四節(jié)點矩形單元有限元分析

1、平面問題有限元分析平面問題有限元分析四節(jié)點矩形單元四節(jié)點矩形單元天津大學(xué)天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院建筑工程學(xué)院 Tianjin University本節(jié)內(nèi)容提要本節(jié)內(nèi)容提要1 1、分析提高有限元法求解精度的、分析提高有限元法求解精度的途徑途徑2 2、簡要回顧三節(jié)點三角形單元有、簡要回顧三節(jié)點三角形單元有限元分析過程限元分析過程3 3、全面介紹四節(jié)點矩形單元有限、全面介紹四節(jié)點矩形單元有限元分析過程元分析過程4 4、總結(jié)、總結(jié)分析提高有限元求解精度的途徑分析提高有限元求解精度的途徑 Tianjin University一、三節(jié)點三角形單元的缺點l 三節(jié)點三角形單元精度低，收斂慢，由于單元內(nèi)應(yīng)力三節(jié)點

2、三角形單元精度低，收斂慢，由于單元內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變均為常量，故在單元內(nèi)不能很好地反映應(yīng)力和和應(yīng)變均為常量，故在單元內(nèi)不能很好地反映應(yīng)力和應(yīng)變的變化。應(yīng)變的變化。l 該單元只有三個節(jié)點，單元自由度少，單元位移插值該單元只有三個節(jié)點，單元自由度少，單元位移插值函數(shù)（位移模式）只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移函數(shù)（位移模式）只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移變化的能力差。變化的能力差。分析提高有限元求解精度的途徑分析提高有限元求解精度的途徑 Tianjin University 二、提高有限元求解精度的途徑l 第一個途徑是對某一種特定類型的單元采用網(wǎng)格劃分第一個途徑是對某一種特定類型的單元采用網(wǎng)格劃分加密，依

3、靠單元的收斂性提高求解精度。加密，依靠單元的收斂性提高求解精度。l 第二個途徑是對一定的單元網(wǎng)格和單元尺寸，采用高第二個途徑是對一定的單元網(wǎng)格和單元尺寸，采用高精度單元來提高求解精度。精度單元來提高求解精度。分析提高有限元求解精度的途徑分析提高有限元求解精度的途徑 Tianjin University 三、建立高精度單元的原理和途徑l 原理：提高單元位移插值函數(shù)多項式的階次，從而提原理：提高單元位移插值函數(shù)多項式的階次，從而提單元擬合局部區(qū)域位移、應(yīng)力變化的能力。單元擬合局部區(qū)域位移、應(yīng)力變化的能力。l 途徑：增加單元的節(jié)點數(shù)目。途徑：增加單元的節(jié)點數(shù)目。l 對于平面有限元問題，除三節(jié)點三角形

4、單元外，還可對于平面有限元問題，除三節(jié)點三角形單元外，還可以考慮六節(jié)點三角形單元和四節(jié)點矩形單元。以考慮六節(jié)點三角形單元和四節(jié)點矩形單元。 Tianjin University三節(jié)點三角形單元有限元分析過程三節(jié)點三角形單元有限元分析過程設(shè)位移函數(shù)設(shè)位移函數(shù)求位移函數(shù)中的未知量求位移函數(shù)中的未知量代入函數(shù)中代入函數(shù)中整理可得形函數(shù)整理可得形函數(shù)()i j mN、 （性質(zhì)？性質(zhì)？）幾何方程求解應(yīng)變（幾何矩陣幾何方程求解應(yīng)變（幾何矩陣 ） B物理方程求解應(yīng)力物理方程求解應(yīng)力（彈性矩陣（彈性矩陣 應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 ） DS運用虛功原理求解運用虛功原理求解 eK 由由 合成合成 ( (方法？方法？) )

5、 eK K建立節(jié)點荷載列陣建立節(jié)點荷載列陣 （方法？方法？ F處理位移約束條件（處理位移約束條件（方法？方法？）組成？組成？) ) Tianjin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程一、四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)12345678uxyxyvxyxy單元節(jié)點編號為單元節(jié)點編號為 k，l，m，n（逆時針）（逆時針）單元節(jié)點位移列陣為：單元節(jié)點位移列陣為： Tnnmmllkkevuvuvuvu設(shè)位移函數(shù)為設(shè)位移函數(shù)為：( , ) ( , ) x yf x y或?qū)憺榛驅(qū)憺椋?Tianjin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過

6、程二、求解位移函數(shù)中的未知系數(shù)將節(jié)點坐標(biāo)將節(jié)點坐標(biāo) (,),( ,),( , ),(, )ababa ba b代入函數(shù)中，并寫成矩陣形式：代入函數(shù)中，并寫成矩陣形式： 123456781000000001100000000110000000011000000001kklelmmnnuababvababuababvababAuababababvababuababv 解上述方程組可得解上述方程組可得： 1eA Tianjin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程三、將所求 值代入位移函數(shù)中 1( , ) ( , ) ex yf x yA Tianjin Un

7、iversity四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四、整理位移函數(shù)可得形函數(shù)( , )k l m nN 1( , ) ( , ) ( , ) eex yf x yAN x y展開上式可得：展開上式可得： 0000( ,)0000kkllklmnklmnmmnnuvuvNNNNux yNNNNvuvuv四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程其中，形函數(shù)為：其中，形函數(shù)為：)1)(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlk Tianjin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四

8、節(jié)點矩形單元有限元分析過程單元位移插值函數(shù)可以由單元位移插值函數(shù)可以由單元形狀函數(shù)單元形狀函數(shù)與與節(jié)點位移值的節(jié)點位移值的乘積表示：乘積表示：, , ( , )l m niii kx yN x y即可以表示為：即可以表示為：( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )kkllmmnnkkllmmnnuN x y uN x y uNx y uN x y uvN x y vN x y vNx y vN x y v Tianjin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程( , )( , )( , )( , )( , )( ,

9、)( , )( , )kkllmmnnkkllmmnnuN x y uN x y uNx y uN x y uvN x y vN x y vNx y vN x y v由此可見，位移插值函數(shù)完全由形函數(shù)決定；因此拋開節(jié)點位移，由此可見，位移插值函數(shù)完全由形函數(shù)決定；因此拋開節(jié)點位移，只討論形函數(shù)的性質(zhì)，就可以了解單元的變形性質(zhì)只討論形函數(shù)的性質(zhì)，就可以了解單元的變形性質(zhì)。例如：例如：四節(jié)點矩形單元，若四節(jié)點矩形單元，若則由則由 可得：可得：因此可以看出，單元變形完全由形函數(shù)決定。因此可以看出，單元變形完全由形函數(shù)決定。1,0,klmnklmnuuuuvvvv, ,( ,)l m niiikx y

10、Nx y, ,( , )l m neiikkki kuN x yN uNv Tianjin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 另外，可以驗證形函數(shù)另外兩個性質(zhì)：另外，可以驗證形函數(shù)另外兩個性質(zhì)：（1 1） 同理對于其余三個形函數(shù)同理對于其余三個形函數(shù) ,()1,(,)0,iiiijjN x yN xyiy,1()(1)(1)141()(1)(1)041()(1)(1)041()(1)(1)04kkklkkmkknnnabNx yababNx yababNx yababNx yab,(),( , ),( , )lmnNx yNx yNx y 。 Tia

11、njin University四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University（2 2） 即在單元內(nèi)任意一點處的形函數(shù)之和等于即在單元內(nèi)任意一點處的形函數(shù)之和等于1 1。,( , )1l m nii kN x y,1( , )(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4l m nii kxyxyxyxyNx yabababab1(1)(11)(1)(11)4xyyxyyabbabb 12(1)2(1)4xxaa1四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University五、幾何方程求解應(yīng)變將位移插值函數(shù)代入

12、幾何方程中：將位移插值函數(shù)代入幾何方程中： eexyyxBNxyyx00形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到3 38 8幾何矩陣：幾何矩陣： ybxaybxaybxaybxaxaxaxaxaybybybybabB0000000041四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University六、物理方程求解應(yīng)力由平面問題物理方程可得：由平面問題物理方程可得：其中：其中： eeDDBS21010(1)1002ED )(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)()()()()()()()()()()()()

13、()()()()1 (42ybxaybxaybxaybxaxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybabES因此，應(yīng)力矩陣因此，應(yīng)力矩陣 為：為： S四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University結(jié)論：結(jié)論： 對于平面四節(jié)點矩形單元，其單元上的應(yīng)力、應(yīng)變不對于平面四節(jié)點矩形單元，其單元上的應(yīng)力、應(yīng)變不再是常數(shù)，而是在一定程度上呈線性變化，即：再是常數(shù)，而是在一定程度上呈線性變化，即： 方向的方向的正應(yīng)力和正應(yīng)變隨正應(yīng)力和正應(yīng)變隨 坐標(biāo)線性變化；坐標(biāo)線性變化； 方向的正應(yīng)力和正方向的正應(yīng)力和正應(yīng)變隨應(yīng)變隨 坐標(biāo)線性變化；剪應(yīng)力

14、沿坐標(biāo)線性變化；剪應(yīng)力沿 坐標(biāo)和坐標(biāo)和 坐標(biāo)均成線坐標(biāo)均成線性變化。性變化。 因此，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單因此，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)切螁卧木雀?。元的精度要比常?yīng)變?nèi)切螁卧木雀摺?xyyxxy四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University七、運用虛功原理求解 eK 由虛功原理，節(jié)點力在節(jié)點的虛位移上所做的虛功應(yīng)等由虛功原理，節(jié)點力在節(jié)點的虛位移上所做的虛功應(yīng)等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功，即內(nèi)力虛功于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功，即內(nèi)力虛功= =外力虛外力虛功，也即：功

15、，也即： ;WQ eTeTAFtdxdy將將 TTeTB和和 eBD代入上式，可得：代入上式，可得： TeeFBDBt A eTKBDB t A由此，可得：由此，可得：四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University 2222222222222222211111111111()(1)()(1 3 )()(1)(1)(1 3 )328348628681111111111()(1 3 )(1)(1)()(1 3 )()32868628341(1)ebaabbaabbaabbaababababababababEhKab 22222222222222222

16、21111111()(1)(1)(1 3 )()(1)3286862811111111()(1 3 )()(1)()32834862111111()(1)()(1 3 )328348111 ()328baabbaabbaababababababbaabbaababa 對 稱2222221(1 3 )(1)6111()(1)32811()32babbaabab 四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University)1)(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlk1(1)(1)4rrrN

17、 引入無量綱坐標(biāo)：引入無量綱坐標(biāo)：(, , )rk l m n,xyab,rrrrxyab四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University 1xyxyuubxvvayabuvuvabyx由幾何方程可得單元應(yīng)變場表達(dá)式：由幾何方程可得單元應(yīng)變場表達(dá)式：可記為：可記為： eB四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University幾何矩陣可表示成分塊形式：幾何矩陣可表示成分塊形式： klmnBBBBB其中：其中： 0(1)01100(1)4(1)(1)rrrrrrrrrrrrrNbbNBaaabababNNab (

18、, , )rk l m n四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University由應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，可得單元應(yīng)力場表達(dá)式：由應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，可得單元應(yīng)力場表達(dá)式： eeDDBS應(yīng)力矩陣可表示成分塊形式：應(yīng)力矩陣可表示成分塊形式： klmnSSSSS其中：其中： 2(1)(1)(1)(1)4(1)11(1)(1)22rrrrrrrrrrrrrrbaESD Bbaabab (, , )rk l m n對于平面應(yīng)變問題：對于平面應(yīng)變問題：2,11EE四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University kkklkmkne

19、lklllmlnmkmlmmmnnknlnmnnKKKKKKKKKKKKKKKKK1112221224(1)rskkEtKkkab( , , )r sk l m n其中：其中： TrsrsKBDBt A即：即：單元剛度矩陣：單元剛度矩陣：四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University1112221224(1)rskkEtKkkab( , , )r sk l m n221112212222111(1)(1)3231()21()2111(1)(1)323rsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrskbakabkabkab 其中：其中：四節(jié)點矩形單

20、元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University八、由 合成 eK K剛度集成法：剛度集成法：首先求出各單元的貢獻(xiàn)矩陣，然后將它們疊加首先求出各單元的貢獻(xiàn)矩陣，然后將它們疊加形成整體剛度矩陣。但是由于編程時需先將各單元的貢獻(xiàn)矩形成整體剛度矩陣。但是由于編程時需先將各單元的貢獻(xiàn)矩陣儲存起來，而貢獻(xiàn)矩陣的階數(shù)與整體剛度矩陣階數(shù)相同，陣儲存起來，而貢獻(xiàn)矩陣的階數(shù)與整體剛度矩陣階數(shù)相同，因此占用非常大空間，不利于節(jié)約空間資源。因此占用非常大空間，不利于節(jié)約空間資源。單元定位數(shù)組法：單元定位數(shù)組法：將單元的節(jié)點位移編碼按照節(jié)點順序排成將單元的節(jié)點位移編碼按照節(jié)點順序排成

21、一行形成一維數(shù)組，利用各單元的定位數(shù)組，采用一行形成一維數(shù)組，利用各單元的定位數(shù)組，采用“邊定位，邊定位，邊累加邊累加”的方法。的方法。 四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University九、建立節(jié)點荷載列陣 = F +dEFF節(jié)點荷載列陣的組成：節(jié)點荷載列陣的組成： 其中，其中， 為節(jié)點荷載，為節(jié)點荷載， 為等效節(jié)點荷載。為等效節(jié)點荷載。 可按照虛功等效原則求解，即將單元內(nèi)的荷載移置到節(jié)可按照虛功等效原則求解，即將單元內(nèi)的荷載移置到節(jié)點上后，應(yīng)當(dāng)與原荷載所作虛功等效。點上后，應(yīng)當(dāng)與原荷載所作虛功等效。集中力、分布體力（均質(zhì)等厚單元自重）、分布面力（

22、均布集中力、分布體力（均質(zhì)等厚單元自重）、分布面力（均布側(cè)壓、側(cè)壓、X X方向均布荷載、方向均布荷載、X X方向三角形荷載）方向三角形荷載） FdFEFE四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University十、處理位移約束條件（1 1）降階法：若第）降階法：若第r r個自由度方向位移分量為個自由度方向位移分量為0 0，則將整體，則將整體剛度矩陣第剛度矩陣第r r行，第行，第r r列劃掉，后一行上移，右一列左移，這列劃掉，后一行上移，右一列左移，這樣總剛減少一階，未知數(shù)減少一個。樣總剛減少一階，未知數(shù)減少一個。 112233447032044200132

23、14021203274420021413212000304427032324021201321042003274021200214130uvuqhtvEtuqhtvuv11440uvuv例：例： 22337442413212034270322120130uqhtvEtuqhtv四節(jié)點矩形單元有限元分析過程四節(jié)點矩形單元有限元分析過程 Tianjin University（2 2）對角元素置）對角元素置1 1法：法： 11111211222122221212ininiiiiiniinnninnnnRKKKKRKKKKKKKKRKKKKR 11111121221222221212000inniiiiiiniinnnnnnniRKKKKKKKRKKKKKRKKKRK 1111112122122222120000100inniinnnnnnniRKKKKKKKRKKKKRKi例：已知位移邊界條件例：已知位移邊界條件 （