平面向量的概念加減法運算學習教案

1、平面向量平面向量(xingling)的概念加減法運算的概念加減法運算第一頁，共38頁。一、向量一、向量(xingling)(xingling)的定義的定義既有大小既有大小(dxio)，又有方向的量叫做向量。，又有方向的量叫做向量。二二 、向量、向量(xingling)的表示方法的表示方法有向線段有向線段 （ 起點、起點、 ）1 幾何表示法：幾何表示法： a ，b2 字母表示法：字母表示法：ABB（終點）A（起點） 方向方向、長度長度第1頁/共38頁第二頁，共38頁。單位單位(dnwi)向量向量-長度（模）等于長度（模）等于1個單位個單位(dnwi)長度的向量叫作單位長度的向量叫作單位(dnwi

2、)向量。向量。2 2兩個特殊兩個特殊(tsh)(tsh)向量：向量： 問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點P，那么它們，那么它們(t men)的終點的集合組成什么圖形？的終點的集合組成什么圖形？三、三、 向量的有關概念向量的有關概念零向量零向量-長度長度(模模)為為0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作 0。1.向量的向量的長度長度（模模）：向量）：向量AB的的大小大小也就是向量的也就是向量的長度（模）長度（模）。 | a |AB| 或或記作記作P第2頁/共38頁第三頁，共38頁。1.溫度含零上和零下溫度，所以溫度含零上和零下溫度，所

3、以(suy)溫度是向量（溫度是向量（ ） 判斷題判斷題2.向量向量(xingling)的模是一個正實數(shù)。（的模是一個正實數(shù)。（ ） 3.若若|a|b| ，則，則a b注注:向量向量(xingling)不能比不能比較大小較大小長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關系，沒有大小之分，“對于向量，或”這種說法是錯誤的.第3頁/共38頁第四頁，共38頁。3向量向量(xingling)間的關間的關系系 平行向量平行向量(xingling)又又叫做共線向量叫做共線向量(xingling)各向量的終點各向量的終點(zhngdin)與直線與直線l之間有什么關系？之間有什么關系？如

4、：如：abc（）（）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量。叫做平行向量。記作 a b c規(guī)定：規(guī)定：0與任一向量平行。與任一向量平行。問：問：把一組平行于直線把一組平行于直線l的向量的起點平移到直線的向量的起點平移到直線l上的上的 一點一點O ，這時它們是不是平行向量？，這時它們是不是平行向量？ol .COC = cAOA = a OB = b B第4頁/共38頁第五頁，共38頁。向量向量(xingling)相等相等 向量向量(xingling)平行平行平行向量一定平行向量一定(ydng)是相等向量嗎是相等向量嗎?相等向量一定是平行向量嗎相等向量一定

5、是平行向量嗎?（2）相等向量：相等向量：長度長度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量。的向量叫做相等向量。記作：記作：a = b規(guī)定：規(guī)定：0 = 0 ab1.若非零向量若非零向量AB/CD ，那么，那么AB/CD嗎？嗎？2.若若a/b ,則則a與與b的方向一定相同或相反嗎？的方向一定相同或相反嗎？o.b aABCDDCBA第5頁/共38頁第六頁，共38頁。11個個例例1如圖設如圖設O是正六邊形是正六邊形ABCDEF的中心，寫出圖中的中心，寫出圖中 與向量與向量OA相等的向量。相等的向量。OA = DO = CB變式一：與向量變式一：與向量OA長度相等的向量長度相等的向量 有多少個？

6、有多少個？變式二：是否存在與向量變式二：是否存在與向量OA長度相等，方向長度相等，方向 相反的向量？相反的向量？ 存在，為存在，為 FECB、DO、FE變式三：與向量變式三：與向量OA長度長度相等的相等的共線向量有哪些？共線向量有哪些？第6頁/共38頁第七頁，共38頁。1.下面下面(xi mian)幾個命題：幾個命題： （3）若）若|a|=|b|，則，則a = b（2）若）若|a|=0，則，則a = 0|a|=|b|a b（4）兩個向量）兩個向量a、b相等的充要條件是相等的充要條件是（1）若）若a = b，b = c，則，則a = c。當當b 0時成立。時成立。變：若變：若 a b， b c,

7、 則則a c A0B. 1 C. 2 D. 3 其中其中(qzhng)真命題的個數(shù)是真命題的個數(shù)是( )（5）若）若A、B、C、D是不共線的四點，則是不共線的四點，則AB=DC是是 四邊形四邊形ABCD是平形四邊形的充要條件。是平形四邊形的充要條件。ABDCBACD第7頁/共38頁第八頁，共38頁。向量向量(xingling)定義定義(dngy)長度長度(chngd)（模）（模）表示表示幾何表示法：有向線段幾何表示法：有向線段符號表示法：符號表示法：零向量零向量單位向量單位向量向量間向量間的關系的關系相等相等平行（共線）平行（共線）a ，bAB向量的有關概念向量的有關概念特殊向量特殊向量小結小

8、結: :第8頁/共38頁第九頁，共38頁。第9頁/共38頁第十頁，共38頁。 2. 怎樣(znyng)來表示向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?數(shù)量只有大小沒有方向數(shù)量只有大小沒有方向,如如:長度長度,質量質量,面積等面積等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向線段來表示用有向線段來表示,線段的長度表示線段的大小，箭頭所指線段的長度表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向方向表示向量的方向。AB2）用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示點字母表示.如aAB,長度相等長

9、度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因為如此正因為如此,我們研究的向量是我們研究的向量是與起點無關與起點無關的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.)第10頁/共38頁第十一頁，共38頁。 上海上海香港香港臺北臺北引入引入1：第11頁/共38頁第十二頁，共38頁。上海上海香港香港臺北臺北O(jiān)AB第12頁/共38頁第十三頁，共38頁。OABOA+AB=OB第13頁/共38頁第十四頁，共38頁。向量向量(xingling)加法的三角加法的三角形法則：形法則：abba abCAB ,abAA

10、Ba BCbACabababABBCAC 、內點 ，則與，記 則 這稱為 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即種求向量和種求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相接首尾相接第14頁/共38頁第十五頁，共38頁。嘗試嘗試(chngsh)練習一：練習一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根據(jù)）根據(jù)(gnj)圖示填空：圖示填空：_ABBCCDDE AE 第15頁/共38頁第十六頁，共38頁。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 則則 OBa

11、b OABaba 三角形法則三角形法則(fz)作法作法1：在平面：在平面(pngmin)內任取一點內任取一點O，作作 ， ，OAa ABb b例題例題(lt)講講解：解：第16頁/共38頁第十七頁，共38頁。思考思考1：如圖，當在數(shù)軸上兩個向量共線時，加法：如圖，當在數(shù)軸上兩個向量共線時，加法(jif)的三角形法的三角形法 則是否還適用？如何作出兩個向則是否還適用？如何作出兩個向量的和？量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab00aaa規(guī)定：| | | | | | | |aba babba 若， 方向相反，則（或）第17頁/共38頁第十八頁，共3

12、8頁。 當向量當向量 不共線不共線(n xin)(n xin)時，和向量的長度時，和向量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關系如何？之間的大小關系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊三角形的兩邊(lingbin)之和大于之和大于第三邊第三邊| |ababab 當向量、不共線時有綜合(zngh)以上探究我們可得結論：| |abab第18頁/共38頁第十九頁，共38頁。 圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表示橡皮條在兩個力F1F1和和F2F2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方方向伸長了向伸長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個力表示橡皮條在一個力F F的作用下，沿相

13、的作用下，沿相同方向伸長了相同長度同方向伸長了相同長度EOEO。從力學的觀點分析，力。從力學的觀點分析，力F F與與F1F1、F2F2之間的關系之間的關系(gun x)(gun x)如何？如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：第19頁/共38頁第二十頁，共38頁。OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點 為點兩個為鄰邊則為點對線與 這平行四邊則稱為 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的種求向量和的方法，種求向量和的方法，形法

14、形法。起點起點(qdin)相同相同向量向量(xingling)加法的平行四加法的平行四邊形法則：邊形法則：第20頁/共38頁第二十一頁，共38頁。OABCabba 起點起點(qdin)相相同同向量加法向量加法(jif)的平行四邊形法的平行四邊形法則：則： 文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共則以公共(gnggng)(gnggng)起點為起點的對角線所對應向量就是和向量。起點為起點的對角線所對應向量就是和向量。第21頁/共38頁第二十二頁，共38頁。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b

15、 ababO例題例題(lt)講講解：解：作法作法2：在平面：在平面(pngmin)內任取一點內任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結連結OC，則，則abba BCA平行四邊形法則平行四邊形法則(fz)第22頁/共38頁第二十三頁，共38頁。嘗試嘗試(chngsh)練習二：練習二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法，用向量加法(jif)(jif)的三角形法則和平的三角形法則和平行四邊形法則作出行四邊形法則作出a b 、ab abbba第23頁/共38頁第二十四頁，共38頁。思考思考2:數(shù)的加法滿足交換律和結合律，即對

16、任意數(shù)的加法滿足交換律和結合律，即對任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對任意向量那么對任意向量 的加法是否也滿足交換律和結合律？的加法是否也滿足交換律和結合律？請畫圖進行探索。請畫圖進行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 第24頁/共38頁第二十五頁，共38頁。例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江

17、水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度第25頁/共38頁第二十六頁，共38頁。例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常

18、常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實際航行

19、速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速方向與水的流速(li s)間的夾角為間的夾角為60。ADBC第26頁/共38頁第二十七頁，共38頁。（1）你還能回想起實數(shù)）你還能回想起實數(shù)(shsh)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？（2）兩個實數(shù)的減法運算可以看成）兩個實數(shù)的減法運算可以看成(kn chn)加法運加法運算嗎？算嗎？思考思考(sko)：如設如設,x yR xy()xy 實數(shù)實數(shù) 的相反數(shù)記作的相反數(shù)記作 。aa如何定義向量的減法運算呢？如何定義向量的減法運算呢？ 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義回顧：回顧：第27頁/共38頁第二十八頁，共3

20、8頁。一、相反一、相反(xingfn)向量：向量：規(guī)定規(guī)定(gudng)：設向量設向量 ，我們把與，我們把與 長度相同，方向相反長度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）設）設 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的減法運算向量的減法運算(yn sun)及及其幾何意義其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：()abab （2）()aa()aaa00第28頁/共38頁第二十九頁，共38頁。BACab設設,AB b AC a DEb()AEab 又又b

21、 BC a 所以所以(suy)BCa b a baba b你能利用我們學過的向量的加法你能利用我們學過的向量的加法(jif)法則作出法則作出 嗎？嗎？ ()ab 不借助向量的加法法則你能直接作出不借助向量的加法法則你能直接作出 嗎？嗎？ a b第29頁/共38頁第三十頁，共38頁。三、幾何三、幾何(j h)意義：意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba（1）如果從）如果從 的終點指向的終點指向 終點作向量，所得向量是什么呢？終點作向量，所得向量是什么呢？ab（2）當）當 ， 共線時，怎樣作共線時，怎樣作 呢？呢？ababABOA

22、BOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起點必須相同起點必須相同。（。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。ba一般一般(ybn)地地abBabbAO（三角形法則（三角形法則(fz)）a練習：練習：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA AC ADBA 第30頁/共38頁第三十一頁，共38頁。三、幾何三、幾何(j h)意意義義注意：注意：（1）起點必須相同。（）起點必須相同。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。一般一般(ybn)地地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba練習練習(linx)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AOBO (5)OA OB DB CA AC ADAB BA 第31頁/共38頁第三十二頁，共38頁。已知向量已知向量(xingling) ，求作向量，求作向量(xingling) ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法作法(zu f)：在平面在平面(pngmin)內任內任取一點取一點O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 則