奧賽典型例題分析(振動和波).

1、1奧賽典型例題奧賽典型例題分析分析(振動和波振動和波)21.如圖如圖1所示的振動所示的振動系統(tǒng)，輕彈簧的勁度系統(tǒng)，輕彈簧的勁度系數(shù)為系數(shù)為k，滑輪的質(zhì)，滑輪的質(zhì)量為量為M，細(xì)線與滑輪，細(xì)線與滑輪之間無摩擦，兩個小之間無摩擦，兩個小物塊的質(zhì)量分別為物塊的質(zhì)量分別為m1和和m2，m1 m2，試，試求滑輪的振動周期求滑輪的振動周期. Mm1m2k圖圖13例例1 解解:m1m2k圖圖1Mm圖圖2aa 先看圖先看圖2的情況，設(shè)輕繩的拉力大的情況，設(shè)輕繩的拉力大小為小為T，則，則MaTMgmamgT由上一兩個方程可解得由上一兩個方程可解得gmMMmTgmMmMa2,天花板所受的拉力為天花板所受的拉力為gm

2、MMmTF42這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖3物體物體M 對對天花板的作用等效，只要天花板的作用等效，只要M取值為取值為4圖圖3MmMMmM4m1m2k圖圖1圖圖4MMk因此，只要在上式中令因此，只要在上式中令 就可就可用圖用圖4等效于圖等效于圖1,此時有此時有21mmmM，21214mmmmM所以，系統(tǒng)的振動圓頻率為所以，系統(tǒng)的振動圓頻率為MMk系統(tǒng)的振動周期為系統(tǒng)的振動周期為kMMT2252.如圖如圖2所示，物體的質(zhì)量為所示，物體的質(zhì)量為m，用，用彈簧懸掛吊于水平輕桿上，桿的一彈簧懸掛吊于水平輕桿上，桿的一端與光滑鉸鏈相連，另一端用彈簧端與光滑鉸鏈相連，另

3、一端用彈簧懸掛，已知懸掛，已知k1、k2、m及尺寸及尺寸a、b，試求物體試求物體m的振動周期的振動周期. 圖圖2Oabk1k2m6 設(shè)當(dāng)當(dāng)m處于平衡位置時，處于平衡位置時，彈簧彈簧1、2的伸長量分別為的伸長量分別為l10和和l20,則則例例2 解解:圖圖1Oabk1k2moxx對對m有有) 1 (101lkmg對桿有對桿有)2(202101blkalk建立建立ox軸，如圖所示，當(dāng)桿轉(zhuǎn)軸，如圖所示，當(dāng)桿轉(zhuǎn)過一個微小的角過一個微小的角時，時，對對m有有)3()(101alxkmgmax)4()()(202101bblkaalxk對桿有對桿有)6()(221bkaaxk)5()(1axkmax由以上

4、方程可得由以上方程可得7)5()(1axkmax)6()(221bkaaxk由由(5)、(6)式可得式可得)7(22abkmax由由(5)、(7)式消去式消去可可得得0)(2221221xbkakmbkkax由這方程可知由這方程可知m的振動圓頻率為的振動圓頻率為)(2221221bkakmbkk故故m的微振動周期為的微振動周期為2212221)(22bkkbkakmT83.如圖如圖3所示，質(zhì)量為所示，質(zhì)量為m的小球的小球C由細(xì)繩由細(xì)繩AC和和BC共同懸掛，已知共同懸掛，已知ACl，BC2l，ACOBCO30,試求小球試求小球C在垂直紙面方向上的微振動周期在垂直紙面方向上的微振動周期. 圖圖3C

5、ABml2lO30 309 方法方法1：以：以A為等效懸掛點為等效懸掛點圖圖1CABml2lO例例3 解：解：30 30ggcos30 于是小球于是小球C在垂直屏幕面方向在垂直屏幕面方向上的微小擺動的周期為上的微小擺動的周期為glglT332230cos2O方法方法2：以：以AB線與線與CO線的交點線的交點O為等效懸掛點為等效懸掛點則等效擺長則等效擺長l為為CO，根據(jù)幾何關(guān)系可求得，根據(jù)幾何關(guān)系可求得lACl33230cos那么小球那么小球m的微振動周期為的微振動周期為glglT33222 把重力加速度把重力加速度 沿沿AC方向和方向和AB方方向分解，可得在向分解，可得在AC方向的分量值方向的

6、分量值為為gcos30.g104.半徑為半徑為R的輕圓環(huán)上固定兩個質(zhì)量相同的小的輕圓環(huán)上固定兩個質(zhì)量相同的小重物，在環(huán)上與兩個小重物距離相等的重物，在環(huán)上與兩個小重物距離相等的O處鉆處鉆一小孔，將這小孔穿過墻壁上的光滑小釘而一小孔，將這小孔穿過墻壁上的光滑小釘而把圓環(huán)掛起來，使圓環(huán)可以在豎直平面上作把圓環(huán)掛起來，使圓環(huán)可以在豎直平面上作微振動，兩小重物的位置關(guān)系可以用它們之微振動，兩小重物的位置關(guān)系可以用它們之間的角距離間的角距離2表示，如圖表示，如圖4所示，試求圓環(huán)微所示，試求圓環(huán)微振動的周期振動的周期. O圖圖4RR11例例4 解：解：圖圖1ORR 用能量法求周期用能量法求周期mr 設(shè)每個

7、重物的質(zhì)量為設(shè)每個重物的質(zhì)量為m，它作微振動，它作微振動時的最大角振幅為時的最大角振幅為 ,如圖所示，那么如圖所示，那么它通過平衡位置時的最大速度它通過平衡位置時的最大速度 為為mmvmmrAv其中其中)cos1 (22sin2RRr故故) 1 ()cos1 (2Rvmm于是擺的最大動能為于是擺的最大動能為)cos1 (22122222RmmvEmmkm 設(shè)擺的質(zhì)心設(shè)擺的質(zhì)心C能上升的最大高度為能上升的最大高度為hCm，則據(jù)機械能，則據(jù)機械能守恒定律有守恒定律有)2(21222mkmCmPmmvEmghEC12Cmr圖圖1ORR在平衡位置時，質(zhì)心在平衡位置時，質(zhì)心C據(jù)懸掛點據(jù)懸掛點O的距離為的

8、距離為)cos1 ( RL因最大偏角為因最大偏角為 ，故質(zhì)心上升的最大，故質(zhì)心上升的最大高度為高度為m)cos1)(cos1 ()cos1 (mmCmRLhkmPmEE于是由于是由 可得可得)cos1 (2)cos1)(cos1 (2222mRmgRmm解得解得Rgmm22)cos1 (因為因為221cos1mm所以所以Rg22圓環(huán)微振動周期為圓環(huán)微振動周期為gRT222135.如圖如圖5所示，在水平光滑桌面的中心有一個光滑小所示，在水平光滑桌面的中心有一個光滑小孔孔O，一條勁度系數(shù)為，一條勁度系數(shù)為k的細(xì)彈性繩穿過小孔的細(xì)彈性繩穿過小孔O，繩，繩的一端系于小孔的一端系于小孔O正下方地面的正下

9、方地面的A處，另一端系一質(zhì)處，另一端系一質(zhì)量為量為 m的小物塊，彈性繩的自然長度等于的小物塊，彈性繩的自然長度等于OA，現(xiàn)，現(xiàn)將小物塊沿桌面拉至將小物塊沿桌面拉至B點處，點處，OBL，并給小物塊，并給小物塊一個與一個與OB垂直的初速度垂直的初速度v0沿桌面射出，試求：沿桌面射出，試求：(1)小物塊繞小物塊繞O點轉(zhuǎn)過點轉(zhuǎn)過90到達到達C點所需要的時間點所需要的時間; (2)小物塊到達小物塊到達C點時的速度及點時的速度及CO的長度的長度. OBAv0圖圖514例例5 解：解：OBAv0圖圖1xyrFBCO圖圖2 (1)據(jù)胡克定律，質(zhì)點在其運據(jù)胡克定律，質(zhì)點在其運動軌跡上任一位置處所受彈力的大小動軌

10、跡上任一位置處所受彈力的大小為為Fkr,其中其中r為質(zhì)點所在位置與原點為質(zhì)點所在位置與原點O的距離的距離,也是彈性繩的伸長量也是彈性繩的伸長量.由圖由圖2得得kxFFxcoskyFFysin可見，質(zhì)點在可見，質(zhì)點在x方向和方向和y方向都作簡諧振動方向都作簡諧振動.平衡位置都在原點，振動圓頻率都是平衡位置都在原點，振動圓頻率都是mk周期都是周期都是kmT215 質(zhì)點從起始位置質(zhì)點從起始位置B繞繞O點運動到點運動到C點，點，對于對于x方向的簡諧振動來說，質(zhì)點是從方向的簡諧振動來說，質(zhì)點是從最大位移的位置運動到平衡位置的，恰最大位移的位置運動到平衡位置的，恰好經(jīng)歷了好經(jīng)歷了1/4T,所以所以xyrF

11、BCO圖圖2kmTt241(2)在在x方向上，質(zhì)點作簡諧振動，利用如圖方向上，質(zhì)點作簡諧振動，利用如圖3所示的所示的參考圓，可確定其振幅和初相參考圓，可確定其振幅和初相:xy0v0 xLOB圖圖400 xxLA，于是其在于是其在x方向的簡諧振動方程為方向的簡諧振動方程為tmkLtAxxxcos)cos(0速度為速度為tmkmkLvxsin16，tmkLxcostmkmkLvxsin可求得可求得)2cos()cos(00tmkkmvtAyyy利用公式利用公式 及初始條件及初始條件22020yyvyA0000vvyyy，tmkvvycos0因質(zhì)點經(jīng)因質(zhì)點經(jīng)t=T/4時間到達時間到達C點，故在點，故

12、在C點處，有點處，有0,00CyCxCCvmkLvkmvyx，于是于是mkLvvvkmvyxOCCyCxCCC22022，176. 三根長為三根長為l2.00m的質(zhì)量均勻的直桿構(gòu)成一個等的質(zhì)量均勻的直桿構(gòu)成一個等邊三角形框架邊三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，桿整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，桿AB是一導(dǎo)軌，一是一導(dǎo)軌，一電動玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運動，如圖電動玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運動，如圖6所示，現(xiàn)觀測所示，現(xiàn)觀測到松鼠正在導(dǎo)軌上運動而框架卻靜止不動，試證明到松鼠正在導(dǎo)軌上運動而框架卻靜止不動，試證明松鼠的運動應(yīng)是一種什么樣的運動松鼠的運動應(yīng)是一種

13、什么樣的運動. ABCl圖圖6ll(96年年13屆預(yù)賽題屆預(yù)賽題)18例例6 解：解：ABCl圖圖1llxO 建立如圖所示建立如圖所示ox軸軸. 因為題設(shè)玩具松鼠在導(dǎo)軌上運動時，因為題設(shè)玩具松鼠在導(dǎo)軌上運動時，框架都靜止不動框架都靜止不動. 那么以框架作為研那么以框架作為研究對象，對究對象，對C軸力矩平衡，因此當(dāng)玩軸力矩平衡，因此當(dāng)玩具松鼠運動到圖中位置時，它除了受具松鼠運動到圖中位置時，它除了受到玩具松鼠給以的向下的、大小到玩具松鼠給以的向下的、大小為為mg的壓力外，必然受到玩具松鼠給以的大小為的壓力外，必然受到玩具松鼠給以的大小為F的的向左的力作用向左的力作用. 于是有于是有mgF60si

14、nFlmgx得得xlngF32 那么，玩具松鼠也必然受到一個向右的大小等于那么，玩具松鼠也必然受到一個向右的大小等于F的力的力F的作用的作用.lmgkkxxlmgF32,3219由此可見，玩具松鼠的運動必然是簡諧振動由此可見，玩具松鼠的運動必然是簡諧振動.lmgkkxxlmgF32,32其振動周期為其振動周期為)(64. 22322sglkmT 因玩具松鼠到達因玩具松鼠到達AB導(dǎo)軌兩端時應(yīng)反向它的，所以導(dǎo)軌兩端時應(yīng)反向它的，所以其振幅不能大于其振幅不能大于1/2l,即即)(00. 12mlA 由以上論證可知，玩具松鼠在導(dǎo)軌由以上論證可知，玩具松鼠在導(dǎo)軌AB上的運動是以上的運動是以AB中點為平衡

15、位置，振幅不大于中點為平衡位置，振幅不大于1米，周期約為米，周期約為2.64s的簡諧振動的簡諧振動.207. A是某種材料制成的小球，是某種材料制成的小球，B是某種材料制成的均是某種材料制成的均勻剛性薄球殼，假設(shè)勻剛性薄球殼，假設(shè)A與與B的碰撞是完全彈性的，的碰撞是完全彈性的，B與桌面的碰撞是完全非彈性的與桌面的碰撞是完全非彈性的. 已知球殼質(zhì)量為已知球殼質(zhì)量為m，內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為r，放置在水平無彈性的桌面上，小球，放置在水平無彈性的桌面上，小球A的的質(zhì)量也為質(zhì)量也為m，通過一自然長度為，通過一自然長度為r的柔軟彈性繩懸掛的柔軟彈性繩懸掛在球殼內(nèi)壁的最高處，且有在球殼內(nèi)壁的最高處，且有kr=9

16、mg/2，k為彈性繩為彈性繩的彈性系數(shù)的彈性系數(shù). 起初將小球起初將小球A拉到球殼的最低點，如圖拉到球殼的最低點，如圖7所示，然后輕輕釋放，試詳細(xì)地、定量地討論小球所示，然后輕輕釋放，試詳細(xì)地、定量地討論小球A以后的運動以后的運動. (92年第年第9屆預(yù)賽題屆預(yù)賽題)AB圖圖721例例7 解：解：AB圖圖1lOO 小球小球A的平衡位置的平衡位置O與球心與球心O的距的距離為離為l，且有，且有rkmgl92x以以O(shè)為原點建立如圖所示的為原點建立如圖所示的x軸軸. 設(shè)任一時刻，小球設(shè)任一時刻，小球A偏離平衡位置，其坐標(biāo)為偏離平衡位置，其坐標(biāo)為x，那么它所受的回復(fù)力為那么它所受的回復(fù)力為kxmglxk

17、F)(令令 ，則小球的運動方程為，則小球的運動方程為rgmk29)cos(0tAx因為因為t=0時，時，09700vrlrx，22所以小球的振幅為所以小球的振幅為rvxA9722020初相為初相為00故小球運動方程為故小球運動方程為) 1 (29cos97cos97trgrtrx運動速度為運動速度為)2(29sin2997trggrv加速度為加速度為)3(29cos27trgga當(dāng)當(dāng) 時，即小球時，即小球A回到球心回到球心O處，由處，由(1)式可得式可得rx92lOOAB圖圖1x23)20(7229cos11Tttrg 所以所以)20(57329sin11Tttrg由由(2)得此時小球的速度為

18、得此時小球的速度為grvA25由由(3)得此時小球的加速度為得此時小球的加速度為gaA 此后，小球向上運動，繩子不再拉緊小球，小球此后，小球向上運動，繩子不再拉緊小球，小球A作作豎直上拋運動豎直上拋運動. 小球上升的最大高度不能超過小球上升的最大高度不能超過r，故當(dāng)小，故當(dāng)小球球A上升高度為上升高度為r時，其速度大小為時，其速度大小為v，有，有0222grgrvvA24 這表明小球這表明小球A將與球殼相碰，由于兩者質(zhì)量相等，將與球殼相碰，由于兩者質(zhì)量相等，且碰撞為彈性碰撞，所以，且碰撞為彈性碰撞，所以，A與與B交換速度，交換速度，B豎直上豎直上拋，而小球拋，而小球A則自由下落則自由下落. B能

19、上升的最大高度為能上升的最大高度為42222rgvgvHBB所用時間為所用時間為grgvtB21 此后，此后，B自由下落自由下落. 而當(dāng)而當(dāng)B 上升到最大高度時，小球上升到最大高度時，小球A的下落高度為的下落高度為42212121rgrggth由于由于rrrrhHB244這表明此時繩子仍未拉緊這表明此時繩子仍未拉緊. 25令令 ，其中，其中rhhBA222121gtvthgthBA，由這三式可解得：由這三式可解得：grthrhBA20， 這表明經(jīng)歷時間這表明經(jīng)歷時間t，繩子將被拉直，此時小球，繩子將被拉直，此時小球A回到回到球殼的球心球殼的球心O點，球殼點，球殼B則經(jīng)歷一升一降，又回到原來則經(jīng)

20、歷一升一降，又回到原來位置，并與桌面作完全非彈性碰撞而靜止位置，并與桌面作完全非彈性碰撞而靜止. 此時小球此時小球A的速度為的速度為grgtvO2此后在繩子作用下又作簡諧振動此后在繩子作用下又作簡諧振動. 其振動方程為其振動方程為)cos(0tAx由初始條件：由初始條件： 可求得可求得grvrx29200，26rvxA109222020，10103sin00Av1010cos00Ax故故1010arccos0于是于是)1010arccoscos(1092trx由于由于rrrrA92109292 所以小球所以小球A向下運動時不可能與球殼相碰，這是預(yù)向下運動時不可能與球殼相碰，這是預(yù)料中的事，因球

21、殼料中的事，因球殼B與桌面的碰撞是完全非彈性碰撞，與桌面的碰撞是完全非彈性碰撞，能量有所損失能量有所損失. 故球殼故球殼B將一直靜止下去將一直靜止下去. 小球小球A的振動周期仍為的振動周期仍為grT92227由圖由圖2所示的參考圓可知，小球所示的參考圓可知，小球A從從O點下落再回到點下落再回到O點需時間為點需時間為x圖圖2O0OA)1010arccos(23220grt 接著，小球接著，小球A又做豎直上拋運動，上拋又做豎直上拋運動，上拋的初速度大小為的初速度大小為grvv20其上拋的最大高度為其上拋的最大高度為rgvh220max到最高點時速度為零，故小球到最高點時速度為零，故小球A只是與球殼

22、輕輕接觸而只是與球殼輕輕接觸而不發(fā)生碰撞，然后又落回，球殼不發(fā)生碰撞，然后又落回，球殼B則保持靜止則保持靜止. 小球小球A從從上拋到回到上拋到回到O點需時間為點需時間為28grgvt2220此后，球殼此后，球殼B一直保持靜止，而小球一直保持靜止，而小球A則作簡諧振動則作簡諧振動豎直上拋運動豎直上拋運動簡諧振動簡諧振動豎直上拋運動豎直上拋運動簡諧振動簡諧振動這樣的周期性運動，其運動周期為這樣的周期性運動，其運動周期為grgrttT22)1010arccos(232小球小球A與球殼與球殼B的運動情況可以用下圖來表示的運動情況可以用下圖來表示. 重復(fù)重復(fù)AB298. 如圖如圖8所示，一只狼沿半徑為所

23、示，一只狼沿半徑為R的圓形的圓形島邊緣按逆時針方向勻速跑動，當(dāng)狼經(jīng)島邊緣按逆時針方向勻速跑動，當(dāng)狼經(jīng)過島邊緣某點時，一只獵犬以相同速率過島邊緣某點時，一只獵犬以相同速率v從島中心從島中心O出發(fā)追趕狼，設(shè)在追趕過程中出發(fā)追趕狼，設(shè)在追趕過程中狼、獵犬、中心狼、獵犬、中心O三者始終在同一直線上，三者始終在同一直線上，問獵犬應(yīng)沿何種曲線追趕？它在何處可問獵犬應(yīng)沿何種曲線追趕？它在何處可以追上狼？以追上狼？ O圖圖830例例8 解：解：方法一（解析法）：方法一（解析法）： 建立極坐標(biāo)系，建立極坐標(biāo)系，如圖如圖1所示所示. 設(shè)設(shè)t=0時，犬和狼分別位于圖中時，犬和狼分別位于圖中的的O點和點和A點，經(jīng)歷一

24、段時間，在時刻點，經(jīng)歷一段時間，在時刻t，狼，狼到達到達C點，犬到達距圓心點，犬到達距圓心O為為r的的D點點. 依題依題意，意，O、D、C三點在同一直線上三點在同一直線上. 狼繞島做狼繞島做圓周運動的角速度是恒量，為圓周運動的角速度是恒量，為vxyorABCrvDt圖圖1Rv 設(shè)犬在設(shè)犬在D點處的徑向速度和橫向速度分別為點處的徑向速度和橫向速度分別為 和和 .為保證任何時候犬和狼都在同一直線上，則必須有為保證任何時候犬和狼都在同一直線上，則必須有rvvrvRv即即rv由于由于222vvvr即即2222rvvr因此有因此有rrvvrr2即有即有rrrrvav2或或rar2因因v、都是恒量，都是恒

25、量，31vxyorABCrvDt圖圖1 這表明在以這表明在以轉(zhuǎn)動的參考系來看，在轉(zhuǎn)動的參考系來看，在r方方向上，犬做簡諧振動向上，犬做簡諧振動. 設(shè)其方程為設(shè)其方程為)cos(tArvAvrm當(dāng)當(dāng) 時，時， , ，速度沿，速度沿r軸正方向，軸正方向，而且最大，為而且最大，為0r0ra0t所以所以RvA且且 ，于是，于是2tRtRrsin)2cos(在靜止參考系的固定坐標(biāo)系在靜止參考系的固定坐標(biāo)系o-xy中，在中，在t時刻犬的坐標(biāo)為時刻犬的坐標(biāo)為tRttRtrx2sin2cossincos)2cos1 (2sinsin2tRtRtry32，tRx2sin2)2cos1 (2tRyvxyorABC

26、rvDt圖圖1由以上兩個方程消去由以上兩個方程消去t得犬的軌跡方程得犬的軌跡方程222)2()2(RRyx 這是一個圓心在（這是一個圓心在（0，R/2），半徑為），半徑為R/2的半圓的半圓. 這這半圓與狼的軌跡圓的交點半圓與狼的軌跡圓的交點B就是犬就是犬可能可能追上狼的地方追上狼的地方. 犬沿這半圓從犬沿這半圓從O點到達點到達B點需時間為點需時間為vRt21 狼沿圓從狼沿圓從A點到達點到達B點需時間為點需時間為vRt22因因 ，這說明，這說明B點點就是就是犬追上狼的地方犬追上狼的地方.21tt 33方法二：猜想和證明法方法二：猜想和證明法 開始時，犬在開始時，犬在O點，狼在點，狼在A點，犬的速

27、度應(yīng)該全是徑點，犬的速度應(yīng)該全是徑向速度，而無需橫向速度向速度，而無需橫向速度,速度方向應(yīng)與軌跡相切，所速度方向應(yīng)與軌跡相切，所以，犬的軌跡圓的圓心應(yīng)在以，犬的軌跡圓的圓心應(yīng)在y軸上軸上. 當(dāng)犬在當(dāng)犬在B點追上狼時，點追上狼時，它們的速度方向應(yīng)相同都與它們的速度方向應(yīng)相同都與y軸垂直，犬的速度應(yīng)該全軸垂直，犬的速度應(yīng)該全是橫向速度是橫向速度. 此時犬的速度方向也應(yīng)與其軌跡圓相切，此時犬的速度方向也應(yīng)與其軌跡圓相切，故軌跡圓的圓心也應(yīng)在故軌跡圓的圓心也應(yīng)在y軸上，由此可知犬的軌跡圓應(yīng)軸上，由此可知犬的軌跡圓應(yīng)是以是以O(shè)B為直徑的圓為直徑的圓. 下面再證明這個圓滿足題目所給的下面再證明這個圓滿足題

28、目所給的條件條件.設(shè)狼位于設(shè)狼位于A點時犬從點時犬從O點出發(fā)追狼點出發(fā)追狼. 當(dāng)犬當(dāng)犬未追上狼時，總可以把它的速度按徑向未追上狼時，總可以把它的速度按徑向和橫向分解和橫向分解. 徑向速度徑向速度vr使犬與狼的距離使犬與狼的距離縮短，而橫向速度縮短，而橫向速度v則使犬和狼以及則使犬和狼以及O點保持在同一直線上點保持在同一直線上. 因為狼的軌跡是圓，因此可因為狼的軌跡是圓，因此可猜想猜想犬的軌跡也是圓，并且在犬的軌跡也是圓，并且在B點追上狼點追上狼. vxyoABDCrvrvv34設(shè)犬到達設(shè)犬到達D點時狼到達點時狼到達C點，連接犬的軌點，連接犬的軌跡圓的圓心跡圓的圓心O和和D點，因圓心角是對應(yīng)點，

29、因圓心角是對應(yīng)的弦切角的兩倍，所以，的弦切角的兩倍，所以，DOO=2.vxyoABDCrvrvvo2則有犬在則有犬在t時間內(nèi)通過的路程為時間內(nèi)通過的路程為RROD22延長延長OD與圓與圓O相交于相交于C點，點， 則則RCA又因狼的速率與犬的速率都是又因狼的速率與犬的速率都是v，所以它們在相同的，所以它們在相同的時間內(nèi)通過相同的路程，所以，應(yīng)有時間內(nèi)通過相同的路程，所以，應(yīng)有RODAC則表明則表明C與與C點重合，實際上是同一個點點重合，實際上是同一個點. 也就表明任何時候，也就表明任何時候，O點和犬、狼都在同一直線上點和犬、狼都在同一直線上. 滿足了題目所給的條件滿足了題目所給的條件. 半圓半圓O確實是犬的軌跡確實是犬的軌跡.359.到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導(dǎo)致聲生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導(dǎo)致聲速速v隨高度隨高度y變化，假定變化規(guī)律為變化，假定變化規(guī)律為 v=v0(1+a2y2) ，其中，其中v0是地面（是地面（y0）處的）處的聲速，聲速，a為比例常數(shù)，今遠(yuǎn)方地面上某聲為比例常數(shù)，今遠(yuǎn)方地面上某聲源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直方向成源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直方向成角，假定在波的傳播范圍內(nèi)角，假定在波的傳播范圍內(nèi)ay1，試求，試求該聲