自動(dòng)控制理論課件:第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合1_第1頁(yè)
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1、第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 在現(xiàn)代控制理論中,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述的。它不僅反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的信息,而且還可以方便地處理初始條件。它可以應(yīng)用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、多輸入、多輸出系統(tǒng)以及隨機(jī)過(guò)程等。 線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最基本的內(nèi)容,其他分支均以線性理論為基礎(chǔ)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.1.1 基本概念 用圖 9-1 所示的 電路,說(shuō)明什么是狀態(tài)變量,如何用狀態(tài)變量描述一個(gè)系統(tǒng)。 由電路原理可知,回路中的電流 和電容上的電壓 的變化規(guī)律滿足如下方程 圖9-1 RLC電路第九章 線性定

2、常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 和 表征了電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),稱為該電路的狀態(tài)變量,由此系統(tǒng)的狀態(tài)變量可定義如下:狀態(tài)變量 足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量成為狀態(tài)變量。 階微分方程有 個(gè)狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的數(shù)目不能多,也不能少。選多了,狀態(tài)變量之間就會(huì)線性相關(guān);選少了,就不能完全描述系統(tǒng)。 同一個(gè)系統(tǒng),狀態(tài)變量的選取不是惟一的。 對(duì)于一般的物理系統(tǒng),狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)等于儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合用狀態(tài)變量來(lái)表征系統(tǒng)時(shí),還有如下基本概念:狀態(tài)向量 把描述系統(tǒng)的 個(gè)狀態(tài)變量 看作向量 的分量,則 稱為 維狀態(tài)向量,記作狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所張成的 維空

3、間,稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài),在狀態(tài)空間中是一個(gè)點(diǎn),隨時(shí)間推移,狀態(tài)在變化,在狀態(tài)空間中繪出一條軌跡,稱為狀態(tài)軌線。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組,稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 式 可以改寫為 若將狀態(tài)變量用一般符號(hào) 表示,即令 ,并寫成向量矩陣的形式,則狀態(tài)方程變?yōu)榈诰耪?線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合或式中 對(duì)圖9-1所示系統(tǒng),在以 作輸入時(shí),從式 中消去中間變量 ,得二階微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 若改選 和 為狀態(tài)變量,即令 ,則得一階微分方程組為寫成矩陣形式 在同一系統(tǒng)中,狀態(tài)變量選取

4、的不同,狀態(tài)方程也不同。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合輸出方程 輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間的函數(shù)關(guān)系式,稱為系統(tǒng)的輸出方程。在圖9-1中, 為輸出,用 表示,則有用矩陣表示為其中第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程與輸出方程組合起來(lái),稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。它構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的完整描述。 一般情況下,設(shè)單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ,則一般形式的狀態(tài)方程為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 輸出方程除了是狀態(tài)變量的函數(shù)外,有時(shí)還有輸入變量的直接傳遞,其一般形式為用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 對(duì)

5、于一個(gè) 維輸入、 維輸出的多輸入、多輸出系統(tǒng)其狀態(tài)空間表達(dá)式為式中第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,可以用圖9-2的方框圖表示圖9-2 狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 狀態(tài)空間模型一方面可根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)理直接建立另一方面也可由經(jīng)典控制理論已建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型,即結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)和微分方程來(lái)導(dǎo)出。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合1、從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式例9-1 建立如圖9-3所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,并畫出系統(tǒng)的狀態(tài)圖。根據(jù)牛頓第二定理有或表示成選擇位移 和速度 為狀態(tài)變量,

6、令 則圖9-3 機(jī)械位移系統(tǒng)第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為 為了更直觀地反映各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系,狀態(tài)空間表達(dá)式常用狀態(tài)圖表示。繪制方法如下:(1)有多少了狀態(tài)變量,畫多少個(gè)積分器;(2)根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程,畫出相應(yīng)的加法器和比例器,最后用箭頭連接起來(lái)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 該機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)如圖9-4所示。圖9-4 機(jī)械系統(tǒng)狀態(tài)圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式例9-2 在圖9-5所示系統(tǒng)中,若選取 作為狀態(tài)變量,試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式,并寫成矩陣形式。圖9-5第九章

7、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合由結(jié)構(gòu)圖得整理可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為寫成向量矩陣形式 第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合3、由微分方程(或傳遞函數(shù))求狀態(tài)空間表達(dá)式(1)微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)):若系統(tǒng)微分方程為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 如果選取 為一組狀態(tài)向量,即 ,則有記成向量矩陣形式為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-6所示圖9-6 狀態(tài)圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 一般情況下,由 階微分方程描述的系統(tǒng)為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為若選 為狀態(tài)變量,那么第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合系

8、統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 如上述這樣選擇的一組狀態(tài)變量稱為相變量,得出的表達(dá)式 稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。系統(tǒng)矩陣 稱為友矩陣 第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(2)輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)):從三階推廣到 階系統(tǒng),系統(tǒng)微分方程為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 只有當(dāng)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于或等于分母多項(xiàng)的次數(shù)時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才存在。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 當(dāng) 的分子次數(shù)等于分母次數(shù)時(shí),首先應(yīng)用綜合除法把 變成嚴(yán)格有理分式,即式中, 是直接聯(lián)系輸入、輸出的前饋系數(shù)。式中則由 可導(dǎo)出能控和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 串

9、聯(lián)分解:將 分解為兩部分相串聯(lián)如圖9-7所示。 為中間變量, , 則應(yīng)滿足若選狀態(tài)分量 ,則狀態(tài)方程為圖9-7 N(s)/D(s)的串聯(lián)分解第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合輸出方程為若 ,則或可表示為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合據(jù)此可得系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-8所示。圖9-8 N(s)/D(s)串聯(lián)分解的狀態(tài)圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 并聯(lián)分解:1) 只含單實(shí)極點(diǎn)(或微分方程含有互不相等的特征根):設(shè) 可分解為則傳遞函數(shù)可展開成部分分式之和,即 式中 為極點(diǎn) 的留數(shù),且有第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合若令狀態(tài)變量則展開得其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-9(a)所示

10、第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合若令狀態(tài)變量 則 取拉氏反變換有其向量矩陣形式為其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-10(b)所示。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合圖9-9 對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2) 含有重極點(diǎn)(或微分方程含有重特征根):當(dāng)傳遞函數(shù)不僅含有單實(shí)極點(diǎn),還含有重實(shí)極點(diǎn),其 矩陣可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè) 可分解為式中 為三重極點(diǎn), 為單實(shí)極點(diǎn)。傳遞函數(shù)可展成下列部分分式之和第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合若狀態(tài)變量第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合取拉氏反變換,有或表示為相應(yīng)的狀態(tài)變量方框如圖9-10所示。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀

11、態(tài)空間分析與綜合圖9-10 約當(dāng)動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合4、多輸入、多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng),當(dāng)已知微分方程或傳遞函數(shù)時(shí)要求其狀態(tài)空間表達(dá)式,可先畫出每個(gè)方程的狀態(tài)圖,然后把互相牽連的信號(hào)線加上,選每個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量,根據(jù)狀態(tài)圖,就可直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 以雙輸入、雙輸出的三階系統(tǒng)為例,設(shè)系統(tǒng)微分方程為把最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)留在左邊,其余移項(xiàng)到右邊后得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合對(duì)每一個(gè)方程積分故得狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-11所示第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合取每個(gè)積分器

12、輸出為一個(gè)狀態(tài)變量,則式 的一種實(shí)現(xiàn)為或表示為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1.3 狀態(tài)向量的線性變換1、等價(jià)系統(tǒng)方程設(shè)給定系統(tǒng)為令 ,則 , 為非奇異線性變換矩陣;它將 變換為 ,變換后的狀態(tài)方程為方程 與 表示的為同一系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,稱為等價(jià)系統(tǒng)方程。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、線性變換的基本特性及系統(tǒng)的不變量(1)線性變換不改變系統(tǒng)的特征值:系統(tǒng)的特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值,也即特征方程的根。(2)系統(tǒng)的不變量:把特征方程寫成多項(xiàng)式形式由于特征值不變,那么特征多項(xiàng)式的系數(shù) 也不變,稱特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與

13、綜合3、化系統(tǒng)矩陣 為標(biāo)準(zhǔn)型 這里所指的標(biāo)準(zhǔn)型是指 陣為對(duì)角型、約當(dāng)型和模態(tài)型。一般形式的 陣,化為標(biāo)準(zhǔn)型,可以由線性變換來(lái)實(shí)現(xiàn),而關(guān)鍵在于確定變換矩陣。將 陣化為對(duì)角型、約當(dāng)型和模態(tài)型的變換矩陣用 的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量來(lái)構(gòu)成。 設(shè) 是 型矩陣 的特征值,若存在一個(gè) 維非零向量 ,使或 成立,則稱 為 的對(duì)應(yīng)特征值 特征向量第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(1) 為任意形式:化 為對(duì)角陣:當(dāng) 陣為任意形式的方陣且有 個(gè)互異實(shí)數(shù)特征根 ,每一個(gè)特征根對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量,根據(jù)特征向量的定義,有令那么第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合兩邊左乘 ,得由此可知,變換矩陣 由 陣的實(shí)數(shù)特征向

14、量 組成, 表示對(duì)角矩陣。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合化 為約當(dāng)陣:若 陣具有 重特征根,其余為 個(gè)互異實(shí)特征根,但 重特征根只有一個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量 ,這時(shí)只能把 化為約當(dāng)陣 。 第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合變換矩陣 ,式中 互異特征根對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。 是廣義特征向量,滿足即第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合化 為模式矩陣:當(dāng)矩陣 有復(fù)數(shù)特征根時(shí),可以用上述方法把 化成標(biāo)準(zhǔn)型。簡(jiǎn)單起見,設(shè) 只有一對(duì)復(fù)數(shù)特征根, 在此情況下, 的模態(tài)形為設(shè) 為對(duì)應(yīng) 的特征向量,根據(jù)特征向量的定義有 ,令 第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合則由此可見,變換矩陣 是以 的特征

15、向量 的實(shí)部和虛部為列所構(gòu)成的矩陣。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(2) 陣為友矩陣時(shí),化 為標(biāo)準(zhǔn)型:已知第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 的特征根無(wú)重根時(shí),其變換矩陣是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣,為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 的特征值有重根,但重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征變量其變換矩陣為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合設(shè) 陣具有五重特征值 ,但有二個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量 和 ,其余為 個(gè)互異實(shí)特征根,這時(shí), 陣一定存在兩個(gè)約當(dāng)塊。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 有共軛復(fù)根時(shí),以四階系統(tǒng)中有一對(duì)共軛復(fù)根為例即 ,而此時(shí)第九章 線性定常系統(tǒng)的

16、狀態(tài)空間分析與綜合9.1.4 傳遞函數(shù)矩陣1、傳遞函數(shù)陣 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中, 為 維狀態(tài)向量, 為 維輸入向量, 為 維輸出向量, 為滿足矩陣運(yùn)算的矩陣。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合對(duì)式 進(jìn)行拉氏變換,并設(shè)初始條件為零,則有式中 為狀態(tài)向量對(duì)輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣,是一個(gè) 型矩陣第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 為輸出向量對(duì)輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣,簡(jiǎn)稱傳遞函數(shù)矩陣,是一個(gè) 型矩陣式中各元素 都是標(biāo)量函數(shù),表征第 個(gè)輸入對(duì)第 個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng) 時(shí),意味著不同標(biāo)號(hào)輸入與輸出有相互關(guān)聯(lián),稱為有耦合關(guān)系,這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。 同一系統(tǒng),狀態(tài)空間表達(dá)式不惟一,但

17、傳遞函數(shù)矩陣是不變的第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣復(fù)雜的控制系統(tǒng),可能由多個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接而成。討論兩個(gè)子系統(tǒng) 和 構(gòu)成的組合系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(1)并聯(lián)連接:如圖9-12(a)所示,兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)連接時(shí),并聯(lián)連接系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為故子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí),系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的代數(shù)和。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(2)串聯(lián)連接:串聯(lián)連接如圖9-12(b)所示。這時(shí) , 在前, 在后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為假定 和 之間無(wú)負(fù)載

18、效應(yīng),系統(tǒng)的輸出為故即系統(tǒng)串聯(lián)時(shí),系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等于子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣之積。注意,傳遞函數(shù)相乘,先后次序不能顛倒。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(3)反饋連接:設(shè) 的系統(tǒng)方程為設(shè) 的系統(tǒng)方程為如圖9-12(c)所示,由圖可得即第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合又因?yàn)槿绻?非奇異,則上式兩邊左乘 得式中同理也可求得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合圖9-12 子系統(tǒng)連接第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式9.2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程是指輸入向量為零時(shí)的狀態(tài)方程設(shè)初始時(shí)刻 ,系統(tǒng)的初始狀態(tài) ,狀態(tài)方程

19、是一階微分方程組,它的求解方法與標(biāo)量一階微分方程相類似。一階向量齊次微分方程的解為其中 可以展開成第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 稱為矩陣指數(shù)函數(shù),簡(jiǎn)稱矩陣指數(shù)。由于 是由 轉(zhuǎn)移而來(lái),對(duì)于線性定常系統(tǒng), 又有狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之稱,并記為 ,即如果初始時(shí)刻 ,初始狀態(tài)為 ,則齊次狀態(tài)方程的解為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)重寫根據(jù)式 ,可以推出 具有如下性質(zhì):(1) ,或本性質(zhì)說(shuō)明狀態(tài)向量從時(shí)刻 又轉(zhuǎn)移到時(shí)刻 ,狀態(tài)向量不變。(2) ,或(3) ,或第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(4) ,或這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明,轉(zhuǎn)移矩陣的逆意味著時(shí)間的逆轉(zhuǎn),利

20、用這個(gè)性質(zhì),可以在已知 的情況下,求出 。(5)對(duì)于 方陣 和 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),有 ;否則,若 ,則 ,注意:這與標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是不同的。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.2.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法 (或 )的求法,較常用的有四種方法,下面分別介紹如下。1、冪級(jí)數(shù)法此法具有步驟簡(jiǎn)便和編程容易的優(yōu)點(diǎn),適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。用手工計(jì)算不易得到閉式解。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、拉普拉斯變換法將 兩端取拉氏變換,有若 存在,則取拉氏反變換,有由于微分方程的解是惟一的,所以第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合3、應(yīng)用凱萊哈密頓定理計(jì)算(1)凱萊哈密頓定理:方陣 滿足自身的

21、特征方程即由上式可得也就是說(shuō) 是 的線性組合。在 的冪級(jí)數(shù)表示法中,消去 及以上的冪次項(xiàng)后得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(2) 的計(jì)算方法1) 的特征值互異時(shí),因?yàn)樘卣髦?與 是可以互換的所以 也滿足式 ,即或于是第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2) 的特征值均相同:設(shè) 的特征值為 ,則上式對(duì) 求導(dǎo),有重復(fù)以上步驟,最后有第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合由上面的 個(gè)方程對(duì) 求解后得3)當(dāng) 的特征根既有互異特征值,又有重特征值時(shí),可根據(jù) 和 求得。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合4、通過(guò)線性變換把 化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)求(1)若 陣有 個(gè)不相等的實(shí)根,則第九章 線

22、性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合那么(2)若 可化為約旦型矩陣即第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合可求得那么第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(3)若 可化為模態(tài)型矩陣 ,則式中第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合所以于是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.2.4 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解 非齊次狀態(tài)方程是指輸入向量不等于零時(shí)的狀態(tài)方程即求解 可用積分法和拉氏變換法。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合1、積分法設(shè)初始時(shí)刻 ,初始狀態(tài)為 。將式 改寫成上式兩邊左乘 后得即對(duì)上式在 到 時(shí)間內(nèi)積分,有第九章 線性

23、定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合整理后可得若 ,初始狀態(tài)為 ,則有第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、拉氏變換法對(duì)式 進(jìn)行變換,有由于 一定存在,所以直接對(duì) 兩邊去拉氏反變換,得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 式 與式 是等價(jià)的。很明顯,式 的解 由兩部分組成:第一部分是由初始狀態(tài)引起的,稱為零輸入響應(yīng);第二部分是由輸入向量引起的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。正是由于第二部分的存在我們才可能通過(guò)選擇輸入向量使?fàn)顟B(tài)向量的狀態(tài)滿足期望的要求。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.2.5 離散動(dòng)態(tài)方程及其求解1、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,一方面可由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來(lái)求取;另

24、一方面可把連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型離散化。(1)由差分方程建立動(dòng)態(tài)方程:設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合對(duì)方程兩邊取 變換,得到系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合與連續(xù)系統(tǒng)相同,將 作串聯(lián)分解,引入中間變量則選擇下列一組狀態(tài)變量為那么第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合利用 反變換關(guān)系所以狀態(tài)空間表達(dá)式為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合或表示成簡(jiǎn)記為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 由式 可以看出,離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了 時(shí)刻的狀態(tài)與 時(shí)刻的狀態(tài)及輸入量之間的關(guān)系;其輸出方程描述了 時(shí)刻的輸出量與 時(shí)刻的狀態(tài)及輸入量之間的

25、關(guān)系。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(2)定常連續(xù)動(dòng)態(tài)方程的離散化:已知連續(xù)系統(tǒng) 在 及 作用下的解為離散按等采樣周期 的過(guò)程處理,考察從 到 這一段的響應(yīng),并考慮到在這一段時(shí)間間隔內(nèi), 常數(shù)。令 則 ;令 ,則 。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合于是其解化為記令 ,則有故離散化狀態(tài)方程為其中第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、線性離散動(dòng)態(tài)方程的解 可用的方法有遞推法, 變換法,對(duì)角線法和凱萊哈密頓定理法。遞推法令式 中 ,可得到 時(shí)刻的狀態(tài)第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合輸出方程為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜

26、合9.3 控制系統(tǒng)的能控性與能觀性9.3.1 能控性與能觀性問(wèn)題的提出 用狀態(tài)空間模型描述控制系統(tǒng)時(shí),存在系統(tǒng)的狀態(tài)變量是否能受輸入的控制,即能控性問(wèn)題;系統(tǒng)的輸出能否反映系統(tǒng)的狀態(tài),即能觀性問(wèn)題。 系統(tǒng)的能控性與能觀性問(wèn)題是卡爾曼首先提出的。它是現(xiàn)代控制中的兩個(gè)重要概念,是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)的基礎(chǔ)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.3.2 能控性定義及其判別準(zhǔn)則1、能控性定義(1)線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義:線性定常連續(xù)系統(tǒng) 如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入 ,能在有限時(shí)間區(qū)間 內(nèi),使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài) ,轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài) ,則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的,則稱此系

27、統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 上述定義可以在二階系統(tǒng)的狀態(tài)平面上來(lái)說(shuō)明。如圖9-14所示,假定狀態(tài)平面中的 點(diǎn)能在輸入的作用下,被驅(qū)動(dòng)到任一指定狀態(tài) ,那么狀態(tài)平面的 點(diǎn)是能控狀態(tài)。若能控狀態(tài)充滿整個(gè)狀態(tài)空間,即對(duì)于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入,使得在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi),將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的任一指定狀態(tài),則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全能控。圖9-14 系統(tǒng)能控性示意圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合(2)離散時(shí)間系統(tǒng)能控性定義:離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 其能控性定義為:若存在控制作用序列 能將第 步的某個(gè)狀態(tài) 在第 步上達(dá)到零狀態(tài),即 , 那么就稱此狀態(tài)是能控的,若

28、系統(tǒng)在第 步上所有的狀態(tài) 都是能控的,那么此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,稱為能控系統(tǒng)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、能控性判別準(zhǔn)則(1)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判別準(zhǔn)則:線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 從能控性的定義可以看出,判別一個(gè)線性系統(tǒng)能控性的問(wèn)題,實(shí)際上是根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和任意給定的初始狀態(tài),看能否找到任意的控制向量,把初始狀態(tài) 在有限的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn),即 。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合式 狀態(tài)方程的解為設(shè) ,上式化為或根據(jù)凱萊哈密頓定理,可以將 展開為將式 代入式 ,可得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合設(shè)則式 化為 要是系統(tǒng)能控,則對(duì)任意給定的初始狀態(tài) ,都能從 式中解出 來(lái)。因此必須保證矩陣 的

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