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1、第7章 參數(shù)估計(jì)習(xí)題 71.設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本,求下述各總體的概率密度或分布律中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量。(1),其中是未知參數(shù);解:首先求出總體的期望:所以,故的矩估計(jì)量為:。(2),其中是未知參數(shù);解:首先求出總體的期望:其中。從而,所以的矩估計(jì)為量:。(3),其中為未知參數(shù);解:先求出總體的期望:所以,故的矩估計(jì)量為:。(4),其中為未知參數(shù)。解:首先求出總體的期望:由得的矩估計(jì)量為:。2.求上題中各未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。(1)解:似然函數(shù):,則令,得的最大似然估計(jì)值為,故的最大似然估計(jì)量為。(2)解:似然函數(shù):,則令,得的最大似然估計(jì)值為,又故的最大似然估計(jì)量為即(3)解:似然函數(shù)
2、:,則由于,故在該樣本空間內(nèi)最大似然估計(jì)值為:。(4)解:似然函數(shù):,則令,解得的最大似然估計(jì)值為,故 的最大似然估計(jì)量為。3.設(shè)總體是用無線電測(cè)距儀測(cè)量距離的誤差,它服從上的均勻分布,在次測(cè)量中,誤差為的次數(shù)有次:求的矩法估計(jì)值。(注:這里測(cè)量誤差為是指測(cè)量誤差在間的代表值。)解:由例2可知,均勻分布中的矩法估計(jì)分別為,由數(shù)據(jù)求得:,所以,。4.設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布,從中抽取樣本,求的最大似然估計(jì)。解:似然函數(shù),對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:對(duì)求導(dǎo),得似然方程為:,其解為:,由于對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)都在處小于,故使似然函數(shù)達(dá)到最大,又由于它對(duì)一切樣本觀察值都成立,所以的最大似然估計(jì)為:。5.設(shè),是取自的一個(gè)
3、容量為的樣本,試證下列三個(gè)估計(jì)量均為的無偏估計(jì):;并指出哪一個(gè)估計(jì)量最有效。解:由于,所以是的無偏估計(jì),同理與也是的無偏估計(jì);由于,同理可得,因此的方差最小,即最有效。6.從一臺(tái)機(jī)床加工的軸承中,隨機(jī)抽取件,測(cè)量其橢圓度,得樣本均值 mm,并由累積資料知道橢圓度服從,試求的置信度為的置信區(qū)間。解:由于,查表的,而,所以的置信區(qū)間為:7.用一儀表測(cè)量一物理量次,得,試求該物理量真值的置信水平為的置信區(qū)間(假定測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布)。解:由于未知,現(xiàn)在,故,所以的置信水平為的置信區(qū)間是8.已知某種木材的橫紋抗壓力服從,現(xiàn)對(duì)十個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn),得數(shù)據(jù)如下:(kg/cm2)(1)求的置信水平為的
4、置信區(qū)間;(2)求的置信水平為的置信區(qū)間。解:(1)由于未知,所以的置信水平為的置信區(qū)間為:;(2)由于,所以的置信水平為的置信區(qū)間為:9.設(shè)某公司所屬的兩個(gè)分店的月營業(yè)額分別服從,?,F(xiàn)從第一分店抽取了容量為的樣本,求得平均月營業(yè)額為萬元,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為萬元;第二分店抽取了容量為的樣本,求得平均月營業(yè)額為萬元,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為萬元。試求的置信水平為的區(qū)間估計(jì)。解:由給出的數(shù)據(jù)得由于,所以的置信水平為的置信區(qū)間為:10.設(shè) 種聚合物中的含氯量用同一方法各作十次測(cè)定,其測(cè)定值的方差分別為,。假定各自的測(cè)定值分別服從正態(tài)分布,方差分別為與,求的置信水平為的置信區(qū)間。解:由于,又,所以的置信水平為的置信區(qū)間為:11.設(shè)某種鋼材的強(qiáng)度服從,現(xiàn)從中獲得容量為的樣本,求得樣本均值,樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(1
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