2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊(cè)人教A版：第五章 章末復(fù)習(xí)

1、章末復(fù)習(xí)一、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值1(1)兩個(gè)基本關(guān)系式sin2cos21及eq f(sin ,cos )tan ；(2)誘導(dǎo)公式：可概括為keq f(,2)(kZ)的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式2化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法有：直接應(yīng)用公式；切化弦；異角化同角；特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化；通分、約分；配方去根號(hào)3求值一般包括：(1)給角求值；(2)給值求值；(3)給值求角4掌握三角函數(shù)中公式的正用、逆用及變形用，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)例1已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq

2、 blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,6)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，則eq f(sin 4,1cos2)的值為_答案eq f(4r(2),15)解析sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,6)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,6)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2)eq f(1,3)，即cos 2eq f(1,3).又eq

3、blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，2(，2)，sin 2eq r(1cos22)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2)eq f(2r(2),3)，eq f(sin 4,1cos2)eq f(2sin 2cos 2,1f(1cos 2,2)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)f(1,3),1f(1f(1,3),2)eq f(4r(2),15).反思感悟三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)的策略(1)化弦：當(dāng)三角函數(shù)式中含有正、余弦及正切函數(shù)時(shí)，往往把切化為弦，再化簡(jiǎn)變形(2)化切：當(dāng)三角函數(shù)式中含有正切及其他三角函數(shù)時(shí)，有時(shí)可將三角函

4、數(shù)名稱統(tǒng)一為正切，再化簡(jiǎn)(3)“1”的代換：在三角函數(shù)式中，有時(shí)會(huì)含有常數(shù)1，常數(shù)1雖然非常簡(jiǎn)單，但有些化簡(jiǎn)卻需要利用公式將1代換為三角函數(shù)式三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)是靈活地運(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算，從而得到一個(gè)便于觀察和研究的結(jié)果，在這個(gè)過程中，要體現(xiàn)一個(gè)“活”字.當(dāng)然“活”的體現(xiàn)涉及公式的“活”和角的“活”.跟蹤訓(xùn)練1已知，為銳角，cos eq f(4,5)，tan()eq f(1,3)，則cos 的值為_答案eq f(9r(10),50)解析 注意到所給值的角與要求函數(shù)值的角之間的差異，因此考慮將單角變?yōu)閺?fù)角，于是0eq f(,2)，0eq f(,2)，eq f(,2)eq f(,2)，又tan()

5、eq f(1,3)，eq f(,2)0.又cos eq f(4,5)，00，0，0f(,2)的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為Meq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，2)，周期為.(1)求f(x)的解析式；(2)將yf(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后再將所得的圖象沿x軸向右平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，寫出函數(shù)yg(x)的解析式；(3)當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,12)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解(1)Teq f(2,)，2，又f(x)min2.A2，由f(x)的最低點(diǎn)為M，sineq blc(

6、rc)(avs4alco1(f(4,3)1.0eq f(,2)，eq f(4,3)eq f(4,3)0，0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式方法去解答，即把x視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)ysin x，余弦函數(shù)ycos x的單調(diào)遞增(減)區(qū)間對(duì)應(yīng)解出x，即得所求的單調(diào)遞增(減)區(qū)間(2)周期性：函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為eq f(2,|)，ytan(x)的最小正周期為eq f(,|).(3)奇偶性：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan x，而偶函數(shù)一般可化為yAcos xB的形式跟蹤訓(xùn)練2(1)已知曲線C1：ycos x，C2：ysineq blc(

7、rc)(avs4alco1(2xf(2,3)，則下面結(jié)論正確的是()A把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq f(,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq f(,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2答案D解析因?yàn)閥sineq blc(rc

8、)(avs4alco1(2xf(2,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3)f(,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，所以曲線C1：ycos x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線ycos 2x，再把得到的曲線ycos 2x向左平移eq f(,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線ycos 2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).故選D.(2)把函數(shù)f(x)2cos(x)(0,0)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然

9、后再向左平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)g(x)，則和的值分別為()A1，eq f(,3) B2，eq f(,3) C.eq f(1,2)，eq f(,6) D.eq f(1,2)，eq f(,3)考點(diǎn)三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用答案B解析依題意得f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為m(x)2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)，則函數(shù)g(x)2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,12).因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為2，所以2，則g(x)2coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,

10、6).又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以eq f(,6)keq f(,2)，kZ，又0，則eq f(,3).三、三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問題1三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)問題，常以三角恒等變換為主要的化簡(jiǎn)手段，考查三角函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜時(shí)，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡(jiǎn)為yAsin(x)k或yAcos(x)k等形式，然后再根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)2通過三角恒等變換，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)例3已知函數(shù)f(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)eq r(3)cos2xeq f(r(

11、3),4)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,4)上的最大值和最小值解(1)f(x)cos xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin xf(r(3),2)cos x)eq r(3)cos2xeq f(r(3),4)eq f(1,2)sin xcos xeq f(r(3),2)cos2xeq f(r(3),4)eq f(1,4)sin 2xeq f(r(3),4)(1cos 2x)eq f(r(3),4)eq f(1,4)sin 2xeq f(r(3),4)cos 2xeq f(1,2)sin

12、eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3).f(x)的最小正周期Teq f(2,2).(2)eq f(,4)xeq f(,4)，eq f(5,6)2xeq f(,3)eq f(,6)，1sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)eq f(1,2)，eq f(1,2)f(x)eq f(1,4)，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,4)上的最大值為eq f(1,4)，最小值為eq f(1,2).反思感悟解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用基本的三角恒等變換思想方法，對(duì)其解析式變形、化簡(jiǎn)，盡量使其化為只有一個(gè)

13、角為自變量的三角函數(shù)解決與圖象和性質(zhì)有關(guān)的問題，在進(jìn)行恒等變換時(shí)，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代換、降冪與升冪、收縮代換、和差與積的互化，角的代換)的運(yùn)用；還要注意一般的數(shù)學(xué)思想方法(如換元法等)的運(yùn)用跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)eq f(sin xcos xsin 2x,sin x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的定義域?yàn)閤R|xk，kZ因?yàn)閒(x)eq f(sin xcos xsin 2x,sin x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1eq r(2)sineq blc(

14、rc)(avs4alco1(2xf(,4)1，所以f(x)的最小正周期Teq f(2,2).(2)函數(shù)ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(2kf(,2)，2kf(3,2)(kZ)由2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(3,2)，xk(kZ)，得keq f(3,8)xkeq f(7,8)(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(kf(3,8)，kf(7,8)(kZ)1為得到函數(shù)ycoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的圖象，只需將函數(shù)ysin x的圖象()A向左平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度B向

15、右平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移eq f(5,6)個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移eq f(5,6)個(gè)單位長(zhǎng)度答案C解析ycoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,6)，只需將ysin x的圖象向左平移eq f(5,6)個(gè)單位長(zhǎng)度2函數(shù)f(x)cos 2x6coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)的最大值為()A4 B5 C6 D7答案B解析因?yàn)閒(x)cos 2x6coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)c

16、os 2x6sin x12sin2x6sin x2eq blc(rc)(avs4alco1(sin xf(3,2)2eq f(11,2)，又sin x1,1，所以當(dāng)sin x1時(shí)，f(x)取得最大值5.3中國(guó)最高的摩天輪是“南昌之星”，它的最高點(diǎn)離地面160米，直徑為156米，并以每30分鐘一周的速度勻速旋轉(zhuǎn)，若從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，則摩天輪旋轉(zhuǎn)5分鐘后離地面的高度為()A41米 B43米C78米 D118米答案B解析摩天輪轉(zhuǎn)軸離地面高160eq blc(rc)(avs4alco1(f(156,2)82(米)，eq f(2,T)eq f(,15)，摩天輪上某個(gè)點(diǎn)P離地面的高度h米與時(shí)間t分鐘的函數(shù)

17、關(guān)系是h8278cos eq f(,15)t，當(dāng)摩天輪運(yùn)行5分鐘時(shí)，其離地面高度為h8278cos eq f(,15)58278eq f(1,2)43(米)4已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sin eq f(4,5)eq r(3)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)的值為_答案eq f(4,5)解析由已知得eq f(r(3),2)cos eq f(3,2)sin eq f(4,5)eq r(3)，所以eq f(1,2)cos eq f(r(3),2)sin eq f(4,5)，即sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)

18、eq f(4,5)，因此sineq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(4,5).5關(guān)于函數(shù)f(x)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)1有以下結(jié)論：函數(shù)f(x)的值域是0,2；點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)，0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；直線xeq f(,3)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq f(,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后，與所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析1coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)1，0coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)12，正確；feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)f(,3)1coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)