粘彈性半空間內(nèi)負(fù)載沿梁的運(yùn)動(dòng)

1、Eur. J. Mech. A/Solids 19 (2000) 361371Ó2000年Éditions科學(xué)等醫(yī)學(xué)Elsevier公司的SAS。保留所有權(quán)。S0997-7538(99)00148-5/FLA粘彈性半空間內(nèi)負(fù)載沿梁的運(yùn)動(dòng)Alexei V. Kononov *, Rogier A.M. Wolfert代爾夫特理工大學(xué)土木工程學(xué)院,Stevinweg 12628 CN代爾夫特,荷蘭(1998.11.4收錄; 1999.7.5修改)摘 要：粘彈性半空間等效的基礎(chǔ)與歐拉-伯努利梁相互作用的表達(dá)式已推導(dǎo)出來(lái)。結(jié)果顯示：等效粘彈性基礎(chǔ)取決于梁上波動(dòng)的頻率和波數(shù)。等效基礎(chǔ)

2、真實(shí)和虛構(gòu)的部分與瑞利波和剪切波速度之間的相位差有本質(zhì)的不同。比此間隔的一些速率還大的速率會(huì)發(fā)生彈性波的輻射。對(duì)于不同的速率，可以計(jì)算出由均勻移動(dòng)恒定負(fù)載產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)梁位移。負(fù)載之下的最大位移發(fā)生于瑞利波速率法則的速率。Ó2000年Éditions科學(xué)等醫(yī)學(xué)Elsevier公司的SAS關(guān)鍵詞：粘彈性半空間/歐拉伯努利梁/均勻移動(dòng)恒定負(fù)載/臨界速度1.引言在過(guò)去的幾十年，隨著在鐵軌現(xiàn)有系統(tǒng)高速列車(chē)的快速部署，很多理論和實(shí)際工作致力于與軌道接觸火車(chē)的動(dòng)力學(xué)，并且路堤基底也已經(jīng)出現(xiàn)。特別是, 列車(chē)振動(dòng)本質(zhì)擴(kuò)大的問(wèn)題已經(jīng)由不同的作者研究。更早進(jìn)行的研究是1961年由Filipov進(jìn)行

3、的。他分析了粘彈性半空間的歐拉-伯努利梁上勻速移動(dòng)載荷的問(wèn)題，該空間相當(dāng)于的火車(chē)、鐵軌與地基相互作用的模型。結(jié)果表明，當(dāng)火車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度與瑞麗波的速率相等時(shí)，火車(chē)震動(dòng)變得無(wú)限強(qiáng)烈。之后，Labra于1975年將鐵軌軸向壓力考慮進(jìn)去，使這些結(jié)果得以延伸。在這兩人的論文中，載荷速度的考慮范圍取決于瑞利波的速率，同時(shí)梁位移也沒(méi)有派生。因此,不久前在1996年、1997年，Dieterman和Metrikine的論文中這個(gè)模型得到了全面的研究。本文假設(shè)底層半空間也擁有粘性(或內(nèi)摩擦)屬性。這樣一個(gè)改進(jìn)的模型是由物理和實(shí)際兩方面描述的。因?yàn)閷?shí)際中任何過(guò)程總是伴隨著能量耗散,這種性質(zhì)應(yīng)該被考慮。因此,本文研

4、究了沿著處于粘彈性半空間的歐拉-伯努利梁的一個(gè)定載荷的運(yùn)動(dòng)。本研究的目的是定性的分析半空間響應(yīng)相關(guān)的內(nèi)摩擦對(duì)動(dòng)載的效應(yīng),該處的半空間響應(yīng)是E-B梁的相互作用。在這個(gè)關(guān)鍵上, Dieterman和Metrikine在1996年、1997年得到的結(jié)果可被解釋為粘性參數(shù)傾向于零時(shí)的限制。作為一種研究方法,隨時(shí)間變化的指數(shù)傅里葉變換和空間坐標(biāo)被用來(lái)獲得一個(gè)表達(dá)式，此式作為一個(gè)相對(duì)荷載速度的函數(shù)是對(duì)與E-B梁相互作用之粘彈性半空間的等效基礎(chǔ)而言的。該式是使用圍道積分的方法推導(dǎo)而來(lái)的。由于很多鐵路工程師模擬了作為Winkler地基梁的被支撐鐵軌，等效粘彈性基礎(chǔ)才得以被詳加研究。該結(jié)果一個(gè)額外的好處就是可用

5、在車(chē)-軌-基相互作用更廣范圍的模型上。另外，不同的荷載速度可以計(jì)算出沿著在此等效粘彈性基上的梁的荷載運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)位移。最后,對(duì)負(fù)載產(chǎn)生的位移還進(jìn)行的分析。2.傅氏域的模型和通解沿著靜止在粘彈性半空間內(nèi)寬2b的E-B梁的恒定載荷的勻速運(yùn)動(dòng)如圖1。作為該模型一個(gè)視覺(jué)例子，我們可以使用一個(gè)例子,比如一個(gè)大質(zhì)量（火車(chē)頭）在土層之上的混凝土板式軌道上運(yùn)動(dòng)。該處假定在梁和半空間之間的接觸式連續(xù)光滑的,這樣接觸面的剪應(yīng)力、為零。此外,它假定梁和半空間的正常應(yīng)力一致分布在梁和半空間的寬度上,還假定位移沿梁的中心線等效。對(duì)于粘彈性連續(xù)介質(zhì)，所謂的沃伊特固體(Kolsky,1963)被使用。這里可能會(huì)注意到，這個(gè)假設(shè)

6、是對(duì)模型適用性的限制,但另一方面,模型變得對(duì)分析研究更容易理解。該問(wèn)題的控制方程為：其中,u=iux +juy +kuz (i,j,k是基向量),，是粘彈性半空間的Lamé常量，是粘性參數(shù)，是半空間質(zhì)量密度， 梁的垂直位移。圖1. 模型與參考系m和EI分別是梁的單位長(zhǎng)度質(zhì)量和抗彎剛度,P是恒定負(fù)載,V是負(fù)載速度,是Dirac函數(shù)，是Heaviside階梯函數(shù)。式(1)的解如下：u=a （4）其中，標(biāo)量勢(shì)(x,y,z,t)、矢量勢(shì)a(x,y,z,t)可以滿足所謂的約束條件a=0(見(jiàn)(Achenbach, 1993)。式(4)代入式(1)得下列方程：其中，、分別是縱波和橫波的速度，、是粘

7、性系數(shù)(這里假設(shè))。應(yīng)用下面隨時(shí)間變化的傅里葉變換和平面空間坐標(biāo)：代入到式(2)、(3)、(5)，得以下傅氏域內(nèi)的方程組：半空間運(yùn)動(dòng)：約束條件：以z=0的邊界條件：協(xié)調(diào)條件：另外:表示了自由E-B梁的豎向振動(dòng)的色散關(guān)系。式(6)的通解解釋了對(duì)于較大的正值z(mì)適當(dāng)?shù)男袨?，表示如下：其中：將上式代?7)、(8)式的下列線性代數(shù)方程：(11)式的解如下：其中：為了滿足相容性條件,半空間位移z軸分量的傅立葉圖像應(yīng)該被推導(dǎo)出來(lái)。這樣有：將上面的(13)式代入?yún)f(xié)調(diào)條件(9)得到：其中：為了能推導(dǎo)，方便的方法是將式(14)改寫(xiě)如下：方程(15)描述了受到與均勻移動(dòng)定載荷作用的粘彈性半空間相互作用的E-B梁的

8、振動(dòng)。為了確定的物理意義，描述沿著傅氏域內(nèi)彈性Winkler基上的E-B梁的定載荷的運(yùn)動(dòng)方程在此文中用術(shù)語(yǔ)描述如下：其中，指彈性基的Winkler常量(例如,見(jiàn)(Duffy Dean,1990)或(Dieterman和Metrikine,1996)。因此，很明顯可以理解為某種等效的粘彈性基，這種粘彈性基處于無(wú)限E-B梁所伴隨的額外運(yùn)動(dòng)所處的粘彈性半空間的傅氏域之中。在垂直梁位移的最終結(jié)果被算出之前，等效粘彈性基表達(dá)式(16)要先被詳加分析。3.等效粘彈性基的求解為了說(shuō)明由梁中波的相位速率決定的等效粘彈性基，式(15)的積分應(yīng)該寫(xiě)成：引進(jìn)一個(gè)新的變量和參數(shù)、，其中，是x,y方向波數(shù)量的比率，記，

9、和分別是x方向相速和半空間縱橫波速之間的比率，記，這樣積分J得到如下的傅里葉積分形式：其中：另外，應(yīng)該記住的是。將積分降為對(duì)數(shù)值計(jì)算有用的形式的一種有效方法是圍道積分。這樣，式(17)中的被積函數(shù)映射到一個(gè)復(fù)雜的s平面。該被積函數(shù)包含自由基和，故此應(yīng)該找分叉點(diǎn)和被其誘發(fā)的切口。求解包含了分叉點(diǎn)，結(jié)果如下：假定k1 > 0，從而位于復(fù)雜s平面的一、三象限。此外，適當(dāng)?shù)那锌趹?yīng)該在積分路徑都符合必要條件： > 0和> 0。為了滿足上述兩個(gè)條件，切口須沿著滿足下述條件的曲線：以及自由基參數(shù)。將代入此參數(shù)并利用(18)式，就可以發(fā)現(xiàn)分叉切口的下述參數(shù)表示：其中：通過(guò)選擇順著圖2所示分叉

10、切口的的標(biāo)志來(lái)保持在復(fù)雜s平面正向。復(fù)雜s平面的其它奇異點(diǎn)都是極點(diǎn)，(17)式被積函數(shù)的分母等于0時(shí)才會(huì)發(fā)生，并導(dǎo)致極點(diǎn)的及可通過(guò)求解而得具體值最后,等值線接近圖2所示的上半面。圖2 奇異點(diǎn)和積分的等值線這樣，方可算出式(17)中的積分J。由于順著分叉點(diǎn)周?chē)拇蟀雸A等值線和循環(huán)的等值線是隨著它們的半徑而減小至消失，因此下式是有依據(jù)的：其中，是式(17)的被積函數(shù)，沿著分叉切口的積分。參數(shù)化得到的最終形式為：其中：依據(jù)式(19)，(17)式的積分通過(guò)給出如下等效粘彈性基表達(dá)式而被細(xì)化：利用式(20),結(jié)果如圖3,其參數(shù)設(shè)置: ，。由數(shù)據(jù)可得以下結(jié)論：(1)等效粘彈性基取決于梁中波的頻率和波數(shù)，且

11、當(dāng)時(shí)它會(huì)有本質(zhì)的改變(是零粘性參數(shù)下穩(wěn)定的Rayleigh波速)。(2)等效粘彈性基的實(shí)部有個(gè)局部最小值()。當(dāng)粘性參數(shù)趨于0時(shí)，該最值變成，成為0。(3)與完全彈性半空間矛盾的是，這里的等效粘彈性基總有個(gè)不為0的虛部。(4)當(dāng)，此時(shí)耗能過(guò)程是半空間和彈性波輻射中的粘滯損失導(dǎo)致的，故此等效粘彈性基的虛部顯著增加。圖3.的等效粘彈性基;(a),(b)4.臨界速度及梁的位移此處，我們用前面得到的等效粘彈性基的結(jié)果來(lái)計(jì)算垂直穩(wěn)態(tài)梁位移。該位移是用來(lái)研究載荷的臨界速度的。本文中臨界速度指的是梁位移在有負(fù)載速度功能的負(fù)載下所具有的速度有一個(gè)最大值。為了得到梁位移，以下的傅里葉映像(見(jiàn)式(15)應(yīng)該被反積

12、：得到：為了求得該積分的數(shù)值解，應(yīng)該改寫(xiě)上式，為此，可用如下的函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系：如果將(見(jiàn)式(20)的表即可達(dá)式推演得到上邊這些關(guān)系，其中假設(shè)k1 < 0。值得注意的是，這樣的話等值線會(huì)近似于復(fù)雜s域的下半部分。的性質(zhì)也可物理化。自等效粘彈性基(動(dòng)態(tài)響應(yīng)函數(shù))作為時(shí)空域中的真值函數(shù)以來(lái)，眾所周知的是它的傅里葉映像都有式(22)一樣的對(duì)稱性(Landau和Lifshitz,1975)。由(22)式，可將(21)式改寫(xiě)成：其中：這里，。式(23)(24)分別描述了對(duì)于裝載點(diǎn)梁位移的對(duì)稱與非對(duì)稱部分。最后，梁位移的計(jì)算被推導(dǎo)并呈現(xiàn)在圖4上，(a)(d)對(duì)應(yīng)了四種不同相對(duì)負(fù)載速率(其它所有參數(shù)都是

13、定值，和)。在圖4(a)中，描述了準(zhǔn)靜態(tài)的情況。所謂的本征場(chǎng)即是隨負(fù)載運(yùn)動(dòng)。該場(chǎng)由于粘性損失而稍微不對(duì)稱()。隨著增加負(fù)載速率，負(fù)載下的位移逐漸增大。如果負(fù)載速率是具有的性質(zhì)，則對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)情況而言負(fù)載下的位移會(huì)顯著增大，見(jiàn)圖4(b)。的反應(yīng)顯示，兩種情況下的彈性波都不會(huì)產(chǎn)生輻射。圖4(c)中，可以看到波依賴于負(fù)載而產(chǎn)生輻射。這很容易理解，是由于的切線顯著增加(見(jiàn)圖3)。主波(Dbefore負(fù)載)波長(zhǎng)要比尾波(Dbehind負(fù)載)的小很多。由于尾波、主波的不同振幅，波場(chǎng)也是相當(dāng)?shù)牟粚?duì)稱。輻射僅僅導(dǎo)致波沿表面移動(dòng)。對(duì)于波不僅沿著表面輻射還還會(huì)進(jìn)入粘彈性半空間以至于輻射變得更強(qiáng)，如圖4所示。從圖4(

14、a)-(d)中，易知負(fù)載下的梁位移依據(jù)負(fù)載速率而不同。因此，有趣的是尋找使該位移為最大值的速率。圖5中顯示了與相對(duì)的負(fù)載下的梁位移絕對(duì)值，其中是三套粘性參數(shù)所對(duì)應(yīng)的相對(duì)負(fù)載速率。分析該圖,可得以下結(jié)論:(1)對(duì)于一個(gè)比略小的速度即對(duì)于所有相對(duì)較小的粘性參數(shù) ，負(fù)載下的最大位移才會(huì)產(chǎn)生。隨著粘性參數(shù)的增大，最大位移轉(zhuǎn)向更小的速率，但同時(shí)最大值的相對(duì)值顯著增加(顯然，在這些情況下,術(shù)語(yǔ)“臨界速度 變得毫無(wú)意義)。(2)負(fù)載下的最大位移對(duì)于所有負(fù)載速率任然是有限的。應(yīng)該指出的是，負(fù)載下的位移不總是等于梁最大位移的(例如圖4(c)-(d)圖4.梁位移(a)(b)(c)(d)圖5.不同粘彈性參數(shù)下對(duì)應(yīng)的

15、載荷下的梁位移5. 結(jié)論本文分析了沿著粘彈性半空間上歐拉-伯努利梁的恒定載荷的均勻運(yùn)動(dòng)。首先，導(dǎo)出等效粘彈性基。該等效基由兩部分組成，實(shí)部描述半空間的彈性特性，而虛部描述了由彈性波的內(nèi)摩擦和輻射導(dǎo)致的能量損失。結(jié)果顯示，實(shí)部、虛部都嚴(yán)重依賴于梁內(nèi)波的頻率和波數(shù)，其中該梁是伴隨著Rayleigh波、剪切波速率間相速度的。另外，實(shí)部在此間隔內(nèi)對(duì)某些速率有局部最小值，而虛部由波輻射導(dǎo)致顯著增加。不同的負(fù)載速率可計(jì)算出穩(wěn)態(tài)梁的位移。對(duì)于較Rayleig波而言相對(duì)小的速率，本征場(chǎng)略不對(duì)稱，而且不產(chǎn)生波。而對(duì)于相對(duì)大的速率，負(fù)載在半空間內(nèi)產(chǎn)生體積波，也會(huì)在梁上產(chǎn)生伴有不同波長(zhǎng)和振幅的尾波。最后，負(fù)載下的最

16、大位移依據(jù)相對(duì)負(fù)載速率推導(dǎo)而出。對(duì)于約為Rayleigh波速的速率它有一個(gè)有限的最大值。ReferencesAchenbach J., 1993. Wave Propagation in Elastic Solids, 7th ed. North-Holland, Amsterdam.Dieterman H., Metrikine A., 1996. The equivalent stiffness of a half-space interacting with a beam. Critical velocities of a moving load along a beam. Eur. J

17、. Mech. A/Solids 15 (1), 6790.Dieterman H., Metrikine A., 1997. Steady-state displacement of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load. Eur. J.Mech. A/Solids 16 (2), 295306.Duffy Dean G., 1990. The response of an infinite railroad track to a moving vibrating mass. J. Ap

18、pl. Mech. 57, 6673.Filippov A., 1961. Steady-state vibrations of an infinite beam on elastic half-space subjected to a moving load. Izvestija AN SSSR OTN Mechanica i Mashinostroenie 6, 97105 (translated from Russian).Kenney J., 1954. Steady-state vibrations of beam on elastic foundation for moving load. J. Appl.