第一章 第2節(jié) 復(fù)數(shù)幾何表示

1、 2 2 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)下載地址下載地址:Pin:mathematicsPin:mathematics一、復(fù)平面與復(fù)球面一、復(fù)平面與復(fù)球面1.復(fù)平面復(fù)平面111222,zxiy zxiy例例1 將通過兩點將通過兩點的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示。的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示。分析：分析：設(shè)直線上的點設(shè)直線上的點M表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)z=x+iy如圖所示如圖所示1()A z2()B z( )M zoAM t AB 即即121121(),()()zzt zzzzt zztR注：注：若是過兩點線段若是過兩點線段121()(0,1)zzt zzt若若z為

2、中點為中點122zzz (1)|2;(2)|2 | |2|;(3)Im()4ziziziz例例2 求方程表示的曲線求方程表示的曲線分析：分析：（1）以）以-i為圓心，為圓心，2為半徑的圓，為半徑的圓，如圖所示如圖所示（2）2i,-2的垂直平分線，的垂直平分線，如圖所示如圖所示yx (3)Im()4iz例例2 求方程表示的曲線求方程表示的曲線分析：分析：（3）設(shè)）設(shè)z=x+iy,則則如圖所示如圖所示Im()14ixiyy 3y xyO2.復(fù)球面復(fù)球面1）. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點點取一個與復(fù)平面切于原取一個與復(fù)平面切于原 z , NS點點直線與球面相交于另一直線

3、與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過N( )SPP南南極極北北極極 xyON( )SPP思考：與思考：與N對應(yīng)的數(shù)？對應(yīng)的數(shù)？S球球面面C復(fù)復(fù)平平面面一一對應(yīng)一一對應(yīng)除除N外外N 規(guī)定規(guī)定包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面平面, , 或簡稱復(fù)平面或簡稱復(fù)平面. .AA注：注：為復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)，| |=+ ，輻角無意義輻角無意義若無特別說明，均認(rèn)為復(fù)數(shù)集不含若無特別說明，均認(rèn)為復(fù)數(shù)集不含， : 的四則運算規(guī)定如下的四則運算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1(

4、加法加法)(, : )2( 減法減法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法0,00 ，無意義無意義二、區(qū)域二、區(qū)域1.區(qū)域的概念區(qū)域的概念集合中的各類點集合中的各類點1）集合的各類點（集）集合的各類點（集）. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點的集合稱為內(nèi)部的點的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz 一維空間：鄰域（開區(qū)間）一維空間：鄰域（開區(qū)間）0 x（ ）0 x 0 x 二維空間：鄰域二維空間：鄰域（開圓）（開圓）0zR鄰域鄰域:. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點的集合稱為內(nèi)部的點的集合

5、稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz 說明說明z0所對應(yīng)的點所對應(yīng)的點P的鄰域和去心鄰域也可的鄰域和去心鄰域也可分別記作分別記作U(P, , ) ),(P,)U 說明說明. , 0 , 點的鄰域點的鄰域稱為無窮遠(yuǎn)稱為無窮遠(yuǎn)其中實數(shù)其中實數(shù)所有點的集合所有點的集合的的且滿足且滿足包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi)包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi) MMzxyON( )SPP去心鄰域去心鄰域:. 0 00的去心鄰域的去心鄰域集合為集合為所確定的點的所確定的點的稱由不等式稱由不等式zzz 說明說明. . , , zMMz可以表示為可以表示為域域稱為無窮遠(yuǎn)點的去心鄰稱為無窮遠(yuǎn)點的去心鄰

6、的所有點的集合的所有點的集合僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠(yuǎn)點自身在不包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi)點內(nèi)點:. , , . , 000的內(nèi)點的內(nèi)點稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點都屬該鄰域內(nèi)的所有點都屬的一個鄰域的一個鄰域存在存在如果如果中任意一點中任意一點為為為一平面點集為一平面點集設(shè)設(shè)GzGzGzG內(nèi)點內(nèi)點: :. , , . , 000的內(nèi)點的內(nèi)點稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點都屬該鄰域內(nèi)的所有點都屬的一個鄰域的一個鄰域存在存在如果如果中任意一點中任意一點為為為一平面點集為一平面點集設(shè)設(shè)GzGzGzG開集開集: : 如果如果 G 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點, ,那末那末G 稱為

7、開集稱為開集. .區(qū)域區(qū)域: : 如果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, ,則稱它為一個區(qū)域則稱它為一個區(qū)域. .(1) D是一個是一個開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點都可中任何兩點都可以用完全屬于以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來. .練習(xí)：判斷下列集合是否區(qū)域練習(xí)：判斷下列集合是否區(qū)域(1)Im( )0z (2)|1| 4z (3)Im()3iz(4)| 1zi(6)2 | 3z非連通非連通非開集非開集(5)0arg;z 邊界點、邊界邊界點、邊界: : 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域, ,如果點如果點

8、P P 不屬于不屬于D, 但在但在 P P 的的任意任意小的鄰域內(nèi)總有小的鄰域內(nèi)總有D中的點中的點, ,這樣的這樣的 P P 點我們稱為點我們稱為D的的邊界點邊界點. .D的所有邊界點組成的所有邊界點組成D的的邊界邊界. .說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的孤立的點所組成的. . (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 z 1C2C3Cz 1C2C3C(6)2 | 3z(5)0arg;z 例例以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊界邊界有界區(qū)域和無界區(qū)

9、域有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點都滿足點都滿足使區(qū)域的每一個使區(qū)域的每一個即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點點可以被包含在一個以原可以被包含在一個以原如果一個區(qū)域如果一個區(qū)域DMzMD (1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo2.單連通域與多連通域單連通域與多連通域1）.

10、連續(xù)曲線連續(xù)曲線:. , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線代代那末方程組那末方程組是兩個連續(xù)的實變函數(shù)是兩個連續(xù)的實變函數(shù)和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲線的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示: :)().()()(btatiytxtzz 2）. 光滑曲線光滑曲線:.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個值的每一個值且對于且對于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為

11、按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo3）. 簡單曲線簡單曲線:. )( )( , )()( :的起點和終點的起點和終點分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點的重點稱為曲線稱為曲線點點時時而有而有當(dāng)當(dāng)與與的的對于滿足對于滿足Ctztztzttttbtabta 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾或若爾當(dāng)曲線當(dāng)曲線).). , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點和終點重合的起點和終點重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡單任意一條簡單閉曲線閉曲線 C 將復(fù)平面將復(fù)平面唯一地分成三個互唯一地分成三個互不相交的點集不相交的點集.xyo內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(b