第二章__桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析

1、有限元單元法有限元單元法 Finite Element Analysis第2章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析 2.1概述有限單元法的基本思想是從整體到局部，再回到整體，即對我們分析的整體對象，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，對其進行離散化，得到有限個獨立的單元，然后對每個單元進行單元分析，最后根據(jù)單元分析的結(jié)果對結(jié)構(gòu)物進行整體分析，求得結(jié)構(gòu)物的某些參數(shù)。在所有結(jié)構(gòu)中，桿系結(jié)構(gòu)是最簡單的一類結(jié)構(gòu)，也是我們在工程上最常見的一類結(jié)構(gòu)。如平面桁架、平面剛架、連續(xù)梁、空間剛架、空間桁架等都屬于此類結(jié)構(gòu)，以此類結(jié)構(gòu)為基礎介紹有限單元法的分析過程。 首先了解一下有限單元法分析問題的基本步驟。 第一步：對結(jié)構(gòu)物進行離散化，劃分為有限

2、個單元 12345612345 彎曲桿件系統(tǒng) 截面連續(xù)變化的桿件系統(tǒng) 以直代曲 若干微小的等截面桿單元 第二步：對各結(jié)點和單元進行編碼 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345單元劃分示意圖 第三步：建立整體坐標系和各單元的局部坐標系 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7

3、 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345整體坐標系和各單元的局部坐標系 第四步：對已知參數(shù)進行準備和整理 AlEGI對于各單元，需要準備的數(shù)據(jù)包括：單元截面積:單元長度:單元彈性模量:單元剪切模量:單元慣性矩:等。 第五步：對結(jié)點位移進行編碼 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345結(jié)點位移進行編碼前處理法 后處理法 第六步：進行單元分析 我們進行單元分析

4、的最終目的是要對結(jié)構(gòu)進行整體分析，因此必須由單元特性矩陣構(gòu)成整體特性矩陣。注意的是，如果局部坐標系與整體坐標系不一致，則需進行坐標變換，將局部坐標系下的單元特性轉(zhuǎn)換為整體坐標系下的單元特性。第七步：進行整體分析，形成整體剛度矩陣第八步：引入邊界條件邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性，否則，我們的問題就是不適定的。第九步，求解方程組，計算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點位移列陣 ，并進一步計算各單元的應力分量及主應力、主向。第十步，求單元內(nèi)力，對計算成果進行整理、分析，用表格、圖線示出所需的位移及應力。2.2局部坐標系中桿單元分析局部坐標系中桿單元分析 所謂桿件是指從構(gòu)造上來說其長度遠大于其截面尺寸的一維構(gòu)件

5、。在結(jié)構(gòu)力學上我們通常將承受軸力或扭矩的桿件稱為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。在有限單元法中這兩種情況的單元分別稱為桿單元和梁單元。但由于在實際工程結(jié)構(gòu)中，同一構(gòu)件上，上述幾種受力狀態(tài)往往同時存在，因此為方便起見，本書都稱之為桿單元桿單元。并且，本書所討論的桿單元均是指等截面直桿單元等截面直桿單元，對于變截面桿和彎曲桿件，我們在進行單元劃分時可以將其分為若干等截面桿單元。因此本書的分析方法仍然對其適應。2.2.1拉壓桿單元拉壓桿單元ijq(x)FiFjuiujxy拉壓桿單元示意圖 用結(jié)點位移表示單元上任意截面的位移用結(jié)點位移表示單元上任意截面的位移u ( )u xabxab(0)iuu

6、( )ju lu其中、 為待定系數(shù)。ijiauuubl由位移的邊界條件：( )(1)ijxxu xuull用矩陣表示為：iiijjijjuuN uN uNNuN 進行應力、應變分析進行應力、應變分析 11ijdudBBdxdxll NB根據(jù)應變的定義，有： 由虎克定律，其應力為：EEB 求單元剛度矩陣 利用虛位移原理求單元剛度矩陣： 2.2.22.2.2扭轉(zhuǎn)桿單元Mjijm(x)Miijxy扭轉(zhuǎn)桿單元示意圖2.2.32.2.3只計彎曲的桿單元ijq(x)MiMjijxyFyjFyim(x)vivj只計彎曲的桿單元示意圖TiijjvvTdyiiyjjFMFMF其中的單元剛度矩陣求得為：22322

7、12612664621261266264llllllEIlllllllk 2.2.42.2.4平面一般桿件單元ijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj一般桿單元示意圖TiiijjjuvuvTxiyiixjyjjFFMFFMFxiijEAEAFuullxjijEAEAFuull 3232126126yiiijjEIEIEIEIFvvllll3232126126yjiijjEIEIEIEIFvvllll 226462iiijjEIEIEIEIMvvllll226264jiijjEIEIEIEIMvvllllijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj323222

8、323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllFk 2.2.52.2.5空間桿件單元空間桿單元示意圖TiiixiyizijjjxjyjzjuvwuvwTxiyizixiyizixjyjzjxjyjzjFFFMMMFFFMMMF323232320000000000000000000000000000000000000126126126126zzzzxiyiyyyyzixiyizixjyjz

9、jxjyjzjEAEAllEIEIEIEIFllllFEIEIEIEIllllFGIGIllMMMFFFMMM222232323232220000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006462646212612612612662646yyyyzzzzzzzzyyyyyyyyEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGIGIllEIEIEIEIllll220000000264iiixiyizijjjxjyjzjzzzzuvwuvwEIEIEIEIllll2.

10、2.62.2.6單元剛度矩陣的性質(zhì)2.32.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析2.3.1平面問題坐標變換矩陣ijoxyFxiMiyxMjFxjFyjFyiijoxyFxiMiyxMjFxjFyjFyi （a） （b）平面問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)換關系示意圖 cossinsincosxixiyiyixiyiFFFFFF 角度轉(zhuǎn)動的正負由右手定則確定，本書中以順時針方向轉(zhuǎn)動為正 cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001xixiyiyiiixjxjyjyjjjFFFFMMFFFFMM FT Fcossin0000sincos0000001000000

11、cossin0000sincos0000001T正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣 同樣的推導，可以得到兩種坐標系下的桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關系為： T Fk FT FT Fk T 1TFTk T Tk T Fk TkTk T整體坐標系下的單元剛度方程 2.3.22.3.2空間問題坐標變換矩陣ijoxyyxFyiFxiFxjFyjzzFzjFzi空間問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)換關系示意圖xxxyxzyxyyyzzxzyzzlllllllll關系矩陣 整體坐標系下單元桿端力矩陣與局部坐標系下單元桿端力矩陣具有如下的關系表達式： FT FT000000000000空間坐標系的單元轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣2.3.3

12、2.3.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析對桿系結(jié)構(gòu)進行單元分析，僅僅是有限元分析中的第一步。我們的目的是要對整個結(jié)構(gòu)進行分析，研究結(jié)構(gòu)的整體性能。因此，在對結(jié)構(gòu)的各單元分析完成后，必須將單元分析的結(jié)果進行整合，對結(jié)構(gòu)進行整體分析。整體分析的過程實際上是如何將單元分析的結(jié)果進行有效組合，建立整體剛度方程并求解結(jié)點位移的過程。根據(jù)對結(jié)點位移的編碼方式，可以采用“先處理法”和“后處理法”來建立整體剛度方程。 2.3.3.12.3.3.1后處理法 所謂后處理法，就是由單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣，建立剛度方程后再引入支承條件，進而求解結(jié)點位移的方法。運用這種方法時，假設所有結(jié)點位移均為未知量，按照順序統(tǒng)一進行編碼

13、。1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (10 11 12)xyO后處理法位移編碼示意圖1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (10 11 12)xyO1234111222333444TTuvuvuvuv1234111222333444TTxyxyxyxyFFMFFMFFMFFMFFFFF11223344iiijjijjiiijjijjiiijjijjkkFkkkkFkkkkFkkF000000FK 奇異矩陣，不能求逆矩陣，即可得到無窮多個解 必須引入邊界條件 1114440uvuv邊界條件： 1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (

14、10 11 12)xyO11121314121222324223132333433414243444KKKKKKKKKKKKKKKKFFFF00222232332333KKKKFF12214334KKFF0012214334KKFF00231F4FfrfrFFFfffrffrfrrrrKKKKFF2.3.3.22.3.3.2先處理法 1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (4 5 6)4 (4 5 7)xyABCD5(0 0 0)O先處理法位移編碼示意圖利用先處理法對單元結(jié)點位移編碼時，僅對獨立的位移分量按自然數(shù)順序編號，若某些位移分量由于連接條件的限制彼此相等，則編為同一位移號，在支座處，

15、由于剛性約束而使位移分量為零時，則對應的編號為0。 2.3.3.32.3.3.3桿系結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 剛度集成法 首先求出各單元的貢獻矩陣 然后將它們疊加起來形成整體剛度矩陣 邊定位，邊累加 單元的定位數(shù)組 (0 0 0 1 2 3)m(1 2 3 4 5 6)m(0 0 0 4 5 7)m1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (4 5 6)4 (4 5 7)xyABCD5(0 0 0)O11121314151617212223242526273132333435363741424344454647515253545556576162636465666771727374757677KKKKK

16、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566000123000123kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk441145124613542155225623643165326633kKkKkKkKkKkKkKkKkK11121314151621222324252631323334353641424344454651525354555661626364656612345612

17、3456kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk(1,2,61,2,6)ijijkKij111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566000457000457kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk444445454647545455555657647465756677kKkKkKkKkKkKkKkKkK4411451246131415165421552256232425266431653266333435364142434444

18、454546465152535454555556566000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK1626364656664656600000kkkkkkkkCAB1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO單元劃分、建立局部坐標系和整體坐標系。并對數(shù)據(jù)進行整理，對單元和結(jié)點編號。 4444234300 10100 1061230 1012 10EAEIllEIEIll求局部坐標系中的單元剛度矩陣k 由于單元、的尺寸完全一樣，因此其單元剛度矩陣kk 4300003000001230012300301000305010300

19、0030000012300123003050030100kk323222323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll求整體坐標系中的單元剛度矩陣 CAB1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO010000100000001000000010000100000001T412300011203012030203000030003300100300501001203012

20、03000300003000030050300100k對于單元，由于其局部坐標系與整體坐標系一致，因此兩種坐標系下的單元剛度矩陣相同 41230041300003000020123001230303010003050100300003000000123001230403050030100kk形成整體剛度矩陣K41230001120301203020300003000330010030050100120301203000300003000030050300100k4123004130000300002012300123030301000305010030000300000012300123040

21、3050030100k43120300031230301030302005003050100K2.4等效結(jié)點荷載和邊界條件的處理2.4.1非結(jié)點荷載的處理非結(jié)點荷載的處理根據(jù)有限元方法的離散思想，我們需要將作用于單元上的外荷載（包括集中荷載、面分布荷載、體分布荷載、力偶等）按照虛功等效的原則移植到結(jié)點上，成為等效結(jié)點荷載。這里的虛功等效，是指原力系與等效結(jié)點荷載在任何可能的微小位移（虛位移）上所做的虛功相等。0( )lTEq xdxFN 等效結(jié)點荷載 2.4.2邊界條件的處理2.4.2.1鉸結(jié)點 DABCEFGH1 (0 0 1)2 (2 3 4)3 (5 6 7)4 (5 6 8)5 (0

22、0 0)6 (9 10 11)7 (0 0 0)8 (12 13 14)9 (15 16 17) （a） （b） 鉸結(jié)點的處理示意圖 2.4.2.22.4.2.2彈性支承點 12i-1ii+1nk彈性支承點的處理示意圖RiFk 1 122iiiiiinniRKKKKFF123iiiiiinKKKKkK2.5桿系結(jié)構(gòu)分析算例1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO10kN8kN6kN10kNm12kN/mABC2.5m2.5m43120300031230301030302005003050100K整體剛度矩陣整體剛度矩陣求總結(jié)點荷載_ _局部坐標系單元 12kN/mq 5mal 0b 0302503025TfF045045TfF求總結(jié)點荷載_ _整體坐標系剛架等效結(jié)點荷載矩陣 3 0 0 0 1 23002530025TEF 3 0 01 2 4045045TEF