第十章隨機事件及其概率剖析

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 前前 言言概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速，在理論聯(lián)系實際方面，概率是最活躍的學(xué)科之一。必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象在自然界和人的實踐活動中經(jīng)常遇到各種各樣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象大體可分為兩類：一類是確定的，例如“在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100 時必然沸騰?！薄跋蛏蠏佉粔K石頭必然下落?！保巴噪姾上喑?，異性電荷相吸。”等等，這種在一定條件下有確定結(jié)果的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象（確定必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）性現(xiàn)象）；C另一類現(xiàn)象是隨機的，例如：在相同的條件下，向上拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可

2、能是反面朝上，不論如何控制拋擲條件，在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么，這個試驗多于一種可能結(jié)果，但是在試驗之前不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。同樣地同一門大炮對同一目標(biāo)進(jìn)行多次射擊（同一型號的炮彈），各次彈著點可能不盡相同，并且每次射擊之前無法肯定彈著點的確切位置，以上所舉的現(xiàn)象都具有隨機性，即在一定條件下進(jìn)行試驗或觀察會出現(xiàn)不同的結(jié)果（也就是說，多于一種可能的試驗結(jié)果），而且在每次試驗之前都無法預(yù)言會出現(xiàn)哪一個結(jié)果(不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果），這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象。什么是隨機現(xiàn)象？用兩個簡單的試驗來闡明，這里所說的試驗是對自然現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次科試驗是對自然現(xiàn)象進(jìn)行一

3、次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗學(xué)試驗?？磧蓚€試驗： 試驗：一盒中有十個完全相同的白球，攪勻后從中摸出一球； 試驗：一盒中有十個相同的球，其中5個白球，5個黑攪勻后從中任意摸取一球。 對于試驗 而言，在球沒有取出之前，我們就能確定取出的球必是白球，也就是說在試驗之前就能判定它只有一個確定的結(jié)果這種現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）。必然現(xiàn)象非常廣泛，例如：C01標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100 ，必會沸騰。2邊長為a，b的矩形，其面積必為ab3實系數(shù)奇次方程必有一實根。白n黑nnn白nn黑21 對于試驗來說，在球沒有取出之前，不能確定試驗的結(jié)果（取出的球）是白球還是黑球，也就是說一次試驗的結(jié)果（取出的球）出現(xiàn)

4、白球還是黑球，在試驗之前無法肯定。對于這一類試驗而言，驟然一看，似乎沒有什么規(guī)律而言，但是實踐告訴我們，如果我們從盒子中反復(fù)多次取球（每次取一球，記錄球的顏色后仍把球放回盒子中攪勻），那么總可以觀察到這樣的事實，當(dāng)試驗次數(shù)n相當(dāng)大時，出現(xiàn)白球的次數(shù) 和出現(xiàn)黑球的次數(shù) 是很接近的，比值 （或 ）會逐漸穩(wěn)定于 ，出現(xiàn)這個事實是完全可以理解的，因為盒子中的黑球數(shù)與白球數(shù)相等，從中任意摸一球取得白球或黑球的“機會”相等。根據(jù)其條件，在球沒有取出之前，不能斷定其結(jié)果是白球、紅球或是黑球，這類試驗稱為隨機試驗，它所對應(yīng)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象在客觀世界中也極為普遍，例如 1擲一枚均勻的硬幣，考慮出現(xiàn)哪

5、一面；2抽查流水生產(chǎn)線的一件產(chǎn)品，是正品還是次品；3觀察一上午電話總機接到的呼叫次數(shù)。 試驗所代表的類型，它有多于一種可能的結(jié)果，但在試驗之前不能確定試驗會出現(xiàn)哪一種結(jié)果，這類試驗所代表的現(xiàn)象成為隨機現(xiàn)象，對于試驗而言，一次試驗看不出什么規(guī)律，但是“大數(shù)次”地重復(fù)這個試驗，試驗的結(jié)果又遵循某些規(guī)律，這些規(guī)律稱之為“統(tǒng)計規(guī)律”。在客觀世界中，隨機現(xiàn)象是極為普遍的，例如“某地區(qū)的年降雨量”，“某電話交換臺在單位時間內(nèi)收到的用戶的呼喚次數(shù)”，“一年全省的經(jīng)濟總量”等等。二、隨機試驗二、隨機試驗上面對隨機試驗做了描述性定義，下面進(jìn)一步明確它的含義，一個試驗如果滿足下述條件：（1）試驗可以在相同的條件下

6、重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確的，可知道的（在試驗之前就可以知道的）并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗出現(xiàn)哪一個結(jié)果。 稱這樣的試驗是一個隨機試驗隨機試驗，為方便起見，也簡稱為試驗試驗，今后討論的試驗都是指隨機試驗。上述試驗的共同特點是：試驗的結(jié)果具有一種“不確定性”，即任意做一次試驗時，我們不能斷言其結(jié)果是什么，但是“大數(shù)次”重復(fù)這個實驗，試驗結(jié)果又遵循某些規(guī)律，這種規(guī)律稱之為“統(tǒng)計規(guī)律”，正是我們“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”研究的對象?！案怕逝c數(shù)理統(tǒng)計”又是兩個聯(lián)系緊密而有區(qū)別的東西。概率論從數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論推導(dǎo)，從同類現(xiàn)象中

7、找出規(guī)律性。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象概率論是從數(shù)量側(cè)面研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，并且有獨特的概念和方法，同時與其它數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系它是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。 數(shù)理統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，就是利用概率論的結(jié)果，深入研究統(tǒng)計資料，觀察這些隨機現(xiàn)象并發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律性，進(jìn)而作出一定精確程度的判斷，將這些研究結(jié)果加以歸納整理，形成一定的數(shù)學(xué)模型雖然概率論與數(shù)理統(tǒng)計在方法上如此不同，但做為一門學(xué)科，它們卻相互滲透，互相聯(lián)系。數(shù)理統(tǒng)計著重于數(shù)據(jù)處理，在概率論理論的基礎(chǔ)上對實踐中采集得的信息與數(shù)據(jù)進(jìn)行概率特征的推斷。 概率

8、論與數(shù)理統(tǒng)計這門學(xué)科的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，不僅在天文、概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學(xué)科的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，不僅在天文、氣象、水文、地質(zhì)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等學(xué)科有其應(yīng)氣象、水文、地質(zhì)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等學(xué)科有其應(yīng)用，且在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、商業(yè)、軍事、電訊等部門也有廣泛的用，且在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、商業(yè)、軍事、電訊等部門也有廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史概率論被稱為“賭博起家”的理論。概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)中葉，是一門比較古老的數(shù)學(xué)學(xué)科，有趣的是：盡管任何一門的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生與發(fā)展都不外乎是生產(chǎn)、科學(xué)或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的推動，然而概率論的產(chǎn)生，卻起始于對賭博的研究，當(dāng)時兩個賭徒約定賭若干

9、局，并且誰先贏c局便是贏家，若一個賭徒贏a局(ac)，另一賭徒贏b局(bc)時終止賭博，問應(yīng)當(dāng)如何分賭本？最初正是一個賭徒將問題求教于巴斯葛，促使巴斯葛同費爾瑪討論這個問題，從而他們共同建立了概率論的第一基本概念數(shù)學(xué)期望。 1657年惠更斯也給出了一個與他們類似的解法。 在他們之后，對于研究這種隨機（或稱偶然）現(xiàn)象規(guī)律的概率論做出了貢獻(xiàn)的是貝努里家族的幾位成員，雅科布給出了賭徒輸光問題的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個定理（貝努里定理）這是研究偶然事件的古典概率論中極其重要的結(jié)果，它表明在大量觀察中，事件的頻率與概率是極其接近的，歷史上第一個發(fā)表有關(guān)概率論論文的人是貝努里，他于171

10、3年發(fā)表了一篇關(guān)于極限定理的論文，概率論產(chǎn)生后的很長一段時間內(nèi)都是將古典概型作為概率來研究的，直到1812年拉普拉斯在他的著作分析概率論中給出概率明確的定義，并且還建立了觀察誤差理論和最小二乘法估計法，從這時開始對概率的研究，實現(xiàn)了從古典概率論向近代概率論的轉(zhuǎn)變。概率論在二十世紀(jì)再度迅速發(fā)展起來，則是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展迫切地需要研究有關(guān)一個或多個連續(xù)變化著的參變量的隨機變數(shù)理論即隨機過程論，1906年俄國數(shù)學(xué)家馬爾可夫（1856-1922）提出了所謂“馬爾可夫鏈”的數(shù)學(xué)模型對發(fā)展這一理論做出貢獻(xiàn)的還有柯爾莫哥洛夫（俄國）、費勒（美國）；1934年俄國數(shù)學(xué)家辛欽又提出了一種在時間中均勻進(jìn)行著的平穩(wěn)

11、過程的理論。隨機過程理論在科學(xué)技術(shù)有著重要的應(yīng)用，開始建立了馬爾可夫過程與隨機微分方程之間的聯(lián)系。 1960年，卡爾門（1930英國）建立了數(shù)字濾波論，進(jìn)一步發(fā)展了隨機過程在制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用。概率論的公理化體系是柯爾莫哥洛夫1933年在集合論與測度論的基礎(chǔ)上建立起來的，從而使概率論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。 我國的概率論研究起步較晚，從1957年開始，先驅(qū)者是許寶馬錄先生。1957年暑期許老師在北大舉辦了一個概率統(tǒng)計的講習(xí)班，從此，我國對概率統(tǒng)計的研究有了較大的發(fā)展，現(xiàn)在概率與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學(xué)系各專業(yè)的必修課之一，也是工科，經(jīng)濟類學(xué)科學(xué)生的公共課，許多高校都成立了統(tǒng)計學(xué)（特別是財經(jīng)類高校）。今年來，我

12、國科學(xué)家對概率統(tǒng)計也取得了較大的成果。 1.深刻理解，牢固掌握基本概念。2.多做練習(xí)，很抓解題基本功。五、學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法五、學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門處理隨機現(xiàn)象的學(xué)科，初學(xué)者對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念感到很抽象，基本方法難以掌握，習(xí)題難做。但是只要講究學(xué)習(xí)方法，勤奮努力，不利因素就會轉(zhuǎn)化為有利因素，概率論與數(shù)理統(tǒng)計之難恰好能培養(yǎng)大家分析問題和解決問題的能力，總之： 第十章第十章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率一、本章是概率論部分的基本概念和基本知識，是學(xué)習(xí)以后各章所必不可少的。教學(xué)目的與要求教學(xué)目的與要求1、理解事件的概念，熟練掌握事件的運算法則，事件

13、間的各種關(guān)系；2、掌握概率的幾種定義，熟悉并會用概率性質(zhì)進(jìn)行概率的有關(guān)計算；3、掌握條件概率的定義，并能應(yīng)用有關(guān)條件概率的公式（乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式）計算概率；4、掌握幾種概型（古典概型、幾何概型、貝努里概型）概率的計算；5、理解事件獨立性的概念，并會用獨立性的性質(zhì)進(jìn)行概率的計算。二、教學(xué)重點與難點二、教學(xué)重點與難點重點是各種類型概率的計算；難點是有關(guān)事件概率的計算。三、知識目標(biāo)知識目標(biāo)1使學(xué)生掌握事件與概率的公理化定義及概率的基本性質(zhì)。2使學(xué)生熟練掌握古典概型及貝努里概型的特點。能正確求出兩種概型中事件的概率。3使學(xué)生能熟練應(yīng)用加法公式、乘法公式、全概公式及貝葉斯公式計算事件的概

14、率。4使學(xué)生掌握事件獨立性的概念。四、技能目標(biāo)技能目標(biāo)1. 讓學(xué)生會用簡單的概率知識分析實際問題，并能解決問題。2. 使學(xué)生在以后的繼續(xù)教育中會做本章有關(guān)題目。3. 能用本章知識與專業(yè)知識相鏈接，共同解決問題。10.1 隨機事件與樣本空間隨機事件與樣本空間隨機事件與樣本空間是概率論中的兩個最基本的概念?；臼录c樣本空間基本事件與樣本空間我們把在一定的條件下，對自然現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗稱為一個試驗，如試驗滿足以下條件：（1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗的所有可能結(jié)果是預(yù)先知道的，且不止一個。（3）每做一次試驗總會出現(xiàn)可能結(jié)果中的一個，但在試驗之前，不能預(yù)言會出現(xiàn)哪個結(jié)果

15、。i那么，就稱這樣的試驗為隨機試驗，也常簡稱隨機試驗為試驗。試驗的每一個可能結(jié)果，稱為基本事件，用 或 表示，若干基本事件復(fù)合而成的結(jié)果稱為復(fù)雜事件，常A、B、C等表示，試驗下必然會發(fā)生的結(jié)果稱為必然事件，常用表示，必然不會出現(xiàn)的結(jié)果稱為不可能事件，常用表示，上述事件統(tǒng)稱為隨機事件，簡稱事件。不可能事件必然事件,基本事件復(fù)雜事件即（隨機事件）對于隨機試驗來說，我們感興趣的往往是隨機試驗的所有可能結(jié)果。例如擲一枚硬幣，我們關(guān)心的是出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面這兩個可能結(jié)果。若我們觀察的是擲兩枚硬幣的試驗，則可能出現(xiàn)的結(jié)果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四種，如果擲三枚硬幣，其結(jié)果還要復(fù)雜

16、，但還是可以將它們描述出來的，總之為了研究隨機試驗，必須知道隨機試驗的所有可能結(jié)果。 例1.1 擲一顆均勻的骰子基本事件： 出現(xiàn)k點k=1，2，6 k復(fù)雜事件：A=出現(xiàn)偶數(shù)點， B=出現(xiàn)奇數(shù)點，必然事件：=出現(xiàn)小于7的點不可能事件：=出現(xiàn)大于6的點i為了便于用點集的知識描述隨機事件，我們把試驗下的每個基本事件抽象地看成一個點，稱之為樣本點，仍用 或 表示。全體樣本點的集合稱為樣本空間，用表示。于是任一隨便機事件都可表示為的子集，特別地，樣本空間表示必然事件，其空子集表示不可能事件。不同的試驗，對應(yīng)的樣本空間可能相當(dāng)簡單，也可能較復(fù)雜。1212kkV例1.2 擲一枚硬幣令 =出現(xiàn)正面， =出現(xiàn)反

17、面則= ， 。例1.3 觀察某天到某商場購物的顧客數(shù)。令 =來到k個顧客，k=0，1，2則= ：k0例1.4 考查地震震源。x震源經(jīng)度，y震源緯度,z震源深度。 則=（x,y,z）（x,y,z） ,V為三維空間某區(qū)域。 1、基本事件、基本事件 通常，據(jù)我們研究的目的，將隨機試驗的每一個可能的結(jié)果，稱為基本事件基本事件。因為隨機事件的所有可能結(jié)果是明確的，從而所有的基本事件也是明確的，例如：在拋擲硬幣的試驗中“出現(xiàn)反面”，“出現(xiàn)正面”是兩個基本事件，又如在擲骰子試驗中“出現(xiàn)一點”，“出現(xiàn)兩點”，“出現(xiàn)三點”，“出現(xiàn)六點”這些都是基本事件。2 2、樣本空間、樣本空間 基本事件的全體，稱為樣本空間樣

18、本空間。也就是試驗所有可能結(jié)果的全體是樣本空間，樣本空間通常用大寫的希臘字母 表示， 中的點即是基本事件，也稱為樣本點，常用 表示，有時也用A,B,C等表示。 在具體問題中，給定樣本空間是研究隨機現(xiàn)象的第一步。i取得球的標(biāo)號為3 , 2 , 1i10, 3 , 2 , 1ii標(biāo)號為10, 2 , 1i1021,例1.5 一盒中有十個完全相同的球，分別有號碼1、2、310，從中任取一球，觀察其標(biāo)號，令I(lǐng) 10， 則, , 為基本事件（樣本點）例1.6 在研究英文字母使用狀況時，通常選用這樣的樣本空間： ZYXCBA,空格，例 1.5 ， 例 1.6 討論的樣本空間只有有限個樣本點，是比較簡單的樣

19、本空間。例1.7 討論某尋呼臺在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，可能結(jié)果一定是非負(fù)整數(shù)而且很難制定一個數(shù)為它的上界，這樣，可以把樣本空間取為 這樣的樣本空間含有無窮個樣本點，但這些樣本點可以依照某種順序排列起來，稱它為可列樣本空間。, 2 , 1 , 0,ba,例1.8討論某地區(qū)的氣溫時，自然把樣本空間取為 或 這樣的樣本空間含有無窮個樣本點，它充滿一個區(qū)間，稱它為無窮樣本空間。從這些例子可以看出，隨著問題的不同，樣本空間可以相當(dāng)簡單，也可以相當(dāng)復(fù)雜，在今后的討論中，都認(rèn)為樣本空間是預(yù)先給出定的，當(dāng)然對于一個實際問題或一個隨機現(xiàn)象，考慮問題的角度不同，樣本空間也可能選擇得不同。 6543 , 2 ,

20、 1，奇數(shù)、偶數(shù)例如：擲骰子這個隨機試驗，若考慮出現(xiàn)的點數(shù)，則樣本空間 ；若考慮的是出現(xiàn)奇數(shù)點還是出現(xiàn)偶數(shù)點，則樣本空間 。 由此說明，同一個隨機試驗可以有不同的樣本空間。 在實際問題中，選擇恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g來研究隨機現(xiàn)象是概率中值得研究的問題。 二、隨機事件二、隨機事件再看例1.5 樣本空間 下面研究這些問題。10,3 , 2 , 1，3球的標(biāo)號為A球的標(biāo)號為偶數(shù)B5球的標(biāo)號不大于c ， ， 其中A為一個基本事件，而B與C則由基本事件所組成。例如：B 發(fā)生（出現(xiàn)）必須而且只須下列樣本點之一發(fā)生2、4、6、8、10， 它由五個基本事件組成。同樣地，C發(fā)生必須而且只須下列樣本點之一發(fā)生1、2、3、

21、4、5。無論基本事件還是復(fù)雜事件，它們在試驗中發(fā)生與否，都帶有隨機性，所以叫做隨機事件隨機事件或簡稱為事件事件，習(xí)慣上用大寫英文字母A,B,C 等表示，在試驗中如果出現(xiàn)A中包含了某一個基本事件 ，則稱作A發(fā)生，并記作 A。10,3 , 2 , 1，我們知道，樣本空間 包含了全體基本事件，而隨機事件不過是由某些特征的基本事件組成的，從集合論的角度來看，一個隨機事件不過是樣本空間 的一個子集而已。如例1.5 中。顯然A,B,C都是 的子集，它們可以簡單的表示為 3A10, 8 , 6 , 4 , 2B97531，C， ， 因為 是所有基本事件所組成，因而在一次試驗中，必然要出現(xiàn) 中的某一基本事件

22、，也就是在試驗中 必然要發(fā)生，今后用 表示一個必然事件，可以看成 的子集。相應(yīng)地空集 ，在任意一次試驗中不能有 ，也就是說 永遠(yuǎn)不可能發(fā)生，所以 是不可能事件，實質(zhì)上必然事件就是在每次試驗中都發(fā)生的事件，不可能事件就是在每次試驗中都不發(fā)生的事件，必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，已經(jīng)失去了“不確定性”即隨機性，因而本質(zhì)上不是隨機事件，但為了討論問題的方便，還是將它看作隨機事件。例1.9 一批產(chǎn)品共10件，其中2件次品，其余為正品，從中任取3件則恰有一件正品A恰有兩件正品B至少有兩件正品C， ， D= 三件中至少有一件次品這些都是隨機事件三件中有正品件都是正品3而 為必然事件為不可能事件，對于這個

23、隨機試驗來說，基本事件總數(shù)為 個。310C三、事件的關(guān)系與運算三、事件的關(guān)系與運算對于隨機試驗而言，它的樣本空間 可以包含很多隨機事件，概率論的任務(wù)之一就是研究隨機事件的規(guī)律，通過對較簡單事件規(guī)律的研究在掌握更復(fù)雜事件的規(guī)律，為此需要研究事件之間和事件之間的關(guān)系與運算。 2 , 1iAi若沒有特殊說明，認(rèn)為樣本空間 是給定的，且還定義了 中的一些事件，A,B， 等，由于隨機事件是樣本空間的子集，從而事件的關(guān)系與運算和集合的關(guān)系與運算完全相類似。BAAB 1 1 事件的包含關(guān)系事件的包含關(guān)系定義：定義：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含了A，或稱A是B的特款， 記作 或 6球的標(biāo)號為

24、A球的標(biāo)號為偶數(shù)BBA BA 比如前面提到過的 ，這一事件就導(dǎo)致了事件 的發(fā)生，因為摸到標(biāo)號為6的球意味著偶數(shù)的球出現(xiàn)了，所以 可以給上述含義一個幾何解釋，設(shè)樣本空間是一個正方體， A,B是兩個事件，也就是說，它們是 的子集，“ A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生”意味著屬于A 的樣本點在B中由此可見，事件 的含義與集合論是一致的。AAB特別地，對任何事件A AAB BA AB 例1.10 設(shè)某種動物從出生生活至20歲記為A，從出生到25記為B,則 。注：事件的包含與相等：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱B包含A或稱A是B的特款，并記作 或 。BA AB 若 且同時 ，則稱A與B相等（等價），記為A=B。

25、 BAAB 2 2 事件的相等事件的相等設(shè)A,B ,若 ，同時有 ，稱A與B相等，記為A=B，易知相等的兩個事件A,B總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，在同一樣本空間中兩個事件想等意味著它們含有相同的樣本點。BA AB 注：若 且同時 ，則稱A與B相等（等價），記為A=B。BA,BA3 3 并并( (和和) )事件與積事件與積( (交交) )事件事件定義：定義： 設(shè) ,稱事件“A與B中至少有一個發(fā)生”為A和B的和事件或并事件。記作 實質(zhì)上 “A或B發(fā)生” BAAAAAAA,BABA BABBAABBA, 若，則ABAB例1.11：某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高都合格，則該產(chǎn)品合格。 令A(yù)=直徑不合格，

26、B=高度不合格，則 =產(chǎn)品不合格 BAnnAAA,21nAAA,21推廣： 設(shè) 個事件 ，稱“ 中至少有一個發(fā)生”這一事件為 nAAA,21nAAA21niiA1的并，記作 或BA注：A與B的并（或和）=A與B至少一個發(fā)生 ，推廣：A1，An至少一個 發(fā)生=ininAAAAU121 ininiiAAUU11lim和事件的概念還可以推廣到可列個事件的情形。 設(shè)BA,，稱“A與B同時發(fā)生”這一事件為A和B的積事件或BABA記作或 顯然 BBAABAAAAAAA,ABBABA ABA若，則交事件。如例1.11中，若C=直徑合格，D=高度合格，則DC=產(chǎn)品合格。nnAAA,21nAAA,21nAAA,

27、21推廣: 設(shè)個事件，稱“同時發(fā)生” 這一事件為nAAA21nAAA21niiA1的積事件。記作 或或注： ABBAA、B同時發(fā)生=事件A發(fā)生且B也發(fā)生ininnAAAAA111A1，An同時發(fā)生ininiiAA11lim同樣積事件的概念也可以推廣為可列個事件的情形。 4 差事件差事件BA,BA定義：定義： 設(shè)，稱“A發(fā)生B不發(fā)生”這一事件為A與B的差事件，記作BA如例1.11中 =該產(chǎn)品的直徑不合格，高度合格，明顯地有 AAABABA,ABB A注：事件A發(fā)生而B不發(fā)生=AB5 對立事件對立事件AA定義：定義：稱“”為A的對立事件或稱為A的逆事件，記作AAAAA AA由此說明，在一次試驗中與

28、有且僅有一個發(fā)生。 AA即不是發(fā)生就是發(fā)生。AA AA 顯然，由此說明與互為逆事件。BABA A例1.12、設(shè)有100件產(chǎn)品，其中5件產(chǎn)品為次品，從中任取50件產(chǎn)品。則A50件產(chǎn)品中沒有次品=50件產(chǎn)品全是正品記A=50件產(chǎn)品中至少有一件次品由此說明，若事件A比較復(fù)雜，往往它的對立事件比較簡單，因此我們在求復(fù)雜事件的概率時，往往可能轉(zhuǎn)化為求它的對立事件的概率。6 互不相容事件（互斥事件）互不相容事件（互斥事件）定義：定義：若兩個事件A與B不能同時發(fā)生，即AB與B為互不相容事件（或互斥事件）。，稱A注意：任意兩個基本事件都是互斥的。若BAA、B兩事件不可能同時發(fā)生）稱A、B為互不相容（或互斥）事

29、件。 =（即推廣：互逆事件（互相對立事件）nAAA,21nAAA,21設(shè)n個事件兩兩互斥，稱互斥（互不相容）若A，B為互斥事件，則A，B不一定為對立事件。但若A，B為對立事件，則A,B互斥。AAAA記A不發(fā)生，則稱為A的逆事件或A的對的對立事件，即立事件，顯然A又是AAA AAAA與互為對立事件，此外， =A7 事件的運算法則事件的運算法則 1）交換律 BAABABBA,2）結(jié)合律 BCACABCBACBA,3）分配律 CBCACBA CBCACBAniiiniAA11niiiniAA114）對偶原則 CBA,CBA,例1.13 設(shè)為中的隨機事件，試用表示下列事件CAB CAB1） A 與B發(fā)

30、生而C 不發(fā)生 或CBACBA2） A發(fā)生，B與C不發(fā)生 或CBACBACBACABCBACAB3） 恰有一個事件發(fā)生 4) 恰有兩個事件發(fā)生 5) 三個事件都發(fā)生 ABCCBAABC6) 至少有一個事件發(fā)生 AB7) A,B,C都不發(fā)生 8) A,B,C不都發(fā)生 C或 3）4）5）之并CBACBACBACBACABCAB9) A,B,C不多于一個發(fā)生 或10) A,B,C不多于兩個發(fā)生 ABC3球的號碼小于球的號碼為奇數(shù)3球的號碼為例1.14：試驗：袋中有三個球編號為.，從中任意摸出一球，觀察其號碼，記試問：）的樣本空間為什么？）與，與，與是否互不相容？），對立事件是什么？4 ）A與B的和事

31、件，積事件，差事件各是什么？ 解：設(shè)3 , 2 , 1, iii摸到球的號碼為則的樣本空間為321,。21,A31,B3C，與，與是相容的，與互不相容；2.3A2B21,C 3） ，； BA 1AB2 BA 4） ，。 4.四四 事件域事件域事件是的子集，如果事件的這些子集歸在一起，則得到一個類，稱作事件域，記作F F。即F F為事件AAA,:,為事件 F， F 因為我們討論了事件間的運算 “ ” “” 和 “-”, 如果A，B都是事件，即 A, BF ，自然要求AB ,AB,A-B 也是事F， B F 就要求AB F ， 件，因此，若 AAB F ，F(xiàn) 。 A-B用集合論的語言來說，就是事件

32、域 關(guān)于運算 “ ” “和 “-” 是封閉的，”事件域 應(yīng)該滿足如下要求：1）F ；iAiniiA1 3）若 F,=1,2,3.n. 則F 。A 2）若AF， 則F ； 在集合論中，滿足上述三條件的集合類稱為布爾代數(shù)（代數(shù)）F所以事件域是一個布爾代數(shù)，對于樣本空間 ，如果 是的一切子集的全體，那么顯然F是一個布爾代數(shù)。課堂練習(xí)討論：課堂練習(xí)討論：1、利用事件的關(guān)系和運算律證明（）AB=AB，（） BABABBAA。 BAB證：（）AB=A發(fā)生且B不發(fā)生發(fā)生，故AB=ABBAABBAABBAAABBBABBAB（） 又BABABA故原式成立CACBCABBCACBACABBCACBACBA2、

33、設(shè)A、B、C是中的事件，則（見書P9）A與B發(fā)生，C不發(fā)生=ABA、B、C中至少有二個發(fā)生=A、B、C中恰好發(fā)生兩個=A、B、C中有不多于一個事件發(fā)生=如把中表示事件的子集全部歸為一類，并用F表示，則稱是事件AAAF,:，F(xiàn)顯然應(yīng)對事件的和、差F為事件類，即、積運算封閉，則得F應(yīng)滿足下述要求：FFAFAFAiFAii1（1）（2），則（3），i=1，n，則易驗，滿足上述（1）、（2）、（3）的F對“”，“”域，稱之為事件域，今后稱F中元素，且只亦封閉。故F是上的有F中元素為一個事件。 基礎(chǔ)（同步）習(xí)題：基礎(chǔ)（同步）習(xí)題：1.1 設(shè)A、B、C為任意3個事件，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件

34、：（1）3個事件中至少一個發(fā)生；（2）沒有一個事件發(fā)生；（3）恰有一個事件發(fā)生；（4）至多有兩個事件發(fā)生；（5）至少有兩個事件發(fā)生。ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABBCCA答案：（1）（2）(由對偶律)（4）考慮其對立事件，可得：（5）（3）ABCABCABC1.2 設(shè)A表示“第一次射中目標(biāo)”，B表示“第二次射中目標(biāo)”，C表示“第三次射中目標(biāo)”。試用語言表述下列事件：（1）；（2）；（3）答案：（1）表示“前兩次射中目標(biāo)而第三次未射中目標(biāo)”（2）表示“至少有一次未射中目標(biāo)”（3）表示“三次都未射中目標(biāo)”。iA

35、ii123,A A A1B2B3B4B5B實訓(xùn)題：實訓(xùn)題：一批產(chǎn)品中有正品和次品，每次取一件，連取3次，設(shè)=“第件為正品”（=1，2，3），試用表示下列事件：“3件都是正品”=“3件不都是正品”=“3件中恰有一件正品”=“3件則至少有一件正品”=“3件中至多有一件正品”。（1）=（2）（3）（4）（5）1123BA A A2123BAAA3123123123BA A AA A AA A A4123BAAA5123123123123BA A AA A AA A AA A A答案分析：（1）3件都是正品是表示第一件為正品且第二件（2）3件不都是正品的另一種說法是至少有1件次品，該次品（3）恰有一件

36、正品是指第一件為正品，另外兩件為次品；或第二件為正品，另外兩件為次品；或第三件為正品，第一件和第二件為次品。因此（4）至少有一件正品與至少有一件次品類似，因此（5）至多有一件正品是指3件都是次品或恰有一件正品，因此為正品且第三件為正品，因此可以是第一件或第二件或第三件，因此10.2 隨機事件的概率隨機事件的概率一、概率的統(tǒng)計定義一、概率的統(tǒng)計定義對于隨機試驗中的隨機事件，在一次試驗中是否發(fā)生，雖然不能預(yù)先知道，但是它們在一次試驗中發(fā)生的可能性是有大小之分的。比如擲一枚均勻的硬幣，那么隨機事件A（正面朝上）和隨機事件B（正面朝下）發(fā)生的可能性是一樣的（都為1/2）。又如袋中有8個白球，2個黑球，

37、從中任取一球。當(dāng)然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，對于任何一個隨機事件都可以找到一個數(shù)值與之對應(yīng)，該數(shù)值作為發(fā)生的可能性大小的度量。定義定義1.2.1:隨機事件A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為A發(fā)生的概率概率，記為P（A）。對于一個隨機試驗來說，它發(fā)生可能性大小的度量是自身決定的，并且是客觀存在的。概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量是自身的屬性。一個根本問題是，對于一個給定的隨機事件發(fā)生可能性大小的度量概率，究竟有多大呢？再來看，擲硬幣的試驗，做一次試驗，事件A（正面朝上）是否發(fā)生是不確定的，然而這是問題的一個方面，當(dāng)試驗大量重復(fù)做的時候，事件A發(fā)生的次數(shù)，也稱為頻數(shù)，體

38、現(xiàn)出一定的規(guī)律性，約占總試驗次數(shù)的一半，也可寫成nAnA f(A)=A發(fā)生的頻率=頻數(shù)/試驗總次數(shù)接近與1/2次，比值(A)= n/n稱為事件A在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率一般的，設(shè)隨機事件A在n次試驗中出現(xiàn)n f歷史上有人做過擲硬幣的試驗Ann f實驗者n (A)蒲豐404020480.5070K皮爾遜12000 60190.5016K皮爾遜24000 12012 0.5005nn從左表可以看，不管什么人去拋，當(dāng)試驗次數(shù)逐漸增多時，f (A)總是在0.5附近擺動而逐漸穩(wěn)定與0.5。從這個例子可以看出，一個隨機試驗的隨機事件A，在n次試驗中出現(xiàn)的頻率f (A)，當(dāng)試驗的次數(shù)n逐漸增多時，它在一個常

39、數(shù)附近擺動，而逐漸穩(wěn)定與這個常數(shù)。這個常數(shù)是客觀存在的，“頻率穩(wěn)定性”的性質(zhì)，不斷地為人類的實踐活動所證實，它揭示了隱藏在隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性。)(limAPnnAn試判斷“頻率的極限就是概率”這句話是否正確？即)(limAPnnAn, 0, 0NNn )(APnnANn )(APnnAnnA AP1不正確 由- N定義，若則 而頻率具有隨機性，并不能保證例如，當(dāng)時，取因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中不能沿用數(shù)學(xué)分析中的一般極限定義了。成立恒成立。，上述不等式就不成立。二、頻率的概念與性質(zhì)二、頻率的概念與性質(zhì)定義定義1.2.2 設(shè)A是某試驗下的一個事件，將此試驗在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次，若其中事件A

40、出現(xiàn)nA次，記 。稱fn(A)為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率，nA稱為A發(fā)生的頻數(shù)。nnAfAn經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)頻率fn(A)隨n的增大具有穩(wěn)定性，此規(guī)律為頻率的穩(wěn)定性。頻率的穩(wěn)定性說明隨機事件發(fā)生的可能性有大小而言。概率的直觀描述：度量事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)稱為事件的概率，記為P（A）。niiniiAPAP11我們可以將頻率fn(A)的穩(wěn)定值p定義為P(A)，并將它稱為事件A概率，由頻率的性質(zhì)可推得統(tǒng)計概率具有如下基本性質(zhì)：（1）（非負(fù)）P(A)0，對任意A（3）（有限可加）若A1，A2，An為F中兩兩互斥事件，則。F（2）（規(guī)范）P()=1)(AfnnnAnnA00)(Afn)(nfBAfn

41、)(Afn)(BfnBAnnn由頻率的定義 =，,很快可以得到頻率的性質(zhì)，2、規(guī)范性： 若為必然事件，則3、有限可加性： 若A,B互不相容即AB=,=+。 頻率的性質(zhì)：頻率的性質(zhì)：1、非負(fù)性：；=1；則)(nfBA )(Afn)(Bfn)(AfnjiAAmji ,1ji )(1iminAf)(1ininAf由這三條基本性質(zhì)，還可以推出頻率的其它性質(zhì)： 5、若，則，由此還可以推得6、對有限個兩兩互不相容的事件的頻率具有可加性，即若（ ）, 則=。4、不可能事件的頻率為0，=0；1；01)(P三、概率的性質(zhì)三、概率的性質(zhì)由于概率是頻率的穩(wěn)定值，因此頻率具有的性質(zhì)，概率也應(yīng)有相應(yīng)的性質(zhì)：1、非負(fù)性:

42、P(A)2、規(guī)范性: 注意：性質(zhì)2反過來不一定成立。就是說概率為1的事件不一定為必然事件。同樣，概率為0的事件不一定為不可能事件，這方面的例子在下一章再舉。；。iA3 , 2 , 1ijiAA)(ji iniAP)(1niiAP1)(AAAA)()(APAP3、有限可加性:若F，n，且則即有限個互不相容的事件的和事件的概率等于這些事件的概率之和。因，從而有由此可知，給定一個隨機事件，也就確定了一個樣本空間、事件域F和概率P其中F是一個 布爾代數(shù)，P是定義在，=1。F上的一個非空、規(guī)范的有限可加集函數(shù) 12n)(1P)(2P)(nP概率的古典定義概率的古典定義古典概型古典概型先討論一類最簡單的隨

43、機試驗，它具有下述特征：樣本空間的元素（基本事件）只有有限個，不妨設(shè)為n個，1.每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有=它在概率論中具有非常重要的地位，一方面它比較簡單，記為；。稱這種數(shù)學(xué)模型為古典概型古典概型。既直觀，又容易理解，另一方面它概括了許多實際內(nèi)容，有很廣泛的應(yīng)用。 12nn2)(P)(1P)(2P)(nP對上述古典概型，它的樣本空間，件域F為的所有子集的全體，這時連同，在內(nèi)，F(xiàn)個事件，并且從概率論的有限可加性知1=，事中含有)(1P)(2P)(nPn1A1i2iki基本事件總數(shù)包含的有利事件數(shù)基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)AAnkAP)(于是于是 =F，若，若A是是k個基本事件之和

44、，即個基本事件之和，即則則 A=所以在古典概型中，事件所以在古典概型中，事件A的概率是一個分?jǐn)?shù)，其分母的概率是一個分?jǐn)?shù)，其分母是樣本點（基本事件）總數(shù)是樣本點（基本事件）總數(shù)n，而分子是事件，而分子是事件A包含的包含的基本事件數(shù)基本事件數(shù)k。4241，而其它的兩個事件的可能性為，而其它的兩個事件的可能性為例如：將一枚硬幣連續(xù)擲兩次就是這樣的試驗，也是古典概型例如：將一枚硬幣連續(xù)擲兩次就是這樣的試驗，也是古典概型，它有四個基本事件，（正、正），它有四個基本事件，（正、正）， （正、反），（正、反）， （反、正）（反、正），（反、反），每個基本事件出現(xiàn)的可能結(jié)果都是，（反、反），每個基本事件出現(xiàn)的

45、可能結(jié)果都是但將兩枚硬幣一起擲，這時試驗的可能結(jié)果為（正、反），但將兩枚硬幣一起擲，這時試驗的可能結(jié)果為（正、反），（反、反），（正、正）但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同（反、反），（正、正）但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同的，（正、反）出現(xiàn)的可能性為的，（正、反）出現(xiàn)的可能性為它不是古典概型，對此歷史上曾經(jīng)有過爭論，達(dá)朗貝爾曾它不是古典概型，對此歷史上曾經(jīng)有過爭論，達(dá)朗貝爾曾誤為這三種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的。誤為這三種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的。判別一個概率模型是否為古典概型，關(guān)鍵是看判別一個概率模型是否為古典概型，關(guān)鍵是看“等可能性等可能性”條件滿不滿足。而對此又通常根椐實際問題的某種對稱性條件滿不滿足。

46、而對此又通常根椐實際問題的某種對稱性進(jìn)行理論分析，而不是通過實驗來判斷。進(jìn)行理論分析，而不是通過實驗來判斷。 0APA由古典概型的計算公式可知，在古典概型中，若由古典概型的計算公式可知，在古典概型中，若p(A)=1,則則A=同樣，若同樣，若，則，則。 不難驗證，古典概型具有非負(fù)性、規(guī)范性和有限可加不難驗證，古典概型具有非負(fù)性、規(guī)范性和有限可加性。性。 利用古典概型的公式計算事件的概率關(guān)鍵是要求基本利用古典概型的公式計算事件的概率關(guān)鍵是要求基本事件總數(shù)和事件總數(shù)和A的有利事件數(shù)，則需要利用數(shù)列和組合的有的有利事件數(shù)，則需要利用數(shù)列和組合的有關(guān)知識，且有一定的技巧性。關(guān)知識，且有一定的技巧性。25

47、25（一）摸球問題（一）摸球問題在盒子中有五個球（三個白球、二個黑球）從中任取兩個。在盒子中有五個球（三個白球、二個黑球）從中任取兩個。問取出的兩個球都是白球的概率？一白、一黑的概率？問取出的兩個球都是白球的概率？一白、一黑的概率？分析：說明它屬于古典概型，從分析：說明它屬于古典概型，從5個球中任取個球中任取2個，共有個，共有C種不同取法，可以將每一種取法作為一個樣點。則樣本點種不同取法，可以將每一種取法作為一個樣點。則樣本點總數(shù)總數(shù)C 是有限的。由于摸球是隨機的，因此樣本點出現(xiàn)的是有限的。由于摸球是隨機的，因此樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，因此這個問題是古典概型。可能性是相等的，因此這個問題是

48、古典概型。取到的兩個球都是白球取到的兩個球一白一黑25解：設(shè)解：設(shè)A=，B= 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為C23 2523CCAP A的有利事件數(shù)為的有利事件數(shù)為C, , 由此例我們初步體會到解古典概型問題的兩個要點：由此例我們初步體會到解古典概型問題的兩個要點：1.首先要判斷問題是屬于古典概型，即要判斷樣本空間是否首先要判斷問題是屬于古典概型，即要判斷樣本空間是否有限和等可能性；有限和等可能性；2.計算古典概型的關(guān)鍵是計算古典概型的關(guān)鍵是“記數(shù)記數(shù)”，這主要利用排列與組合的，這主要利用排列與組合的知識。知識。在古典概型時常利用摸球模型，因為古典概型中的大部分問在古典概型時常利用摸球模型，因為

49、古典概型中的大部分問題都能形象化地用摸球模型來描述，若把黑球做為廢品，白題都能形象化地用摸球模型來描述，若把黑球做為廢品，白球看為正品，則這個模型就可以描述產(chǎn)品的抽樣檢查問題，球看為正品，則這個模型就可以描述產(chǎn)品的抽樣檢查問題，假如產(chǎn)品分為更多等級，例如一等品，二等品，三等品，等假如產(chǎn)品分為更多等級，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，則可以用更多有多種顏色的摸球模型來描述。外品等等，則可以用更多有多種顏色的摸球模型來描述。ii所取的球的號碼為10, 2 , 1i10.2 , 1所取球的號碼為偶數(shù)21105)(AP所取球的號碼為偶數(shù)A所取球的號碼為奇數(shù)AA,21)(Ap例例2：在盒子中有十

50、個相同的球，分別標(biāo)為號碼：在盒子中有十個相同的球，分別標(biāo)為號碼1，2，3，9，10，從中任摸一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。，從中任摸一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。解一：令解一：令 則則 故基本事件總數(shù)故基本事件總數(shù)n=10, 因而因而A含有含有5個基本事件個基本事件 解二：令解二：令 A=， 則則=因而因而 , 令令 A=A所取球的號碼為奇數(shù)=此例說明了在古典概型問題中，選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，可使此例說明了在古典概型問題中，選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，可使我們的解題變的簡潔。我們的解題變的簡潔。順序，向左恰好構(gòu)成各冊自左向右或成自右54321601! 52)(AP例例3：一套五冊的選集，隨機地放到書

51、架上，求各冊書自左至：一套五冊的選集，隨機地放到書架上，求各冊書自左至右恰好成右恰好成1，2，3，4，5的順序的概率。的順序的概率。解：將五本書看成五各球，這就是一個摸球模型，解：將五本書看成五各球，這就是一個摸球模型， 基本事件基本事件總數(shù)總數(shù)5！ 令令 A= A包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為2，（二）分房問題（二）分房問題例例4：設(shè)有：設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的個房間中的任意一間去?。ㄈ我庖婚g去?。╪N），求下列事件的概率：），求下列事件的概率：1）A=指定的指定的n個房間各有一人住個房間各有一人住2）B= 恰好有恰好有n個房間，其

52、中各有一人住個房間，其中各有一人??；解：因為每一個人有解：因為每一個人有N個房間可供選擇（沒有限制每間房住多個房間可供選擇（沒有限制每間房住多少人），所以少人），所以n個人住的方式共有個人住的方式共有nNn個人都分到指定的個人都分到指定的n間房中去住，保證每間房中個有一人??；間房中去住，保證每間房中個有一人?。环N，它們是等可能的。種，它們是等可能的。第一人有第一人有n 分法，第二人有分法，第二人有n-1種分法，種分法，最后一人只最后一人只能分到剩下的一間房中去住，共有能分到剩下的一間房中去住，共有 n(n-1).21種分法種分法，即，即A含有含有n！個基本事件：！個基本事件：)(APnNn!=

53、 nNCnNCn個人都分到的個人都分到的n間房中，保證每間只要一人，共有間房中，保證每間只要一人，共有n!種分法種分法，而，而n間房未指定，故可以從間房未指定，故可以從N間房中任意選取，共有間房中任意選取，共有 法，故法，故B包含了包含了種取法。種取法。種取種取)(BPnnNNnC!=，又如在擲骰子試驗中，又如在擲骰子試驗中“出現(xiàn)一點出現(xiàn)一點”。 n個人相同生日問題，個人相同生日問題，n封信裝入封信裝入n個信封的問題（配對問題個信封的問題（配對問題），擲骰子問題等，分房問題也稱為球在盒子中的分布問），擲骰子問題等，分房問題也稱為球在盒子中的分布問題。題。從上述幾個例子可以看出，求解古典概型問題

54、的關(guān)鍵是在從上述幾個例子可以看出，求解古典概型問題的關(guān)鍵是在尋找基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)，有時正面求較困難時，尋找基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)，有時正面求較困難時，可以轉(zhuǎn)化求它的對立方面，要講究一些技巧。可以轉(zhuǎn)化求它的對立方面，要講究一些技巧。注意：分房問題中的人與房子一般都是有個性的，這類注意：分房問題中的人與房子一般都是有個性的，這類問題是將人一個個地往房間里分配，處理實際問題時要問題是將人一個個地往房間里分配，處理實際問題時要分清什么是分清什么是“人人”，什么是，什么是“房子房子”，一般不可顛倒，一般不可顛倒，常遇到的分房問題有：常遇到的分房問題有：同一天至少有兩個人的生日在A例例5：某班級

55、有：某班級有n個人（個人（n0)，向平面任意投擲一枚長為，向平面任意投擲一枚長為l(l0上述等式總是成立的，同樣對幾何上述等式總是成立的，同樣對幾何概率上述關(guān)系式也成立。概率上述關(guān)系式也成立。,F)()(BPABP條件概率的定義條件概率的定義定義定義1.若（若（）是一個概率空間）是一個概率空間 F， 且（）且（）0.F，稱，稱P（A|B）=為在已知事件發(fā)生的條件為在已知事件發(fā)生的條件對任意對任意下事件發(fā)生的條件概率。下事件發(fā)生的條件概率。性質(zhì)性質(zhì)不難驗證條件概率不難驗證條件概率(.|B)具有概率的三個基本性質(zhì)具有概率的三個基本性質(zhì)iA,1A2A非負(fù)性：非負(fù)性： 規(guī)范性：（規(guī)范性：（可列可加性：

56、可列可加性：F（i=1，2），且），且互不相容，互不相容，F(xiàn) （）（）有有BAPBAPiiii11,F由此可知，對給定的一個概率空間（由此可知，對給定的一個概率空間（）和事件）和事件BF, 如果（）如果（），則條件概率，則條件概率(.|B) 也是也是(，F(xiàn))上的一個概率測度上的一個概率測度,特別，當(dāng)特別，當(dāng)B=時，時，P(.|B)就是原來的概率測度就是原來的概率測度P（）,所以不妨將原來的概所以不妨將原來的概率看成條件概率的極端情形，還可以驗證率看成條件概率的極端情形，還可以驗證BBABABAA21BA1BA2BAA214）P(5)P()=1- P(6)P()=P()+P()-P()=0)（二

57、）乘法公式（二）乘法公式由條件概率的定義可知，當(dāng)由條件概率的定義可知，當(dāng)P(A)0時時P(AB)= P(A)P(AB)這個公式稱為乘法公式這個公式稱為乘法公式乘法公式可以推廣到乘法公式可以推廣到n個事件的情形，個事件的情形，)(21nAAAP)(1AP)(12AAP)(213AAAP).(121nnAAAAP).(121nnAAAAP=(0)例例2：甲、乙兩市都位于長江下游，據(jù)一百多年來的氣象記：甲、乙兩市都位于長江下游，據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占，乙市占18%，兩地同時下雨占，兩地同時下雨占12%。BA同理當(dāng)同理當(dāng)P

58、(B)0時時, P(AB)= P(B)P(記記 A= 甲市出現(xiàn)雨天甲市出現(xiàn)雨天 B =乙市出現(xiàn)雨天乙市出現(xiàn)雨天)求：求：1）兩市至少有一市是雨天的概率；）兩市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市也出現(xiàn)雨天的概率；）乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市也出現(xiàn)雨天的概率；3）甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市也出現(xiàn)雨天的概率。）甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市也出現(xiàn)雨天的概率。26. 0)( BAP67. 0)(BAP60. 0)(ABP解：解：1）2）3）（三）全概率公式（三）全概率公式例例3：有外形相同的球分別裝兩個袋子，設(shè)甲袋有：有外形相同的球分別裝兩個袋子，設(shè)甲袋有6只白只白球，球，4只紅球，乙

59、袋中有只紅球，乙袋中有3只白球只白球6只紅球，現(xiàn)在先從每只紅球，現(xiàn)在先從每袋中各任取一球再從取出的二球中任取一球，求此球是袋中各任取一球再從取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。白球的概率。iAi解：令解：令B= 最后取出的球是白球最后取出的球是白球 顯然導(dǎo)致顯然導(dǎo)致B發(fā)生的發(fā)生的“原因原因”可能是取出的二球中有可能是取出的二球中有0只或只或1只或只或2只白球，因此，如果令只白球，因此，如果令 =先取出的二球有只白球先取出的二球有只白球 ，=0，1，2，0A1A2A0A1A2A則則B=BBB由概率的有限可加性由概率的有限可加性P(B)=P (B)+ P(B)+ P(B)0AB0A1AB1A

60、2AB2A157在由乘法公式在由乘法公式P(B)= P ()P ()+ P()P ()+ P()P ()=上例中采用的方法是概率論中頗為有用的方法，為了求上例中采用的方法是概率論中頗為有用的方法，為了求比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解為兩個（或比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解為兩個（或若干個）互不相容的較簡單的事件的并，求出這些較簡若干個）互不相容的較簡單的事件的并，求出這些較簡單事件的概率，再利用加法公式，即的所要求的復(fù)雜事單事件的概率，再利用加法公式，即的所要求的復(fù)雜事件的概率，將這中方法一般化便得到下述定理：件的概率，將這中方法一般化便得到下述定理：1B2BiniB1)(1n