《正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明教學(xué)方案設(shè)計(jì)－－李建軍

1、正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明微課教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)背景：本節(jié)課是人教版必修5第二章解三角形的第一節(jié)課的內(nèi)容.“正弦定理”是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延伸，進(jìn)一步揭示了任意三角形的邊與角之間的客觀規(guī)律，是三角函數(shù)知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的交匯使用，也是解決實(shí)際生活中三角形問(wèn)題的重要工具，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.對(duì)于定理的學(xué)習(xí)，在以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生只注重定理的內(nèi)容和應(yīng)用，而根本不知道定理是如何證明的.本節(jié)課分兩課時(shí)，本次微課是第一課時(shí)，主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，而定理的應(yīng)用放到下一節(jié)課.學(xué)情分析：學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課以前，已經(jīng)掌握了如何解直角三角形，并學(xué)習(xí)了平面幾何、三角函數(shù)、三角恒等變換、向量等知識(shí)

2、，有一定的觀察分析、解決問(wèn)題的能力.但學(xué)生對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)上還有所欠缺，思維也不夠縝密.尤其向量、三角函數(shù)知識(shí)學(xué)過(guò)的時(shí)間較長(zhǎng)，學(xué)生不容易把三角和向量自然的連接在一起.教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理.過(guò)程與方法：經(jīng)歷完整的正弦定理的發(fā)現(xiàn)和獲得過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)討論、化歸、類(lèi)比、猜想以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，提高解決問(wèn)題的能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)利用向量證明正弦定理，了解向量的工具性，體會(huì)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)事物之間相互聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的形成和獲得過(guò)程；教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的證明方法.教學(xué)方法：采

3、用探究式教學(xué)模式，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究?jī)?nèi)容，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo),并逐步得到深化.借助多媒體和幾何畫(huà)板，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，設(shè)計(jì)符合學(xué)生知識(shí)水平和學(xué)習(xí)心理的教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極探索.學(xué)法分析：指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察一一猜想一一證明一一應(yīng)用”這個(gè)思維方法，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形性質(zhì)的探究.增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.教學(xué)過(guò)程：一、展示圖片，引出課題：展示生活中的三角形圖片，回憶初中所學(xué)三角形中經(jīng)常用到的結(jié)論，如“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深

4、刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系呢？從而引出課題.【設(shè)計(jì)意圖】從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).二、觀察特例，發(fā)現(xiàn)猜想：探討直角三角形中，角與邊的關(guān)系，得出直角三角形中各個(gè)邊與它所對(duì)的角之冋存在著某一確定的數(shù)量關(guān)系.提出猜想：對(duì)于任意一個(gè)三角形，宀=芻=_壬關(guān)系式成立嗎？sinAsinBsinC【設(shè)計(jì)意圖】以直角三角形這個(gè)特例作為切入點(diǎn)，符合從特殊到一般思維的過(guò)程.對(duì)于猜想用幾何畫(huà)板進(jìn)行驗(yàn)證.任意畫(huà)出一個(gè)三角形，度量出三邊的長(zhǎng)度和三個(gè)角的度數(shù)，計(jì)算顯示出一組的值，然后不斷拖動(dòng)三角形的一個(gè)頂

5、點(diǎn)，改變?nèi)切涡螤?，觀察各組比值的變化.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾何畫(huà)板的演示，學(xué)生能直觀地而主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中來(lái)，另外注意引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)只能作為對(duì)數(shù)學(xué)猜想的檢驗(yàn)，不能作為猜想的證明.三、證明猜想，得出定理：用平面幾何“作高法”對(duì)猜想進(jìn)行證明，分銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三大類(lèi)分別證明.得出正弦定理的文字?jǐn)⑹龊头?hào)表達(dá).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)作輔助線，把斜三角形轉(zhuǎn)化為直南三角形，把學(xué)生不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用已有知識(shí)解決新的知識(shí)的數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生感受“觀察一猜想一證明”的科學(xué)研究問(wèn)題的思路.四、探求其他證明方法：向量法：向量融長(zhǎng)度和角度于一體，借向量為載體證明正弦定

6、理.外接圓法：利用外接圓法不但能夠證明正弦定理，而旦能夠得出各個(gè)比值等于三角形外接圓的直徑2R.【設(shè)計(jì)意圖】了解向量的工具性，體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.五、課堂小結(jié)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程：由特殊到一般，觀察一一猜想一一檢驗(yàn)一一證明.正弦定理的證明過(guò)程：作高法；向量法；外接圓法.【設(shè)計(jì)意圖】明確本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法.六、課后思考題：你還能用其它方法證明正弦定理嗎？【設(shè)計(jì)意圖】除了本節(jié)介紹的三個(gè)證法，啟發(fā)學(xué)生還能夠考慮用其他方法，比如面積法等證明正弦定理.正弦定理能夠解決哪類(lèi)實(shí)際問(wèn)題呢？請(qǐng)舉例說(shuō)明.【設(shè)計(jì)意圖】此問(wèn)題即為正弦定理的應(yīng)用，為下節(jié)課做鋪墊.七、教學(xué)總結(jié)：本節(jié)課的設(shè)計(jì)使學(xué)生經(jīng)歷了“觀

7、察一一猜想一一檢驗(yàn)一一證明一一應(yīng)用”的思維歷程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想方法.從初中學(xué)習(xí)過(guò)的三角形的邊角定性關(guān)系出發(fā)，對(duì)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行定量探索，從特殊的直角三角形入手，結(jié)合學(xué)生的己有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行發(fā)散式猜想與探究，提出猜想，并通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)檢驗(yàn).其次，在證明猜想的教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)建立新舊知識(shí)的有機(jī)聯(lián)系，力求引導(dǎo)學(xué)生尋求合理的證明思路與策略，在證明過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，并提高使用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.教學(xué)特色：使用PPT的動(dòng)態(tài)效果和幾何畫(huà)板的直觀顯示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；設(shè)計(jì)符合學(xué)生知識(shí)水平和學(xué)習(xí)心理的教學(xué)，使學(xué)生掌握“觀察一一猜想一一檢驗(yàn)一一證明一一應(yīng)用”的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想方法；通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)