第7章 MATLAB的符號處理

1、MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第1頁第第7章章 MATLAB的的符號處理符號處理 MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社教學目標教學重點教學內容MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第2頁教學目標l 掌握基本符號運算掌握基本符號運算l 掌握符號函數圖形繪制掌握符號函數圖形繪制l 掌握符號微積分的運算掌握符號微積分的運算l 掌握符號方程的求解方法掌握符號方程的求解方法l 掌握符號積分變換掌握符號積分變換l 了解了解 mfun 函數的使用函數的使用

2、l 了解符號函數計算器的使用了解符號函數計算器的使用MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第3頁教學重點l符號函數圖形繪制符號函數圖形繪制l符號微積分的運算符號微積分的運算l符號方程的求解方法符號方程的求解方法l符號積分變換符號積分變換MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第4頁教學內容l符號運算簡介符號運算簡介 l符號表達式的化簡與替換符號表達式的化簡與替換 l符號函數圖形繪制符號函數圖形繪制 l符號微積分符號微積分 l符號方程的求解符號方程的求解 l符號積分變換符號積分變換 lmfu

3、n函數的使用函數的使用 l符號函數計算器符號函數計算器 MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第5頁符號運算簡介（符號運算簡介（1/6） l符號對象符號對象 符號對象是符號工具箱中定義的另一種數符號對象是符號工具箱中定義的另一種數據類型。符號對象是符號的字符串表示。據類型。符號對象是符號的字符串表示。在符號工具箱中符號對象用于表示符號變在符號工具箱中符號對象用于表示符號變量、表達式和方程。下例說明了符號對象量、表達式和方程。下例說明了符號對象和普通的數據對象之間的差別。和普通的數據對象之間的差別。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程

4、 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第6頁符號運算簡介（符號運算簡介（2/6）l符號變量、表達式的生成符號變量、表達式的生成 sym 函數函數sym 函數可以用于生成單個的符號變量。函數可以用于生成單個的符號變量。syms函數函數 syms用于一次生成多個符號變量，但是不能用用于一次生成多個符號變量，但是不能用于生成表達式。于生成表達式。 MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第7頁符號運算簡介（符號運算簡介（3/6）lfindsym函數和函數和subs函數函數 findsym函數函數 該函數用于確定一個表達式中的符號變量。該函

5、數用于確定一個表達式中的符號變量。subs函數函數 subs函數可以將符號表達式中的符號變量用數值代函數可以將符號表達式中的符號變量用數值代替。替。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第8頁符號運算簡介（符號運算簡介（4/6）l符號和數值之間的轉化符號和數值之間的轉化 sym函數函數用于生成符號變量，也可以將數值函數函數用于生成符號變量，也可以將數值轉化為符號變量。轉化的方式由參數轉化為符號變量。轉化的方式由參數“flag”確定。確定。 MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第9頁符號

6、運算簡介（符號運算簡介（5/6）l任意精度的計算任意精度的計算 l符號計算的一個非常顯著的特點是：在計算過程符號計算的一個非常顯著的特點是：在計算過程中不會出現舍入誤差，從而可以得到任意精度的中不會出現舍入誤差，從而可以得到任意精度的數值解。如果希望計算結果精確，可以用符號計數值解。如果希望計算結果精確，可以用符號計算來獲得足夠高的計算精度。符號計算相對于數算來獲得足夠高的計算精度。符號計算相對于數值計算而言，需要更多的計算時間和存儲空間。值計算而言，需要更多的計算時間和存儲空間。lMATLAB 工具箱中有三種不同類型的算術運算：工具箱中有三種不同類型的算術運算： 數值型：數值型：MATLAB

7、 的浮點數運算；的浮點數運算； 有理數類型：有理數類型：Maple 的精確符號運算；的精確符號運算； VPA 類型：類型：Maple 的任意精度算術運算。的任意精度算術運算。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第10頁符號運算簡介（符號運算簡介（6/6）l創(chuàng)建符號方程創(chuàng)建符號方程 1創(chuàng)建抽象方程創(chuàng)建抽象方程2. 創(chuàng)建符號方程創(chuàng)建符號方程 創(chuàng)建符號方程的方法有兩種：利用符號表達式創(chuàng)創(chuàng)建符號方程的方法有兩種：利用符號表達式創(chuàng)建和創(chuàng)建建和創(chuàng)建M文件。文件。 MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月

8、8日第11頁符號表達式的化簡與替換（符號表達式的化簡與替換（1/2） l 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 MATLAB中中collect、expand、horner、factor、simplify和和simple函數分別實現符號表函數分別實現符號表達式的化簡。達式的化簡。 1. Collect 2. expand 3. horner4. Factor 5. simplify 6. simpleMATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第12頁符號表達式的化簡與替換（符號表達式的化簡與替換（2/2）l符號表達式的替換符號表達式的替換 1sube

9、xpr2. subsMATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第13頁符號函數圖形繪制（符號函數圖形繪制（1/3） l符號函數曲線的繪制符號函數曲線的繪制 1. 顯函數顯函數 2. 隱函數隱函數3. 參數方程參數方程 4. 三維參數曲線三維參數曲線MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第14頁符號函數圖形繪制（符號函數圖形繪制（2/3）l符號函數曲面網格圖及表面圖的繪制符號函數曲面網格圖及表面圖的繪制 1. ezmesh、ezsurf2. ezmeshc、ezsurfcMATLAB R201

10、4a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第15頁l等值線的繪制等值線的繪制 在在 MATLAB中，用于繪制符號函數等值線的函中，用于繪制符號函數等值線的函數有數有ezcontour和和ezcontourf，這兩個函數分別，這兩個函數分別用于繪制等值線和帶有區(qū)域填充的等值線。用于繪制等值線和帶有區(qū)域填充的等值線。 符號函數圖形繪制（符號函數圖形繪制（3/3） MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第16頁符號微積分符號微積分 （1/5） l符號表達式求極限符號表達式求極限 在在MATLAB中函數中函數limit用

11、于求表達式的極限。用于求表達式的極限。 limit(F,x,a)，當，當x趨近于趨近于a時表達式時表達式F的極限。的極限。 limit(F,a)，當，當F中的自變量趨近于中的自變量趨近于a時時F的極限，自變量由的極限，自變量由findsym函數確定。函數確定。 limit(F)，當，當F中的自變量趨近于中的自變量趨近于0時時F的極限，自變量由的極限，自變量由findsym函數確定。函數確定。 limit(F,x,a,right)，當，當x從右側趨近于從右側趨近于a時時F的極限。的極限。 limit(F,x,a,left)，當，當x從左側趨近于從左側趨近于a時時F的極限。的極限。MATLAB R

12、2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第17頁符號微積分符號微積分 （2/5）l符號微分符號微分 MATLAB中函數中函數diff實現函數求導和求微分，可實現函數求導和求微分，可以實現一元函數求導和多元函數求偏導。以實現一元函數求導和多元函數求偏導。 diff(S)，實現表達式，實現表達式S的求導，自變量由函數的求導，自變量由函數findsym確定。確定。 diff(S,v)，實現表達式對指定變量，實現表達式對指定變量v的求導，該的求導，該語句還可以寫為語句還可以寫為diff(S,sym(v)。 diff(S,n)，求，求S的的n階導。階導。 diff(S

13、,v,n)，求，求S對對v的的n階導，該表達式還可以階導，該表達式還可以寫為寫為diff(S,n,v)。 MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第18頁符號微積分符號微積分 （3/5）l符號積分符號積分 與微分對應的是積分與微分對應的是積分，在，在MATLAB中，函數中，函數int用用于實現符號微分運算。于實現符號微分運算。 R = int(S)，求表達式，求表達式S的不定積分，自變量由的不定積分，自變量由findsym函數確定。函數確定。 R = int(S,v)，求表達式，求表達式S對自變量對自變量v的不定積分。的不定積分。 R = i

14、nt(S,a,b)，求表達式，求表達式S在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積上的定積分，自變量由分，自變量由findsym函數確定。函數確定。 R = int(S,v,a,b)，求表達式，求表達式S在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定上的定積分，自變量為積分，自變量為v。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第19頁l級數求和級數求和 symsum函數用于級數的求和。函數用于級數的求和。 r = symsum(s)，自變量為，自變量為findsym函數所確函數所確定的符號變量，設其為定的符號變量，設其為k，則該表達式計算，則該表達式計算s從從0到到k1的和。的和

15、。 r = symsum(s,v)，計算表達式，計算表達式s從從0到到v-1的的和。和。 r = symsum(s,a,b)，計算自變量從，計算自變量從a到到b之間之間s的和。的和。 r = symsum(s,v,a,b)，計算，計算v從從a到到b之間的之間的s的和。的和。 符號微積分符號微積分 （4/5）MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第20頁符號微積分符號微積分 （5/5）lTaylor級數級數 函數函數taylor用于實現用于實現Taylor級數的計算。級數的計算。 r = taylor(f)，計算表達式，計算表達式f的的Tay

16、lor級數，自變量由級數，自變量由findsym函數確定，計算函數確定，計算f的在的在0的的15階階Taylor級數。級數。 r = taylor(f ,Name,Value)，計算表達式，計算表達式f的的Taylor級數，級數，自變量由自變量由findsym函數確定，計算函數確定，計算f在在0的階名的階名Name-階數階數Value的的Taylor級數。級數。 r = taylor(f,v)，指定自變量，指定自變量v的的Taylor級數。級數。 r = taylor(f,v ,Name,Value)，指定自變量，指定自變量v、階名、階名Name-階數階數Value的的Taylor級數。級數。

17、 r = taylor(f,v,a )，指定自變量，指定自變量v、計算、計算f在在a的的Taylor級數。級數。 r = taylor(f,v,a ,Name,Value)，指定自變量，指定自變量v、階名、階名Name-階數階數Value，計算，計算f在在a的的Taylor級數。級數。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第21頁符號方程的求解符號方程的求解 （1/6）l代數方程的求解代數方程的求解 代數方程包括線性方程、非線性方程和超越方程代數方程包括線性方程、非線性方程和超越方程等。在等。在 MATLAB 中函數中函數 solve 用于

18、求解代數方用于求解代數方程和方程組，其調用格式如下：程和方程組，其調用格式如下： g = solve(eq)，求解方程，求解方程 eq 的解，對默認自變量求解，的解，對默認自變量求解，輸入的參數輸入的參數 eq 可以是符號表達式或字符串；可以是符號表達式或字符串； g = solve(eq,var)，求解方程，求解方程 eq 的解，對指定自變量的解，對指定自變量求解。求解。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第22頁符號方程的求解符號方程的求解 （2/6）l求解代數方程組求解代數方程組 代數方程組同樣由函數代數方程組同樣由函數 solve

19、 函數進行：函數進行： g = solve(eq1,eq2,.,eqn)，求由方程，求由方程 eq1、eq2、eqn 等組成的系統(tǒng)，自變量為默認自變量；等組成的系統(tǒng)，自變量為默認自變量； g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn)，求由，求由方程方程eq1、eq2、eqn 等組成的系統(tǒng)，自變量為指等組成的系統(tǒng)，自變量為指定的自變量：定的自變量：var1、var2、varn。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第23頁符號方程的求解符號方程的求解 （3/6）l微分方程的求解微分方程的求解 MATLAB

20、 中微分方程的求解通過函數中微分方程的求解通過函數 dsolve 進進行，該函數用于求解常微分方程。行，該函數用于求解常微分方程。 r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v) r = dsolve (eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第24頁符號方程的求解符號方程的求解 （4/6）l微分方程組的求解微分方程組的求解 求解微分方程組通過求解微分方程組通過 dsolve 進行：進行： r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,.

21、, v)。 該語句求解由參數該語句求解由參數 eq1、eq2 等指定的方等指定的方程組成的系統(tǒng)，初值條件為程組成的系統(tǒng)，初值條件為 cond1、cond2 等，等，v 為自變量。為自變量。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第25頁符號方程的求解符號方程的求解 （5/6）l復合方程復合方程 復合方程通過函數復合方程通過函數 compose 進行：進行： compose(f,g)，返回函數，返回函數 f(g(y)，其中，其中 f = f(x)，g = g(y)，x 是是 f 的默認自變量，的默認自變量，y 是是 g 的默認自變量；的默認自變

22、量； compose(f,g,z)，返回函數，返回函數 f(g(z)，自變量為，自變量為 z； compose(f,g,x,z)，返回函數，返回函數 f(g(z)，指定，指定 f 的自變量的自變量為為 x； compose(f,g,x,y,z)，返回函數，返回函數 f(g(z)，f 和和 g 的自變的自變量分別指定為量分別指定為 x 和和 y。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第26頁符號方程的求解符號方程的求解 （6/6）l反方程反方程l反方程通過函數反方程通過函數 finverse 求得：求得： g = finverse(f)，在函

23、數，在函數 f 的反函數存在的情況的反函數存在的情況下，返回函數下，返回函數 f 的反函數，自變量為默認自變的反函數，自變量為默認自變量；量； g = finverse(f,v)，在函數，在函數 f 的反函數存在的情的反函數存在的情況下，返回函數況下，返回函數 f 的反函數，自變量為的反函數，自變量為 v。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第27頁符號積分變換符號積分變換 （1/3）l符號傅立葉變換符號傅立葉變換 1. 傅立葉變換傅立葉變換 F = fourier(f)，實現函數，實現函數f的傅立葉變換，如果的傅立葉變換，如果f的默認自

24、變量為的默認自變量為x，則，則返回返回f的傅立葉變換結果，默認自變量為的傅立葉變換結果，默認自變量為w；如果；如果f的默認自變量為的默認自變量為w，則返回結果的默認自變量為則返回結果的默認自變量為t。 F = fourier(f,v)，返回結果為，返回結果為v的函數。的函數。 F = fourier(f,u,v)，f的自變量為的自變量為u，返回結果為，返回結果為v的函數。的函數。2. 傅立葉逆變換傅立葉逆變換 f = ifourier(F)，實現函數，實現函數F的傅立葉逆變換，如果的傅立葉逆變換，如果F的默認自變量為的默認自變量為w，則返回結果則返回結果f的默認自變量為的默認自變量為x，如果，

25、如果F的自變量為的自變量為x，則返回結果，則返回結果f的自的自變量為變量為t。 f = ifourier(F,u)，實現函數，實現函數F的傅立葉逆變換，返回結果的傅立葉逆變換，返回結果f為為u的函數；的函數； f = ifourier(F,v,u)，實現函數，實現函數F的傅立葉逆變換，的傅立葉逆變換，F的自變量為的自變量為v，返回，返回結果結果f為為u的函數。的函數。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第28頁符號積分變換符號積分變換 （2/3）l符號拉普拉斯變換符號拉普拉斯變換 1. 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 laplace(F)，實現

26、函數，實現函數F的拉普拉斯變換，如果的拉普拉斯變換，如果F的默認自變量為的默認自變量為t，返，返回結果的默認自變量為回結果的默認自變量為s；如果；如果F的默認自變量為的默認自變量為s，則返回結果為，則返回結果為t的的函數。函數。 laplace(F,t)，返回函數的自變量為，返回函數的自變量為t。 laplace(F,w,z)，指定，指定F的自變量為的自變量為w，返回結果為，返回結果為z的函數。的函數。2. 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 F = ilaplace(L)，實現函數，實現函數L的拉普拉斯逆變換，如果的拉普拉斯逆變換，如果L的自變量為的自變量為s，則返回結果為則返回結果為t的函數；如

27、果的函數；如果L的自變量為的自變量為t，則返回結果為，則返回結果為x的函數。的函數。 F = ilaplace(L,y)，返回結果為，返回結果為y的函數。的函數。 F = ilaplace(L,y,x)，指定，指定L的自變量為的自變量為y，返回結果為，返回結果為x的函數。的函數。MATLAB R2014a 基礎教程基礎教程 清華大學出版社清華大學出版社2022年7月8日第29頁符號積分變換符號積分變換 （3/3）l符號符號Z變換變換 1. Z變換變換 F = ztrans(f)，如果，如果f的默認自變量為的默認自變量為n，則返回結果為，則返回結果為z的函數，如果的函數，如果f為函數為函數z的函數，則返回結果為的函數，則返回結果為w的函數。的函數。 F = ztrans(f,w)，返回結果為，返回結果為w的函數。的函數。 F = ztrans(f,k,w)，f的自變量為的自變量為k，返回結果為，返回結果為w的函數。的函數。2. Z 逆變換逆變換 f = iztrans(F)，若，若F的默認自變量為的默認自變量為z