運籌學(xué)課件第四章整數(shù)規(guī)劃

1、整整 數(shù)數(shù) 規(guī)規(guī) 劃劃(Integer Programming)整數(shù)規(guī)劃的模型整數(shù)規(guī)劃的模型分支定界法分支定界法割平面法割平面法指派問題指派問題（一）、整數(shù)規(guī)劃與線性規(guī)劃的關(guān)系（一）、整數(shù)規(guī)劃與線性規(guī)劃的關(guān)系 從數(shù)學(xué)模型上看整數(shù)規(guī)劃似乎是線從數(shù)學(xué)模型上看整數(shù)規(guī)劃似乎是線性規(guī)劃的一種特殊形式，求解只需在線性規(guī)劃的一種特殊形式，求解只需在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，通過舍入取整，尋求性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，通過舍入取整，尋求滿足整數(shù)要求的解即可。但實際上兩者滿足整數(shù)要求的解即可。但實際上兩者卻有很大的不同，通過舍入得到的解卻有很大的不同，通過舍入得到的解（整數(shù)）也不一定就是最優(yōu)解，有時甚（整數(shù)）也不一定就是最優(yōu)解，

2、有時甚至不能保證所得倒的解是整數(shù)可行解。至不能保證所得倒的解是整數(shù)可行解。舉例說明。舉例說明。一、整數(shù)規(guī)劃的模型一、整數(shù)規(guī)劃的模型例：設(shè)整數(shù)規(guī)劃問題如下例：設(shè)整數(shù)規(guī)劃問題如下 且為整數(shù)0,13651914max21212121xxxxxxxxZ 首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問題（一般稱首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問題（一般稱為松弛問題）。為松弛問題）。0,13651914max21212121xxxxxxxxZ用用 解法求出最優(yōu)解解法求出最優(yōu)解x13/2, x2 = 10/3且有且有Z = 29/6x1x233(3/2,10/3) 現(xiàn)求整數(shù)解（最優(yōu)解）：現(xiàn)求整數(shù)解（最優(yōu)解）：如用如用“

3、舍入取整法舍入取整法”可可得到得到4個點即個點即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。顯然，。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。劃的最優(yōu)解。 按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點。故整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集的可行域內(nèi)且為整數(shù)點。故整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集是一個有限集，如圖所示。是一個有限集，如圖所示。圖圖 因此，可將集合內(nèi)的整數(shù)點一一找出，其最因此，可將集合內(nèi)的整數(shù)點一一找出，其最大目標(biāo)函數(shù)的值為最優(yōu)解，此法為完全枚舉法。大目標(biāo)函數(shù)的值為最優(yōu)解，此法為完全枚舉法。 如上例：其中如上例：其中（2

4、，2）（）（3，1）點為最點為最大值，大值，Z=4。 目前，常用的求解整數(shù)規(guī)劃的方法有：目前，常用的求解整數(shù)規(guī)劃的方法有： 分支定界法和割平面法；分支定界法和割平面法； 對于特別的對于特別的0 01 1規(guī)劃問題采用隱枚舉法和匈規(guī)劃問題采用隱枚舉法和匈牙利法。牙利法。（二）、整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型（二）、整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型一般形式一般形式且且部部分分或或全全部部為為整整數(shù)數(shù)或或 n)1.2(j 0)2 . 1( )min(max11jnjijijnjjjxmibxaxcZZ 依照決策變量取整要求的不同，整數(shù)規(guī)劃可分為純整依照決策變量取整要求的不同，整數(shù)規(guī)劃可分為純整數(shù)規(guī)劃、全整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、

5、數(shù)規(guī)劃、全整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、0 01 1整數(shù)規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃。 純整數(shù)規(guī)劃：純整數(shù)規(guī)劃：所有決策變量要求取非負(fù)整所有決策變量要求取非負(fù)整數(shù)（這時引進(jìn)的松弛變量和剩余變量可以不要數(shù)（這時引進(jìn)的松弛變量和剩余變量可以不要求取整數(shù)）。求取整數(shù)）。 全整數(shù)規(guī)劃：全整數(shù)規(guī)劃：除了所有決策變量要求取非負(fù)除了所有決策變量要求取非負(fù)整數(shù)外，系數(shù)整數(shù)外，系數(shù)aij和常數(shù)和常數(shù)bi也要求取整數(shù)（這時引也要求取整數(shù)（這時引進(jìn)的松弛變量和剩余變量也必須是進(jìn)的松弛變量和剩余變量也必須是 整數(shù)）。整數(shù)）。 混合整數(shù)規(guī)劃：混合整數(shù)規(guī)劃：只有一部分的決策變量要只有一部分的決策變量要求取非負(fù)整數(shù)，另一部分可以取非負(fù)實數(shù)。求

6、取非負(fù)整數(shù)，另一部分可以取非負(fù)實數(shù)。 01整數(shù)規(guī)劃：整數(shù)規(guī)劃：所有決策變量只能取所有決策變量只能取 0 或或 1 兩個整數(shù)兩個整數(shù)。 在實際中經(jīng)常會遇到這樣的問題，有在實際中經(jīng)常會遇到這樣的問題，有n 項不同的任項不同的任務(wù)，需要務(wù)，需要n 個人分別完成其中的一項，但由于任務(wù)的個人分別完成其中的一項，但由于任務(wù)的性質(zhì)和各人的專長不同，因此各人去完成不同的任務(wù)性質(zhì)和各人的專長不同，因此各人去完成不同的任務(wù)的效率（或花費的時間或費用）也就不同。于是產(chǎn)生的效率（或花費的時間或費用）也就不同。于是產(chǎn)生了一個問題，應(yīng)指派哪個人去完成哪項任務(wù)，使完成了一個問題，應(yīng)指派哪個人去完成哪項任務(wù)，使完成 n 項任

7、務(wù)的總效率最高（或所需時間最少），這類問項任務(wù)的總效率最高（或所需時間最少），這類問題稱為指派問題或分派問題。題稱為指派問題或分派問題。 （一）、指派問題的數(shù)學(xué)模型（一）、指派問題的數(shù)學(xué)模型 設(shè)設(shè)n 個人被分配去做個人被分配去做n 件工作，規(guī)定每個人只做一件工作，規(guī)定每個人只做一件工作，每件工作只有一個人去做。已知第件工作，每件工作只有一個人去做。已知第I 個人去個人去做第做第j 件工作的的效率（件工作的的效率（ 時間或費用）為時間或費用）為Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假設(shè)并假設(shè)Cij 0。問應(yīng)如何分配才。問應(yīng)如何分配才能使總效率（能使總效率（ 時間或費用）最高？時間或費用）最高？二

8、、指派問題二、指派問題設(shè)決策變量設(shè)決策變量 1 分配第分配第i 個人去做第個人去做第j 件工作件工作 xij = 0 相反相反 ( I,j=1.2. n )其數(shù)學(xué)模型為：其數(shù)學(xué)模型為： ).2.1,1(0).2.1( 1).2.1( 1min1111njixnjxnixxcZijniijnjijninjijij或或 （二）、解題步驟：（二）、解題步驟： 指派問題是指派問題是0-1 規(guī)劃的特例，也是運輸問題的特例，規(guī)劃的特例，也是運輸問題的特例，當(dāng)然可用整數(shù)規(guī)劃，當(dāng)然可用整數(shù)規(guī)劃，0-1 規(guī)劃或運輸問題的解法去求規(guī)劃或運輸問題的解法去求解，這就如同用單純型法求解運輸問題一樣是不合算解，這就如同用

9、單純型法求解運輸問題一樣是不合算的。利用指派問題的特點可有更簡便的解法，這就是的。利用指派問題的特點可有更簡便的解法，這就是匈牙利法，即匈牙利法，即系數(shù)矩陣中獨立系數(shù)矩陣中獨立 0 0 元素的最多個數(shù)等于元素的最多個數(shù)等于能覆蓋所有能覆蓋所有 0 0 元素的最少直線數(shù)。元素的最少直線數(shù)。 第一步：變換指派問題的系數(shù)矩陣（第一步：變換指派問題的系數(shù)矩陣（cij）為）為(bij)，使，使在在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即元素，即 (1) 從（從（cij）的每行元素都減去該行的最小元素；）的每行元素都減去該行的最小元素； (2) 再從所得新系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最再

10、從所得新系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。小元素。 第二步：進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。第二步：進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。 在在(bij)中找盡可能多的獨立中找盡可能多的獨立0元素，若能找出元素，若能找出n個獨個獨立立0元素，就以這元素，就以這n個獨立個獨立0元素對應(yīng)解矩陣元素對應(yīng)解矩陣(xij)中的元中的元素為素為1，其余為，其余為0，這就得到最優(yōu)解。找獨立，這就得到最優(yōu)解。找獨立0元素，常元素，常用的步驟為：用的步驟為： (1)從只有一個從只有一個0元素的行元素的行(列列)開始，給這個開始，給這個0元素加元素加圈，記作圈，記作 。然后劃去。然后劃去 所在列所在列(行行)的其它的其它0元

11、素，記元素，記作作 ；這表示這列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考；這表示這列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。慮別人了。 (2)給只有一個給只有一個0元素的列元素的列(行行)中的中的0元素加圈，記作元素加圈，記作；然后劃去；然后劃去 所在行的所在行的0元素，記作元素，記作 (3)反復(fù)進(jìn)行反復(fù)進(jìn)行(1)，(2)兩步，直到盡可能多的兩步，直到盡可能多的0元素都元素都被圈出和劃掉為止。被圈出和劃掉為止。 (4)若仍有沒有劃圈的若仍有沒有劃圈的0元素，且同行元素，且同行(列列)的的0元素至元素至少有兩個，則從剩有少有兩個，則從剩有0元素最少的行元素最少的行(列列)開始，比較這開始，比較這行各行各0

12、元素所在列中元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇元素的數(shù)目，選擇0元素少的那列元素少的那列的這個的這個0元素加圈元素加圈(表示選擇性多的要表示選擇性多的要“禮讓禮讓”選擇性選擇性少的少的)。然后劃掉同行同列的其它。然后劃掉同行同列的其它0元素?？煞磸?fù)進(jìn)行，元素?？煞磸?fù)進(jìn)行，直到所有直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。元素都已圈出和劃掉為止。 （5）若）若 元素的數(shù)目元素的數(shù)目m 等于矩陣的階數(shù)等于矩陣的階數(shù)n，那么這指，那么這指派問題的最優(yōu)解已得到。若派問題的最優(yōu)解已得到。若m n, 則轉(zhuǎn)入下一步。則轉(zhuǎn)入下一步。 第三步：作最少的直線覆蓋所有第三步：作最少的直線覆蓋所有0元素。元素。 (1)對沒有對沒

13、有的行打的行打號；號； (2)對已打?qū)σ汛蛱柕男兄兴泻柕男兄兴泻氐牧写蛟氐牧写蛱枺惶枺?(3)再對打有再對打有號的列中含號的列中含 元素的行打元素的行打號；號； (4)重復(fù)重復(fù)(2)，(3)直到得不出新的打直到得不出新的打號的行、列為止；號的行、列為止； (5)對沒有打?qū)]有打號的行畫橫線，有打號的行畫橫線，有打號的列畫縱線，號的列畫縱線，這就得到覆蓋所有這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)元素的最少直線數(shù) l 。l 應(yīng)等于應(yīng)等于m，若不相等，說明試指派過程有誤，回到第二步若不相等，說明試指派過程有誤，回到第二步(4)，另，另行試指派；若行試指派；若 lm n，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣

14、，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到以找到n個獨立的個獨立的0元素，為此轉(zhuǎn)第四步。元素，為此轉(zhuǎn)第四步。第四步：變換矩陣第四步：變換矩陣(bij)以增加以增加0元素。元素。在沒有被直線覆蓋的所有元素中找出最小元素，然后在沒有被直線覆蓋的所有元素中找出最小元素，然后打打各行都減去這最小元素；打各行都減去這最小元素；打各列都加上這最小元各列都加上這最小元素（以保證系數(shù)矩陣中不出現(xiàn)負(fù)元素）。新系數(shù)矩陣素（以保證系數(shù)矩陣中不出現(xiàn)負(fù)元素）。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第二步。的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第二步。 例一：例一： 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙914161

15、3丁丁78119 9118713161491514410413152 241047501110062111302497 00102350960607130 2410475011100621113042 00102350960607130 0100000100101000 有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作文字，分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書譯成不同語種的說明書所需時人，他們將中文說明書譯成不同語種的說明書所需時間如下表所示，問如何分派任務(wù)，可使總時間最少？間如下表所示，問如何

16、分派任務(wù)，可使總時間最少？ 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982例二、例二、求解過程如下：求解過程如下：第一步，變換系數(shù)矩陣：第一步，變換系數(shù)矩陣：2142 289541013895421176)( ijc 0673390245100954 01733402401004545第二步，試指派：第二步，試指派：找到找到 3 3 個獨立零元素個獨立零元素 但但 m m = 3 3 n = 4 第三步，作最少的直線覆蓋所有第三步，作最少的直線覆蓋所有0 0元素：元素：立零元素的個數(shù)獨立零元素的個數(shù)m等于最少直線

17、數(shù)等于最少直線數(shù)l，即，即lm=3n=4； 第四步，變換矩陣第四步，變換矩陣( (bij) )以增加以增加0 0元素：沒有被直線元素：沒有被直線覆蓋的所有元素中的最小元素為覆蓋的所有元素中的最小元素為1 1，然后打，然后打各行都減各行都減去去1 1；打；打各列都加上各列都加上1 1，得如下矩陣，并轉(zhuǎn)第二步進(jìn)，得如下矩陣，并轉(zhuǎn)第二步進(jìn)行試指派：行試指派： 6244251343000 0 00 0100001000011000得到得到4 4個獨個獨立零元素，立零元素， 所以最優(yōu)解所以最優(yōu)解矩陣為：矩陣為：0624425134315 6244251343練習(xí)：練習(xí)：1157

18、64戊戊69637丁丁86458丙丙9117129乙乙118957甲甲EDCBA費費 工作工作 用用人員人員4347511576469637964589117129118957 7132036304520142405263402-1 -2 5032015304310140305242402 5032015304310140305242402 5032015304310140305242402l =m=4 n=5 5032015304310140305242402 5033004203310240306231301 5033004203310240306231301 50330042033102

19、40306231301 5033004203310240306231301 6044003202300230206130300 6044003202300230206130300 6044003202300230206130300此問題有多個最優(yōu)解此問題有多個最優(yōu)解28 6044003202300230206130300 6044003202300230206130300用匈牙利法求解下列指派問題，已知效率矩用匈牙利法求解下列指派問題，已知效率矩陣分別如下：陣分別如下： 79 10 1213 12 16 1715 16 14 1511 12 15 16382103872976427584235

20、9106910（一）、基本思路（一）、基本思路 且為整數(shù)且為整數(shù))2 . 1( , 0)2 . 1( )(max11mjxmibxaIPxcZjnjijijnjjj考慮純整數(shù)問題：考慮純整數(shù)問題：)2 . 1( , 0)2 . 1( )(max11mjxmibxaLPxcZjnjijijnjjj整數(shù)問題的松弛問題：整數(shù)問題的松弛問題：二、分枝定界法二、分枝定界法 1、先不考慮整數(shù)約束，解、先不考慮整數(shù)約束，解( IP )的松弛問題的松弛問題( LP )，可能得到以下情況之一：可能得到以下情況之一： .若若( LP )沒有可行解，則沒有可行解，則( IP )也沒有可行解，停止也沒有可行解，停止計

21、算。計算。 .若若( LP )有最優(yōu)解，并符合有最優(yōu)解，并符合( IP )的整數(shù)條件，則的整數(shù)條件，則( LP )的最優(yōu)解即為的最優(yōu)解即為( IP )的最優(yōu)解，停止計算。的最優(yōu)解，停止計算。 .若若( LP )有最優(yōu)解，但不符合有最優(yōu)解，但不符合( IP )的整數(shù)條件，轉(zhuǎn)的整數(shù)條件，轉(zhuǎn)入下一步。為討論方便，設(shè)入下一步。為討論方便，設(shè)( LP )的最優(yōu)解為：的最優(yōu)解為： 不不全全為為整整數(shù)數(shù)其其中中目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)最最優(yōu)優(yōu)值值為為), 2 , 1(.Z)0 , 0 ,( (0)21)0(mibbbbbXiTmr 2、定界：、定界： 記記( IP )的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為Z* ,以以

22、Z(0) 作為作為Z* 的上界，的上界，記為記為 Z(0) 。再用觀察法找的一個整數(shù)可行解。再用觀察法找的一個整數(shù)可行解 X，并以其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值并以其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 Z作為作為Z* 的下界，記為的下界，記為Z Z，也可以令也可以令Z，則有：，則有： Z Z* ZZ 3、分枝：分枝： 在在( LP )的最優(yōu)解的最優(yōu)解 X(0)中，任選一個不符合整數(shù)條件中，任選一個不符合整數(shù)條件的變量，例如的變量，例如xr= = （不為整數(shù)），以（不為整數(shù)），以 表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)。構(gòu)造兩個約束條件的最大整數(shù)。構(gòu)造兩個約束條件 xr 和和xr 1 1rbrbrbrbrb如此反復(fù)進(jìn)行，直到得到如

23、此反復(fù)進(jìn)行，直到得到ZZ* 為止，即得最優(yōu)解為止，即得最優(yōu)解 X* 。 將這兩個約束條件分別加入問題將這兩個約束條件分別加入問題( IP ) ，形成兩個子，形成兩個子問題問題( IP1)和和( IP2 ) ，再解這兩個問題的松弛問題，再解這兩個問題的松弛問題( LP1)和和( LP2) 。 4、修改上、下界：按照以下兩點規(guī)則進(jìn)行。修改上、下界：按照以下兩點規(guī)則進(jìn)行。 . .在各分枝問題中，找出目標(biāo)函數(shù)值最大者作為在各分枝問題中，找出目標(biāo)函數(shù)值最大者作為新的上界；新的上界； . .從已符合整數(shù)條件的分枝中，找出目標(biāo)函數(shù)值從已符合整數(shù)條件的分枝中，找出目標(biāo)函數(shù)值最大者作為新的下界。最大者作為新的下

24、界。 5、比較與剪枝比較與剪枝 ： 各分枝的目標(biāo)函數(shù)值中，若有小于各分枝的目標(biāo)函數(shù)值中，若有小于Z 者，則剪掉此者，則剪掉此枝，表明此子問題已經(jīng)探清，不必再分枝了枝，表明此子問題已經(jīng)探清，不必再分枝了;否則繼續(xù)否則繼續(xù)分枝。分枝。 Z例一：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題（用圖解法計算）例一：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題（用圖解法計算）且且全全為為整整數(shù)數(shù)0,4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZ記為（記為（IP）解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問題解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問題0,4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZ記為（記

25、為（LP）（二）、例題（二）、例題用圖解法求用圖解法求（LP）的最的最優(yōu)解，如圖所示。優(yōu)解，如圖所示。x1x233(18/11,40/11)對于對于x118/111.64， 取值取值x1 1， x1 2對于對于x2 =40/11 3.64，取值取值x2 3 ，x2 4先將先將（LP）劃分為（）劃分為（LP1）和（）和（LP2）, ,取取x1 1, x1 2 x118/11, x2 =40/11 Z(0) =218/11(19.8)即即Z 也是也是（IP）最小值的下最小值的下限。限。有下式：有下式：且且為為整整數(shù)數(shù)0,1 4 30 652 )1(5min2111212121xxxxxxxxIPx

26、xZ且且為為整整數(shù)數(shù)0,2 4 30 652 )2(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ 現(xiàn)在只要求出（現(xiàn)在只要求出（LP1）和（）和（LP2）的最優(yōu)解即可。）的最優(yōu)解即可。x1x233(18/11,40/11) 先求先求（LP1）, ,如圖所示。如圖所示。此時此時B 在點取得最優(yōu)解。在點取得最優(yōu)解。x11, x2 =3, Z(1)16找到整數(shù)解，問題已探找到整數(shù)解，問題已探明，此枝停止計算。明，此枝停止計算。11同理求同理求（LP2） ,如圖所示。如圖所示。在在C 點取得最優(yōu)解。點取得最優(yōu)解。即即x12, x2 =10/3, Z(2) 56/318.7 Z2 Z116 原問

27、題有比原問題有比（16）更小的最優(yōu)解，但）更小的最優(yōu)解，但 x2 不是整數(shù)，故利用不是整數(shù)，故利用 3 10/34 加入條件。加入條件。BAC加入條件：加入條件： x23, x24 有下式：有下式：且且為為整整數(shù)數(shù)0,3 2 4 30 652 )3(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ且且為為整整數(shù)數(shù)0,4 2 4 30 652 )4(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ只要求出（只要求出（LP3）和（）和（LP4）的最優(yōu)解即可。）的最優(yōu)解即可。x1x233(18/11,40/11)11BAC先求先求（LP3）, ,如圖所示。如圖所示。此時此時D 在

28、點取得最優(yōu)解。在點取得最優(yōu)解。即即 x112/52.4, x2 =3, Z(3)-87/5-17.4 Z(5) F 如對如對 Z(6) 繼續(xù)分解，其最小值也不會低于繼續(xù)分解，其最小值也不會低于15.5 ，問題探明問題探明, ,剪枝。剪枝。 至此，原問至此，原問題（題（IP）的最優(yōu)）的最優(yōu)解為：解為： x1=2， x2 =3, Z* = Z(5) 17以上的求解過程以上的求解過程可以用一個樹形可以用一個樹形圖表示如右：圖表示如右：LP1x1=1, x2=3Z(1) 16LPx1=18/11, x2=40/11Z(0) 19.8LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5LP3x1=12/5

29、, x2=3Z(3) 17.4LP4無可無可行解行解LP5x1=2, x2=3Z(5) 17LP6x1=3, x2=5/2Z(6) 15.5x11x12x23x24x12x13 且全為整數(shù)且全為整數(shù)0,13651914max21212121xxxxxxxxZ練習(xí)：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題練習(xí)：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題 （圖解法）（圖解法）LP1x1=1, x2=7/3Z(1) 10/3LPx1=3/2, x2=10/3Z(0) 29/6LP2x1=2, x2=23/9Z(2) 41/9x11x12LP5x1=1, x2=2Z(5) 3LP6無可無可行解行解x22x23LP3x1=33/

30、14, x2=2Z(3) 61/14LP4無可無可行解行解x22x23LP7x1=2, x2=2Z(7) 4LP8x1=3, x2=1Z(8) 4x12x13LP1x1=1, x2=7/3Z(1) 10/3LPx1=2/3, x2=10/3Z(0) 29/6LP2x1=2, x2=23/9Z(2) 41/9LP3x1=33/14, x2=2Z(3) 61/14LP4無可無可行解行解LP7x1=2, x2=2Z(7) 4LP8x1=3, x2=1Z(8) 4x11x12x22x23x12x13且且為為整整數(shù)數(shù)0,143292)(23max21212121xxxxxxIPxxZ3200CB XB

31、b x1x2x3x40 x3921109/20 x414230114/2-Z032003200CB XB b x1x2x3x43x113/4103/4-1/42x25/201-1/21/2-Z-59/400-5/4-1/4解解:用單純形法解對應(yīng)的用單純形法解對應(yīng)的(LP)問題問題,如表所示如表所示,獲得最優(yōu)解。獲得最優(yōu)解。初始表初始表最終表最終表例二、用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題（單純形法）例二、用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題（單純形法） x1=13/4 x2=5/2 Z(0) =59/414.75 選選 x2 進(jìn)行分枝，即增加兩個約束，進(jìn)行分枝，即增加兩個約束，2 x2 3 有下式：有下式：且

32、且為為整整數(shù)數(shù)0,2 14329 2) 1(23max212212121xxxxxxxIPxxZ且且為為整整數(shù)數(shù)0,3 14329 2)2(23max212212121xxxxxxxIPxxZ 分別在分別在(LP1)和和(LP2)中引入松弛變量中引入松弛變量x5和和x6 ，將新加，將新加約束條件加入上表計算。即約束條件加入上表計算。即 x2+ x5= 2 , x2+x6=3 得得下表下表:32000CB XB b x1x2x3x4x53x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x5201001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x2

33、5/201-1/21/200 x5-1/2001/2 -1/21-Z-59/400-5/4-1/403x17/2101/20-1/22x22010010 x4100-11-2-Z-29/200-3/20-1/2x1=7/2, x2=2 Z(1) =29/2=14.5繼續(xù)分枝，加繼續(xù)分枝，加入約束入約束 3 x1 4LP132000CB XB b x1x2x3x4x63x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x6-30-1001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x6-1/200-1/2 1/21-

34、Z-59/400-5/4-1/403x15/21001/23/22x230100-10 x31001-1-2-Z-27/2000-3/2-5/2LP2x1=5/2, x2=3 Z(2) =27/2=13.5 Z(2) Z(1) 先不考慮分枝先不考慮分枝接接(LP1)繼續(xù)分枝，加入約束繼續(xù)分枝，加入約束 4 x1 3，有下式：有下式：且且為為整整數(shù)數(shù)0,3 2 14329 2)3(23max2112212121xxxxxxxxIPxxZ且且為為整整數(shù)數(shù)0,4 2 14329 2)4(23max2112212121xxxxxxxxIPxxZ分別引入松弛變量分別引入松弛變量x7 和和 x8 ，然后進(jìn)

35、行計算。，然后進(jìn)行計算。CB XB b x1x2x3x4x5x73x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x73100001-Z-29/200-3/20-1/203x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x7-1/200-1/201/21-Z-29/200-3/20-1/203x131000012x220100100 x420001-3-20 x310010-1-2-Z-130000-2-3 x1=3, x2=2 Z(3) =13找到整數(shù)解，找到整數(shù)解，問題已探明，問題已探明，停止計算。停止計算。LP3CB X

36、B b x1x2x3x4x5x83x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x8-4-100001-Z-29/200-3/20-1/203x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x8-1/2001/20-1/21-Z-29/200-3/20-1/203x1410000-12x210110020 x4300-310-40 x5100-101-2-Z-1400-200-1 x1=4, x2=1 Z(4) =14找到整數(shù)解，找到整數(shù)解，問題已探明，問題已探明，停止計算。停止計算。LP4樹形圖如下：樹形圖如下：LP1x1

37、=7/2, x2=2Z(1)29/2=14.5LPx1=13/4, x2=5/2Z(0) 59/4=14.75LP2x1=5/2, x2=3Z(2)27/2=13.5LP3x1=3, x2=2Z(3) 13LP4x1=4, x2=1Z(4) 14x22x23x13x14 且且全全為為整整數(shù)數(shù)0,4 30 652 5min211212121xxxxxxxxxZ練習(xí)：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題練習(xí)：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題 （單純形法）（單純形法）cj-1-5000cBxBbx1x2x3x4x50 x32-111000 x4 30560100 x5410001-Z-1-5000cj-1-50

38、00cBxBbx1x2x3x4x5-5x240/11011/11 5/110-1x1 18/11101/11-6/1100 x526/1100-1/116/111-Z218/11006/1119/110LP1x1=1, x2=3Z(1) 16LPx1=18/11, x2=40/11Z(0) 19.8LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5LP3x1=12/5, x2=3Z(3) 17.4LP4無可無可行解行解LP5x1=2, x2=3Z(5) 17LP6x1=3, x2=5/2Z(6) 15.5x11x12x23x24x12x13（一）、計算步驟：（一）、計算步驟：1、用單純形法求解

39、、用單純形法求解( IP )對應(yīng)的松弛問題對應(yīng)的松弛問題( LP )： .若若( LP )沒有可行解，則沒有可行解，則( IP )也沒有可行解，停止也沒有可行解，停止計算。計算。 .若若( LP )有最優(yōu)解，并符合有最優(yōu)解，并符合( IP )的整數(shù)條件，則的整數(shù)條件，則( LP )的最優(yōu)解即為的最優(yōu)解即為( IP )的最優(yōu)解，停止計算。的最優(yōu)解，停止計算。 .若若( LP )有最優(yōu)解，但不符合有最優(yōu)解，但不符合( IP )的整數(shù)條件，轉(zhuǎn)的整數(shù)條件，轉(zhuǎn)入下一步。入下一步。 三、割平面法三、割平面法 2 2、從、從( (LP) )的最優(yōu)解中，任選一個不為整數(shù)的分量的最優(yōu)解中，任選一個不為整數(shù)的分量

40、x xr,r, ,將最優(yōu)單純形表中該行的系數(shù)將最優(yōu)單純形表中該行的系數(shù) 和和 分解為整數(shù)分解為整數(shù)部分和小數(shù)部分之和，并以該行為源行，按下式作割部分和小數(shù)部分之和，并以該行為源行，按下式作割平面方程：平面方程：rjarb nmjjrjrxff10 3 3、將所得的割平面方程作為一個新的約束條件置于、將所得的割平面方程作為一個新的約束條件置于最優(yōu)單純形表中（同時增加一個單位列向量），用對最優(yōu)單純形表中（同時增加一個單位列向量），用對偶單純形法求出新的最優(yōu)解，返回偶單純形法求出新的最優(yōu)解，返回1 1。的小數(shù)部分的小數(shù)部分的小數(shù)部分的小數(shù)部分rjarb例一：用割平面法求解整數(shù)規(guī)劃問題例一：用割平面法

41、求解整數(shù)規(guī)劃問題 且且為為整整數(shù)數(shù)0,023623 max2121212xxxxxxxZ解：增加松弛變量解：增加松弛變量x3和和x4 ，得到，得到(LP)的初始單純形表和的初始單純形表和最優(yōu)單純形表：最優(yōu)單純形表：Cj0100CBXBbx1x2x3x40 x3632100 x40-3201Z00100Cj0100CBXBbx1x2x3x40 x11101/6-1/61x23/2011/41/4Z-3/200-1/4 -1/4 此題的最優(yōu)解為：此題的最優(yōu)解為：X (1 , 3/2) Z = 3/2 但不是整但不是整數(shù)最優(yōu)解，引入割平面。以數(shù)最優(yōu)解，引入割平面。以x2 為源行生成割平面，由為源行生

42、成割平面，由于于 1/4=0+1/4, 3/2=1+1/2, 我們已將所需要的數(shù)分解為我們已將所需要的數(shù)分解為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以，生成割平面的條件為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以，生成割平面的條件為: 21414143 xx也即：也即：)4141(2112114141234141432432432xxxxxxxxx0)4141(21 43 xx將將 x3=6-3x1-2x2 , x4=3x1-2x2 ,帶入帶入 中，中，得到等價的割平面條件：得到等價的割平面條件： x2 1 見下圖。見下圖。21414143 xxx1x233第一個割平面第一個割平面Cj01000CBXBbx1x2x3x4s10 x11101/

43、6-1/601x23/2011/41/400s1-1/200-1/4-1/41Z-3/200-1/4-1/40現(xiàn)將生成的割平面條件加入松弛變量，然后加到表中：現(xiàn)將生成的割平面條件加入松弛變量，然后加到表中：214141143 sxxCBXBbx1x2x3x4s10 x12/3100-1/32/31x21010010 x320011-4Z-10000-1 此時，此時，X1 (2/3, 1), Z=1,仍不是整數(shù)解。繼續(xù)以仍不是整數(shù)解。繼續(xù)以x1為源為源行生成割平面，其條件為：行生成割平面，其條件為：32323214 sx 用上表的約束解出用上表的約束解出x4 和和s1 ，將它們帶入上式得到等價，

44、將它們帶入上式得到等價的割平面條件：的割平面條件：x1 x2 ，見圖：，見圖：x1x233第一個割平面第一個割平面第二個割平面第二個割平面將生成的割平面條件加入松弛變量，然后加到表中：將生成的割平面條件加入松弛變量，然后加到表中：323232214 ssxCBXBbx1x2x3x4s1s20 x12/3100-1/32/301x210100100 x320011-400s2-2/3000-2/3-2/31Z-10000-10CBXBbx1x2x3x4s1s20 x10100-1011x20010-103/20 x3600150-60s1100011-3/2Z000010-3/2CBXBbx1x

45、2x3x4s1s20 x1110001-1/21x210100100 x310010-53/20 x4100011-3/2Z-10000-10 至此得到最優(yōu)表，其最優(yōu)解為至此得到最優(yōu)表，其最優(yōu)解為 X= (1 , 1) , Z = 1, 這這也是原問題的最優(yōu)解。也是原問題的最優(yōu)解。 有以上解題過程可見，表中含有分?jǐn)?shù)元素且算法過有以上解題過程可見，表中含有分?jǐn)?shù)元素且算法過程中始終保持對偶可行性，因此，這個算法也稱為分程中始終保持對偶可行性，因此，這個算法也稱為分?jǐn)?shù)對偶割平面算法。數(shù)對偶割平面算法。例二：用割平面法求解數(shù)規(guī)劃問題例二：用割平面法求解數(shù)規(guī)劃問題 且且為為整整數(shù)數(shù)0, 205462ma

46、x21212121xxxxxxxxZCj1100CBXBbx1x2x3x40 x3621100 x4204501Z1100CBXBbx1x2x3x41 x15/3105/61/61x28/3012/31/3Z-13/3001/6 1/6初初始始表表最最優(yōu)優(yōu)表表在松弛問題最優(yōu)解中，在松弛問題最優(yōu)解中，x1, x2 均為非整數(shù)解，由上表均為非整數(shù)解，由上表有：有：383132356165432431 xxxxxx將系數(shù)和常數(shù)都分解成整數(shù)和非負(fù)真分?jǐn)?shù)之和將系數(shù)和常數(shù)都分解成整數(shù)和非負(fù)真分?jǐn)?shù)之和 32231)311(321)651(65432431 xxxxxx 以上式子只須考慮一個即可，解題經(jīng)驗表明

47、，考慮以上式子只須考慮一個即可，解題經(jīng)驗表明，考慮式子右端最大真分?jǐn)?shù)的式子，往往會較快地找到所需式子右端最大真分?jǐn)?shù)的式子，往往會較快地找到所需割平面約束條件。以上兩個式子右端真分?jǐn)?shù)相等，可割平面約束條件。以上兩個式子右端真分?jǐn)?shù)相等，可任選一個考慮?，F(xiàn)選第二個式子，并將真分?jǐn)?shù)移到右任選一個考慮?，F(xiàn)選第二個式子，并將真分?jǐn)?shù)移到右邊得：邊得： )(313224332xxxx 32)(3143 xx引入松弛變量引入松弛變量s1 后得到下式，將此約束條件加到上表后得到下式，將此約束條件加到上表中，繼續(xù)求解。中，繼續(xù)求解。 323131143 sxxCj11000CBXBbx1x2x3x4s11 x15/3105/61/601x28/3012/31/300s12/3001/31/31Z13/3001/61/60Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11 x10100101x24010120 x3200113Z400001/2 得到整數(shù)最優(yōu)解，即為整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，而且此整數(shù)規(guī)劃得到整數(shù)最優(yōu)解，即為整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，而且此整數(shù)規(guī)劃有兩個最優(yōu)解：有兩個最優(yōu)解： X= (0, 4), Z = 4, 或 X= (2, 2), Z = 4。 且且為為整整數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí)：0,421625421411m