數(shù)學(xué)物理方法第6章實(shí)用教案

1、 拉普拉斯變換(binhun)理論（又稱為運(yùn)算微積分，或稱為算子微積分）是在19世紀(jì)末發(fā)展起來的首先是英國工程師亥維賽德(O.Heaviside)發(fā)明了用運(yùn)算法解決當(dāng)時(shí)電工計(jì)算中出現(xiàn)的一些問題，但是缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證后來由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace)給出了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，稱之為拉普拉斯變換(binhun)方法 第1頁/共57頁第一頁，共57頁。 拉普拉斯（Laplace）變換在光學(xué)等工程技術(shù)與科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用由于它的像原函數(shù)f(x)要求的條件比傅里葉變換的條件要弱，因此在某些問題(wnt)上，它比傅里葉變換的適用面要廣 本章首先從傅里葉變換的定義出發(fā)，導(dǎo)出拉普拉斯變換的

2、定義，并研究它的一些基本性質(zhì)，然后給出其逆變換的積分表達(dá)式復(fù)反演積分公式，并得出像原函數(shù)的求法，最后介紹拉普拉斯變換的應(yīng)用 第2頁/共57頁第二頁，共57頁。 傅里葉變換在分析信號(hào)的頻譜等方面是十分傅里葉變換在分析信號(hào)的頻譜等方面是十分(shfn)(shfn)有效的，但在系統(tǒng)分析方面有不足之處：有效的，但在系統(tǒng)分析方面有不足之處： 對(duì)時(shí)間函數(shù)限制嚴(yán)，對(duì)時(shí)間函數(shù)限制嚴(yán)， 是充分條件。不是充分條件。不少函數(shù)不能直接按定義求，少函數(shù)不能直接按定義求， 如增長的指數(shù)函數(shù)如增長的指數(shù)函數(shù) eat a0 eat a0，傅里葉變換就不存在。，傅里葉變換就不存在。 不能解決零輸入響應(yīng)問題，只能解決零狀態(tài)響應(yīng)。

3、不能解決零輸入響應(yīng)問題，只能解決零狀態(tài)響應(yīng)。 求傅里葉反變換也比較麻煩。求傅里葉反變換也比較麻煩。|( )|f tt di(i)( )dtFf t et （一） 拉普拉斯變換(binhun)的定義第3頁/共57頁第三頁，共57頁。( ) t將函數(shù)將函數(shù) ( ) t乘以乘以單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)： 00( )10tu tt 得到得到 ( )( ) ( )f tt u t，則根據(jù)傅氏變換理論有，則根據(jù)傅氏變換理論有i0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )iddttf tt u tt u t etf t et F FF F很顯然通過這樣的處理，當(dāng)很顯然通過這樣的處理，當(dāng) 0t 時(shí)，時(shí)， (

4、 ) t在沒有定在沒有定 義的情況下問題得到了解決義的情況下問題得到了解決但是但是仍然不能回避仍然不能回避 ( )f t在在 0,)上絕對(duì)可積的限制上絕對(duì)可積的限制，我們考慮到當(dāng)，我們考慮到當(dāng) t 時(shí)，衰減速度很快的函數(shù)，那就是時(shí)，衰減速度很快的函數(shù)，那就是指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) ,(0)te于是有于是有 第4頁/共57頁第四頁，共57頁。000i(i ) ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i )tttttptf t et u t ef t eetf t etf t etp F FF F上式即可簡寫上式即可簡寫(jinxi)為為0ptf pf t et( )( )d這是由實(shí)函

5、數(shù)這是由實(shí)函數(shù)(hnsh) (hnsh) ( )f t通過一種新的變換得到通過一種新的變換得到(d do)(d do)的復(fù)變函數(shù)，的復(fù)變函數(shù)，這種變換就是我們要定義的這種變換就是我們要定義的拉普拉斯變換拉普拉斯變換為為核核.pte 第5頁/共57頁第五頁，共57頁。拉普拉斯變換拉普拉斯變換(binhun)與傅里葉變換與傅里葉變換(binhun)的關(guān)系的關(guān)系ttfis存在于整個(gè)區(qū)間傅里葉變換)(0, 0)()(ttftfis為因果信號(hào)拉普拉斯變換ttfis存在于整個(gè)區(qū)間雙邊拉普拉斯變換)(第6頁/共57頁第六頁，共57頁。拉氏變換拉氏變換(binhun)與傅氏變換與傅氏變換(binhun)表示信

6、表示信號(hào)的差別號(hào)的差別傅里葉變換傅里葉變換 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 信號(hào)表示成指數(shù) ei t 分量的連續(xù)和 信號(hào)表示成指數(shù) est 分量的連續(xù)和 基本信號(hào)為：等幅的正弦信號(hào) 基本信號(hào)為：指數(shù)增長的正弦信號(hào) 振幅為 無窮小 振幅為 無窮小 頻率分布于整個(gè)區(qū)間 頻率分布于整個(gè)區(qū)間 2tF sse |( )|d2| )(|diF第7頁/共57頁第七頁，共57頁。定義定義(dngy) (dngy) 設(shè)設(shè) 實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù) ( )f t在在0t 上有定義上有定義(dngy)(dngy)，且積分，且積分 0( )( )dptf pf t et（ p為為復(fù)參變量復(fù)參變量） 上某一范圍上某一范圍(fnwi) (

7、fnwi) 對(duì)復(fù)平面對(duì)復(fù)平面p收斂，則由這個(gè)積分所確定的函數(shù)收斂，則由這個(gè)積分所確定的函數(shù)0( )( )dptf pf t et稱為函數(shù)稱為函數(shù) ( )f t的的拉普拉斯變換拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（或稱為，簡稱拉氏變換（或稱為像函數(shù)），記為像函數(shù)），記為 ( ) ( )f pf tL綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數(shù)是一個(gè)綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數(shù)是一個(gè)實(shí)自變量為實(shí)自變量為 的復(fù)值函數(shù)，而的復(fù)值函數(shù)，而拉氏變換的像函數(shù)拉氏變換的像函數(shù)則是一個(gè)復(fù)則是一個(gè)復(fù)變數(shù)變數(shù) p的復(fù)值函數(shù)，由式（的復(fù)值函數(shù)，由式（.1）式可以看出，）式可以看出， ( ) (0

8、)f tt 第8頁/共57頁第八頁，共57頁。的拉氏變換的拉氏變換(binhun)(binhun)實(shí)際上就是實(shí)際上就是 ( ) ( ),(0)tf t u t e的傅氏變換的傅氏變換(binhun) (binhun) （其中（其中(qzhng) (qzhng) ( )u t為單位階躍函數(shù)），因此拉氏變換實(shí)質(zhì)上就是為單位階躍函數(shù)），因此拉氏變換實(shí)質(zhì)上就是 一種單邊的廣義傅氏變換一種單邊的廣義傅氏變換，單邊是指積分區(qū)間從，單邊是指積分區(qū)間從0 0到到 廣義是指函數(shù)廣義是指函數(shù) ( )f t要乘上要乘上 ( ) (0)tu t e之后再之后再作傅氏作傅氏變換變換 例例1 1 求拉氏變換求拉氏變換 1

9、LRe0p ip0解解 在在 ,(,(按照假設(shè)按照假設(shè) ) ) 即為即為的半平面，的半平面，011d,ptetp第9頁/共57頁第九頁，共57頁。00002021dd()11 =d11 =d,1 = (Re0) ptptptptpttettepteetppetpptppL同理有同理有例例2 2 求拉氏變換求拉氏變換(binhun) (binhun) .tL解解 在在 Re0p 的半平面的半平面(pngmin), (pngmin), 1! = nnntpL第10頁/共57頁第十頁，共57頁。()()00011dd 1 (ReRe )stptp s tp s tste etetep sp seps

10、p sL請(qǐng)記住這個(gè)請(qǐng)記住這個(gè)(zh ge)(zh ge)積分以后會(huì)經(jīng)常用到積分以后會(huì)經(jīng)常用到例例3 3 求拉氏變換求拉氏變換(binhun) (binhun) ,stesL為常數(shù)為常數(shù)(chngsh).(chngsh).解解 在在 ReReps的半平面上的半平面上第11頁/共57頁第十一頁，共57頁。解 (i )(i )001sinsindd2iptptpttteteetL22111, Re02iiipppp 同理同理 22cos, Re0ptppL例例 4 4 若若 ( )sinf tt或或 cos( t 拉氏變換拉氏變換(binhun) (binhun) 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)(shsh)），求），

11、求 ( )f tL第12頁/共57頁第十二頁，共57頁。例例5 5 求拉氏變換求拉氏變換(binhun) (binhun) ,sttesL為常數(shù)為常數(shù)(chngsh). (chngsh). 解解 在在 ReReps的半平面的半平面(pngmin)(pngmin)上，上， ()00()()00221dd1 d 1 =()1 (ReRe )() stptp s tp s tp s tstte ettepsteetpspstepspsL同理同理 1! ()nstnnt epsL第13頁/共57頁第十三頁，共57頁。 （二）拉氏變換（二）拉氏變換(binhun)(binhun)的存在定理的存在定理定理

12、定理 拉氏變換拉氏變換(binhun)(binhun)存在定理存在定理若函數(shù)若函數(shù)(hnsh) (hnsh) )(tf滿足下述條件：滿足下述條件： （1 1）當(dāng)）當(dāng) 0t( )0f t 0t )(tf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)； （2 2）當(dāng)）當(dāng) t時(shí)，時(shí)， )(tf的增長速度不超過某一的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù)指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù)M及及 00，使得，使得 tMetft0,)(0則則 ( )( )f tf pL在半平面在半平面 0Rep上存上存在且解析在且解析00000( )dd,tptMf t etMet 證明證明：證明：證明 0(

13、)( )dptf pf t et存在由第14頁/共57頁第十四頁，共57頁。所以上述積分絕對(duì)所以上述積分絕對(duì)(judu)(judu)收斂，且收斂，且 ( )f p在右半平面在右半平面(pngmin) (pngmin) 0Rep存在存在(cnzi)(cnzi) 然后證明然后證明 ( )f p解析為此，在積分號(hào)內(nèi)對(duì)解析為此，在積分號(hào)內(nèi)對(duì) p并取并取 求偏求偏導(dǎo)數(shù)，101 (為任意實(shí)常數(shù)），則有為任意實(shí)常數(shù)），則有10200010()d()ddtptptMf t etf t etMtetpp 故積分故積分 0 ( )dptf t etp在半平面在半平面 0Rep上一致收斂，上一致收斂，可交換積分與微

14、商的次序可交換積分與微商的次序，即，即 20010ptptMf pf t etf t etppp dd( )( )d( )ddd( )f p0Rep( )f p0Rep故故的導(dǎo)數(shù)在的導(dǎo)數(shù)在且有限，可見且有限，可見在半平面在半平面內(nèi)解析內(nèi)解析上處處存在上處處存在第15頁/共57頁第十五頁，共57頁。為為( )f p的拉普拉斯逆變換，簡稱的拉普拉斯逆變換，簡稱(jinchng)拉氏逆變換（或稱為拉氏逆變換（或稱為原函數(shù)），記為原函數(shù)），記為 1( ) ( )f tf pL為了為了(wi le)(wi le)計(jì)算拉氏逆計(jì)算拉氏逆 變換的方便，下面變換的方便，下面(xi mian)(xi mian)給

15、出拉氏逆變換的具體表達(dá)式給出拉氏逆變換的具體表達(dá)式實(shí)際上實(shí)際上( )f t的拉氏變換，就是的拉氏變換，就是 ( ) ( )tf t u t e(0)的傅氏變換的傅氏變換. .因此，當(dāng)因此，當(dāng) ( ) ( )tf t u t e滿足傅氏滿足傅氏 積分定理的條件時(shí)，根據(jù)傅里葉積分公式，積分定理的條件時(shí)，根據(jù)傅里葉積分公式， ( )f t在連續(xù)點(diǎn)處在連續(xù)點(diǎn)處（三）（三） 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換定義定義 拉氏逆變換拉氏逆變換若滿足式：若滿足式： 0( )( )dptf pf t et，我們稱 ( )f t第16頁/共57頁第十六頁，共57頁。iii(i )0i1( ) ( )( ) ( )d d

16、21 =( )d d21 =(i )d (0)2ttttf t u t efueeeefefet 等式等式(dngsh)(dngsh)兩端同乘兩端同乘 te，并注意到這個(gè)因子與積分，并注意到這個(gè)因子與積分(jfn)(jfn)變量變量 無關(guān)無關(guān)(wgun)(wgun)，故故 0t 時(shí)時(shí) (i)1( )(i )d2tf tfe令令 ip，則有，則有第17頁/共57頁第十七頁，共57頁。ii1( )( )d (0)2iptf tf p ept 上式為上式為 ( )f p的拉普拉斯逆變換式，稱為的拉普拉斯逆變換式，稱為(chn wi)(chn wi)拉氏逆變換式拉氏逆變換式記為記為 1( ) ( )f

17、 tf pL并且并且(bngqi) (bngqi) ( )f t稱為稱為(chn wi) (chn wi) ( )f p的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函數(shù)或原函數(shù)）原函數(shù)） 稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數(shù)求原函數(shù)稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數(shù)求原函數(shù)的的上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式 一般公式一般公式 注意：公式注意：公式 0( )( )dptf pf t et和公式和公式 ii1( )( )d , (0)2iptf tf p ept 構(gòu)成一對(duì)互逆的構(gòu)成一對(duì)互逆的積分變換公式，積分變換公

18、式， 也稱也稱 和和構(gòu)成一組拉氏變換對(duì)。構(gòu)成一組拉氏變換對(duì)。( )f t( )f p第18頁/共57頁第十八頁，共57頁。( (四四) ) 拉氏變換拉氏變換(binhun)(binhun)的性質(zhì)的性質(zhì)取拉氏變換的函數(shù)，均滿足取拉氏變換的函數(shù)，均滿足(mnz)拉氏變換存在定理的條件拉氏變換存在定理的條件 實(shí)際應(yīng)用中我們實(shí)際應(yīng)用中我們(w men)(w men)總結(jié)出一些規(guī)律：即拉氏變換的些基本一總結(jié)出一些規(guī)律：即拉氏變換的些基本一性質(zhì)性質(zhì)通過這些性質(zhì)使得許多復(fù)雜計(jì)算簡單化通過這些性質(zhì)使得許多復(fù)雜計(jì)算簡單化我們約定需要我們約定需要120012( )d( )d( )( )ptptf t etf t

19、etf tf tLL證明證明12120( )( )( )( )dptf tf tf tf t etL性質(zhì)性質(zhì)1 1 線性定理線性定理若, 為任意常數(shù)，且為任意常數(shù)，且 1122( )( ),( )( )fpf tfpf tLL則則1212( )( ) ( )( )f tf tf tf t LLL第19頁/共57頁第十九頁，共57頁。例例6 6 求求 sh,atLchatL解22111sh 22atateeaatpapapaLL22111ch 22atateepatpapapaLL第20頁/共57頁第二十頁，共57頁。若設(shè)若設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)(shsh)(shsh)， ( )( )f tf

20、pL，又當(dāng)，又當(dāng) 0t 時(shí)，時(shí)， ( )0f t ，則，則 ()( ) ( )ppf tef pef t LL或或 1( )()pef pf tL證明證明 由定義由定義(dngy)(dngy)出發(fā)，隨后令出發(fā)，隨后令 tu，可得，可得 ()0 ()()d( )dptp uf tf tetf u euL性質(zhì)性質(zhì)2 2 延遲延遲(ynch)(ynch)定理定理0u )(uf利用利用時(shí)，時(shí)，=0=0，積分下限可改為零，故得，積分下限可改為零，故得0 ()( )d ( )ppupf tef u euef tLL第21頁/共57頁第二十一頁，共57頁。例例7 7 已知已知 000, (0)( ), (0

21、)0, ()tf tctttt ，求 ( )L f t解解 用階躍函數(shù)用階躍函數(shù)(hnsh)(hnsh)表示表示 )(tf)()()(0ttcHtcHtf再利用線性定理再利用線性定理(dngl)及延遲定理及延遲定理(dngl)，有，有000 ()()()1ptptf tcH tcH t tccceepppLLL第22頁/共57頁第二十二頁，共57頁。性質(zhì)3 位移(wiy)定理 若 ( )( )f tf pL，則有，則有 0( )(), (Re()atef tf papapL0p( )f t其中其中(qzhng)(qzhng)是是的增長的增長(zngzhng)(zngzhng)指數(shù)指數(shù)證明證明

22、根據(jù)定義根據(jù)定義00()( )( )d ( )()atatptp a tef tef t etf t edtf paL第23頁/共57頁第二十三頁，共57頁。例例8 8 求求 tteL解解 令令 )(tft( ) ( ) f pf ttLL= =，則由，則由 得得 21 tpL= =( )f p 利用位移利用位移(wiy)(wiy)定理定理 ( )()ate f tf paL，即有，即有 21()()ttef ppL第24頁/共57頁第二十四頁，共57頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4 (xngzh)4 相似定理相似定理 設(shè)設(shè) ( )( )f tf pL，則對(duì)于，則對(duì)于(duy)(duy)大于零大于

23、零的常數(shù)的常數(shù)(chngsh) (chngsh) c，有，有 1 ()()pf ctfccL證明證明由定義出發(fā)，隨后作變量代換由定義出發(fā)，隨后作變量代換 ctu ，則，則00 ( )( )d( )dupptcuf ctf ct etf u ecL011( )()pucpf u edufccc第25頁/共57頁第二十五頁，共57頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5 (xngzh)5 微分定理微分定理 設(shè)設(shè) ( )( )f tf pL( )( ) (1,2,)nftn 存在且分段存在且分段(fn dun)(fn dun)連續(xù)，則連續(xù)，則(22( )12(1) ( ) ( )(0)( ) ( )(0)(0)

24、( ) ( )(0)(0)()00)nnnnnnpff tpf tff tpf tpffftpf tpfpffLLLLLL證明證明 由定義出發(fā)由定義出發(fā)(chf)(chf)，隨后用分部積分，可得，隨后用分部積分，可得 000( )( )d( )( )dptptptf tf t etf t epf t etL(0)()( )(0) fpfppf tfL第26頁/共57頁第二十六頁，共57頁。)(tf )(tf同理，用同理，用取代取代(qdi)(qdi)上述的上述的，可得，可得( )( )(0)ftpftfLL2 ( )(0)(0) ( )(0)(0)p pf tffpf tpffLL繼續(xù)繼續(xù)(j

25、x)(jx)作下去，即得所證作下去，即得所證特別特別(tbi)(tbi)地，當(dāng)?shù)?，?dāng) ()(0)0 (0,1,2,1)kfkn則則 ( ) ( )nnftpf tLL第27頁/共57頁第二十七頁，共57頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)6 (xngzh)6 像函數(shù)的微分定理像函數(shù)的微分定理( )()( )ddnnnf ptf tpL證明證明 在拉氏變換定義在拉氏變換定義(dngy)(dngy)式兩邊對(duì)式兩邊對(duì) p求導(dǎo)求導(dǎo)00dd( )( )d ( )dddptptf pf t etf t etppp0() ( )d() ( )ptt f t ett f tL2200dd( )() ( )d() ( )

26、dddptptf pt f t ett f t etppp220()( )d()( )pttf t ettf tL繼續(xù)繼續(xù)(jx)(jx)作下去，即得所證作下去，即得所證 第28頁/共57頁第二十八頁，共57頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)7 (xngzh)7 積分定理積分定理 設(shè)設(shè) ( )( )f tf pL，則，則 011( ) ( )( )tfdf tf pppLL證明證明(zhngmng) (zhngmng) 設(shè)設(shè) 0( )( )dtg tf，則，則 0)0(),()(gtftg由微分由微分(wi fn)(wi fn)定理，有定理，有 ( ) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLL

27、L即即 1 ( )( )g tg tpLL第29頁/共57頁第二十九頁，共57頁。由由)()(tftg可得可得0111( ) ( )( ) ( )( )tfdg tg tf tf ppppLLLL一般地對(duì)應(yīng)一般地對(duì)應(yīng)n n重積分重積分(jfn)(jfn)，我們有，我們有0001( )( )tttndtdtfdf ppL第30頁/共57頁第三十頁，共57頁。d( )()pf tf ppt L 證明證明 由拉氏變換的定義式出發(fā)，隨后由拉氏變換的定義式出發(fā)，隨后(suhu)(suhu)交換積分次序交換積分次序00d()d( )dd( )dp tp tpppf ppf t etpepf tt00( )

28、( )d( )dp tptppeef tf ttf tttttL上面交換積分上面交換積分(jfn)(jfn)次序的根據(jù)是次序的根據(jù)是 0( )p tf t edt在滿足在滿足(mnz) (mnz) 性質(zhì)性質(zhì)8 8 像函數(shù)的積分定理像函數(shù)的積分定理0Re p條件下是一致收斂的條件下是一致收斂的 第31頁/共57頁第三十一頁，共57頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)9 (xngzh)9 拉氏變換的卷積定理拉氏變換的卷積定理(1) 定義(dngy) 8.3.1 拉氏變換的卷積前一章前一章(y zhn)(y zhn)我們學(xué)習(xí)了傅氏變換的卷積概念和性質(zhì)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了傅氏變換的卷積概念和性質(zhì)，當(dāng)12( ),( )

29、f tft是是 (,) 上絕對(duì)可積函數(shù)時(shí)，上絕對(duì)可積函數(shù)時(shí)，它們的卷積是它們的卷積是 1212( )*( )( )()df tftfft0t 12( )( )0f tft如果當(dāng)如果當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有，則上式可寫為，則上式可寫為1212001212( ) ()* ()( ) ()d( ) ()ddttff tf t f tff tff t 12120( )* ( )( ) ()d tf tf tff t 因?yàn)樵诶献儞Q中總認(rèn)為因?yàn)樵诶献儞Q中總認(rèn)為 0t 時(shí)，像函數(shù)時(shí)，像函數(shù) ( )f t因此把上式定義為因此把上式定義為拉氏變換的卷積拉氏變換的卷積恒為零，恒為零，第32頁/共57頁第三十二頁，共57

30、頁。 （2 2）拉氏變換）拉氏變換(binhun)(binhun)的卷積定理的卷積定理 1212( )( )( )( )f tftf tftLLL 證明證明(zhngmng) (zhngmng) 首先由卷積定義及拉氏變換定義出發(fā)，隨后交換積分首先由卷積定義及拉氏變換定義出發(fā)，隨后交換積分 次序，并作變量代換：次序，并作變量代換： tu121201200 ()() ()( ) ()d)ddptptf tf tf tf tteeftft L1200()120( )d()d( )d( )dptp uff tetff u eu 第33頁/共57頁第三十三頁，共57頁。0u)(uf由于由于(yuy)(y

31、uy)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)=0 =0 ，第二個(gè)積分下限可寫成，第二個(gè)積分下限可寫成零，再將零，再將 pe提出提出(t ch)(t ch)第二個(gè)積分號(hào)外，便有第二個(gè)積分號(hào)外，便有 121200( )( )( )d( )dppuf tf tfef u euL1212( )( )( )( )f tf tfpfpLL應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)(yngyng)拉普拉斯變換法時(shí)經(jīng)常要求拉普拉斯變換法時(shí)經(jīng)常要求 1 ( )f pL，若，若 ( )f p能分解為能分解為 12( )( )f p fp，對(duì)上式作逆變換，即有，對(duì)上式作逆變換，即有-1-11212 ( )( )( )( )( )f pfp fpf tf tLL第

32、34頁/共57頁第三十四頁，共57頁。6.2 6.2 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換(binhun)(binhun)查表法部分分式展開法留數(shù)法應(yīng)用拉氏變換的性質(zhì)第35頁/共57頁第三十五頁，共57頁。部分分式部分分式(fnsh)展開法展開法 用部分分式展開法求拉普拉斯反變換，用部分分式展開法求拉普拉斯反變換， 一般為有理函數(shù)一般為有理函數(shù)(yu l hn sh)(yu l hn sh)。單極點(diǎn)：單極點(diǎn)：D(p)=0D(p)=0的根也稱為的極點(diǎn)。的根也稱為的極點(diǎn)。( )( )( )N pF pD p1( )niiiKf ppp)2 , 1(nipi() ( )iiispKppf pnitpiteK

33、tfi1)()(第36頁/共57頁第三十六頁，共57頁。例例 1 1已知已知 ，求，求 f ( (t) )。22216( )(56)(12)pf pppp解：解：2312216( )(2)(3)(12)2312KKKpf ppppppp212216242.4(3)(12)10ppKpp22321634(2)(12)9ppKpp2312216304152(2)(3)9045ppKpp)(451529344 . 2)(1232teeetfttt第37頁/共57頁第三十七頁，共57頁。 多重極點(diǎn)(jdin)： 若 D(p)=(p p1)n, 令 n=331232111( )()()KKKf pppp

34、ppp1311()( )ppKppf p1321d()( )dppKppf pp1233121 d()( )2 dppKppf pp)(2)(1113221teKetKetKtftptptp第38頁/共57頁第三十八頁，共57頁。 例例 2 2已知已知 ，求，求 f (t)。解：321( )(1)f ppp351243321( )(1)(1)11KKKKKf ppppppppp120111pKp 222020(1)ppKp222324012(1)4 (1)212(1)ppp ppKp 43111(1)2pKpp53111(1)2pKpp)(2121121)(2teettftt第39頁/共57頁

35、第三十九頁，共57頁。 復(fù)數(shù)(fsh)極點(diǎn)： 若 D(p)=(p -i )(p +i ) , 其根為 p1,2= i 1222( )ii()KKMsNf pppp1i11(i ) ( )|ipKpf pKAB由于由于f(p)是是p的實(shí)系數(shù)的實(shí)系數(shù)(xsh)有理函數(shù)，應(yīng)有有理函數(shù)，應(yīng)有2111|KKKAiB第40頁/共57頁第四十頁，共57頁。 原函數(shù)的形式原函數(shù)的形式(xngsh)之一之一11(i )(i )12ii(i )(i )11( )|ttttf tK eK eKe eKee11i()i()111|2|cos() ( )ttttKeeeKett 12( )iiKKf ppp11| KK

36、第41頁/共57頁第四十一頁，共57頁。 原函數(shù)的形式原函數(shù)的形式(xngsh)之二之二12( )iiKKF sssiKAB(+i )(-i )12(i )(i )( )()()ttttf tK eK eAiB eAiB e iiii ()()2cossin ( )tttttteA eeiB eeeAtBtt 第42頁/共57頁第四十二頁，共57頁。 原函數(shù)的形式原函數(shù)的形式(xngsh)之三之三22( )()MpNf pp22cos( )()tpettp 22sin( )()tettp 2222()()()M pMNpp)()sincos()(tteNMtMetftt第43頁/共57頁第四十

37、三頁，共57頁。例例3 3已知已知 ，求，求 f (t)。21( )(25)f pp pp解一：解一： 解得：解得：2250pp 1,21 i2 p122( )1 i21 i2 KKKf pppp12011255pKpp12121115902153.4(1 i2)(1 i2) i4204 5 piKtgp p)()4 .1532cos(10551)(ttetft解二：解二：12011255pKpp21 i211111i(1 i2)(1 i2) i48i41020 sKp p)(2sin1012cos5151)(ttetetftt第44頁/共57頁第四十四頁，共57頁。留數(shù)法留數(shù)法ii1( )(

38、 )d2 i p tf tf p epkRes() ( )kp tkp Spsf p e1k11dRes()( )(1)! dknnp tknp Spsf p ensi00ABCi00ABCt0封閉積分路線封閉積分路線0)(Res1jtABepftpmj以右的極點(diǎn)在0)(Res1itABepftpni以左的極點(diǎn)在第45頁/共57頁第四十五頁，共57頁。留數(shù)法的特點(diǎn)留數(shù)法的特點(diǎn)(tdin) 在單邊拉普拉斯變換中，留數(shù)法與部分分式展開法在單邊拉普拉斯變換中，留數(shù)法與部分分式展開法一致。一致。 留數(shù)法比部分分式展開法應(yīng)用廣泛一些。如無理函留數(shù)法比部分分式展開法應(yīng)用廣泛一些。如無理函數(shù)、雙邊數(shù)、雙邊(

39、shungbin)(shungbin)拉普拉斯變換等。拉普拉斯變換等。 運(yùn)用留數(shù)法反求原函數(shù)時(shí)應(yīng)注意到，因?yàn)闆_激函數(shù)運(yùn)用留數(shù)法反求原函數(shù)時(shí)應(yīng)注意到，因?yàn)闆_激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)不符合約當(dāng)引理，因此當(dāng)原函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)不符合約當(dāng)引理，因此當(dāng)原函數(shù) f (t) f (t)中中包含有沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)時(shí)，需先將包含有沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)時(shí)，需先將F(s)F(s)分解為多分解為多項(xiàng)式與真分式之和，由多項(xiàng)式?jīng)Q定沖激函數(shù)及其導(dǎo)項(xiàng)式與真分式之和，由多項(xiàng)式?jīng)Q定沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，再對(duì)真分式求留數(shù)決定其它各項(xiàng)。數(shù)項(xiàng)，再對(duì)真分式求留數(shù)決定其它各項(xiàng)。第46頁/共57頁第四十六頁，共57頁。例例4 4解：用留數(shù)法，在以左圍線包含解：用

40、留數(shù)法，在以左圍線包含(bohn)的極點(diǎn)的留數(shù)為：的極點(diǎn)的留數(shù)為： 已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e第47頁/共57頁第四十七頁，共57頁。已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(解：用留數(shù)法，在以右圍線包含解：用留數(shù)法，在以右圍線包含(bohn)(bohn)的極點(diǎn)的留數(shù)為：的極點(diǎn)的留數(shù)為：ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e第48頁/共57頁第四十八頁，共57頁。解：用留數(shù)法，在以左和以右圍線各包含一個(gè)解：用留數(shù)法，在以左

41、和以右圍線各包含一個(gè)(y )極點(diǎn)。極點(diǎn)。原函數(shù)為：原函數(shù)為：已知 ，求 f (t)。0tet b0teta)(tf11( )Re f papbpabpia-0b或)()()(tetetftatb第49頁/共57頁第四十九頁，共57頁。拉普拉斯變換拉普拉斯變換(binhun)的性質(zhì)的性質(zhì)序號(hào)時(shí)域 f(t)復(fù)頻域 F(s)1線性性a f1 (t)+b f2 (t)aF1 (s)+bF2 (s)2尺度性f (at) a03時(shí)移性f (t-t0) (t-t0) t004頻移性f (t) e-a tF(s+a)5時(shí)域微分sF(s)f (0-)6時(shí)域積分7復(fù)頻域微分(-1)n t n f(t)8復(fù)頻域積分9時(shí)域卷積f1 (t)* f2 (t)F1(s)F2(s)10復(fù)頻域卷積f1 (t) f2 (t)11初值定理12終值定理asFa1)(0sFet stdtfd)(