等離子體動力學

1、等離子體物理等離子體物理張雅鑫張雅鑫太赫茲科學協(xié)同創(chuàng)新中心第六章 等離子體動力學理論章節(jié)內容框架章節(jié)內容框架帶電粒子間短程庫侖作用引起的碰撞帶電粒子間長程庫侖作用引起的集體運動帶電粒子在外加電磁場下的作用帶電粒子自身產生的電磁場根據(jù)不同條件和研究問題，采用不同的近似方法等離子體等效為導電流體，研究其與電磁場相互作用，著重于等離子體整體行為，忽略單個粒子運動狀態(tài)從粒子統(tǒng)計分布函數(shù)的變化規(guī)律出發(fā)，用統(tǒng)計力學的方法確定系統(tǒng)的物理狀態(tài)和性質隨時間變化過程 單粒子運動單粒子運動（單粒子軌道描述法）（單粒子軌道描述法）等離子體中單個帶電粒子在外電磁場作用下運動，帶電粒子間相互作用被忽略 磁流體等效磁流體等

2、效 （磁流體描述法）（磁流體描述法） 動力學理論動力學理論 （統(tǒng)計描述法）（統(tǒng)計描述法）動力學理論動力學理論等離子體等離子體中性氣體中性氣體區(qū)別區(qū)別帶電粒子的運動帶電粒子的運動帶電粒子的運動能夠產生電磁場帶電粒子的運動能夠產生電磁場這種電磁場又要影響帶電粒子的運動這種電磁場又要影響帶電粒子的運動自恰電磁場自恰電磁場外電磁場外電磁場分布函數(shù)的引入分布函數(shù)的引入如何用分布函數(shù)分析等離子體相關問題為什么要為什么要引入引入分布函數(shù)是分布函數(shù)是什么什么劉維爾劉維爾定理定理動力學理論動力學理論粒子按狀態(tài)的不同分布粒子按狀態(tài)的不同分布，隨時間演化的方程，隨時間演化的方程統(tǒng)計物理學推求大量粒統(tǒng)計物理學推求大量

3、粒子的統(tǒng)計平均結果子的統(tǒng)計平均結果 分布函數(shù)分布函數(shù) 動力學方程動力學方程 宏觀宏觀參量參量單個粒子運動規(guī)律單個粒子運動規(guī)律 單個粒子仍遵守電磁學、力學規(guī)律 大量同性質偶然事件的整體所，具有的規(guī)律 大量分子進行統(tǒng)計平均 （1）只對大量偶然的事件才有意義 （2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質變) （3）大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性 分布函數(shù)的引入分布函數(shù)的引入統(tǒng)計物理研究方法 統(tǒng)計規(guī)律特點:從入口投入小球從入口投入小球與釘碰撞與釘碰撞落入狹槽落入狹槽為清楚起見為清楚起見 , , 從正面來觀察。從正面來觀察。( ( 偶然偶然 ) )隔板隔板鐵釘鐵釘統(tǒng)計規(guī)律和方法統(tǒng)計規(guī)律和方法 伽爾頓

4、板伽爾頓板 大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律 統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律。再投入小球：再投入小球： 經一定段時間后經一定段時間后 , , 大量小球落大量小球落入狹槽。入狹槽。分布情況：分布情況：中間多，兩邊少。中間多，兩邊少。重復幾次重復幾次 ，結果相似。，結果相似。 單個小球運動是隨機的單個小球運動是隨機的 , ,大量小大量小球運動分布是確定的。球運動分布是確定的。小球數(shù)按空間小球數(shù)按空間位置位置 分布曲線分布曲線統(tǒng)計規(guī)律和方法統(tǒng)計規(guī)律和方法 伽爾頓板伽爾頓板 等離子體中的每個粒子狀態(tài)均與其存在的位置及速度相關。位置X, Y, Z 速度Vx，Vy，Vz 每個粒子在此相空間中有

5、其一個代表點與之對應 。分布函數(shù)的引入分布函數(shù)的引入當粒子在實際空間中運動時，其在相空間中的代表點也在相空間中運動，所以研究一個系統(tǒng)隨時間的變化，只須研究粒子代表點在相空間的運動即可。分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義t),f(vr粒子在空間、速度和時間上密度分布函數(shù)粒子在空間、速度和時間上密度分布函數(shù)在時間t，位置r，速度分量在v-v+dv, 位置在r-r+dr之間的粒子數(shù)目 zzdvdvt)dxdydzdv,f(Ndvdvt)dxdydzdv,f(dNyxyxvrvr每一個（r，v）描述的并不代表哪一個粒子的精確位置，而是一個粒子可能出現(xiàn)的概率。 -yxdvdvt)dv,f(t),n(zvrr

6、給定時刻每立方厘米內粒子的數(shù)目為： 速度分布函數(shù)歸一化1vz -yxdvdv)dvf( 速度分布函數(shù))t)f(,n(t),f(vrvr相空間內，t時刻，在 內粒子出現(xiàn)的概率密度zdvdvdvyx意義速度分布函數(shù)將速度分成若干個小區(qū)間，某一區(qū)間上的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比即是速度分布。N總分子數(shù)N 區(qū)間上的分子數(shù)vvv dNNv ,0時時當當NdN區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比vdvv dvvfNdN 速度分布vOvNN vOvNN NdvdN)v(f vOvpv面積大小代表速率面積大小代表速率v v附近附近dv區(qū)間內區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率NdNdvNdvdN d

7、vvfNdN 物理意義：物理意義： 附近，附近， 單位速率間隔上的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。單位速率間隔上的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。v討論：討論：若若 為已知為已知 vf 附近，附近， 區(qū)間上的分子數(shù)為區(qū)間上的分子數(shù)為 vdv dvvNfdN 1v2v區(qū)間上的分子數(shù)為區(qū)間上的分子數(shù)為 dvvNfNvv 21占總分子數(shù)的百分比為占總分子數(shù)的百分比為 dvvfNNvv 21歸一化條件歸一化條件 1dvvf-速度分布函數(shù))(vf NdvdNvf 麥克斯韋速度分布函數(shù)表達式：2221/2()xyz 根據(jù)數(shù)學公式-2dx-xexp）（1z -yxdvdvf(v)dv構成等離子體物理系統(tǒng)的粒子有一個不同

8、速度的范圍，而任何單個粒子的速度都因與其它粒子的碰撞而不斷變化。然而，對于大量粒子來說，如果系統(tǒng)處于或接近處于平衡，處于一個特定的速度范圍的粒子所占的比例卻幾乎不變。222/32)2(4)(ekTmfkTm 對各向同性分布，各方向的平均速度：30 x xxxmiif d 平均速度：0 xyz0 x一維麥克斯韋速度分布一維麥克斯韋速度分布( )xf由于麥克斯韋速度分布函數(shù)是各向同性的，只與速度大小有關，與方向無關，因此可定義速率分布函數(shù) g（v）303/2222( )( )( )4(/ 2)exp(/)thgdfdgn mKT麥克斯韋速率分布曲線 (a)速率分布特征：速率可取- + 內的一切值；

9、但速率很小和很大的分子所占的百分比較小，中等速率的分子最多。 (b)曲線有一個最大值，對應的速率為mkTp2 最可幾(概然)速率f f( ( ) ) o op在溫度T 的平衡態(tài)下，速率在 p附近單位速率區(qū)間內的的粒子數(shù)最多，或者說粒子中速率分布在 p 附近的概率最大。(c)曲線下面積的物理意義f f( ( ) ) o o ddNfN 在 - +d 區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比： + +d d 2211d( )dNNfNN 在 1 - 2區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。整個曲線下的面積, 即 0d)(f這一關系式稱為分布函數(shù)f( )的歸一化條件。o of f( ( ) ) d d 面積面積

10、 NNfdd 1d0 NNNN即分子速率在0 - 間的概率是1。思考：如果溫度T 變化，麥克斯韋速率分布曲線如何變化？222/32)2(4)(ekTmfkTm f f( ( ) ) o op最概然速率平均速率方均根速率三種統(tǒng)計速率1.最可幾(概然)速率 p與分布函數(shù)f( )的極大值對應的速率。molpMRTmkT22 由極值條件由極值條件df(df( )/d)/d =0 =0可以得到可以得到 0d)(f 將f( )代入，完成積分，求得平均速率為 2.平均速率 -系統(tǒng)粒子速率的統(tǒng)計平均值 根據(jù)統(tǒng)計平均值的計算公式 iiiiiiNNP 0dNN分子速率連續(xù)分布，所以33/222201/2( )(/

11、2)exp(/)42(2/)mthfdmKTdKTm速度空間的球體積元積分速度空間的球體積元積分3.3.方均根速率方均根速率molMRT3于是方均根速率為于是方均根速率為molMRT32 02022d)(dfNNmolpMRT2 molMRT8 molMRT32 Company L 解解 速率區(qū)間速率區(qū)間 + +d d 內的分子數(shù)內的分子數(shù): : d dN N = =NfNf( ( )d)d 速率區(qū)間速率區(qū)間 + +d d 內的分子速率之和內的分子速率之和: : d dN N = =N N f f( ( )d)d 21d)(fN速率區(qū)間速率區(qū)間 1 1 2 2內的分子數(shù)內的分子數(shù): : 212

12、1d)(dfNN于是速率區(qū)間于是速率區(qū)間 1 1 2 2 內分子的平均速率為內分子的平均速率為 212121d)(d)(ff例例1 1 求速率區(qū)間求速率區(qū)間 1 1 2 2 內分子的平均速率。內分子的平均速率。速率區(qū)間速率區(qū)間 1 1 2 2內分子速率之和內分子速率之和: :Company L例例2 假定假定N個粒子的速率分布函數(shù)為個粒子的速率分布函數(shù)為)(f),0( ;sin為常數(shù)oooC. 0)(o 求求 (1)歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)C; (2)處在處在f( ) 的粒子數(shù)。的粒子數(shù)。C2o of( )1dsin0 ooC解解 (1)由歸一化條件由歸一化條件: 01d)(foC2Company

13、 L(2)處在處在f( ) 的粒子數(shù)的粒子數(shù):C2oC2,)(f),0( ;sin為常數(shù)oooC. 0)(oo of( )d C2oCsin由656oo656oooCsinN所以所以f( ) 的粒子數(shù)的粒子數(shù):C2N865. 021sino2C60650Company L例例1 1 (1) n f(1) n f( )d)d 的物理意義是什么？的物理意義是什么？( (n n是分子的數(shù)密是分子的數(shù)密度度) )VNfnfd)(d)( VNd n f(n f( )d)d 表示單位體積中，速率在表示單位體積中，速率在 +d+d 內內的分子數(shù)。的分子數(shù)。 (2) (2) 寫出速率不大于最可幾速率寫出速率不

14、大于最可幾速率 p p的分子數(shù)占總分的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：子數(shù)的百分比： pf0d)( ( f( f( )d)d 速率區(qū)間速率區(qū)間 +d+d 內的分子數(shù)占總分內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。此題區(qū)間子數(shù)的百分比。此題區(qū)間:0:0 p p ) )= 42.9% = 42.9% 粒子在相空間等勢線圖粒子在相空間等勢線圖( ,)xf xxxyx/一維系統(tǒng)中的等一維系統(tǒng)中的等 線示意圖線示意圖f各向同性分布各向同性分布磁鏡中有損失錐分布磁鏡中有損失錐分布yx漂移麥克斯韋分布和粒子束分布漂移麥克斯韋分布和粒子束分布0zz00zz010ze被捕獲粒子被捕獲粒子自由粒子自由粒子0pztz未擾動粒子束未擾

15、動粒子束擾動粒子束擾動粒子束等離子體中捕獲粒子和自由粒子等離子體中捕獲粒子和自由粒子捕獲粒子和自由粒子的軌道捕獲粒子和自由粒子的軌道相空間中粒子軌道示意圖相空間中粒子軌道示意圖zzdvdvt)dxdydzdv,f(Ndvdvt)dxdydzdv,f(dNyxyxvrvr關于分子個數(shù)：t),f(vr隨時間變化的因素：l 粒子運動，由力學運動方程確定的粒子空間位置和速度的變化粒子運動，由力學運動方程確定的粒子空間位置和速度的變化l 粒子間相互作用（碰撞）粒子間相互作用（碰撞）研究動力學方程：分布函數(shù)在外加場情況下的變化規(guī)律在時間t時刻，空間位置rr+dr之間，速度在vv+dv之間的粒子數(shù)為：f(r

16、, v, t）dr dvdr dv相空間元在經過了t時間后，原來在dr dv 相體積元的粒子運動和受外場作用全部進入對應的新體元drdv dN=f(r, v, t）dr dvr r +dr r =r+ v tvv+dv v= v+(F/m) t 新體積元中粒子個數(shù)：dN=f(r,v,t+ t ）drdv情況一： 如果粒子間無碰撞，粒子數(shù)目不變( , )(,)r r rvr ft d dftt tt d d情況二： 如果粒子間有碰撞，粒子數(shù)目出現(xiàn)變化一些粒子進入到相體積元drdv內，一些粒子則離開了相體積元，有碰撞引起變化的這部分粒子數(shù)用新的分布函數(shù)：()r cfdNtd dtcdNdNdNdN

17、dN(,)( , )()rvr r r r fftt tt d dft d dtd dt普適動力學方程()( )ff tdtf tdtt左邊 利用多元函數(shù)的泰勒展開利用多元函數(shù)的泰勒展開,且只取到且只取到dt的線性項的線性項(,)( ,) ( ( , )f xx yyf x yxyf x yxy ，( , , )1( , , )f r v tvafdt drdvrvtffff r v t drdvvdtadtdt drdvrvt 左左邊邊()cfffftmt Fr得到動力學方程：動力學方程-多種粒子情況等離子體中可能含有多種粒子假設類粒子的分布函數(shù)為f ()cfffftmt Fr相應的動力學方

18、程：一般來說粒子間存在碰撞，由于同類粒子碰撞引起類粒子數(shù)目的增加為),(ffC()(,)cfCffd d dttr v()cft碰撞項碰撞項de de討論討論等離子體中粒子間的碰撞：近碰撞遠碰撞多體碰撞自洽場相互作用波耳茲曼導出碰撞項有如下假設： 碰撞的相互作用長度遠小于分布函數(shù)發(fā)生明顯變化的長度 碰撞的持續(xù)時間遠小于分布函數(shù)發(fā)生明顯變化的時間。 所有的碰撞都是二體碰撞。 參與碰撞的粒子是互不相關的（除在碰撞時以外） 電子與離子間的碰撞頻率： 電子與電子間的碰撞頻率：lnDeipeDNN3(4/3)ln1DDDDNnNN 2 2eeei對于毫米波、太赫茲頻段器件而言：11121010ffHz

19、=2器件中電子所涉及到的等離子體頻率遠小于這個頻率。在研究比帶電子粒子碰撞快很多的等離子體現(xiàn)象時，可以略去碰撞效應。()cfffftmt Fr0ffftm Fr如果考慮粒子僅受電磁力作用：()0fffqtm E Br無碰撞玻爾茲曼方程（無碰撞玻爾茲曼方程（BoltzmannBoltzmann）或夫拉索夫方程（）或夫拉索夫方程（VlasovVlasov）方程說明：不考慮帶電粒子的碰撞，但要考慮帶電粒子產生的場對每個粒子運動的影響。當Nd1時，帶電子粒子的平均動能遠遠大于相互作用的能量，Vlasov方程無法描述這種等離子體由非平衡態(tài)向平衡態(tài)的運動過程。 從等離子體系統(tǒng)統(tǒng)計理論的觀點出發(fā)，在空間某點

20、發(fā)現(xiàn)一個電子從等離子體系統(tǒng)統(tǒng)計理論的觀點出發(fā)，在空間某點發(fā)現(xiàn)一個電子的幾率與其附近點另一個電子的存在相關，因此，在某一點發(fā)現(xiàn)的幾率與其附近點另一個電子的存在相關，因此，在某一點發(fā)現(xiàn)一個電子的幾率，不能簡單由單一電子的分布函數(shù)來確定。一個電子的幾率，不能簡單由單一電子的分布函數(shù)來確定。1935年 Yvon從統(tǒng)計理論出發(fā)建立了初步的理論體系1947年 Kirkwood進行了補充1949年 Born和Green建立了統(tǒng)一理論1962年 Bogoliubov完善了理論體系理論體系被稱為BBGKY方程系列，即現(xiàn)代非平衡態(tài)統(tǒng)計學推廣的系綜方法導出思路及發(fā)展歷程導出思路及發(fā)展歷程相空間劉維爾方程約化分布函數(shù)

21、BBGKY方程鏈相關函數(shù)零級動力論方程相空間如果系統(tǒng)包含多種粒子，第i 種粒子的自由度為ri ，粒子數(shù)為Ni ，則系統(tǒng)的自由度為：說明： 當粒子間的相互作用不能忽略時，應把系統(tǒng)當作一個整體考慮;如何描述系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài) ？iiirNf假設系統(tǒng)由N 個全同粒子組成，粒子的自由度為r則：系統(tǒng)的自由度為f = Nr相空間相空間（ 空間）系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：f 個廣義坐標系統(tǒng)在任一時刻的的微觀運動狀態(tài) ：以 共2f個變量為直角坐標構成一個2f 維空間, 稱為相空間(空間)f 個廣義動量fqqq,21fppp,21iiirNfffpppqqq,;,2121ffpppqqq,;,2121可用相空間

22、中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間改變，遵從哈密頓正則方程 其中H（q1，q2，qf ； p1，p2，pf）是系統(tǒng)的哈密頓量。為了書寫簡便，將q1，q2，qf ； p1，p2，pf 簡記為q，p。為明確起見，考慮保守系統(tǒng)。對于保守系統(tǒng)，哈密頓量就是它的能量，包括粒子的動能，粒子相互作用的勢能和粒子在保守場中的勢能。,1,2,iiiiHHqpipq 系統(tǒng)的運動狀態(tài)由相點在空間中的軌跡來表示相軌跡由于軌道的運動完全由上述方程確定，而哈密頓量和它的微分由于軌道的運動完全由上述方程確定，而哈密頓量和它的微分都是單值函數(shù)，所以經過相空間任何一點，軌道只有一條。都是單值函數(shù)，所以

23、經過相空間任何一點，軌道只有一條。系系統(tǒng)從某一狀態(tài)出發(fā)，代表點在相空間的軌道或者是一條封閉曲統(tǒng)從某一狀態(tài)出發(fā)，代表點在相空間的軌道或者是一條封閉曲線，或者是一條自身用不相交的曲線。線，或者是一條自身用不相交的曲線。當系統(tǒng)從不同的初態(tài)出當系統(tǒng)從不同的初態(tài)出發(fā)，代表點沿相空間中不同的軌道運動時，不同的軌道也不會發(fā)，代表點沿相空間中不同的軌道運動時，不同的軌道也不會相交。相交。等離子體系統(tǒng)的運動狀態(tài)由相點在空間中的軌跡來表示相軌跡。相軌跡滿足運動方程：jjdrdtrrjjjdFadtmrrr( )jjrt(t)、 1212 ( ), ( ),.,;,.,NNA r ttA r tr trttttrr

24、rrrrrr 由 所確定的系統(tǒng)中的任意參量A可寫為：如果構成體系的微觀粒子滿足經典力學運動方程，體系總能量可以表示為粒子坐標和動量的函數(shù)，那么必須求解 6N 個一階微分運動方程式吉布斯（吉布斯（ GibbsGibbs）首先提出在統(tǒng)計物理學中采用對系綜的平均法代替對時間的平均）首先提出在統(tǒng)計物理學中采用對系綜的平均法代替對時間的平均系綜系綜是指與研究的真實系統(tǒng)在結構上和所處外界條件上完全相同，但粒子運動是指與研究的真實系統(tǒng)在結構上和所處外界條件上完全相同，但粒子運動狀態(tài)不同的許許多多個假想系統(tǒng)的集合狀態(tài)不同的許許多多個假想系統(tǒng)的集合系綜包含系統(tǒng)的個數(shù)是十分巨大的，它在空間中的代表點好像形成一團系

25、綜包含系統(tǒng)的個數(shù)是十分巨大的，它在空間中的代表點好像形成一團“云云”隨機事件中各單個事件出現(xiàn)的幾率是如何求得的？隨機事件中各單個事件出現(xiàn)的幾率是如何求得的？這兩種方法是一致的。一顆骰子代表一個系統(tǒng)，因此把大量相同的系統(tǒng)放在一這兩種方法是一致的。一顆骰子代表一個系統(tǒng)，因此把大量相同的系統(tǒng)放在一起進行統(tǒng)計平均是進行統(tǒng)計的一個基本方法。起進行統(tǒng)計平均是進行統(tǒng)計的一個基本方法。比如投擲骰子，骰子共有比如投擲骰子，骰子共有6 6個面，每一個面朝上的幾率是多少？為了求得個面，每一個面朝上的幾率是多少？為了求得這一幾率我們可以用不同的方法。這一幾率我們可以用不同的方法。方法方法 1 1：我們投擲一顆這樣的骰

26、子，擲很多很多次，：我們投擲一顆這樣的骰子，擲很多很多次，然后統(tǒng)計某一面朝上的次數(shù)與投擲的總次數(shù)相比，就然后統(tǒng)計某一面朝上的次數(shù)與投擲的總次數(shù)相比，就可以得到某一面朝上的幾率?？梢缘玫侥骋幻娉系膸茁省７椒ǚ椒?2 2：同時把許多許多完全相同的骰子分給眾人，：同時把許多許多完全相同的骰子分給眾人，每人一顆，讓大家一起擲，然后統(tǒng)計某一面朝上的幾每人一顆，讓大家一起擲，然后統(tǒng)計某一面朝上的幾率。率。把系統(tǒng)作為整體求系統(tǒng)處于某微觀狀態(tài)把系統(tǒng)作為整體求系統(tǒng)處于某微觀狀態(tài) s s的幾率？的幾率？可以設想研究大量處在相同的宏觀條件下，結構完全相同的系統(tǒng)，求出它們中處在某一微觀狀態(tài) s 的系統(tǒng)的數(shù)目與系統(tǒng)的

27、總數(shù)相比，就可以得到單個系統(tǒng)處于微觀狀態(tài)s的幾率分布換句話說，系綜是所研究的體系的所有可能的微觀狀態(tài)的總和。系統(tǒng)對應一種微觀狀態(tài)，換句話說，系綜是所研究的體系的所有可能的微觀狀態(tài)的總和。系統(tǒng)對應一種微觀狀態(tài)，就稱為一個標本體系，那么系綜就指所有可能的標本體系的總和。比如，一顆骰子可以就稱為一個標本體系，那么系綜就指所有可能的標本體系的總和。比如，一顆骰子可以看作是一個系統(tǒng)，大量結構完全相同的骰子的集合構成一個系綜。在系綜內對各系統(tǒng)物看作是一個系統(tǒng)，大量結構完全相同的骰子的集合構成一個系綜。在系綜內對各系統(tǒng)物理量的統(tǒng)計平均值就是該系統(tǒng)在測量時間內的統(tǒng)計平均值。理量的統(tǒng)計平均值就是該系統(tǒng)在測量時間

28、內的統(tǒng)計平均值。把大量微觀結構完全相同，并且處于相同宏觀條件下的系統(tǒng)的集合叫把大量微觀結構完全相同，并且處于相同宏觀條件下的系統(tǒng)的集合叫做統(tǒng)計系綜，簡稱為做統(tǒng)計系綜，簡稱為系綜系綜。當研究的系統(tǒng)處在平衡態(tài)時，它處在某微觀狀態(tài)s的幾率分布是一個定值，不隨時間變化。引入系綜概念以后，前面提到的分布函數(shù)f就叫做系綜分布函數(shù)，又叫做系綜的幾率密度。1122, , ,. ,NNNDr v r vr v t D DN N 整個粒子系統(tǒng)的分布函數(shù)整個粒子系統(tǒng)的分布函數(shù)11221,.,NNNNjjjDrrrtdr d表示在表示在t時刻處，在時刻處，在 空間體積空間體積 元元 中系統(tǒng)所有粒子出現(xiàn)的中系統(tǒng)所有粒子

29、出現(xiàn)的個數(shù)。由于假定了粒子是全同的，所有個數(shù)。由于假定了粒子是全同的，所有 DN相對于所有粒子的坐標和速相對于所有粒子的坐標和速度分量來說具有對稱性。度分量來說具有對稱性。1Njjjd r d v 空間中，物理量A在系綜中的平均值定義為：客觀量的測量值是A對時間的平均值 001lim,tttttAArttd tt 11NNjjjNNjjjA Dd r d vADd r d vtAA1112211,.,NNNjjjNNNjjNjNjjjDdr dFrrrtdr dDdr d 空間概率（幾率）密度或系綜概率分布函數(shù)空間概率（幾率）密度或系綜概率分布函數(shù)1122,.,NNNFrrrt在（在（r1,v

30、1）處發(fā)現(xiàn)標號為）處發(fā)現(xiàn)標號為“1”的粒子的幾率密度為：的粒子的幾率密度為：11122( ,)NNNF rD dr ddr d發(fā)現(xiàn)粒子發(fā)現(xiàn)粒子“1”在（在（ r1,v1），粒子），粒子“2”在（在（r2,v2）的）的幾率密度為：幾率密度為：2112233( ,; ,)NNNF rrD dr ddr d概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) 滿足歸一化條件為：滿足歸一化條件為：11221,.,1NNNNjjjFrrrtdr d稱為相點守恒稱為相點守恒空間中系綜平均值表示為：空間中系綜平均值表示為：1NNjjjAAFdr dv 劉維爾方程系綜概率分布函數(shù)系綜概率分布函數(shù) FN 怎樣隨時間而變化？怎樣隨時間而變化

31、？相空間中的一個體積元相空間中的一個體積元時刻時刻t t，運動狀態(tài)在，運動狀態(tài)在dd內的代表點數(shù)：內的代表點數(shù)：dtpppqqqFf21f21);,;,(ffdpdpdpdqdqdqd2121 證明證明 現(xiàn)在考慮代表點密度現(xiàn)在考慮代表點密度 隨時間隨時間t 的變化的變化當時間由當時間由t 變到變到t + + dt 時，時，在在 處的代表點將運動到處的代表點將運動到),(iipq),(dtppdtqqiiiidtdtdFtppqqFdttppdtppdtqqdtqqFf1f1ff11ff11);,;,(),;,(這里這里519ppFqqFtFdtdFiiiii.現(xiàn)在要證明現(xiàn)在要證明0dtdF全微

32、分全微分1) 1) 考慮相空間中一個固定的體積元考慮相空間中一個固定的體積元邊界是邊界是2 2f 對平面對平面ffdpdpdpdqdqdqd2121時刻時刻t, d內的代表點數(shù)內的代表點數(shù)時刻時刻t + + dt, d內的代表點數(shù)內的代表點數(shù)經經d dt 時間后，時間后， d d內代表點數(shù)的增加內代表點數(shù)的增加), 2 , 1(,fidpppdqqqiiiiiiFdddttFF719dtdtF.代表點需要通過代表點需要通過2 2f 對邊界平面才能進入或走出體積元對邊界平面才能進入或走出體積元d2) 2) 現(xiàn)在計算通過平面現(xiàn)在計算通過平面qi進入進入d的代表點數(shù)的代表點數(shù)d在平面在平面qi上的邊

33、界面積上的邊界面積在在dt 時間內通過時間內通過dA dA 進入進入d 的代表點必須位于以的代表點必須位于以dAdA為為底、以底、以 為高的柱體內為高的柱體內柱體內的代表點數(shù)是柱體內的代表點數(shù)是在在dt 時間內通過平面時間內通過平面qi + +d qi走出走出d的代表點數(shù)的代表點數(shù)ffiidpdpdqdqdqdqdA1111dtdAqFiqi)( dtdAdqqqFqFdtdAqFiiiqidqqiiii)()()(dtqi2) 2)通過這對平面凈進入通過這對平面凈進入d 的的代表點數(shù)是：代表點數(shù)是：dtdAqFiqi)( 走進走進dtdAdqqqFqFdtdAqFiiiqidqqiiii)(

34、)()(走出走出dtdqqFdtdAdqqqFiiiii)()(類似的討論可得，在類似的討論可得，在dt 時間內通過一對平面時間內通過一對平面pi和和pi + +d pi凈進入凈進入d的代表點數(shù)為的代表點數(shù)為dtdppFii)( 在在dt 時間內通過時間內通過d 邊界進入邊界進入d 內的代表點數(shù)為內的代表點數(shù)為dtdqqFii)( dtdppFii)( iiiiidtdppFqqF)()(719dtdtF.iiiii0ppFqqFtF)()(0dtdF劉維爾定理劉維爾定理 Liouvilles theorem劉維爾定理劉維爾定理 的另一形式的另一形式0ppFqqFtFiiiiiiiiiqHpp

35、Hq,iiiiiqHpFpHqFtF說明說明: :1 1） 對于對于t - -t保持不變保持不變0ppFqqFtFiiiii劉維爾定理是可逆的劉維爾定理是可逆的2) 2)劉維爾定理完全是力學規(guī)律的結果，其中未引劉維爾定理完全是力學規(guī)律的結果，其中未引入任何統(tǒng)計的概念；入任何統(tǒng)計的概念；3) 3) 根據(jù)量子力學也可以證明劉維爾定理。根據(jù)量子力學也可以證明劉維爾定理。一、相空間一、相空間若系統(tǒng)包含多種粒子，第若系統(tǒng)包含多種粒子，第i 種粒子的自由度種粒子的自由度為為ri ，粒子數(shù)為，粒子數(shù)為Ni ，則系統(tǒng)的自由度為：，則系統(tǒng)的自由度為：iiirNf相空間相空間 劉維爾定理劉維爾定理小結小結以以 共

36、共2 2f個變量為坐標構成一個個變量為坐標構成一個2 2f 維空間維空間, , 稱為相空間稱為相空間( (空間空間) )ffpppqqq,;,2121系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：ffpppqqq,;,2121可用相空間中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點?？捎孟嗫臻g中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。（2 2）系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間的演化）系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間的演化 系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間而變，遵從系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間而變，遵從哈密頓正則方程哈密頓正則方程iipHqiiqHpfi, 2 , 1（.1）（1 1）相空間（）相空間（ 空間）空間）當系統(tǒng)的運

37、動狀態(tài)隨時間變化時，代表點相應地在當系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間變化時，代表點相應地在相空間中移動，其軌道由式相空間中移動，其軌道由式(9.1.1)(9.1.1)確定確定劉維爾定理劉維爾定理 ( (Liouvilles theorem) ) 設想大量結構完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)設想大量結構完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨立地沿著正則方程出發(fā)獨立地沿著正則方程(9.1.1)(9.1.1)所規(guī)定的軌道運動所規(guī)定的軌道運動. .iipHqiiqHpfi, 2 , 1（.1） 這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點代表點將在相空間中形將在相空間中形成一個分布成一個分布2 2、劉維

38、爾定理、劉維爾定理0dtdF 如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。間改變的常數(shù)。Fd表示時刻表示時刻t，運動狀運動狀態(tài)在態(tài)在d內的代表點數(shù)內的代表點數(shù)約化分布函數(shù)由劉維爾方程求FN是很難的，因為FN依賴于N個粒子的位置、速度和時間的 變化，需要求6N個運動方程。希望從統(tǒng)計平均方式來確定多粒子系統(tǒng)的宏觀規(guī)律，即多粒子系統(tǒng)轉換成單粒子或雙粒子系統(tǒng) 單粒子的概率分布函數(shù)：1112( , )NNjjjF rtV Fdr d11111),(1vdrdtvrFVt 時刻

39、“1”號粒子處于（r1,v1）點的相體積元dr1dv1中、不論其他粒子處在何處的概率通常也可用歸一化到N的單粒子分布函數(shù)1111110111( , )( , )( , )Nf rtF rtn F rtV粒子的平均密度單粒子概率分布函數(shù)中，沒有考慮其他相關粒子的影響，因為分布函數(shù)中沒有包含其他粒子的相關信息。 雙粒子的概率分布函數(shù)：考慮兩個粒子相互關聯(lián)影響，需引入雙粒子概率分布函數(shù)2211223( , )NNjjjF rrtVFdr dF2也是約化描述，由于考慮了兩個粒子間的相互作用，包含的信息比F1要多F2仍然不是完整的描述，三個及三個以上粒子相互作用的影響不包含在內 引入任意S個粒子的分布函

40、數(shù)11221(, )NsSssNjjjsFrrrtVFdr d第一個粒子處在 ，第二個粒子處在 .第S個粒子處在 11,r22,r,ssrF1, F2, F3, F4. Fs統(tǒng)稱為約化分布函數(shù)BBGKY方程鏈通過對劉維爾方程在NS的子空間積分可得10NNNNNjjjjjFFFdFatrdt劉維爾方程110NNNNNjjkkjksjjFFFadr dtr 上式積分中不依賴時間的變化，方程的第一項：上式積分中不依賴時間的變化，方程的第一項：11NsNjjsksFFd r dtVt110NNNNNjjkkjksjjFFFadr dtr 第二項改為兩項之和第二項改為兩項之和1111NNSNNNjkkjkkjjSkSkSjjFFdr ddr drr1111NSssjNkkjsjjkSjjFFdr drVr0NNkF drFr110NNNNNjjkkjksjjFFFadr dtr jjaa N外粒jjljll=1,l j（r）+a（r ,r）外力導致粒子加速第l個粒子對第j個粒子作用使第j個粒子產生的加速111NNNNjjlkkjlk sjlj