第二章__桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析

1、有限元單元法有限元單元法 Finite Element Analysis第2章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析 2.1概述有限單元法的基本思想是從整體到局部，再回到整體，即對(duì)我們分析的整體對(duì)象，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行離散化，得到有限個(gè)獨(dú)立的單元，然后對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行單元分析，最后根據(jù)單元分析的結(jié)果對(duì)結(jié)構(gòu)物進(jìn)行整體分析，求得結(jié)構(gòu)物的某些參數(shù)。在所有結(jié)構(gòu)中，桿系結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的一類結(jié)構(gòu)，也是我們?cè)诠こ躺献畛Ｒ姷囊活惤Y(jié)構(gòu)。如平面桁架、平面剛架、連續(xù)梁、空間剛架、空間桁架等都屬于此類結(jié)構(gòu)，以此類結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)介紹有限單元法的分析過程。 首先了解一下有限單元法分析問題的基本步驟。 第一步：對(duì)結(jié)構(gòu)物進(jìn)行離散化，劃分為有限

2、個(gè)單元 12345612345 彎曲桿件系統(tǒng) 截面連續(xù)變化的桿件系統(tǒng) 以直代曲 若干微小的等截面桿單元 第二步：對(duì)各結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編碼 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345單元?jiǎng)澐质疽鈭D 第三步：建立整體坐標(biāo)系和各單元的局部坐標(biāo)系 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7

3、 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345整體坐標(biāo)系和各單元的局部坐標(biāo)系 第四步：對(duì)已知參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)備和整理 AlEGI對(duì)于各單元，需要準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)包括：?jiǎn)卧孛娣e:單元長(zhǎng)度:單元彈性模量:單元剪切模量:單元慣性矩:等。 第五步：對(duì)結(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行編碼 36123456(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)(5 6 7)(11 12 13)(8 9 10)12456123456(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(16 17 18)(13 14 15)12345結(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行編碼前處理法 后處理法 第六步：進(jìn)行單元分析 我們進(jìn)行單元分析

4、的最終目的是要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，因此必須由單元特性矩陣構(gòu)成整體特性矩陣。注意的是，如果局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不一致，則需進(jìn)行坐標(biāo)變換，將局部坐標(biāo)系下的單元特性轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系下的單元特性。第七步：進(jìn)行整體分析，形成整體剛度矩陣第八步：引入邊界條件邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性，否則，我們的問題就是不適定的。第九步，求解方程組，計(jì)算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點(diǎn)位移列陣 ，并進(jìn)一步計(jì)算各單元的應(yīng)力分量及主應(yīng)力、主向。第十步，求單元內(nèi)力，對(duì)計(jì)算成果進(jìn)行整理、分析，用表格、圖線示出所需的位移及應(yīng)力。2.2局部坐標(biāo)系中桿單元分析局部坐標(biāo)系中桿單元分析 所謂桿件是指從構(gòu)造上來說其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面尺寸的一維構(gòu)件

5、。在結(jié)構(gòu)力學(xué)上我們通常將承受軸力或扭矩的桿件稱為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。在有限單元法中這兩種情況的單元分別稱為桿單元和梁?jiǎn)卧?。但由于在?shí)際工程結(jié)構(gòu)中，同一構(gòu)件上，上述幾種受力狀態(tài)往往同時(shí)存在，因此為方便起見，本書都稱之為桿單元桿單元。并且，本書所討論的桿單元均是指等截面直桿單元等截面直桿單元，對(duì)于變截面桿和彎曲桿件，我們?cè)谶M(jìn)行單元?jiǎng)澐謺r(shí)可以將其分為若干等截面桿單元。因此本書的分析方法仍然對(duì)其適應(yīng)。2.2.1拉壓桿單元拉壓桿單元ijq(x)FiFjuiujxy拉壓桿單元示意圖 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元上任意截面的位移用結(jié)點(diǎn)位移表示單元上任意截面的位移u ( )u xabxab(0)iuu

6、( )ju lu其中、 為待定系數(shù)。ijiauuubl由位移的邊界條件：( )(1)ijxxu xuull用矩陣表示為：iiijjijjuuN uN uNNuN 進(jìn)行應(yīng)力、應(yīng)變分析進(jìn)行應(yīng)力、應(yīng)變分析 11ijdudBBdxdxll NB根據(jù)應(yīng)變的定義，有： 由虎克定律，其應(yīng)力為：EEB 求單元?jiǎng)偠染仃?利用虛位移原理求單元?jiǎng)偠染仃嚕?2.2.22.2.2扭轉(zhuǎn)桿單元Mjijm(x)Miijxy扭轉(zhuǎn)桿單元示意圖2.2.32.2.3只計(jì)彎曲的桿單元ijq(x)MiMjijxyFyjFyim(x)vivj只計(jì)彎曲的桿單元示意圖TiijjvvTdyiiyjjFMFMF其中的單元?jiǎng)偠染仃嚽蟮脼椋?2322

7、12612664621261266264llllllEIlllllllk 2.2.42.2.4平面一般桿件單元ijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj一般桿單元示意圖TiiijjjuvuvTxiyiixjyjjFFMFFMFxiijEAEAFuullxjijEAEAFuull 3232126126yiiijjEIEIEIEIFvvllll3232126126yjiijjEIEIEIEIFvvllll 226462iiijjEIEIEIEIMvvllll226264jiijjEIEIEIEIMvvllllijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj323222

8、323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllFk 2.2.52.2.5空間桿件單元空間桿單元示意圖TiiixiyizijjjxjyjzjuvwuvwTxiyizixiyizixjyjzjxjyjzjFFFMMMFFFMMMF323232320000000000000000000000000000000000000126126126126zzzzxiyiyyyyzixiyizixjyjz

9、jxjyjzjEAEAllEIEIEIEIFllllFEIEIEIEIllllFGIGIllMMMFFFMMM222232323232220000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006462646212612612612662646yyyyzzzzzzzzyyyyyyyyEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGIGIllEIEIEIEIllll220000000264iiixiyizijjjxjyjzjzzzzuvwuvwEIEIEIEIllll2.

10、2.62.2.6單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)2.32.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析2.3.1平面問題坐標(biāo)變換矩陣ijoxyFxiMiyxMjFxjFyjFyiijoxyFxiMiyxMjFxjFyjFyi （a） （b）平面問題兩種坐標(biāo)系下桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖 cossinsincosxixiyiyixiyiFFFFFF 角度轉(zhuǎn)動(dòng)的正負(fù)由右手定則確定，本書中以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正 cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001xixiyiyiiixjxjyjyjjjFFFFMMFFFFMM FT Fcossin0000sincos0000001000000

11、cossin0000sincos0000001T正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣 同樣的推導(dǎo)，可以得到兩種坐標(biāo)系下的桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： T Fk FT FT Fk T 1TFTk T Tk T Fk TkTk T整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠?2.3.22.3.2空間問題坐標(biāo)變換矩陣ijoxyyxFyiFxiFxjFyjzzFzjFzi空間問題兩種坐標(biāo)系下桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖xxxyxzyxyyyzzxzyzzlllllllll關(guān)系矩陣 整體坐標(biāo)系下單元桿端力矩陣與局部坐標(biāo)系下單元桿端力矩陣具有如下的關(guān)系表達(dá)式： FT FT000000000000空間坐標(biāo)系的單元轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣2.3.3

12、2.3.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元分析，僅僅是有限元分析中的第一步。我們的目的是要對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，研究結(jié)構(gòu)的整體性能。因此，在對(duì)結(jié)構(gòu)的各單元分析完成后，必須將單元分析的結(jié)果進(jìn)行整合，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析。整體分析的過程實(shí)際上是如何將單元分析的結(jié)果進(jìn)行有效組合，建立整體剛度方程并求解結(jié)點(diǎn)位移的過程。根據(jù)對(duì)結(jié)點(diǎn)位移的編碼方式，可以采用“先處理法”和“后處理法”來建立整體剛度方程。 2.3.3.12.3.3.1后處理法 所謂后處理法，就是由單元?jiǎng)偠染仃囆纬烧w剛度矩陣，建立剛度方程后再引入支承條件，進(jìn)而求解結(jié)點(diǎn)位移的方法。運(yùn)用這種方法時(shí)，假設(shè)所有結(jié)點(diǎn)位移均為未知量，按照順序統(tǒng)一進(jìn)行編碼

13、。1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (10 11 12)xyO后處理法位移編碼示意圖1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (10 11 12)xyO1234111222333444TTuvuvuvuv1234111222333444TTxyxyxyxyFFMFFMFFMFFMFFFFF11223344iiijjijjiiijjijjiiijjijjkkFkkkkFkkkkFkkF000000FK 奇異矩陣，不能求逆矩陣，即可得到無窮多個(gè)解 必須引入邊界條件 1114440uvuv邊界條件： 1 (1 2 3)2 (4 5 6)3 (7 8 9)4 (

14、10 11 12)xyO11121314121222324223132333433414243444KKKKKKKKKKKKKKKKFFFF00222232332333KKKKFF12214334KKFF0012214334KKFF00231F4FfrfrFFFfffrffrfrrrrKKKKFF2.3.3.22.3.3.2先處理法 1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (4 5 6)4 (4 5 7)xyABCD5(0 0 0)O先處理法位移編碼示意圖利用先處理法對(duì)單元結(jié)點(diǎn)位移編碼時(shí)，僅對(duì)獨(dú)立的位移分量按自然數(shù)順序編號(hào)，若某些位移分量由于連接條件的限制彼此相等，則編為同一位移號(hào)，在支座處，

15、由于剛性約束而使位移分量為零時(shí)，則對(duì)應(yīng)的編號(hào)為0。 2.3.3.32.3.3.3桿系結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 剛度集成法 首先求出各單元的貢獻(xiàn)矩陣 然后將它們疊加起來形成整體剛度矩陣 邊定位，邊累加 單元的定位數(shù)組 (0 0 0 1 2 3)m(1 2 3 4 5 6)m(0 0 0 4 5 7)m1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (4 5 6)4 (4 5 7)xyABCD5(0 0 0)O11121314151617212223242526273132333435363741424344454647515253545556576162636465666771727374757677KKKKK

16、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566000123000123kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk441145124613542155225623643165326633kKkKkKkKkKkKkKkKkK11121314151621222324252631323334353641424344454651525354555661626364656612345612

17、3456kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk(1,2,61,2,6)ijijkKij111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566000457000457kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk444445454647545455555657647465756677kKkKkKkKkKkKkKkKkK4411451246131415165421552256232425266431653266333435364142434444

18、454546465152535454555556566000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK1626364656664656600000kkkkkkkkCAB1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO單元?jiǎng)澐?、建立局部坐?biāo)系和整體坐標(biāo)系。并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)。 4444234300 10100 1061230 1012 10EAEIllEIEIll求局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆 由于單元、的尺寸完全一樣，因此其單元?jiǎng)偠染仃噆k 4300003000001230012300301000305010300

19、0030000012300123003050030100kk323222323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll求整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?CAB1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO010000100000001000000010000100000001T412300011203012030203000030003300100300501001203012

20、03000300003000030050300100k對(duì)于單元，由于其局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系一致，因此兩種坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?41230041300003000020123001230303010003050100300003000000123001230403050030100kk形成整體剛度矩陣K41230001120301203020300003000330010030050100120301203000300003000030050300100k4123004130000300002012300123030301000305010030000300000012300123040

21、3050030100k43120300031230301030302005003050100K2.4等效結(jié)點(diǎn)荷載和邊界條件的處理2.4.1非結(jié)點(diǎn)荷載的處理非結(jié)點(diǎn)荷載的處理根據(jù)有限元方法的離散思想，我們需要將作用于單元上的外荷載（包括集中荷載、面分布荷載、體分布荷載、力偶等）按照虛功等效的原則移植到結(jié)點(diǎn)上，成為等效結(jié)點(diǎn)荷載。這里的虛功等效，是指原力系與等效結(jié)點(diǎn)荷載在任何可能的微小位移（虛位移）上所做的虛功相等。0( )lTEq xdxFN 等效結(jié)點(diǎn)荷載 2.4.2邊界條件的處理2.4.2.1鉸結(jié)點(diǎn) DABCEFGH1 (0 0 1)2 (2 3 4)3 (5 6 7)4 (5 6 8)5 (0

22、0 0)6 (9 10 11)7 (0 0 0)8 (12 13 14)9 (15 16 17) （a） （b） 鉸結(jié)點(diǎn)的處理示意圖 2.4.2.22.4.2.2彈性支承點(diǎn) 12i-1ii+1nk彈性支承點(diǎn)的處理示意圖RiFk 1 122iiiiiinniRKKKKFF123iiiiiinKKKKkK2.5桿系結(jié)構(gòu)分析算例1 (0 0 0)2 (1 2 3)3 (0 0 4)xyO10kN8kN6kN10kNm12kN/mABC2.5m2.5m43120300031230301030302005003050100K整體剛度矩陣整體剛度矩陣求總結(jié)點(diǎn)荷載_ _局部坐標(biāo)系單元 12kN/mq 5mal 0b 0302503025TfF045045TfF求總結(jié)點(diǎn)荷載_ _整體坐標(biāo)系剛架等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣 3 0 0 0 1 23002530025TEF 3 0 01 2 4045045TEF