(8)03第三章 資金的時(shí)間價(jià)值

1、水利經(jīng)濟(jì)學(xué)第三章資金的時(shí)間價(jià)值與復(fù)利計(jì)算方法第一節(jié) 資金的時(shí)間價(jià)值 資金在參與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的過程中隨著時(shí)間的推移而發(fā)生的增值。資金時(shí)間價(jià)值的概念 貨幣是固定充當(dāng)一般等價(jià)物的特殊商品。在流通中，實(shí)行等價(jià)交換，不會(huì)發(fā)生增值勞動(dòng)力成為商品貨幣轉(zhuǎn)化為資本勞動(dòng)力在生產(chǎn)過程中創(chuàng)造剩余價(jià)值 剩余價(jià)值是資金時(shí)間價(jià)值的內(nèi)涵。增值的原因資金時(shí)間價(jià)值在經(jīng)濟(jì)計(jì)算中的作用考察一筆資金的價(jià)值數(shù)量時(shí)間由于資金時(shí)間價(jià)值的存在，使不同時(shí)間發(fā)生的資金流量不能直接進(jìn)行比較，而必須對其進(jìn)行時(shí)間價(jià)值的等值變換，使其具有時(shí)間可比性。資金時(shí)間價(jià)值在經(jīng)濟(jì)計(jì)算中的作用考慮資金時(shí)間價(jià)值？靜態(tài)的計(jì)算方法？NOYES動(dòng)態(tài)的計(jì)算方法？資金時(shí)間價(jià)值的表現(xiàn)形

2、式 利息是指占用資金所付的代價(jià)或放棄使用資金所得的補(bǔ)償。利息（I）本金 利息 本利和P I Fn 利率（interest）是在一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)所得利息額與本金之比，一般以百分?jǐn)?shù)（）表示。 根據(jù)計(jì)息周期的不同，一般有年利率、季利率、月利率等。利率（i）單利和復(fù)利不考慮利息的時(shí)間價(jià)值，即不計(jì)算利息產(chǎn)生的利息要考慮利息的時(shí)間價(jià)值，需要計(jì)算利息產(chǎn)生的利息單利復(fù)利單 利 單利計(jì)息時(shí)，不管計(jì)息周期數(shù)有多大，僅用本金作計(jì)息基數(shù)，利息不再生利息，利息額與時(shí)間成正比。單利計(jì)算的計(jì)算公式為： I利息；P本金；Fn本利和；n計(jì)息周期數(shù)；i相應(yīng)計(jì)息周期的利率。 除最初的本金計(jì)算利息之外，每一計(jì)息周期已產(chǎn)生的利息要在下一

3、個(gè)計(jì)息周期中也并入本金再生利息，這種計(jì)息方法稱為復(fù)利，俗稱“利滾利”。 復(fù)利計(jì)算能比較客觀地反映資金的活動(dòng)情況。以后，若無特別聲明，都采用復(fù)利計(jì)息法。 復(fù)利法的計(jì)算公式詳見下一節(jié)。復(fù) 利兩點(diǎn)說明：1、單利計(jì)息法對資金時(shí)間價(jià)值的考慮是不充分的，不能完全反映資金的時(shí)間價(jià)值。復(fù)利計(jì)算能比較客觀地反映資金的活動(dòng)情況。2、單利法計(jì)算公式較簡單，我國銀行存款和國庫券的利息就是按單利法計(jì)算的，但為了考慮復(fù)利的因素，它以存款時(shí)間越長利率越高這種方式來體現(xiàn)，實(shí)際上也算是一種變形的復(fù)利計(jì)算法。 所謂資金等值就是發(fā)生在不同時(shí)間，數(shù)額不等的資金，可以具有相等的價(jià)值。 例如：現(xiàn)在的1000元在年利率為6的條件下，與一年

4、后的1060元，雖然資金數(shù)額不相等，但其價(jià)值是相等的。資金等值的概念下面以借款還本付息的例子來進(jìn)一步說明：【例41】 某人現(xiàn)在借款1000元，在5年內(nèi)以年利率6還清全部本金和利息。資金等值的概念四種償還方案 在工程經(jīng)濟(jì)分析中，利用資金等值的概念，可以將發(fā)生在不同時(shí)期的金額，換算成同一時(shí)期的金額，然后再進(jìn)行評價(jià)。 現(xiàn)值終值折 現(xiàn)現(xiàn)在未來 在工程經(jīng)濟(jì)分析中，把工程項(xiàng)目作為一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)，現(xiàn)金流量反映了該項(xiàng)目在壽命周期內(nèi)流入或流出系統(tǒng)的現(xiàn)金活動(dòng)。 流入系統(tǒng)的貨幣收入叫做現(xiàn)金流入(CI)，流出系統(tǒng)的貨幣支出叫做現(xiàn)金流出(CO)，同一時(shí)點(diǎn)現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出的差額叫做凈現(xiàn)金流量(NCF)?，F(xiàn)金流量圖現(xiàn)金流入

5、銷售收入回收的固定資產(chǎn)余值回收的流動(dòng)資金其他收入現(xiàn)金流出固定資產(chǎn)投資固定資產(chǎn)投資方向調(diào)節(jié)稅流動(dòng)資金投資年運(yùn)行費(fèi)（經(jīng)營成本）銷售稅金及附加所得稅凈現(xiàn)金流量現(xiàn)金流入現(xiàn)金流出為了直觀清晰地表達(dá)某項(xiàng)水利工程各年投入的費(fèi)用和取得的收益，并避免計(jì)算時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤，經(jīng)常繪制現(xiàn)金流量圖，又稱資金流程圖。此外，還可以編制現(xiàn)金流量表。 現(xiàn)金流入現(xiàn)金流出時(shí)間軸現(xiàn)金流量圖的作圖要點(diǎn)：1、橫坐標(biāo)表示時(shí)間，單位為計(jì)息周期（通常是年）2、縱坐標(biāo)為資金，箭頭向上為現(xiàn)金流入，向下為現(xiàn)金流出3、通常假設(shè)投資發(fā)生在年初，收入或年運(yùn)行費(fèi)發(fā)生在年末4、為了計(jì)算上的統(tǒng)一，水利建設(shè)項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評價(jià)規(guī)范規(guī)定：投入物和產(chǎn)出物除當(dāng)年借款利息外，均按年末

6、發(fā)生和結(jié)算。在工程經(jīng)濟(jì)分析及計(jì)算中，需要根據(jù)資金等值的原理把不同時(shí)間的投資、費(fèi)用和效益都折算到同一個(gè)時(shí)間水平，然后再進(jìn)行經(jīng)濟(jì)比較。這個(gè)時(shí)間水平年稱為計(jì)算基準(zhǔn)年，且把該年的年初作為資金等值的計(jì)算基準(zhǔn)點(diǎn)。計(jì)算基準(zhǔn)年計(jì)算基準(zhǔn)年通常有以下幾種選取方法： 工程開工的第一年； 工程投入運(yùn)行的第一年； 施工結(jié)束達(dá)到設(shè)計(jì)水平的年份。 考慮到工程評價(jià)所處的階段，水利建設(shè)項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評價(jià)規(guī)范統(tǒng)一規(guī)定：以工程建設(shè)期的第一年作為計(jì)算基準(zhǔn)年。第二節(jié) 復(fù)利計(jì)算公式 在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析當(dāng)中，資金等值是按復(fù)利計(jì)息方法計(jì)算的，所以資金等值計(jì)算公式即為復(fù)利計(jì)算公式。 計(jì)算公式符號說明：P 現(xiàn)值 (Present Value)，亦稱本金，

7、現(xiàn)值P是指對應(yīng) 于計(jì)算基準(zhǔn)點(diǎn)的資金數(shù)額；F 終值 (Future Value)，又稱將來值、本利和，是指從基準(zhǔn)點(diǎn)起第n個(gè)計(jì)息周期末的資金總額；A 等額年值 (Annual Value)，通常又稱年金，是指一段時(shí)期內(nèi)每個(gè)計(jì)息周期末發(fā)生的一系列等額資金值；G 遞增年值 (Gradient Value)，即各計(jì)息周期的資金數(shù)額均勻遞增的差值；n 計(jì)息周期數(shù) (Number of Period)，通常為年；i 計(jì)息周期內(nèi)的折現(xiàn)率或利率 (Interest Rate)，常以計(jì)。 按照現(xiàn)金流量序列的特點(diǎn)，我們可以將資金等值計(jì)算的公式分為： 一次支付 等額多次支付 等差系列 一次支付又稱整付，指現(xiàn)金流量無論

8、是支出還是收入，均在某個(gè)時(shí)點(diǎn)上只發(fā)生一次。注意：P 發(fā)生在第一年年初，F(xiàn) 發(fā)生在第 n 年年末一次支付類型1一次支付終值公式意義：已知支出資金 P，當(dāng)利率為 i 時(shí)，在復(fù)利計(jì)算的條件下，求 n 年末能夠得到的本利和。這個(gè)問題類似于銀行的“整存整取”儲(chǔ)蓄方式。即：已知 P，i ，n F第1年末， F1 PP i P (1i)1第2年末， F2 F1F1 iP(1i)(1i)P (1i)2第n年末， FnP (1i)n1(1i)P(1i)n公式推導(dǎo)過程如下： 一次支付復(fù)利因子(Single Payment Compound Amount Factor)于是，可以得到一次支付終值公式：【例42】 因

9、工程需要向銀行貸款 1000 萬元，年利率為 7，5年后一次還清，試問到期應(yīng)償還本利共多少？解：已知 P1000 萬元，i0.07，n5 年，由公式得：因此，5年后的本利和是 1402.55 萬元。Excel 中的函數(shù)：FV(rate, nper, pmt, pv, type) 本例計(jì)算式：=FV(0.07, 5, , 1000, 0)2一次支付現(xiàn)值公式意義：如果想在未來的第 n 期期末一次收入F 數(shù)額的現(xiàn)金，在利率為 i 的復(fù)利計(jì)算條件下，現(xiàn)在應(yīng)一次支出本金 P 為多少。可見，一次支付現(xiàn)值公式是一次支付終值公式的逆運(yùn)算。即：已知 F，i ，n P 一次支付現(xiàn)值因子(Single Paymen

10、t Present Worth Factor)【例43】 某人 10 年后需 20 萬元用于孩子上學(xué)，銀行的存款年利率為6%，若按復(fù)利方式計(jì)息，問現(xiàn)在應(yīng)存多少錢才能在10年后得到這筆款項(xiàng)？解：已知 F20萬元，i0.06，n10年，由公式得:即：年利率為 6 時(shí)，現(xiàn)在應(yīng)存款 11.17 萬元，10 年后才可以連本帶利得到 20 萬元。Excel 中的函數(shù)：PV(rate, nper, pmt, fv, type) 本例計(jì)算式：=PV(0.06, 10, , 20, 0)討論：現(xiàn)值與終值的相對關(guān)系PPFF基準(zhǔn)點(diǎn)現(xiàn)在將來過去 通常將序列連續(xù)且數(shù)額相等的現(xiàn)金流稱為等額系列現(xiàn)金流(年等值)，這種支付方

11、式則稱為等額多次支付(分付)。注意：P 發(fā)生在第 1 年初（即 0 點(diǎn)），F(xiàn) 發(fā)生在第 n 年年末，而 A 發(fā)生在每一年的年末。等額多次支付類型1等額分付終值公式意義：對 n 期期末等額支付的現(xiàn)金流量 A，在利率為 i 的復(fù)利計(jì)算條件下，求第 n 期期末的終值 (本利和) F。這個(gè)問題類似于銀行的“零存整取”的儲(chǔ)蓄方式。即：已知 A、i、n F公式推導(dǎo)過程如下等額分付終值（復(fù)利）因子(Uniform Series Compound Amount Factor)利用等比級數(shù)求和公式，可得到等額分付終值公式為： 因此，整個(gè)系列的代數(shù)和為：【例44】 某防洪工程建設(shè)期為 6 年，假設(shè)每年年末向銀行貸

12、款 3000 萬元作為投資，年利率 i7 時(shí)，到第 6 年末欠銀行本利和為多少？解：已知 A3000萬元，i0.07，n6 年，求 F。由公式得:因此，到第6年末欠款總額為21460萬元；其中，利息總額為：21460300063460 萬元（利息為貸款資金的 19.2）Excel 中的函數(shù)：FV(rate, nper, pmt, pv, type) 本例計(jì)算式：=FV(0.07, 6, 3000, , 0)2基金存儲(chǔ)公式 可見，基金存儲(chǔ)公式是等額分付終值公式的逆運(yùn)算。意義：當(dāng)利率為 i 時(shí)，在復(fù)利計(jì)算的條件下，如果需在 n 期期末能一次收入F 數(shù)額的現(xiàn)金，那么在這 n 期內(nèi)連續(xù)每期期末需等額支

13、付 A 為多少？即：已知 F、i、n A基金存儲(chǔ)因子 (償債基金因子)(Sinking Fund Deposit Factor)【例45】 某人希望在10年后得到一筆40000元的資金，若年利率為5，在復(fù)利計(jì)算條件下，他每年應(yīng)等額地存入銀行多少元？ 解：已知F40000元，i0.05，n10年，求A。由公式： 可知，他每年應(yīng)均勻地存入銀行3180.2元。 Excel 中的函數(shù)：PMT(rate, nper, pv, fv, type)本例計(jì)算式：=PMT(0.05, 10, , 40000, 0)3等額分付現(xiàn)值公式 由等額分付終值公式 和一次支付終值公式 聯(lián)立消去 F，于是得到： 意義：在利率

14、為 i，復(fù)利計(jì)息的條件下，求 n 期內(nèi)每期期末發(fā)生的等額支付現(xiàn)金 A 的現(xiàn)值 P。即：已知 A、i、n P等額分付現(xiàn)值因子 (Uniform Series Present Worth Factor)【例46】 假如有一新建水電站投入運(yùn)行后，每年出售產(chǎn)品電能可獲得效益 1.2 億元，當(dāng)水電站運(yùn)行 50 年時(shí)，采用折現(xiàn)率 i7，其總效益的現(xiàn)值為多少？解：已知 A1.2 億元（假定發(fā)生在年末），i0.07，n50 年，求 P。由公式得：即：50 年的總效益現(xiàn)值P是：16.561 億元；相應(yīng)50 年的總效益終值F是：16.5611.07 50 =487.83 億元；若按靜態(tài)計(jì)算方法，則 50 年的總效

15、益為 1.25060 億元。Excel 中的函數(shù)：PV(rate, nper, pmt, fv, type) 本例計(jì)算式：=PV(0.07, 50, 1.2, , 0)【例47】 某防洪工程從2001年起興建，2002年底竣工投入使用，2003年起連續(xù)運(yùn)行10年，到2012年平均每年可獲效益800萬元。按 i5計(jì)算，問將全部效益折算到興建年（2001年年初）的現(xiàn)值為多少？解：現(xiàn)金流量圖如下，其中工程建設(shè)期 m2年。注意：直接應(yīng)用等額分付現(xiàn)值公式的前提首先根據(jù)等額分付現(xiàn)值公式 ，將 20032012年的系列年等值折算到2003年初（即2002 年末），得到現(xiàn)值 P 。已知 A800萬元，i5，n

16、10年，有：再根據(jù)一次支付現(xiàn)值公式，將 P 折算到 2001 年初 (2000 年末)，得到 P：所以，全部效益折算到2001年年初的現(xiàn)值為 5603.07 萬元。本例在Excel 中的計(jì)算式為：=PV(0.05, 2, , PV(0.05, 10, 800, , 0), 0)4資金回收公式由其意義可知，資金回收公式是等額分付現(xiàn)值公式的逆運(yùn)算。意義：當(dāng)利率為 i 時(shí)，在復(fù)利計(jì)算的條件下，如果現(xiàn)在借出一筆現(xiàn)值為 P 的資金，那么在今后 n 期內(nèi)連續(xù)每期期末需等額回收多少本息 A，才能保證期滿后回收全部本金和利息。即：已知 P、i、n A資金回收因子(Capital Recovery Factor

17、)【例48】 某人向銀行貸款30萬元用于購房，合同約定以后每個(gè)月底等額償還，期限為20年，若貸款月利率為 0.459%。請問每月應(yīng)償還多少？到期后合計(jì)償還數(shù)是多少？解：貸款（本金）P300 000元，月利率為 0.459%，即 i0.00459，償還期為20年，即240個(gè)月，由公式得： 在Excel 中的計(jì)算式為：=PMT(0.00459, 240, 300000, , 0)到期后合計(jì)償還金額為： 如果按靜態(tài)方法計(jì)算，則合計(jì)償還金額為：2065.02240495604.8元。在Excel 中的計(jì)算式為：=FV(0.00459, 240, 2065.02, , 0) 設(shè)有一系列等差現(xiàn)金流 0，G

18、，2G，（n1）G 分別于第 1，2，3，n 年年末發(fā)生，現(xiàn)金流量如下圖：求該等差系列在第 n 年年末的終值 F、在第 1 年年初的現(xiàn)值 P，以及相當(dāng)于等額分付類型的年等值 A。等差多次支付類型 設(shè)有一系列等差現(xiàn)金流 0，G，2G，（n1）G 分別于第 1，2，3，n 年年末發(fā)生，現(xiàn)金流量如下圖：求該等差系列在第 n 年年末的終值 F、在第 1 年年初的現(xiàn)值 P，以及相當(dāng)于等額分付類型的年等值 A。假定：P 發(fā)生在第1年年初，F(xiàn) 發(fā)生在第 n 年年末，而 G 發(fā)生在每年的年末。注意：等差系列是從 0 開始的，第 n 年的現(xiàn)金流量為（n1）G。 1等差系列終值公式（已知 G 求 F ） 該等差序

19、列的終值可以看作是若干不同年數(shù)而同時(shí)到期的資金總和，即其終值可以由各年的現(xiàn)金流分別折算到期末后相加得到。（1）將 (1) 式左右兩邊同時(shí)乘以 (1i )，得式 (2) ：(2) 式減 (1) 式，得式 (3) ：再將 (3) 式左右兩邊同時(shí)乘以 (1i )，得式(4) ：(4) 式減 (3) 式，得：經(jīng)整理后就可得到等差系列終值公式：(2)(3)(4)等差系列終值 (復(fù)利) 因子 (Gradient Series Compound Amount Factor)等額分付終值（復(fù)利）因子(Uniform Series Compound Amount Factor)2等差系列現(xiàn)值公式（已知 G 求

20、P ） 將一次支付終值公式代入等差系列終值公式消去 F 可得：等差系列現(xiàn)值因子 (Gradient Series Present Worth Factor)等額分付現(xiàn)值因子 (Uniform Series Present Worth Factor)一次支付現(xiàn)值因子(Single Payment Present Worth Factor)3等差系列年值公式（已知 G 求 A ） 即根據(jù) G 求與之等價(jià)的年等值系列 A：代入基金存儲(chǔ)公式 將等差系列終值公式 經(jīng)整理得：等差系列年值因子 (Gradient Series Annual Worth Factor)【例49】 有一項(xiàng)水利工程，在最初10年

21、內(nèi)，效益逐年成等差增加，具體各年效益如下： 已知 i7，試問： 到第10年末的總效益為多少？（假定效益發(fā)生在年末） 這10年的效益現(xiàn)值（第1年年初）為多少？ 這些效益相當(dāng)于每年均勻獲益多少？ 解：繪制現(xiàn)金流量圖如下：由等差支付系列計(jì)算公式的推導(dǎo)過程可知，如果要直接利用等差系列公式進(jìn)行計(jì)算，就必須滿足一定的前提條件，即：系列的第一個(gè)值必須為0，現(xiàn)值折算基準(zhǔn)點(diǎn)為系列的第1年（現(xiàn)金流量為0的那一年）的年初。 水平線將等差系列分為兩部分：上半部分依然是一個(gè)G100的等差系列，且n10年；下半部分成為一個(gè)等額系列，且A100，n10。兩個(gè)系列的計(jì)算基準(zhǔn)點(diǎn)均為圖中的0點(diǎn)。a=100 十年后的效益終值為：

22、十年的效益現(xiàn)值為： 由于在 中已求得系列的終值 F，因此也可以用一次支付現(xiàn)值公式將終值 F 直接折算為現(xiàn)值 P： 相當(dāng)于每年均勻獲益為：另一種思路：n = 11等差遞減系列的情況四、資金等值計(jì)算基本公式小結(jié)此外，還有等比系列計(jì)算公式和連續(xù)計(jì)息計(jì)算公式。FPAGFGFAPGPA復(fù)利計(jì)算公式之間的關(guān)系29個(gè)計(jì)算公式一次支付等額多次等差多次第三節(jié) 名義年利率與實(shí)際年利率 在工程經(jīng)濟(jì)分析中，一般復(fù)利計(jì)算都以年為計(jì)息周期，給出和采用的利率一般都是年利率。但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，計(jì)息周期也可能小于年，如半年、季度、月、周，甚至天。這樣就出現(xiàn)了不同計(jì)息周期的利率換算問題。 所謂名義年利率是指計(jì)息周期小于年，且按單利法計(jì)算出來的年利率。 例如：計(jì)息周期為月，若月利率為1，通常說成是“年利率12，按月計(jì)息”，這里年利率12就是“名義年利率”。概 念名義年利率 每一計(jì)息周期的利率 每年的計(jì)息周期數(shù)名義年利率忽略了利息的時(shí)間價(jià)值，是按單利法計(jì)算的一年所得利息與本金之比。若按單利計(jì)息，名義年利率與實(shí)際年利率是