幾何平面體畫(huà)法教材

1、曲面體：表面為曲面組成，或平面與曲面組成平面體：立體表面是由若干面所組成組合體：由基本題組合而成基本體：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球立體的分類 在投影圖上表示一個(gè)立體，就是把構(gòu)成立體的點(diǎn)、線、面表達(dá)出來(lái)，然后根據(jù)可見(jiàn)性原理判斷那些線條是可見(jiàn)的或是不可見(jiàn)的，分別用實(shí)線和虛線來(lái)表達(dá)，從而得到立體的投影圖立體的投影圖。 本章內(nèi)容是在研究點(diǎn)、線、面投影的基礎(chǔ)上進(jìn)一步論述立體的投影作圖問(wèn)題。 平面立體的表面是由點(diǎn)、直線、平面等幾何元素構(gòu)成，因平面立體的表面是由點(diǎn)、直線、平面等幾何元素構(gòu)成，因此平面體的投影就是繪制平面體表面各點(diǎn)、直線、平面的投影，此平面體的投影就是繪制平面體表面各點(diǎn)、直線、平面的投影，并判

2、斷可見(jiàn)性。并判斷可見(jiàn)性。1、 棱柱的組成棱柱的組成 由由兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。棱面與棱面的交線叫棱組成。棱面與棱面的交線叫棱線，線，棱線相互平行棱線相互平行。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影2、 棱柱的投影特點(diǎn)棱柱的投影特點(diǎn)adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 如圖如圖, , 正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影重影為它們的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影重影為一直線。一直線。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 棱柱有六各側(cè)

3、棱面，前后棱面為棱柱有六各側(cè)棱面，前后棱面為正平面正平面，它們，它們的正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影重影為的正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影重影為一條直線。一條直線。2、 棱柱的投影特點(diǎn)棱柱的投影特點(diǎn)adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影2、 棱柱的投影特點(diǎn)棱柱的投影特點(diǎn)adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)eabdcea”b”d”c”X XZ ZY YH HY YWW3、 作六棱柱的三視圖作六棱柱的三視圖 作投影圖時(shí)，先畫(huà)出正六棱柱底面的投影作投影圖時(shí)，先畫(huà)出正六棱柱底面的投影- -正六邊形，正六邊形，再根據(jù)投影規(guī)律畫(huà)出

4、另外兩個(gè)投影。再根據(jù)投影規(guī)律畫(huà)出另外兩個(gè)投影。棱柱的棱柱的投影特點(diǎn)：投影特點(diǎn)：兩兩個(gè)投影為矩形或并列的個(gè)投影為矩形或并列的矩形，一個(gè)投影為多邊矩形，一個(gè)投影為多邊形。形。五棱柱的投影圖4、 五棱柱的三視圖五棱柱的三視圖1、 棱錐的組成棱錐的組成 由由一個(gè)底面和一個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面幾個(gè)側(cè)棱面組成。組成。棱線交于有限遠(yuǎn)的棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)一點(diǎn)錐頂錐頂。SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱錐的投影 如圖正三棱錐，錐頂為S，其底面為ABC，呈水平位置，水平投影abc反映實(shí)形。 棱面SAB、 SBC是一般位置平面，它們的各個(gè)投影均為類似形。 棱面SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影s”a”c”重影為一

5、直線。2、 棱錐的投影特點(diǎn)棱錐的投影特點(diǎn) 底邊AB、BC為水平線，AC為側(cè)垂線，棱線SB為側(cè)平線，SA、SC為一般位置直線，它們的投影可根據(jù)不同位置直線的投影特性進(jìn)行分析。SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱錐的投影2、 棱錐的投影特點(diǎn)棱錐的投影特點(diǎn) 作圖時(shí)，先畫(huà)出底面ABC的各個(gè)投影，再作出錐頂S的各個(gè)投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。ssabcacba”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖X XY YH HZ ZY YwwOOSABCWVasbsabcbacsXYZ2、 作三棱錐的三視圖作三棱錐的三視圖棱錐的棱錐的投影特點(diǎn)：投影特點(diǎn)：兩兩個(gè)投影為三角形或并列個(gè)投影為三

6、角形或并列的三角形的三角形, ,一個(gè)投影為一個(gè)投影為劃分成若干三角形的多劃分成若干三角形的多邊形。邊形。棱臺(tái)的棱臺(tái)的投影特點(diǎn)：投影特點(diǎn)：兩個(gè)投影為梯形或并兩個(gè)投影為梯形或并列的梯形列的梯形, ,一個(gè)投影一個(gè)投影為劃分成若干梯形且為劃分成若干梯形且內(nèi)外有一對(duì)相似的多內(nèi)外有一對(duì)相似的多邊形。邊形。 平面體表面上定點(diǎn)和線的方法同平面內(nèi)定點(diǎn)定線的方法。 但要先判斷點(diǎn)和線屬于哪一個(gè)表面。 平面體表面上定點(diǎn)和線的可見(jiàn)性，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)和線所在表面的可見(jiàn)性進(jìn)行判斷。 aa(a)1、棱柱表面上取點(diǎn) (b)b bC C C作圖步驟如下： 連接sm并延長(zhǎng)，與ac交于2，2m2 在投影ac上求出點(diǎn)的水平投影2。 連接s2

7、，即求出直線S的水平投影。 求出M點(diǎn)的水平投影m，判可見(jiàn)性。 求m” 判可見(jiàn)性。m”asbc正三棱錐的三面投影圖sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YWW2、棱錐表面上取點(diǎn)、棱錐表面上取點(diǎn)方法方法1作圖步驟如下：作圖步驟如下：11m 過(guò)m作m1 ac，交sa于1。 求出點(diǎn)的水平投影1。 過(guò)1作1m ac，再根據(jù)點(diǎn)在直線上的幾何條件，求出m 。 再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。（具體步驟略)scb正三棱錐的三面投影圖sabcaa”(b”)c”s”m方法方法22、棱錐表面上取點(diǎn)、棱錐表面上取點(diǎn)3、棱柱表面取線、棱柱表面取線、求棱線各點(diǎn)的三面投影、判別各點(diǎn)的可見(jiàn)性、連線步驟：

8、sssabcabca b4、棱錐表面取線、棱錐表面取線步驟：、利用輔助線法求各點(diǎn)的三面投影、判別各點(diǎn)的可見(jiàn)性、連線cABC5、棱臺(tái)表面取線、棱臺(tái)表面取線步驟：、利用輔助線法求各點(diǎn)的三面投影、判別各點(diǎn)的可見(jiàn)性、連線作業(yè) 4-10、11、12、13、14、15、16 5-1、3、4 截交線是一個(gè)由直線組成的截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的封閉的平面多邊形平面多邊形，其形狀取決于平面體，其形狀取決于平面體的形狀及截平面相對(duì)平面體的截切的形狀及截平面相對(duì)平面體的截切位置。位置。 截交線的截交線的頂點(diǎn)數(shù)頂點(diǎn)數(shù)=平面體參與相交平面體參與相交的邊數(shù)（棱線或底邊）；截交線的的邊數(shù)（棱線或底邊）；截交線的邊數(shù)邊數(shù)

9、=平面體參與相交的表面數(shù)平面體參與相交的表面數(shù)。平面體被平面截切產(chǎn)生截交線平面體被平面截切產(chǎn)生截交線 截交線既屬于截平面，又屬于立截交線既屬于截平面，又屬于立體的表面。體的表面。截交線與截面截平面截交線截面 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線（或底邊）與截平面的交點(diǎn)。求各棱線（或底邊）與截平面的交點(diǎn)。 求各棱面求各棱面（或底面）（或底面）與截平面的交線與截平面的交線。關(guān)鍵是正確地畫(huà)出截交線的投影。關(guān)鍵是正確地畫(huà)出截交線的投影。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置 截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線確定截交線的投影特

10、性的投影特性 空間及投影分析空間及投影分析 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影求出截平面與棱面求出截平面與棱面（或底面）（或底面）的交線，的交線，求出截平面與棱線（或底邊）的交點(diǎn)，求出截平面與棱線（或底邊）的交點(diǎn)，并連接成多邊形。并連接成多邊形。截交線與截面截平面截交線截面確定截交確定截交線的形狀線的形狀例1、求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。平面與三棱錐相交sabcc”a”b”sPvs”(1) 分析截交線的形狀。123(2) 分析截交線的投影特點(diǎn)。11”2”23(3) 求出截交線各點(diǎn)的三面投影。(4) 連線并判別可見(jiàn)性。3”具體步驟如下：(5) 補(bǔ)全棱線的投影。解

11、題步驟1.分析分析2.求六條棱線與截切平面求六條棱線與截切平面 的交點(diǎn)的交點(diǎn)3.整理圖形，加深圖線整理圖形，加深圖線例例2、求六棱柱截切后的投影、求六棱柱截切后的投影1.分析分析解題步驟解題步驟2.求棱線與截切平面的交點(diǎn)求棱線與截切平面的交點(diǎn)3.整理圖形，加深圖線整理圖形，加深圖線例例4、補(bǔ)全四棱錐截切后的水平和側(cè)面投影、補(bǔ)全四棱錐截切后的水平和側(cè)面投影例例5、補(bǔ)全三棱錐截切后的水平投影和側(cè)面投影、補(bǔ)全三棱錐截切后的水平投影和側(cè)面投影解題步驟解題步驟1.分析分析2.求棱線與截切平面的交點(diǎn)求棱線與截切平面的交點(diǎn)3.整理圖形，加深圖線整理圖形，加深圖線yyyy兩截平面的交線兩截平面的交線例例6 6

12、：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 注意：注意： 要逐個(gè)截平面分析和要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。出截交線后再取局部。12(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”67例例7 補(bǔ)全俯視圖和左視圖的投影補(bǔ)全俯視圖和左視圖的投影 例例 8: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2

13、8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影貫穿點(diǎn)貫穿點(diǎn)：直線與立體表面的交點(diǎn)。其交：直線與立體表面的交點(diǎn)。其交點(diǎn)既在直線上又在立體的表面上。點(diǎn)既在直線上又在立體的表面上。求貫穿點(diǎn)的方法：求貫穿點(diǎn)的方法： 1、立體表面有積聚性時(shí)，可利用、立體表面有積聚性時(shí)，可利用積聚性積聚性直接求出。直接求出。 2、立體表面沒(méi)積聚性時(shí)，可利用、立體表面沒(méi)積聚性時(shí)，可利用輔助平面法輔助平面法求出。求出。bcaf

14、fcaddeeb例例1 1：求直線與四棱柱的貫穿點(diǎn)：求直線與四棱柱的貫穿點(diǎn)mnmn立體內(nèi)的部分立體內(nèi)的部分沒(méi)有線沒(méi)有線asdacdcsebbe例例2 2：求直線與三棱錐的貫穿點(diǎn)：求直線與三棱錐的貫穿點(diǎn)mnm（n）Pv作業(yè) 5-6、7、11、12、14、151相貫線的性質(zhì)及求相貫線的方法相貫線的性質(zhì)及求相貫線的方法 1 1相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì) 相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩立體表面的共有點(diǎn)兩立體表面的共有點(diǎn); ; 2 2相貫線的形狀相貫線的形狀 兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段都是一個(gè)

15、形體的一個(gè)表面與另一個(gè)形體的一個(gè)都是一個(gè)形體的一個(gè)表面與另一個(gè)形體的一個(gè)表面表面的交線，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)的交線，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是一個(gè)形體的側(cè)棱與另一形體的表面的交點(diǎn)。就是一個(gè)形體的側(cè)棱與另一形體的表面的交點(diǎn)。 3 3求相貫線的方法求相貫線的方法 一種是求各側(cè)棱對(duì)另一形體表面的交點(diǎn)，然后一種是求各側(cè)棱對(duì)另一形體表面的交點(diǎn)，然后把位于一個(gè)形體同一表面又位于另一形體同一表面上的兩點(diǎn)，依次連接起把位于一個(gè)形體同一表面又位于另一形體同一表面上的兩點(diǎn)，依次連接起來(lái)。另一種是求一形體各表面與另一形體各表面的交線。來(lái)。另一種是求一形體各表面與另一形體各表面的交線。 4 4判別相貫線可見(jiàn)性的原則判別相貫線可見(jiàn)性的原則 只有位于兩形體都可見(jiàn)的側(cè)面上的只有位于兩形體都可見(jiàn)的側(cè)面上的交線，是可見(jiàn)的。交線，是可見(jiàn)的。全貫全貫互貫互貫全貫：一個(gè)立體完全穿過(guò)另一個(gè)立體全貫：一個(gè)立體完全穿過(guò)另一個(gè)立體互貫：兩個(gè)立體各自只有一部分參與相貫互貫：兩個(gè)立體各自只有一部分參與相貫1 1、四棱柱與三棱錐為四棱柱與三棱錐為全貫，全貫，2條相貫線條相貫線2 2、前面的相貫線由前面的相貫線由6段段直線組成，后面的相貫直線組成，后面的相貫線由線由4段直線組成。段直線組成。sabcabcsdfgesba(c)PvQv15267348