微分方程全解PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微分方程全解微分方程全解主視圖一階微分方程解法可分離變量法齊次微分方程一階線性微分方程解題步驟一階齊次微分方程一階非齊次微分方程常數(shù)變異法通解伯努利方程第1頁(yè)/共21頁(yè)dxxfdyyg)()( 則稱為可分離變量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法 dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的通解.分離變量法如果一階微分方程能化為可分離變量法第2頁(yè)/共21頁(yè)例 求解微分方程.2dyxydx的通解解分離變量,2xdxydy 兩端積分得,2 xdxydy12ln

2、Cxy .2為所求通解為所求通解xcey 故:例題第3頁(yè)/共21頁(yè)解 分離變量， 得 dxxxdyyy)1 (1122dxxxxdyyy22111Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122兩邊積分)ln(1)(1ln(222Cxyx）因此， 通解為 222(1)(1)xyCxCR于是， 所求特解為 22210)1)(1 (xyx例題第4頁(yè)/共21頁(yè)解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件)0(衰衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律例題回主視圖第5頁(yè)/共21頁(yè)利用微分方程解決實(shí)

3、際問(wèn)題的步驟：一、利用問(wèn)題的性質(zhì)建立微分方程， 并寫出初始條件；二、利用數(shù)學(xué)方法求出方程的通解；三、利用初始條件確定任意常數(shù)的值， 求出特解 解題步驟回主視圖第6頁(yè)/共21頁(yè))(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為齊次方程.2.解法,xyu 作變量代換,xuy 即即代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程1.定義,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uuf xdxuufdu)(得得齊次微分方程第7頁(yè)/共21頁(yè)例 求解微分方程，令令xyu ，則則udxxdudy 把變量代回得微分方程的解為解.tan2xyxyy.tan2xdxudu.lnlnln2sin

4、ln2cxcxu.sin2cxu .sin2cxxy例題第8頁(yè)/共21頁(yè),xyu 令令,dxduuydydy則例 求解微分方程解微分方程的通解為023(22xydxdyxy）滿足初始條件 10 xy的特解 原方程可化為 yxyxxyxydydx23123222uudyduy2512dyyduuu15122Cyuln51ln)51ln(512Cyxy325510 xy1C將初始條件代入通解中， 得到所求特解為 15325yxy例題第9頁(yè)/共21頁(yè)例 求解微分方程解11yxdxdy令,xyu 則,yxudxdudxdy1111udxduudxdu1分離變量， 并兩邊積分 Cxu22Cxyx2)(2

5、微分方程的通解為例題回主視圖第10頁(yè)/共21頁(yè))()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為一階線性齊次方程.上方程稱為一階線性非齊次方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的;非線性的.一階線性微分方程回主視圖第11頁(yè)/共21頁(yè). 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為.)( dxxPCey線性齊次方程(使用分離變量法)一階線性齊次微分方程解法回主視圖第12頁(yè)/共21頁(yè) 線性非齊次方程).()(xQyxPdx

6、dy 討論: 設(shè)y=f(x)是解, 則,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 變形變形積分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdxxfxQeexf非齊方程通解形式( )( ) ( )( )df xP x f xQ xdx,)()()( dxxfxQexc記記 dxxpexcxfy)()()(一階線性非齊次方程解法回主視圖第13頁(yè)/共21頁(yè)把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)解為 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和將將yy

7、 ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 積分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齊方程通解常數(shù)變易法第14頁(yè)/共21頁(yè)例 求解微分方程 cot2 sin .yyxxx 對(duì)應(yīng)齊次方程為cot0yyx1cotdyxdxycotlnsinsinxdxxyCeCeCx( )sin .yC xx令( )sin( )cosyC xxC xx則有: xxC2)(CxxC2)(故所求通解為2()sinyxCx分離變量得兩邊積分有 代入原非齊次方程， 得常數(shù)變易法例題第15頁(yè)/共21頁(yè).sin2)(,cot)(xxxQxxP).(sin)2(sin)sin1si

8、n2(sin)sin2()sin2(2sinlnsinlncotcotCxxCxdxxCdxxxxxCdxexxeCdxxexeyxxxdxxdx根據(jù)公式有:公式法例題第16頁(yè)/共21頁(yè)yyxdydx26223yxydydxCdyeyexdyydyy332Cyy2132,1xy23C以條件代入， 得 因此， 所求特解為 2232yyx例題回主視圖第17頁(yè)/共21頁(yè)例 求解微分方程.)(ln2yxaxydxdy解 原方程不是線性方程， 但通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q, 可將它化為線性方程 將原方程改寫為.ln112xayxdxdyy.ln111xayxdxdy1,zy令1ln .dzzaxdxx 則有 由通解公式， 得通解 .)(ln22xaCxz所以， 原方程通解為 . 1)(ln22xaCxy例題回主視圖第18頁(yè)/共21頁(yè)一階線性非齊次微分方程的通解為:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解對(duì)應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和.的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 所以通解回主視圖第19頁(yè)/共21頁(yè)的方程,稱為伯努利(Bernoulli)方程.nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n 方程為非線性微分方程.時(shí)時(shí)