第11章穩(wěn)恒磁場A

1、1第三篇第三篇Electromagnetic field電電 磁磁 場場穩(wěn)恒磁場穩(wěn)恒磁場第11章Steady magnetic field 畢奧畢奧- -薩伐爾定律薩伐爾定律 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理211.1 磁場與磁場的描述磁場與磁場的描述 一一. 磁現(xiàn)象的電本質(zhì)磁現(xiàn)象的電本質(zhì)早期磁現(xiàn)象：磁體早期磁現(xiàn)象：磁體 磁體間的相互作用。磁體間的相互作用。 (1)磁體有吸引鐵、鈷、鎳的性質(zhì)磁體有吸引鐵、鈷、鎳的性質(zhì)磁性。磁性。 (2)磁體有兩個(gè)極：磁體有兩個(gè)極：N，S。 (3)磁極間存在相互作用力：同極相斥，異極相吸。磁極間存在相互作用力：同極相斥，異極相吸。 INS 1819年，奧斯特年，奧斯特實(shí)

2、驗(yàn)證明電流與磁體實(shí)驗(yàn)證明電流與磁體間有力的作用。間有力的作用。3 安培假說：安培假說：運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷 磁場磁場 運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷一切一切磁現(xiàn)象磁現(xiàn)象都起源于都起源于電荷的運(yùn)動(dòng)電荷的運(yùn)動(dòng)(電流電流)。 分析不同參考系下電場和磁場的表現(xiàn)形式和相分析不同參考系下電場和磁場的表現(xiàn)形式和相互變換，可以得知：互變換，可以得知： 磁場力磁場力實(shí)際上是實(shí)際上是運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷之間相互作用的之間相互作用的電場電場力的一部分力的一部分，磁場是電場的，磁場是電場的相對論效應(yīng)相對論效應(yīng)。 電場電場和和磁場磁場構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的實(shí)體，稱為構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的實(shí)體，稱為電磁場電磁場，滿足相對論協(xié)變關(guān)系。滿足相對論協(xié)變關(guān)系。4 試

3、驗(yàn)線圈試驗(yàn)線圈(電流、尺寸都很小電流、尺寸都很小的載流線圈的載流線圈)的的磁矩磁矩：二二 . 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 BPm=NIS nesIne 試驗(yàn)線圈處于平衡時(shí)，試驗(yàn)線圈處于平衡時(shí)，線圈正線圈正法線指示的方向法線指示的方向即為該點(diǎn)即為該點(diǎn)磁場磁場(B)的方向的方向。 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小等于線圈所受的最大磁力矩磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小等于線圈所受的最大磁力矩與線圈磁矩之比。即與線圈磁矩之比。即mmaxPMB 5三三.磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線(磁力線磁力線) 通過某點(diǎn)垂直于磁場方向的通過某點(diǎn)垂直于磁場方向的單位面積上的磁力線單位面積上的磁力線條數(shù)條數(shù)等于該點(diǎn)等于該點(diǎn)B的大小。的大小。 磁力線磁力線上每一點(diǎn)的上每

4、一點(diǎn)的切線方向切線方向與該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向的方向一致。一致。 6 磁力線有以下特點(diǎn)磁力線有以下特點(diǎn): (1)磁力線是磁力線是無頭無尾的無頭無尾的閉合曲線閉合曲線(或兩端伸向或兩端伸向無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處)。所以磁場是渦旋場。所以磁場是渦旋場。 (2)磁力線與載流電路互相套合磁力線與載流電路互相套合(即每條磁力線即每條磁力線都圍繞著載流導(dǎo)線都圍繞著載流導(dǎo)線)。 (3)任兩條磁力線都不相交。任兩條磁力線都不相交。 7 真空中，電流元真空中，電流元Idl 在在P點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為生的磁場為 11.2 畢奧畢奧- -薩伐爾定律薩伐爾定律！ 1. SI制中：制中： o=410-7 T

5、m/A 真空磁導(dǎo)率真空磁導(dǎo)率34rrlIdBdo 2. r是從電流元是從電流元Idl 指向場點(diǎn)指向場點(diǎn)P的矢量。的矢量。IdlPr r= r Idl 到到P點(diǎn)的距離。點(diǎn)的距離。 B的單位：特斯拉的單位：特斯拉(T)，1T=104Gs8大?。捍笮。篒dl=電流電流I 線元長度線元長度dl。方向：電流方向：電流I的方向；的方向；4.2sin4rIdldBo 方向：由方向：由右手螺旋右手螺旋法則確定。法則確定。3.電流元電流元Idl 是是線元線元。B 是是Idl與與r 之間的夾角之間的夾角。BIdlIdlPr34rrlIdBdo 934rrlIdBo 導(dǎo)導(dǎo)體體 5. 對載流導(dǎo)體，分為若干個(gè)電流元，對

6、載流導(dǎo)體，分為若干個(gè)電流元，積分積分： 用畢奧用畢奧- -薩伐爾定律求解磁場的方法和思路和薩伐爾定律求解磁場的方法和思路和用庫侖定律求電場完全類似，可以相互參照。用庫侖定律求電場完全類似，可以相互參照。 需要注意的是線積分以及矢量叉乘關(guān)系。需要注意的是線積分以及矢量叉乘關(guān)系。10 方向：方向：垂直紙面向里垂直紙面向里(且所有且所有電流元在電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相同同)；所以所以2sin421rIdxBxxo 2sin4rIdldBo 4odB 2rIdx sinPa.IxIdxrox例題例題2.1 求求直線電流的磁場。直線電流的磁場。 解解 電流元電流元Idx在在P點(diǎn)所產(chǎn)

7、點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場為生的磁場為11x=atg( - - 90 )=- - actg ,addx 2sin 21sin4 daIBo12 sinar 2sin421rIdxBxxo )cos(cos421 aIBoPa.IxIdxroxBIdl12注意：注意： 1. a是直電流外一點(diǎn)是直電流外一點(diǎn)P到直到直電流的垂直距離。電流的垂直距離。 2. 1和和 2是直是直電流與電流與(直電直電流端點(diǎn)與場點(diǎn)流端點(diǎn)與場點(diǎn)P的的)連線連線的的夾角夾角。 應(yīng)取應(yīng)取同同一方一方位位的的角角。)cos(cos421 aIBo2PI1a13 討論討論: (1)對無限長直導(dǎo)線對無限長直導(dǎo)線, aIBo 2 IB)cos(c

8、os421 aIBo 1=0, 2= ,則有則有2PI1a14 (2)如果如果P點(diǎn)點(diǎn)位于直導(dǎo)線上位于直導(dǎo)線上或其延長線上或其延長線上, dBB 若若P點(diǎn)位于點(diǎn)位于直導(dǎo)線上或其延直導(dǎo)線上或其延長線上長線上，則，則 =0或或 = ，于是于是2sin4rIdlo 0 )cos(cos421 aIBo 則則P點(diǎn)的點(diǎn)的磁感磁感應(yīng)強(qiáng)度為零應(yīng)強(qiáng)度為零。2sin4rIdldBo Pa.IxIdxrox15 例題例題2.2 直電流公式的應(yīng)用。直電流公式的應(yīng)用。)cos(cos421 aIBo21BBB aIBo 42 P點(diǎn)磁場：點(diǎn)磁場： AB：BC：aIo 4 1Bcos)2cos( a 4Io cos)cos

9、2(cos aIo 4 )sin1(cos4 aIo12(1)P點(diǎn)磁場點(diǎn)磁場:APaBICI16aIBo 4 )135cos45(cos (2)邊長為邊長為a的正方形中心的正方形中心 O點(diǎn)點(diǎn):A點(diǎn)磁場：點(diǎn)磁場：1)cos(cos421 aIBo 1= 45 , 2= 135 4 B 4Io a2)90cos45(cos 2 21 1= 45 , 2= 90 aI.o2AaI.o17 解解 aIBo 2 RIo2 0cos20 RdIBoyBx =2 RdIo sin 0IdBoxyRd - (3) 無限長半圓筒形金屬無限長半圓筒形金屬薄片，薄片，R，I(均勻分布均勻分布)。求。求軸線上一點(diǎn)的磁

10、場強(qiáng)度。軸線上一點(diǎn)的磁場強(qiáng)度。18 例題例題2.3 圓電流軸線上一點(diǎn)的磁場。圓電流軸線上一點(diǎn)的磁場。 解解 P點(diǎn)的場強(qiáng)方向沿軸線向上。點(diǎn)的場強(qiáng)方向沿軸線向上。2sin4rIdldBo sin RrIo 24sin2 有有 B=24 rIdlo 環(huán)環(huán)即即23222)(2/oRxIRB BIRxpdBrIdldB19RIBo2 圓弧圓弧形電流在形電流在圓心圓心產(chǎn)生的磁場：產(chǎn)生的磁場：23222)(2/oRxIRB BIRxpdBrIdldBoRIBo2 Rl 2 弧長弧長圓心圓心o處，處，x=0，得，得 20當(dāng)當(dāng)xR時(shí)，有：時(shí)，有：23222)(2/oRxIRB 322xIRBo 圓電流可以等效為

11、兩個(gè)異性磁極構(gòu)成的系統(tǒng)，圓電流可以等效為兩個(gè)異性磁極構(gòu)成的系統(tǒng)，稱為稱為磁偶極子磁偶極子。 仿照電偶極子的電矩，可以定義仿照電偶極子的電矩，可以定義磁矩磁矩：nmeNISP 于是有：于是有：302 xPBm21例題例題2.4 直電流和圓電流的組合。直電流和圓電流的組合。圓心圓心o:432 RIo RIo 4 RIBoo4 rIo4 rIo 4 Bo=方向：垂直紙面向外。方向：垂直紙面向外。方向：垂直紙面向里。方向：垂直紙面向里。boRIIacdIbefRrocdIa22RIBoo 4 電流電流I經(jīng)圓環(huán)分流后經(jīng)圓環(huán)分流后, 在中在中心心o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為零。點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為零。方向：垂直紙面向外。方

12、向：垂直紙面向外。RlRIo 2211 RlRIo 2222 222114)(RlIlIo ,slIslI2211 2211lIlI 02 RIo 2 1l12l2IRoBCDAI圓心圓心o: 環(huán)環(huán)B23圓心圓心o點(diǎn)的磁場點(diǎn)的磁場:RIBoo 4 方向：垂直紙面向外。方向：垂直紙面向外。ICDBAIRoICDRoBAI2430cos4 RIBoo ( 1= 0 , 2= 60 )圓心圓心o點(diǎn)的磁場點(diǎn)的磁場:)cos(cos421 aIBo21)60cos0(cos 2612 RIooR60BACD25 例題例題2.5 一均勻帶電圓盤一均勻帶電圓盤(R， )以以 的角的角速度速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求盤心處轉(zhuǎn)

13、動(dòng)，求盤心處B的大小及圓盤的磁矩。的大小及圓盤的磁矩。 帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的時(shí)產(chǎn)生的電電流強(qiáng)度流強(qiáng)度為為 2I環(huán)上的電量環(huán)上的電量盤心的磁場：盤心的磁場：Ro 21 .oRRIBo2 rdr B 22 r ordr 2 R0qIs解解 26圓盤的磁矩圓盤的磁矩: mP441R .oRrdr2r R0 rdr22方向：垂直紙面向里。方向：垂直紙面向里。Pm=NIS ne27 例題例題2.6 均勻帶電半圓弧均勻帶電半圓弧(R, )，繞直徑，繞直徑以以 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓心o處的磁場。處的磁場。 解解 半圓弧旋轉(zhuǎn)起來，象一個(gè)球面，可劃分為若半圓弧旋轉(zhuǎn)起來，象一個(gè)球面，可劃分為

14、若干圓電流積分。干圓電流積分。 Ro 2823222)(2/oRxIRB 0 02sin4dBo o81 r=Rsin 2o 3R2r 2 RdRodxr B29一一 .磁通量磁通量 對閉合曲面，對閉合曲面，外法線方向?yàn)橥夥ň€方向?yàn)檎较蛘较颉?磁通量的正負(fù)規(guī)律是：磁通量的正負(fù)規(guī)律是： 穿出為正穿出為正；穿入為負(fù)穿入為負(fù)。對對勻強(qiáng)勻強(qiáng)磁場：磁場： cosBSm ssmcosBdSSdB 在國際單位制中在國際單位制中,磁通量的單位為韋伯磁通量的單位為韋伯(wb)。 磁場中，磁場中，通過通過任一任一曲面曲面的的磁力線條數(shù)磁力線條數(shù)，稱，稱為通過該曲面的為通過該曲面的磁通量磁通量。11-3 磁場的

15、高斯定理磁場的高斯定理30 由于磁力線是閉合曲線，故由于磁力線是閉合曲線，故二二 .磁場的高斯定理磁場的高斯定理這表明：磁場是這表明：磁場是無源場無源場。 sdSB0 cosBSm 通過半球面的磁通量等于通通過半球面的磁通量等于通過圓面的磁通量：過圓面的磁通量：B2r cos 例題例題 勻強(qiáng)磁場勻強(qiáng)磁場B中，求通過中，求通過半徑半徑r的半球面的半球面S的磁通量。的磁通量。 Bne3111.4 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理 1. B的的環(huán)流環(huán)流完全由閉合路徑完全由閉合路徑l所所包圍包圍的電流確定，的電流確定，而與未包圍的電流無關(guān)。而與未包圍的電流無關(guān)。 即：真空中，即：真空中，B沿任何閉合路徑沿任何

16、閉合路徑l的線積分的線積分(亦稱亦稱B的環(huán)流的環(huán)流)，等于該閉合路徑等于該閉合路徑l所所包圍包圍的的電流強(qiáng)度的代數(shù)電流強(qiáng)度的代數(shù)和和的的 o倍倍。 loIdlB內(nèi)內(nèi) 2. 但但B是是空間空間所有電流所有電流(閉合路徑閉合路徑l內(nèi)外的電流內(nèi)外的電流)產(chǎn)產(chǎn)生生磁場的矢量和磁場的矢量和。32包圍包圍以閉合路徑以閉合路徑l為邊界的任一曲面上流過的電流。為邊界的任一曲面上流過的電流。電流的電流的正負(fù)正負(fù)由由右手螺旋右手螺旋確定確定: loIdlB內(nèi)內(nèi) 右手拇指伸直右手拇指伸直,彎曲四指與彎曲四指與閉合路徑閉合路徑l的的方向一致時(shí)方向一致時(shí), 拇指的指向即為電流的正方向。拇指的指向即為電流的正方向。 3.

17、 I內(nèi)內(nèi)是閉合路徑是閉合路徑l所所包圍包圍的電流的的電流的代數(shù)和代數(shù)和。)21II (oll dB lI1I2I333IIIo )2 loIl dB內(nèi)內(nèi) (oll dB lIIIIo 2)2 (oll dB lII4.適用條件：穩(wěn)恒電流適用條件：穩(wěn)恒電流(閉合電路閉合電路)。34S0I (圓面圓面)0 (曲面曲面S)于是得于是得 B=rIo 20正確答案請見正確答案請見例題例題2.1。例如例如, 對對有限長有限長直電流直電流, P點(diǎn)磁場：點(diǎn)磁場：rB 2 rPI ll dB loIl dB內(nèi)內(nèi) 35 解解 (1)磁場方向?yàn)閳A周切線方向。磁場方向?yàn)閳A周切線方向。 rB 2 內(nèi)內(nèi)Io rIBo 2

18、 內(nèi)內(nèi) I內(nèi)內(nèi)是以是以r為半徑的圓面上流過電為半徑的圓面上流過電流的代數(shù)和。流的代數(shù)和。旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)對稱對稱 r是場點(diǎn)到軸線的距離是場點(diǎn)到軸線的距離; rBl ldlBRI 例題例題4.1 長直圓柱體，長直圓柱體，R，I(均勻分布均勻分布)。求：求：(1)磁場分布；磁場分布；(2)斜線面積的磁通量。斜線面積的磁通量。36 設(shè)電流密度為設(shè)電流密度為2RIJ 1:BRr2:BRrJ. r22 r o222RIrJroo 2 r oIrIBo 2 內(nèi)內(nèi)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)對稱對稱rBRI37(2)通過斜線面積的磁通量通過斜線面積的磁通量: smBds cosldr2ln24 IlIloo rIBRro 2:2 21

19、22:RIrJrBRroo 2Rl22 RIro R0ldr RR2rIo 2rBRIdrds38or1B1211JrBo 222JrBo +=JJor2B2 例題例題4.2 長直柱體內(nèi)有柱形空腔，兩軸相長直柱體內(nèi)有柱形空腔，兩軸相距距a，電流強(qiáng)度為，電流強(qiáng)度為I，求空腔中的磁場強(qiáng)度。求空腔中的磁場強(qiáng)度。 解解 空腔柱體的磁場可看作是兩個(gè)流有反向電流空腔柱體的磁場可看作是兩個(gè)流有反向電流J的實(shí)心長直柱體的疊加。的實(shí)心長直柱體的疊加。)(22rRIJ r1aooIpr2RrB1B239011sin BBx空腔中的場強(qiáng)空腔中的場強(qiáng):11cos BBy)coscos(22211 rrJo 空腔中是一

20、個(gè)勻強(qiáng)磁場：空腔中是一個(gè)勻強(qiáng)磁場：大?。捍笮。?JaBo 方向：方向：y軸正方向軸正方向(即垂直于連即垂直于連心線心線oo )。12r1r2ooaxyB2B112)sinsin(22211 rrJo2Jao 22sin B22cos B21BBB )(22rRIJ )(222rRIao r1aooIpr2RrB1B22JrBo 40rIBoo 2: 柱外柱外2:JrBo 柱內(nèi)柱內(nèi)+=JJoo a.o 2Jao)(222rRIao aooIaP.rR)(22rRIJ Bo :討論討論4121JrBo 實(shí)心柱體內(nèi)實(shí)心柱體內(nèi):rIBoo 22 實(shí)心柱體外實(shí)心柱體外:2JaBoP )(22aIoo )(22rRIJ )(4222rRaIro aooIaP.r圖中圖中P 點(diǎn)的磁場點(diǎn)的磁場:)(222rRIao 42 例題例題4.3 求同軸電纜的磁場分布。求同軸電纜的磁場分布。 解解 1:Bar2 r o22 aIro 2:BbraI 3:Bcrb ro 2I 0:4 Bcr22raI rIBo 2 內(nèi)內(nèi)旋轉(zhuǎn)對稱旋轉(zhuǎn)對稱)()(2222bcbrI IbcaoI2 r o43 解解 圓周上各點(diǎn)圓周上各點(diǎn)B的大小的大小相等相等，方向沿圓周為切線方方向沿圓周為切線方向。向。 例題例題4.4 求載流螺線環(huán)