就具有的波動(dòng)性30002000070000微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性；在另一些條件下表微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性；在另一些條件下表現(xiàn)出波動(dòng)性?，F(xiàn)出波動(dòng)性。兩種性質(zhì)雖寓于同一體中卻不能同時(shí)表現(xiàn)出來(lái)兩種性質(zhì)雖寓于同一體

19、中卻不能同時(shí)表現(xiàn)出來(lái)少女？少女？老婦？老婦？?jī)煞N圖像不會(huì)同時(shí)兩種圖像不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在你的視覺(jué)中出現(xiàn)在你的視覺(jué)中 de Broglie 如何得到軌道角動(dòng)量量子化條件如何得到軌道角動(dòng)量量子化條件由這一條件導(dǎo)出的由這一條件導(dǎo)出的表明圓軌道周長(zhǎng)表明圓軌道周長(zhǎng)S是波長(zhǎng)的整數(shù)倍，這正是在圓周上形是波長(zhǎng)的整數(shù)倍，這正是在圓周上形成穩(wěn)定的駐波所需要的。成穩(wěn)定的駐波所需要的。 盡管這種軌跡確定的軌道被不確定原理否定了，盡管這種軌跡確定的軌道被不確定原理否定了，但但“定態(tài)與駐波相聯(lián)系定態(tài)與駐波相聯(lián)系”的思想還是富有啟發(fā)性的的思想還是富有啟發(fā)性的. 2hnmvr nphnmvnhrS 2（5）德布羅意波和量子態(tài)）德布

20、羅意波和量子態(tài)波粒二象性的意義（1）把物質(zhì)粒子與光子這兩者物質(zhì)存在 的形式的理論統(tǒng)一起來(lái)（2）把原子定態(tài)和駐波聯(lián)系起來(lái)，即能 量量子化與駐波頻率、波長(zhǎng)的分立 性聯(lián)系起來(lái)。 de Broglie波波不僅對(duì)建立量子不僅對(duì)建立量子力學(xué)和原子、分子結(jié)構(gòu)理論有重要力學(xué)和原子、分子結(jié)構(gòu)理論有重要意義，而且在技術(shù)上有重要應(yīng)用意義，而且在技術(shù)上有重要應(yīng)用. . 使用使用de Broglie波的電子顯微鏡分辨波的電子顯微鏡分辨率達(dá)到光學(xué)顯微鏡的千倍率達(dá)到光學(xué)顯微鏡的千倍, ,為我們打開(kāi)了微為我們打開(kāi)了微觀世界的大門觀世界的大門. . de Broglie波的提出是類比法的成功典范波的提出是類比法的成功典范 從科

21、學(xué)方法論的角度講從科學(xué)方法論的角度講, , 由光的波粒二象性到實(shí)物微由光的波粒二象性到實(shí)物微粒的波粒二象性是一種類比推理粒的波粒二象性是一種類比推理. . 類比是由兩個(gè)或兩類對(duì)類比是由兩個(gè)或兩類對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推出它們?cè)谄渌矫嬉蚕笾g在某些方面的相似或相同，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤乃枷敕椒?，是一種由特殊到特殊、由此可能相似或相同的思想方法，是一種由特殊到特殊、由此類及彼類的過(guò)類及彼類的過(guò)程程 . . 類比可以提供重要線索，啟迪思想，類比可以提供重要線索，啟迪思想，是發(fā)展科學(xué)知識(shí)的一種有效的試探方法是發(fā)展科學(xué)知識(shí)的一種有效的試探方法. .我們?cè)谘芯抗ぷ魑覀冊(cè)谘芯抗ぷ?/p>

22、中需要重視這種方法中需要重視這種方法. . 然而，它是一種或然性推理，而不然而，它是一種或然性推理，而不是必然性推理，因而有局限性，其結(jié)論的正確與否必須由是必然性推理，因而有局限性，其結(jié)論的正確與否必須由實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn). .德布羅意獲1929年諾貝爾物理獎(jiǎng)戴維遜、湯姆遜共同獲1937年諾貝爾物理獎(jiǎng)又稱測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系或測(cè)不準(zhǔn)原理，是由微觀粒子本質(zhì)特性決定的物理量間的相互關(guān)系的原理，它反映物質(zhì)波的一種重要性質(zhì)。P4xhx P4yhy P4zhz 同理Heisenberg 3.2 不確定原理（不確定原理（uncertainty principle） 因?yàn)閷?shí)物微粒具有波粒二象性，從微觀體系得到的信息

23、會(huì)受到某些限制。例如一個(gè)粒子不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和相同方向的動(dòng)量分量 。 這 一 關(guān) 系 是 1 9 2 7 年 首 先 由 海 森 堡（Heisenberg）推導(dǎo)得出的。電子束縫寬衍射圖樣電子通過(guò)單縫時(shí)發(fā)生衍射，概略地用一級(jí)衍射角所對(duì)應(yīng)的動(dòng)量變化分量 粗估其動(dòng)量的不確定程度從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系衍射圖樣單縫衍射一級(jí)暗紋條件德布羅意波長(zhǎng)1. 從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系2. 不確定關(guān)系的物理表述及物理意義不確定關(guān)系的物理表述及物理意義xpxtE x表示表示粒子

24、在粒子在x方向上的位置的不確定方向上的位置的不確定范圍，范圍， px表示表示粒子粒子在在x方向上動(dòng)量的不方向上動(dòng)量的不確定范圍，其乘積不得小于一個(gè)常數(shù)。確定范圍，其乘積不得小于一個(gè)常數(shù)。若一個(gè)粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，若一個(gè)粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，即即 E=0 ，則粒子停留在該態(tài)的時(shí)間為，則粒子停留在該態(tài)的時(shí)間為無(wú)限長(zhǎng)，無(wú)限長(zhǎng)， t= 。不確定關(guān)系是自然界的客觀規(guī)律，不是測(cè)量技術(shù)和主觀能力的問(wèn)題，不確定關(guān)系是自然界的客觀規(guī)律，不是測(cè)量技術(shù)和主觀能力的問(wèn)題，是量子理論中的一個(gè)重要概念。是量子理論中的一個(gè)重要概念。1927年海森堡提出了不確定關(guān)系坐標(biāo)與同一方向上的動(dòng)量分量不能同時(shí)確定。坐標(biāo)與

25、同一方向上的動(dòng)量分量不能同時(shí)確定。 x與與 Py 之間不存在上述關(guān)系。之間不存在上述關(guān)系。不確定原理在宏觀體系中也適用，只不過(guò)是不確定量不確定原理在宏觀體系中也適用，只不過(guò)是不確定量小到了可忽略的程度。小到了可忽略的程度。 說(shuō)明不確定原理可用于判斷哪些物體其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用經(jīng)不確定原理可用于判斷哪些物體其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用經(jīng)典力學(xué)處理，而哪些則必須用量子力學(xué)處理。典力學(xué)處理，而哪些則必須用量子力學(xué)處理。 應(yīng)用 、一維自由粒子具有確定的動(dòng)量 p0，自由粒子動(dòng)量的不確定度p=0，則位置不確定度？思考題、一維粒子位于x0處，即 x=0。相應(yīng)波函數(shù))()(00 xxxx則動(dòng)量不確定度？對(duì)對(duì)質(zhì)量質(zhì)量m=10-15

26、kg的微塵，求速度的測(cè)不準(zhǔn)量。的微塵，求速度的測(cè)不準(zhǔn)量。設(shè)微塵位置的測(cè)量準(zhǔn)確度為設(shè)微塵位置的測(cè)量準(zhǔn)確度為x=10-8m。34111586.6 106.6 10/1010 xxphJ svm smm xkgm比起微塵運(yùn)動(dòng)的一般速度（比起微塵運(yùn)動(dòng)的一般速度（10-2m.s-1）是完全可以忽略）是完全可以忽略的，至于質(zhì)量更大的宏觀物體，的，至于質(zhì)量更大的宏觀物體，v就更小了。由此可見(jiàn)，就更小了。由此可見(jiàn)，可以認(rèn)為宏觀物質(zhì)同時(shí)具有確定的位置和動(dòng)量，因而服可以認(rèn)為宏觀物質(zhì)同時(shí)具有確定的位置和動(dòng)量，因而服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)則。從經(jīng)典力學(xué)規(guī)則。 由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式得 ：例例求原子、分子中運(yùn)動(dòng)的電子的速度不確定度。電子

27、求原子、分子中運(yùn)動(dòng)的電子的速度不確定度。電子的質(zhì)量的質(zhì)量m =9.110-31kg，原子的大小為，原子的大小為10-10m。v = h/(xm) =（6.62610-34J.s）/(10-10m9.110-31kg) 106107m.s-1已知電子的運(yùn)動(dòng)速度約為106ms-1，即當(dāng)電子的位置的不確定程度x=10-10m時(shí)，其速度的不確定程度已大于電子本身的運(yùn)動(dòng)速度。因此，原子、分子中電子的不能用經(jīng)典力學(xué)處理。 例例原子大小為原子大小為10-10m，電子位置測(cè)量的精確度至少，電子位置測(cè)量的精確度至少x=10-10m才有意義。才有意義。x = 10-10m后來(lái)發(fā)現(xiàn)的質(zhì)子射線、射線、中子射線、原子射

28、線和分子射線均符合測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。當(dāng)今采用的電子顯微鏡，電子衍射、中子衍射測(cè)定分子結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法都是微粒波動(dòng)性的具體應(yīng)用。 質(zhì)量速度速度不確定量某飛行中的子彈m = = 0.01 kgv = = 500 m / / sv = = 0.1 v 某原子中的電子m e = = 9.110 31 kgv e = = 210 6 m / / sv e = = 0.1 v e 試應(yīng)用不確定關(guān)系分別估算下述電子和子彈的位置不確定量根據(jù)位置和動(dòng)量不確定關(guān)系 子 彈0.10.41.110 34(m) 電 子0.10.42.910 10(m)電子的位置不確定量大到與原子的線度數(shù)量級(jí)（10 10 m ）同，因此，不可

29、能精確測(cè)定電子處在原子中的位置。子彈的位置不確定量比原子的線度還要小許多個(gè)數(shù)量級(jí)，小到任何精密儀器都無(wú)法觀測(cè)。因此，對(duì)宏觀物體運(yùn)動(dòng)的描述，不受位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系的限制。 宏觀物體宏觀物體 微觀粒子微觀粒子具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量， 沒(méi)有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，沒(méi)有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，可用牛頓力學(xué)描述?？捎门ｎD力學(xué)描述。 需用量子力學(xué)描述。需用量子力學(xué)描述。 有連續(xù)可測(cè)的運(yùn)動(dòng)軌道，可有連續(xù)可測(cè)的運(yùn)動(dòng)軌道，可 有概率分布特性，不可能分辨有概率分布特性，不可能分辨 追蹤各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。追蹤各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。 出各個(gè)粒子的軌跡。出各個(gè)粒子的軌跡。體系能量可以為任意的、連體系能量可以

30、為任意的、連 能量量子化。能量量子化。續(xù)變化的數(shù)值。續(xù)變化的數(shù)值。不確定度關(guān)系無(wú)實(shí)際意義。不確定度關(guān)系無(wú)實(shí)際意義。 遵循不確定度關(guān)系。遵循不確定度關(guān)系。微觀粒子和宏觀物體的特性對(duì)比微觀粒子和宏觀物體的特性對(duì)比 但它不是經(jīng)典粒子：不能用但它不是經(jīng)典粒子：不能用( )確定粒子狀確定粒子狀態(tài)，沒(méi)有軌道概念；態(tài)，沒(méi)有軌道概念；pr, 也不是經(jīng)典波：拋棄了物理量在空間周期性也不是經(jīng)典波：拋棄了物理量在空間周期性分布的概念，但具有波動(dòng)的相干疊加性。分布的概念，但具有波動(dòng)的相干疊加性。兩者統(tǒng)一于兩者統(tǒng)一于 Bohn 的幾率波概念中。的幾率波概念中。一、微觀粒子具有波粒二象性一、微觀粒子具有波粒二象性 3.3

31、 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義、幾率波幾率波 (1)幾率波 分析電子的雙縫衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，衍射圖樣與發(fā)射電子流強(qiáng)度無(wú)關(guān)。且多個(gè)電子一次行為與一個(gè)電子的多次行為結(jié)果相同。 多個(gè)電子的一次行為 干涉圖樣明條紋暗條紋“粒子”觀點(diǎn)到達(dá)電子多少“波動(dòng)”觀點(diǎn)波強(qiáng)度大小結(jié)論：到達(dá)屏某處電子數(shù)正比于波強(qiáng)度。結(jié)論：到達(dá)屏某處電子數(shù)正比于波強(qiáng)度。 若總發(fā)射電子數(shù)為若總發(fā)射電子數(shù)為M，到達(dá)某處的電子數(shù)為，到達(dá)某處的電子數(shù)為N，則到達(dá)某處的電子幾率為，則到達(dá)某處的電子幾率為N/ M單個(gè)電子的多次行為單個(gè)電子的多次行為結(jié)論：這種波是一種幾率波結(jié)論：這種波是一種幾率波“波動(dòng)波動(dòng)”觀點(diǎn)觀點(diǎn)波強(qiáng)度大波強(qiáng)度大小小“粒子粒

32、子”觀點(diǎn)觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)電子幾率大發(fā)現(xiàn)電子幾率大小小干涉圖樣干涉圖樣明條紋明條紋暗條紋暗條紋兩者統(tǒng)一于兩者統(tǒng)一于 Bohn 的幾率波概念中。的幾率波概念中。 物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意義。物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意義。19261926年玻恩提出波年玻恩提出波函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個(gè)假設(shè)得幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個(gè)假設(shè)得到散射實(shí)驗(yàn)的支持，取得了人們認(rèn)可，玻恩因此獲得到散射實(shí)驗(yàn)的支持，取得了人們認(rèn)可，玻恩因此獲得19541954年諾貝爾物理獎(jiǎng)。年諾貝爾物理獎(jiǎng)?；仡櫍?/p>

33、德布羅意關(guān)于物質(zhì)的波粒二象性假設(shè)速度為質(zhì)量為的自由粒子一方面可用 能量 和 動(dòng)量 來(lái)描述它的粒子性另一方面可用 頻率 和 波長(zhǎng) 來(lái)描述它的波動(dòng)性1. 波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識(shí)。觀客體的全部知識(shí)。下面從量子力學(xué)的基本觀點(diǎn)出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。二二. . 假設(shè)假設(shè) 波函數(shù)波函數(shù) 在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部 應(yīng)用德布羅意公式即即即的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運(yùn)動(dòng) 在波動(dòng)學(xué)中，描述波

34、動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程沿 方向勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)為續(xù)上在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部 應(yīng)用德布羅意公式即即即沿 方向勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)為的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運(yùn)動(dòng) 在波動(dòng)學(xué)中，描述波動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程自由粒子的波函數(shù) 自由粒子的能量和動(dòng)量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對(duì)于處在外場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)的非自由粒子，其能量和動(dòng)量外場(chǎng)不同，粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及描述運(yùn)動(dòng)

35、狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用波函數(shù)來(lái)描述，這是微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用波函數(shù)來(lái)描述，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 設(shè)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)為 ，則 空間某處波的強(qiáng)度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）與 的模的平方成正比。是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱 概率波概率波波函數(shù)又稱 概率幅概率幅取比例系數(shù)為1，即1926 年提出了對(duì) 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋Born因概率密度故在 矢端的體積元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為 在波函數(shù)存在的全部空間 V 中必能找到粒子，即在全部空間 V 中 粒子出現(xiàn)的概率為1。此條件稱為 波函數(shù)的

36、歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)因概率不會(huì)在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無(wú)限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標(biāo)準(zhǔn)條件符合不符合不符合不符合某粒子的波函數(shù)為歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置令求積分得：積分得：得得 到到 歸歸 一一 化化 波波 函函 數(shù)數(shù) ：概率密度得得令求極大值的求極大值的 x 坐標(biāo)坐標(biāo)解得解得另外兩個(gè)解另外兩個(gè)解處題設(shè)處題設(shè)處處最大F uvF232

37、2( )1( )2111( )3211( )2222f xxxdAf xxAdxBf xxxxcBdxxxCf xC22212( , )( ),2121( , )22nEitnnnnitnnnntN eHeHitnnHN H et 本征方程本征方程AA本征值本征值本征值波函數(shù)本征值波函數(shù)力學(xué)量算符力學(xué)量算符例如：諧振子例如：諧振子60三.態(tài)疊加原理假設(shè)II 若若 1 1, , 2, n為某一微觀體系可能的狀態(tài)，由它們線性組合所得為某一微觀體系可能的狀態(tài)，由它們線性組合所得 的也是該的也是該體系可能存在的狀態(tài)，即體系可能存在的狀態(tài)，即 1122iinnicccc式中式中c c1 1, ,c2,

38、cn為線性組合常數(shù)，為線性組合常數(shù)， 狀態(tài)中各個(gè)狀態(tài)中各個(gè) i出現(xiàn)的幾率為出現(xiàn)的幾率為| |ci| |2 2 。*22A()A() A iiijjijijiiiijiiiadccdc cdc adc a 顯然，體系在狀態(tài) 時(shí)，平均值 是 的權(quán)重平均值。 aia由非本征態(tài)力學(xué)量的平均值公式可得微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)完全來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)完全來(lái)描述考慮電子雙縫干涉考慮電子雙縫干涉 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是電子的可能狀態(tài)。也是電子的可能狀態(tài)。 l空間找到電子的幾率則是：空間找到電子的幾率則是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+

39、C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2電子源電子源感感光光屏屏電子穿過(guò)狹縫電子穿過(guò)狹縫出現(xiàn)在點(diǎn)出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度的幾率密度電子穿過(guò)狹縫電子穿過(guò)狹縫出現(xiàn)在點(diǎn)出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度的幾率密度相干項(xiàng)相干項(xiàng) 正是由于相干項(xiàng)的正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生

40、了干出現(xiàn)，才產(chǎn)生了干涉花紋。涉花紋。一個(gè)電子有一個(gè)電子有 1 1 和和 2 2 兩種可能的狀態(tài)，兩種可能的狀態(tài)， 是是這兩種狀態(tài)的疊加。這兩種狀態(tài)的疊加。 上式中的后兩項(xiàng)代表相干項(xiàng)，顯示出波動(dòng)性。所以微觀上式中的后兩項(xiàng)代表相干項(xiàng)，顯示出波動(dòng)性。所以微觀世界的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是幾率幅相加律世界的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是幾率幅相加律( (不是經(jīng)典幾率直接相加不是經(jīng)典幾率直接相加) )。物理學(xué)大師費(fèi)曼把幾率幅疊加稱為物理學(xué)大師費(fèi)曼把幾率幅疊加稱為“量子力學(xué)的第一原量子力學(xué)的第一原理理”。他這樣寫到。他這樣寫到“如果一個(gè)事件可能有幾種方式實(shí)現(xiàn)，如果一個(gè)事件可能有幾種方式實(shí)現(xiàn)，則該事件的幾率幅就是各種單獨(dú)實(shí)現(xiàn)的幾率幅之和，于

41、是則該事件的幾率幅就是各種單獨(dú)實(shí)現(xiàn)的幾率幅之和，于是出現(xiàn)了干涉出現(xiàn)了干涉”。顯示了波動(dòng)性。顯示了波動(dòng)性。 波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，所以波的疊加就是態(tài)的疊加。波的疊加導(dǎo)致了干涉、衍射所以波的疊加就是態(tài)的疊加。波的疊加導(dǎo)致了干涉、衍射的波動(dòng)性。的波動(dòng)性。 態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)1是系統(tǒng)的一個(gè)可是系統(tǒng)的一個(gè)可能態(tài)，能態(tài)， 2也是系統(tǒng)的另一個(gè)可能態(tài)，那么也是系統(tǒng)的另一個(gè)可能態(tài)，那么c1c11+c2 2 也也是系統(tǒng)的可能態(tài)是系統(tǒng)的可能態(tài)。這個(gè)態(tài)既不完全是。這個(gè)態(tài)既不完全是1 ，也不完全是態(tài)，也不

42、完全是態(tài)2 。而是它們各占幾率為。而是它們各占幾率為| |c c1 1| |2 2| |c c2 2 | |2 2的混合態(tài)。這種混的混合態(tài)。這種混合態(tài)導(dǎo)致了量子干涉效應(yīng)。也導(dǎo)致了在疊加態(tài)下測(cè)量結(jié)果合態(tài)導(dǎo)致了量子干涉效應(yīng)。也導(dǎo)致了在疊加態(tài)下測(cè)量結(jié)果的不確定性。的不確定性。德布羅意波（概率波）不同于 經(jīng)典波（如機(jī)械波、電磁波）德布羅意波經(jīng) 典 波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強(qiáng)（振幅的平方）代表通過(guò)某點(diǎn)的能流密度波強(qiáng)（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點(diǎn)波強(qiáng)的比例，并非取決于波強(qiáng)的絕對(duì)值。能流密度分布取決于空間各點(diǎn)的波強(qiáng)的絕對(duì)值。 因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的

43、振幅同時(shí)增大 C倍，不影響粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。 因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)增大 C倍，則個(gè)處的能流密度增大 C 倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。波函數(shù)存在歸一化問(wèn)題。波動(dòng)方程無(wú)歸一化問(wèn)題。波函數(shù)存在歸一化問(wèn)題。，直接疊加就可以了。是確定的，比如對(duì)位置合成，所得力學(xué)量經(jīng)典波的疊加導(dǎo)致波的須滿足線性方程。必性關(guān)系，所以表示。因?yàn)榀B加滿足線的態(tài)用是隨時(shí)間變化的，完全一般),(),(trtr的不確定性。疊加導(dǎo)致了觀測(cè)結(jié)果但如前所述，波函數(shù)的的疊加波函數(shù)的疊加與經(jīng)典波例例 根據(jù)不確定關(guān)系估計(jì)氫原子的玻爾半徑和基態(tài)能量值。根據(jù)不確定關(guān)系估計(jì)氫原子的玻爾半徑和基

44、態(tài)能量值。解：設(shè)氫原子的電子在解：設(shè)氫原子的電子在 其原子半徑其原子半徑 r 范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即 x r。根據(jù)不確定關(guān)系：根據(jù)不確定關(guān)系：p x = h - - p = h / x = h / r- - - 基態(tài)氫原子呈對(duì)稱性，即基態(tài)氫原子呈對(duì)稱性，即 動(dòng)量平均值動(dòng)量平均值 p = 0- - p = p - p = p - 0 = p - - 電子動(dòng)能為電子動(dòng)能為：EK = p2 / 2me = h2 / 2me r2- - 電子勢(shì)能為電子勢(shì)能為：EP = - e2 /4 o rEK = h2 / 2me r2 , EP = - e2 /4 o r- -基態(tài)能量為基態(tài)能量為 E 的極

45、小值的極小值 , 即：即： 電子總能量電子總能量：E = h2 / 2me r2 - e2 /4 o r- - E / r = - h2 / me r3 + e2 /4 o r2 = 0- - = 0.529 A o= - 13.6 eV 基態(tài)能量基態(tài)能量：Eo = h2 / 2me ro2 - e2 /4 o ro- -= - h2 / 2me ro2- - 玻爾半徑：玻爾半徑：re = 4h2 o / me e2 = o h2 / me e2 - - -1.力學(xué)量算符的引出如何在坐標(biāo)表象的態(tài)函數(shù) 中求粒子的動(dòng)量px的平均值。式中的px(x)是在坐標(biāo)取值的動(dòng)量值。海森伯不確定關(guān)系指出這是不可

46、能的， px(x)是沒(méi)有意義的。我們必須引入動(dòng)量(表象)波函數(shù) 是粒子動(dòng)量在p pdp間隔內(nèi)的幾率，那么動(dòng)量的平均值方可寫成*( )( ) ( )xxpx pxx dxyy+ - =*( )( )pp pp dpff+ - =)(xdppp2| )(|),( 3.4 力學(xué)量算符及其力學(xué)量算符及其 本正值本正值 但又出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，如果物理量既含動(dòng)量又含坐標(biāo)，如能量E=p2/2m+V(x) ，又如何求能量的平均值呢?所以我們必須給出一個(gè)更一般的表達(dá)式。其實(shí)(x) 和(px)之間有一種變換關(guān)系傅立葉變換，即 2)()(2)()(/dxexpdpepxhxipxxhxipxxx這樣dxdppepxp

47、dppdxexpdppppxxhxipxxxxhxpixxxxxxx2)()(*)()(2)()()()(*/*/（1）dxxxixdxdpepxixdxdppexixxhxipxxxhxipxx)()(*2)()(*2)()(*/(2)在推導(dǎo)（2）式時(shí)，利用了如下算符作用關(guān)系：hxipxhxipxxepexi/ （2）式指出，如果把動(dòng)量px改換成算符形式 ，那么用坐標(biāo)表象的波函數(shù) (x) ，也可求動(dòng)量的平均值。上推導(dǎo)還給出動(dòng)量算符px的本征值方程式:xi hxipxhxipxxepexi/ 2. 力學(xué)量算符及本征值方程 量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個(gè)顯著的區(qū)別，一個(gè)是專門引入態(tài)函數(shù)(波函數(shù))描

48、述體系的狀態(tài)，另一個(gè)是用算符表示力學(xué)量。在坐標(biāo)表象中即在 (x) 中求動(dòng)量的平均值,須把px換成算符形式 ,記為 ,xi xipxzippyippxxyy ip p22222mTmpEk類似的動(dòng)量的算符是動(dòng)能的算符是 在坐標(biāo)表象中，凡x函數(shù)的力學(xué)量，其算符就是本身。如勢(shì)能V(x)的算符就是V(x) 。這樣總能量(動(dòng)能加勢(shì)能)的算符是(r)VmH 222 在經(jīng)典力學(xué)中，由位置矢量和動(dòng)量可組合成其他力學(xué)量，如角動(dòng)量力學(xué)量L=rp。在量子力學(xué)里，相應(yīng)的角動(dòng)量算符是r)(rp rLii在直角坐標(biāo)系中)()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 在球坐標(biāo)系

49、(r,) 中，借助于直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)之間的如下關(guān)系（見(jiàn)下圖）xyrzrzryzyxrrxtancoscossinsincossin2222不難給出角動(dòng)量各分量表達(dá)式iLiLiLzyx)sincot(cos)coscot(sin角動(dòng)量平方算符在球坐標(biāo)系的表示是22222222sin1sinsin1zyxLLLL 力學(xué)量算符有一個(gè)重要的性質(zhì)，即代表力學(xué)量的兩個(gè)算符的乘積一般是不對(duì)易的。用符號(hào) 的對(duì)易關(guān)系，若 兩個(gè)算符對(duì)易，即滿足交換率；若 ，兩個(gè)算符不對(duì)易。很容易證明FGGFFGFG,表示0,FG0,FG0,yxzxzyzyxpzpzpypypxpxipzpypx 利用上關(guān)系式和角動(dòng)量直角坐標(biāo)分量

50、算符的表達(dá)式,也不難證明0, 0,22 zyxzxzyzyxLLLLiLLLiLLLiLL例如L 在數(shù)學(xué)上,算符 的一般定義是,當(dāng)它作用倒一個(gè)函數(shù)f上后,可以把f映射為另一個(gè)函數(shù)g,即 當(dāng)函數(shù)f與g只差一個(gè)常數(shù)時(shí),即 ,該方程稱函數(shù)f的本征方程，f稱本征函數(shù),一組數(shù) 稱本征值。例如能量的本征方程是角動(dòng)量平方算符的本征方程是角動(dòng)量 沿z方向的分量算符 的本征方程是自旋角動(dòng)量的本征方程是gfffnnnEH),()(),(),(lllYllaYYL221 L iLz)()(mi21121212 zSS 薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程，它在量子力學(xué)中的地位和作用相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的牛頓方程，電磁學(xué)

51、中的麥克斯韋方程，它描述了量子系統(tǒng)狀態(tài)的演化規(guī)律。下面用一種直觀的方法引出薛定諤方程。 考察質(zhì)量為m，動(dòng)量為p，能量為E=p2/2m的自由粒子的一維運(yùn)動(dòng)，它對(duì)應(yīng)的德布羅意波是波矢為k圓頻率為 的平面波，即式中的k=2/,=2r按照德布羅意關(guān)系式=h/p和關(guān)系式E=h ,自由運(yùn)動(dòng)的粒子的動(dòng)量pn和能量E與平波面波矢k和圓頻率有如下關(guān)系)(),(tkxioetxhEkhpx一、自由粒子的薛定諤方程 3.5 薛定諤方程薛定諤方程于是德布羅意平面波可改寫為/ )(),(Etxpioxetx 這個(gè)德布羅意波函數(shù)就是描述具有確定能量和動(dòng)量的自由粒子運(yùn)動(dòng)的態(tài)函數(shù)。不難看出，若要從這個(gè)態(tài)函數(shù)中提取粒子的動(dòng)能，

52、動(dòng)量信息，則必須用時(shí)間和空間坐標(biāo)的微分算符作用其上方可給出，即xpxiEti對(duì)于非相對(duì)論自由粒子能量動(dòng)量關(guān)系式mkmpEx2222）（或 也可以通過(guò)如下算符作用在波函數(shù) 上得到),(),(txxmtxti2222 該式就是自由粒子一維運(yùn)動(dòng)的波方程,將其推廣到三維情況,E=p2/2m波動(dòng)方程是),(),(tmttir2r22 2222222zyx式中 是拉普拉斯算符.如果粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r,t)中作三維運(yùn)動(dòng),粒子的總能量是)( ,tVmpEr22 )(t , x二、含時(shí)薛定諤方程 稱哈密頓算符，該式就是薛定諤方程，該方程是線性齊次方程，因而它保證了波函數(shù) (即態(tài)函數(shù))的疊加性。相應(yīng)的波方程應(yīng)該是)

53、,(),(),(),(tHttVmttirrr2r22 H式中如果勢(shì)場(chǎng)不顯含時(shí)間t ,即V=V(r),那么薛定諤方程成為),()(),(tVmttirr2r22 仔細(xì)觀察上式兩邊，不難發(fā)現(xiàn)方程的左邊只含對(duì)時(shí)間微商的運(yùn)算，右邊只涉及對(duì)空間微商的運(yùn)算，故可取分離變量式，即 )()(),(tftrr三、定態(tài)及定態(tài)薛定諤方程并將其代人上式后,得到如下等式EVmdttdftfi )()()()()(rr2r12 式中E是既不依賴時(shí)間又不依賴空間坐標(biāo)的常量(能量)。由上式分離出)()(tEftfti它的解是/)(iEtoeftf/)(),(iEtetrr因此波函數(shù)具有形式（定態(tài)波函數(shù)）其中波函數(shù)的空間部分

54、滿足EHEVm )()()(或rrr22式中)(r222VmH 稱定態(tài)薛定諤方程 一般說(shuō)來(lái)該方程不是對(duì)任意的E(能量)值才有解，只對(duì)一系列特定、分立值才有解，故這些特定的E值可以用整數(shù)n編序成En，表明能量是量子化的?？梢?jiàn)能量量子化自然蘊(yùn)含在薛定諤方程中。方程 正是能量本征方程。En是系統(tǒng)的一切可能的能量本征值，即常稱的能級(jí)。n是本征值En對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)或本征態(tài)。力學(xué)量能量用哈密頓算符表示；哈密頓算符有本征方程，通過(guò)求解該方程給出力學(xué)系統(tǒng)的一切可能的能量本征值及對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)，這是量子力學(xué)的基本假設(shè)。求解能量本征方程是量子力學(xué)最主要的任務(wù)。nnnEH由粒子運(yùn)動(dòng)實(shí)際情況正確寫出勢(shì)函數(shù)V(x)代入

55、定態(tài)薛定諤方程解方程解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)求出概率密度分布及其他力學(xué)量量子力學(xué)解題的一般思路自由粒子方勢(shì)阱0)(xV方勢(shì)阱0)(xV)(xV0)(xV無(wú)限深方勢(shì)阱)(xV幾種勢(shì)函數(shù))(xV方勢(shì)阱0)(xV)(xV方勢(shì)阱是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢(shì)阱金屬中的電子例如勢(shì)壘)(xV梯形勢(shì)散射問(wèn)題)(xV勢(shì)壘隧道貫穿)(xV)(xV其他形式超晶格諧振子a金屬V(x)V=V0V=V0EV=0 x極限V=0EVVV(x)x0a 無(wú)限深方勢(shì)阱(potential well)1、一維無(wú)限深方形勢(shì)阱 分立譜V=0EVVV(x)x0a特點(diǎn)：粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零勢(shì)能為零在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)在阱

56、外勢(shì)能為無(wú)窮大在阱壁上受極大的斥力 不能到阱外例：一個(gè)粒子在如圖所示的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能為 這種勢(shì)場(chǎng)稱為一維無(wú)限深勢(shì)阱。在一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子如何運(yùn)動(dòng)？它的波函數(shù)如何？能量如何？ 0)(xUaxxax,00 勢(shì)函數(shù)粒子在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)不能到阱外(1)薛定諤方程和波函數(shù))(xV0(x)ax阱外a0)(xVx00)(xV阱內(nèi) )(ax0哈密頓量)(2222xVxmHdd定態(tài)薛定諤方程阱外：)()(211222xExxmdd)()(222222xExxmdd阱內(nèi)：a0)(xVx0根據(jù)波函數(shù)有限的條件阱外0,0)(2xaxx1)阱外分區(qū)求通解)()(222222xExxmdd)()(dd2222xEx

57、xm令222mEk 2)阱內(nèi)0)()(2 xkx(為了方便將波函數(shù)腳標(biāo)去掉)將方程寫成通解kxBkxAxsincos)(式中 A 和 B 是待定常數(shù)由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件定特解通解是0A0)0()0(02處處xkxBxsin)(0sinkaB0)()(2aaax處處解的形式kxBkxAxsincos)(解的形式為能量取值)0(knka), 3 , 2 , 1(nank0sinkaB0BA已經(jīng)為零了 B不能再為零了即), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn222nmEk 222an只能 ka 等于零要求故能量可能值但由上式1 )每個(gè)可能的值叫能量本征值 2 )束縛態(tài) 粒子能量取值分立

58、 (能級(jí)概念) 能量量子化 3 )最低能量不為零-波粒二象性的必然結(jié)果 因?yàn)殪o止的波是不存在的。 4 )當(dāng)n 趨于無(wú)窮時(shí),能量趨于連續(xù) 5 )通常表達(dá)式寫為討論, 2 , 122222nnmLEnL-阱寬), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn本征函數(shù)系由歸一性質(zhì) 定常數(shù) B1xxxad )()(*01sin022axkxBdaB2得本征函數(shù)這組函數(shù)構(gòu)成本征函數(shù)系。), 3 , 2 , 1(sin2)(.nxanaxn考慮到振動(dòng)因子tEine（駐波解）tnEinnex)(定態(tài)波函數(shù)), 3 , 2 , 1(sin2 nexanatnEi概率密度*nnnnnP, 2 , 1sin22nx

59、ana本征能量和本征函數(shù)的可能取值nnnPEn32122212maExaasin21axaPsin221124EE xaaPxaa2sin22sin2222xaaPxaa3sin23sin2233139EE (2)小結(jié)：xanansin2,2, 1sin22nxanaPn22222nmaEn一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)和概率密度 x4 x3 x2 x1 4E3E2E1E)(xoa 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a n時(shí)，量子經(jīng)典符合玻爾對(duì)應(yīng)原理|2n|an很大En0平均效應(yīng)明顯2. 隧道效應(yīng)我們考慮粒子在勢(shì)能為的方勢(shì)壘中的運(yùn)動(dòng)，

60、勢(shì)能曲線如下圖所示。axUaxxxUo 000,)( 粒子通過(guò)一維方勢(shì)壘的運(yùn)動(dòng)是一般散射問(wèn)題的基礎(chǔ)。所謂散射問(wèn)題是指一定動(dòng)量p和一定能量E的粒子經(jīng)過(guò)勢(shì)場(chǎng)，在勢(shì)場(chǎng)力作用下偏離原入射方向，被散射在各個(gè)方向上。粒子被一維方勢(shì)壘的散射，只出現(xiàn)在兩個(gè)方向上透射和反射方向。一維散射問(wèn)題歸結(jié)為求粒子經(jīng)方勢(shì)壘后的透射系數(shù)|t|2和反射系數(shù)|r|2 。它們分別定義為粒子的透射幾率流密度J透與入射幾率流密度J入之比,反射幾率流密度J反與入射幾率流密度J入之比： 假設(shè)入射粒子的能量為E，被勢(shì)壘散射后能量保持不變，那么可認(rèn)為體系的狀態(tài)是定態(tài)，幾率流密度僅取決|2,于是問(wèn)題完全歸結(jié)求定態(tài)波函數(shù)上。幾率流密度是粒子幾率密