高中數(shù)學(xué)全程學(xué)習(xí)方略配套課件：1.1.2余弦定理(人教A版必修5).

1、【思考【思考】【點撥【點撥】 余弦定理的簡單運用余弦定理的簡單運用【名師指津【名師指津】理解與應(yīng)用余弦定理的關(guān)注點：理解與應(yīng)用余弦定理的關(guān)注點：(1)(1)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例. .(2)(2)在應(yīng)用余弦定理時，因為已知三邊在應(yīng)用余弦定理時，因為已知三邊( (求角求角) )或已知兩邊及夾角或已知兩邊及夾角( (求第三邊求第三邊) )時，三角形是惟一確定的，即此時的解是惟一的時，三角形是惟一確定的，即此時的解是惟一的. .【特別提醒【特別提醒】在余弦定理的表達(dá)式中，含有三邊和一邊的對角這在余弦定理的表達(dá)式中，含有三邊

2、和一邊的對角這四個元素，可利用方程的思想，知三求一四個元素，可利用方程的思想，知三求一. .【例【例1 1】在】在ABCABC中，中，a a，b b，c c分別為角分別為角A A，B B，C C所對的三邊，所對的三邊，a a2 2- -(b-c)(b-c)2 2=bc=bc，(1)(1)求求A A；(2)(2)若若 B B等于等于x x，周長為，周長為y y，求函數(shù)，求函數(shù)y=f(xy=f(x) )的取值的取值范圍范圍. .【審題指導(dǎo)【審題指導(dǎo)】先對先對a a2 2-(b-c)-(b-c)2 2=bc=bc進(jìn)行化簡，再利用余弦定理求進(jìn)行化簡，再利用余弦定理求解；先寫出解；先寫出y=f(xy=f

3、(x) )的解析式，再利用三角函數(shù)知識求解的解析式，再利用三角函數(shù)知識求解. .BC2 3,【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由a a2 2-(b-c)-(b-c)2 2=bc=bc得得: :a a2 2-b-b2 2-c-c2 2=-bc=-bc，又又0A,A0A0)a=3x,b=5x,c=7x(x0)，則，則c c為最大邊，角為最大邊，角C C為三角為三角形中最大內(nèi)角，形中最大內(nèi)角，由余弦定理由余弦定理C=120C=120. .222abc1cosC2ab2 ， 正、余弦定理的綜合應(yīng)用正、余弦定理的綜合應(yīng)用【名師指津【名師指津】正、余弦定理的綜合應(yīng)用正、余弦定理的綜合應(yīng)用 正弦定理和余

4、弦定理揭示的都是三角形的邊角關(guān)系，要解正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的邊角關(guān)系，要解三角形，必須已知三角形的一邊的長，對于兩個定理，根據(jù)實三角形，必須已知三角形的一邊的長，對于兩個定理，根據(jù)實際情況可以選擇性地運用，也可以綜合運用，要注意以下關(guān)系際情況可以選擇性地運用，也可以綜合運用，要注意以下關(guān)系式的運用：式的運用：【特別提醒【特別提醒】如何靈活地運用正弦定理、余弦定理呢？關(guān)鍵在如何靈活地運用正弦定理、余弦定理呢？關(guān)鍵在于觀察、分析已知條件的結(jié)構(gòu)特征，并聯(lián)想公式運用之于觀察、分析已知條件的結(jié)構(gòu)特征，并聯(lián)想公式運用之. .【例【例2 2】(2011(2011遼寧高考遼寧高考) )ABCAB

5、C的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角A A、B B、C C所對所對的邊分別為的邊分別為a a、b b、c c，且，且asinAsinB+bcosasinAsinB+bcos2 2A=A=(1)(1)求求(2)(2)若若 求求B.B.【審題指導(dǎo)【審題指導(dǎo)】（1 1）利用正弦定理化簡上式，從而求得）利用正弦定理化簡上式，從而求得的值；的值；(2)(2)利用余弦定理求利用余弦定理求B.B.2a，b;a222cb3a ,ba【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由正弦定理，得由正弦定理，得sinsin2 2AsinB+sinBcosAsinB+sinBcos2 2A A 即即sinB(sinsinB(sin2 2A+c

6、osA+cos2 2A) A) 故故sinBsinB所以所以(2)(2)由余弦定理得由余弦定理得 又因為又因為所以所以整理得整理得2sinA，2sinA，2sinA，b2.a222acbcosB,2ac222cb3a，2222ab3abcosB2ac(13)acosB.2c又由又由(1)(1)知知b b2 2=2a=2a2 2，故，故可得可得coscos2 2B= B= 又又cosBcosB00，故，故所以所以B=45B=45. .【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】不能正確利用余弦定理和不能正確利用余弦定理和(1)(1)的結(jié)論，從而導(dǎo)的結(jié)論，從而導(dǎo)致致(2)(2)無法求解無法求解. .22c23 a .1

7、2，2cosB2，【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】在在ABCABC中，中，AC=2AC=2，BC=1BC=1，(1)(1)求求ABAB的值；的值；(2)(2)求求sin(2A+C)sin(2A+C)的值的值. .【解題提示【解題提示】先由余弦定理解出先由余弦定理解出ABAB，再結(jié)合正弦定理及倍，再結(jié)合正弦定理及倍角公式等解出角公式等解出sin2Asin2A、cos2Acos2A、sinCsinC的值的值. .3cosC4，【解析【解析】(1)(1)由余弦定理得由余弦定理得ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2AC-2ACBCcosCBCcosC(2)(2)由由cosCcosC= = 且且

8、0C0CBC,CAABBC,CA，222145 2cosA1 sin A1 ()885 7sin2A2sinAcosA169cos2A12sin A163 7sin 2ACsin2AcosCcos2AsinC.8 ， 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀【名師指津【名師指津】判斷三角形形狀的方法：判斷三角形形狀的方法： 判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過因用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形式分解、配方等方式得

9、出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀三角形的形狀. .【例【例3 3】在】在ABCABC中，若中，若sinA-2sinBcosC=0sinA-2sinBcosC=0，試判斷，試判斷ABCABC的的形狀形狀. .【審題指導(dǎo)【審題指導(dǎo)】將角化為邊或?qū)⑦吇癁榻莵砼袛嗳切蔚男螌⒔腔癁檫吇驅(qū)⑦吇癁榻莵砼袛嗳切蔚男螤顮? .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】方法一：方法一：sinA-2sin

10、BcosC=0,sinA-2sinBcosC=0,由正弦定由正弦定理知理知a=2bcosC,a=2bcosC,再由余弦定理得再由余弦定理得bb2 2=c=c2 2,b=c,.,b=c,.故故ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .方法二：由方法二：由sinA=sin(B+CsinA=sin(B+C),),有有sinBcosC+cosBsinC-sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,2sinBcosC=0,即即sinCcosB-cosCsinBsinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,C-B=0,=0,sin(C-B)=0,C-B=0,即即C=B.C=

11、B.故故ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .222aabc,2b2ab【互動探究【互動探究】本例中，將所給條件變?yōu)楸纠?，將所給條件變?yōu)閎 b2 2sinsin2 2C+cC+c2 2sinsin2 2B B=2bccosBcosC=2bccosBcosC，則三角形的形狀又如何？，則三角形的形狀又如何？【解題提示【解題提示】利用利用“角化邊角化邊”或或“邊化角邊化角”來判斷三角形的來判斷三角形的形狀形狀. .【解析【解析】方法一：由正弦定理方法一：由正弦定理 (R(R為為ABCABC外接圓的半徑），將原式化為外接圓的半徑），將原式化為sinsin2 2BsinBsin2 2C=C=sin

12、BsinCcosBcosCsinBsinCcosBcosC. .sinBsinC0sinBsinC0，sinBsinC=cosBcosCsinBsinC=cosBcosC，即，即cos(B+Ccos(B+C)=0)=0，B+C=90B+C=90.A=90.A=90. .ABCABC為直角三角形為直角三角形. .abc2RsinAsinBsinC方法二：將已知等式變?yōu)榉椒ǘ簩⒁阎仁阶優(yōu)閎 b2 2(1-cos(1-cos2 2C)+cC)+c2 2(1-cos(1-cos2 2B)=2bccosBcosC.B)=2bccosBcosC.由余弦定理，可得由余弦定理，可得即即bb2 2+c+c2

13、 2=a=a2 2. .ABCABC為直角三角形為直角三角形. .222222222222222222abcacbbcb ()c ()2ab2acacbabc2bc.2ac2ab 2222222222abcacbbc.4a【例】在【例】在ABCABC中，中，a a、b b、c c分別為內(nèi)角分別為內(nèi)角A A、B B、C C的對邊，的對邊，求證：求證：【審題指導(dǎo)【審題指導(dǎo)】利用正弦定理、余弦定理，把邊化為角，再利利用正弦定理、余弦定理，把邊化為角，再利用三角函數(shù)知識化簡用三角函數(shù)知識化簡. .222sin ABab.csinC【規(guī)范解答【規(guī)范解答】由余弦定理得由余弦定理得a a2 2=b=b2 2

14、+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosB，a a2 2-b-b2 2=b=b2 2-a-a2 2-2bccosA+2accosB.-2bccosA+2accosB.整理得：整理得：由正弦定理得：由正弦定理得：代入上式整理得：代入上式整理得：222abacosBbcosAcc，asinA bsinB,csinC csinC，222222absinAcosBsinBcosAcsinCsin ABab.csinC，【變式備選【變式備選】在在ABCABC中，求證：中，求證：【證明【證明】由余弦定理得，由余弦定理得，cos

15、AcosBcosCabc222abc.2abc222222222222222cosAcosBcosCbcaacbabc2abc2abcabcabc2abc2abccosAcosBcosCabc. abc2abc，【典例】【典例】(12(12分分) )在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分別為內(nèi)角分別為內(nèi)角A A、B B、C C的的對邊，且對邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，(1)(1)求求A A的大?。坏拇笮。?2)(2)若若sinB+sinCsinB+sinC=1=1，試判斷，試判斷ABCABC的

16、形狀的形狀. .【審題指導(dǎo)【審題指導(dǎo)】應(yīng)用正、余弦定理及其變形化簡即可應(yīng)用正、余弦定理及其變形化簡即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由已知，根據(jù)正弦定理得由已知，根據(jù)正弦定理得2a2a2 2=(2b+c)b+(2c+b)c =(2b+c)b+(2c+b)c 2 2分分即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2+bc +bc 3 3分分由余弦定理由余弦定理a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA可求得可求得cosAcosA= = 5 5分分又又AA為為ABCABC內(nèi)角，內(nèi)角，A=120A=120. . 6 6分分12(2)(2)由由a a2 2=b=b

17、2 2+c+c2 2+bc+bc得：得：sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C+sinBsinC C+sinBsinC 8 8分分又又A=120A=120,sinB+sinC=1,sinB+sinC=1,sinB=sinC= sinB=sinC= 1010分分因為因為0 0B90B90,0,0C90C90, ,故故B=C B=C 1111分分所以所以ABCABC是等腰的鈍角三角形是等腰的鈍角三角形. .1212分分12【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：【即時訓(xùn)練【即時訓(xùn)練】在在ABCABC中，若中，若

18、acosA+bcosB=ccosCacosA+bcosB=ccosC, ,則則ABCABC的形的形狀是什么？狀是什么？【解析【解析】方法一：方法一：acosA+bcosB=ccosCacosA+bcosB=ccosC, ,sinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsin2A+sin2B=sin2C,sin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosCcos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,cos(A-B)=-cos(A+

19、B),2cosAcosB=0,cosA=0cosA=0或或cosB=0,cosB=0,得得所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. .AB,22或方法二方法二：由余弦定理得：由余弦定理得：上式兩邊同乘以上式兩邊同乘以2abc2abc得得a a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)+b)+b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2)=c)=c2 2(a(a2 2+b+b2 2-c-c2 2) )a a2 2b b2 2+a+a2 2c c2 2-a-a4 4+a+a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2-b-b4 4=a=a2 2c c2 2+b+b2 2c c2

20、 2-c-c4 4a a4 4+b+b4 4-2a-2a2 2b b2 2=c=c4 4 (a (a2 2-b-b2 2）2 2=c=c4 4aa2 2-b-b2 2=c=c2 2或或a a2 2-b-b2 2=-c=-c2 2aa2 2=b=b2 2+c+c2 2或或a a2 2+c+c2 2=b=b2 2, ,所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 222222222bcaacbabcabc2bc2ac2ab，1.1.三角形的三邊分別為三角形的三邊分別為4 4、6 6、8 8，則此三角形為，則此三角形為( )( )(A)(A)銳角三角形銳角三角形 (B)(B)直角三角形直角三角

21、形(C)(C)鈍角三角形鈍角三角形 (D)(D)不存在不存在【解析【解析】選選C.4C.42 2+6+62 2882 2，此三角形為鈍角三角形此三角形為鈍角三角形. .2.2.在在ABCABC中，若中，若a=c=2,B=120a=c=2,B=120, ,則邊則邊b=( )b=( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】選選B.B.由余弦定理可得由余弦定理可得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB=4+4-2-2accosB=4+4-22 22 23 32 32 2311()12,2b2 3.3.3.在在ABCABC中，中，a=12,b=13,C=60a=12,b=13,C=60, ,此三角形的解的情況此三角形的解的情況是是( )( )(A)(A)無解無解 (B)(B)一解一解(C)