第26屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題與詳細(xì)解答

1、PAGE1 / NUMPAGES18第26屆全國(guó)物理競(jìng)賽決賽試題理論部分及標(biāo)準(zhǔn)答案一、填空題（每題5分，共20分）1.某光滑曲面由曲線yf(x)繞豎直y軸旋轉(zhuǎn)一周形成，一自然半徑為a、質(zhì)量為m、勁度系數(shù)為k的彈性圓環(huán)置于該曲面之上，能水平靜止于任意高度，則曲線方程為。參考答案：222yC(xa)mg（C為任意常數(shù)）。2.如圖所示的電阻框架為四維空間中的超立方體在三維空間中的投影模型（可視為內(nèi)外兩個(gè)立方體框架，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)互相連接起來(lái)），若該結(jié)構(gòu)中每條棱均由電阻R的材料構(gòu)成，則AB節(jié)點(diǎn)間的等效電阻為。參考答案：712R3.某種蜜蜂的眼睛能夠看到平均波長(zhǎng)為500nm的光，它是由5000個(gè)小眼構(gòu)成的復(fù)眼

2、，小眼一個(gè)個(gè)密集排放在眼睛的整個(gè)表面上，小眼構(gòu)造很精巧，頂部有一個(gè)透光的圓形集光裝置，叫角膜鏡；下面連著圓錐形的透明晶體，使得外部入射的光線匯聚到圓錐頂點(diǎn)連接的感光細(xì)胞上（入射進(jìn)入一個(gè)小眼的光線不會(huì)透過(guò)錐壁進(jìn)入其他小眼），從而造成一個(gè)“影像點(diǎn)”（像素）；所有小眼的影像點(diǎn)就拼成了一個(gè)完整的像。若將復(fù)眼看作球面圓錐，球面半徑r1.5mm，則蜜蜂小眼角膜鏡的最佳直徑d約為（請(qǐng)給出兩位有效數(shù)字）。參考答案：30m4.開(kāi)路電壓U0與短路電流ISC是半導(dǎo)體p-n結(jié)光電池的兩個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)，試給出兩者之間的關(guān)系表達(dá)式：U=，式中各符號(hào)代表的物理量分別0為。參考答案：UkTISC0ln1eIS，式中e為電子電

3、量的絕對(duì)值，k為波爾茲曼常量，T為絕對(duì)溫度，IS為p-n結(jié)的反向飽和電流。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題共20分。第1、2題每題填對(duì)均得5分，第3題只要答案在27-30m之間即得5分，否則0分。第4題第一空格占4分，第二空格占1分。二、（15分）天體或微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可借助計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)模擬軟件直觀顯示。這涉及幾何尺寸的按比例縮放。為使顯示的運(yùn)動(dòng)對(duì)縮放后的系統(tǒng)而言是實(shí)際可發(fā)生的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也應(yīng)縮放。k1.在牛頓力學(xué)框架中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F(r)中作軌道運(yùn)動(dòng)，且有F(r)F(r)，k為常數(shù)，r為位矢。若幾何尺寸按比率縮放顯示，確定運(yùn)行時(shí)間的縮放率。2.由此證明，行星繞太陽(yáng)軌道運(yùn)動(dòng)周期的平方與軌道幾何尺寸的立方成正比。參考

4、答案1.設(shè)位矢、時(shí)間縮放分別為/,/,rrtt故速度、加速度滿足關(guān)系/rr/vlimlimv/tt/t0t0（1）/vv/alimlimv/202tttt0(2)縮放前后質(zhì)點(diǎn)均滿足牛頓運(yùn)動(dòng)方程，即maF(r)(3)/(/)maFr(4)利用（2）式及F(r)kF(r)，（4）式化簡(jiǎn)為k12()maFr（5）對(duì)照（3）式，得k12（6）2.萬(wàn)有引力場(chǎng)中，有k2，設(shè)想軌道尺寸按/l（7）縮放，則周期按1/2（8）縮放，故有/22/33ll（9）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題共15分第一小題占10分，正確得出（6）式得得10分，其中正確得出（5）式得5分。第二小題占5分。正確得出（9）式得5分。三、（20分）在水平

5、面上有兩根垂直相交的內(nèi)壁光滑的連通細(xì)管，管內(nèi)放置兩個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均為q的同號(hào)帶y點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A和B。初始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A至兩管交點(diǎn)O的距離為d，質(zhì)點(diǎn)B位于交點(diǎn)O處，速度相互垂直，方向如圖所示，大小均為u02kqmd，k為靜電力常量。OBu0Ax求在以后的運(yùn)動(dòng)中，它們之間的最小距u0d離。參考答案：rr兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位矢為rrArBre，記其單位矢量為rrrr。由于質(zhì)點(diǎn)約束在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所受合力必定沿運(yùn)動(dòng)方向，即靜電力沿運(yùn)動(dòng)方向的分力，兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程uururrr2kqma2(ei)iArruur2urrrkqmaejj2()Brr（1）相減可得r2urkqmae2rr（2）其中ruuruuraaaBA為

6、B相對(duì)于A的加速度。（2）式表明，B相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)即力心固定之庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的m運(yùn)動(dòng)，其電勢(shì)能為：U2kq2r(3)中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、能量守恒。此處角動(dòng)量與能量均應(yīng)為B相對(duì)A的運(yùn)動(dòng)的值，可由初始條件定出：rrrLmdi(ujui)md002kqmd（4）rr221kqkq2Em(ujui)2002dd（5）所求量即近力心點(diǎn)到力心的距離urr，該點(diǎn)速度um必與矢徑rmerm垂直，故有：mrumdmm2kqmd(6)122mrum22kqkq22rdm(7)從而解得15rd（8）4評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題共20分正確得出（3）式得10分；（4）、（5）、(6)、(7)與(8)各占2分。四、（10分

7、）熱機(jī)和熱泵利用物質(zhì)熱力學(xué)循環(huán)實(shí)現(xiàn)相反功能：前者從高溫處吸熱，將部分熱量轉(zhuǎn)化為功對(duì)外輸出，其余向低溫處放出；后者依靠外界輸入功，從低溫處吸熱，連同外界做功轉(zhuǎn)化成的熱量一起排向高溫處，按熱力學(xué)第二定律，無(wú)論熱機(jī)還是熱泵，若工作物質(zhì)循環(huán)過(guò)程中只與溫度為T1,T2的兩個(gè)熱源接觸，則吸收的熱量Q1,Q2滿足不等式QQ12TT120，其中熱量可正可負(fù)，分別表示從熱源吸熱與向熱源放熱。原供暖設(shè)備原本以溫度T0的鍋爐釋放的熱量向房間直接供暖，使室內(nèi)溫度保持恒溫T1,高于戶外溫度T2。為提高能源利用率，擬在利用原有能源的基礎(chǔ)上采用上述機(jī)器改進(jìn)供暖方案，與直接供暖相比，能耗下降的理論極限可達(dá)到多少？參考答案：為

8、表述方便，以下熱量均用絕對(duì)值表示?？梢圆捎脽釞C(jī)熱泵聯(lián)合供暖方案：利用熱機(jī)從鍋爐吸收熱量，轉(zhuǎn)化為功；此功驅(qū)動(dòng)熱泵，從戶外吸熱，向室外放熱。熱機(jī)的高溫?zé)嵩村仩t，低溫?zé)嵩纯蛇x室內(nèi)或戶外環(huán)境。以室外為例，設(shè)熱機(jī)從鍋爐吸熱Q0,向室外放熱Q，則有10QQ010TT000(1)熱泵的高、低溫?zé)嵩捶謩e為室內(nèi)、戶外環(huán)境。設(shè)熱泵從戶外吸熱Q2,向室外放熱Q12,則有QQ122TT120(2)通過(guò)熱機(jī)、熱泵聯(lián)合工作，室內(nèi)獲得的總能量為QQQ(3)11012將（1）、（2）兩式相加，得QQQ021TTT0210(4)若熱機(jī)以戶外環(huán)境為低溫?zé)嵩?，同理可得上式。由能量守恒定律給出QQQ（5）102直接供暖時(shí)，給室內(nèi)供熱

9、Q1,鍋爐所釋放的熱量為/QQ（6）01聯(lián)立（4）（5）兩式，可得熱機(jī)熱泵供暖鍋爐釋放的熱量為T(TT)012QQ01T(TT)102（7）能耗下降率為/QQT(TT)00201/QT(TT)0102（8）理論極限為上式取等號(hào)。本題共10分，其中（4）式占4分。五、（15分）磁場(chǎng)會(huì)影響電子的運(yùn)動(dòng)，從而使存在磁場(chǎng)時(shí)的電流與電壓之間的關(guān)系偏離我們熟悉的歐姆定律，本題研究的問(wèn)題即為一例。設(shè)xoy平面內(nèi)有密度（單位體積內(nèi)的電子數(shù)）為n的二維電子氣。平面內(nèi)沿x軸方向urr存在均勻電場(chǎng)EEir（i為軸正方向的單位矢量），垂直于平面的z軸方向存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，urrr磁感應(yīng)強(qiáng)度為BBk（ k為z軸正方向的單位矢

10、量）。已知平面內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)受到的散射阻力與速度v成正比，可等效地用一時(shí)間參量描述為mv，m為電子質(zhì)量，試求在穩(wěn)態(tài)沿x和y方向的電流密度（大小為垂直于電流方向單位長(zhǎng)度的電流）jx和jy，將結(jié)果用電子電荷量絕對(duì)值e、n、m、E、及表示出，參考答案：eBm。列出x和y方向的二維電子的牛頓方程如下：mvxmaeEevB（1）xymvymaevB（2）yx在穩(wěn)態(tài)，v不隨時(shí)間變化，電子無(wú)加速度，axay0。因此由（2）式得vv（3）yx代入（1）式得vxeE22m(1)（4）根據(jù)定義jnev（5）xxjnev（6）yyjx2neE22m(1)jy22neE22m(1)可見(jiàn)在垂直于電場(chǎng)的方向上也產(chǎn)生電流。評(píng)

11、分標(biāo)準(zhǔn)：本題共15分其中（1）式與（2）式各占2分，其中axay0各占2分，（3）式與（4）式各占1分；（5）式（6）式共占3分；（7）式與（8）各占1分。六、（25分）如圖A所示的兩塊平行薄板，由理想導(dǎo)體構(gòu)成，板間距為d，y方向無(wú)限延伸。兩板間沿垂直于y方向傳播的電磁波沿x正方向以行波形式傳播，其電場(chǎng)可表述為:zxzO yx O圖A圖B2z2xEEsin()sin(t)0zx式中為圓頻率，t為時(shí)間，,zx為待定參量，這種結(jié)構(gòu)的組合可以制成實(shí)用的微波發(fā)射天線，用來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的巨大拋物面天線，可以大幅度降低天線成本。1.證明z只能取如下值：z2dm,m1,2,3.2.當(dāng)m=1時(shí)，求z。3.如將一系

12、列板間距相等而長(zhǎng)度不等的理想導(dǎo)體相對(duì)于沿y方向無(wú)限延伸的線狀波源（與紙面交與O點(diǎn)）平行對(duì)稱疊排，板的右端對(duì)齊，面板的長(zhǎng)度有一定的分布（此結(jié)構(gòu)與與紙面相交的截面圖如圖B所示），則在這一結(jié)構(gòu)的右端可輸出沿x方向傳播的平面電磁波。試給出滿足這一要求的板堆在xoz截面內(nèi)左側(cè)邊緣（如圖b所示）所滿足的曲線方程。（取m=1，已知波源到板堆左端的水平距離為L(zhǎng)）.參考答案：1已知兩板間的電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度E為2z2xEEsin()sin(t)（1）0zx由于是理想導(dǎo)體板，當(dāng)z=0和d時(shí)應(yīng)有E=0。從而2d2dm,m1,2,3zmz（2）2.對(duì)于（1）式描述的電磁波，可以通過(guò)1sinsincos()cos()2（

13、3）表達(dá)為兩列平面電磁波的疊加，EEE1212x2zEEcos(t)（4）102xz12x2zEEcos(t)202xz式中兩列電磁波的波長(zhǎng)0都可表達(dá)為22221110 x z 2 c（5）當(dāng)m=1,2,zd1(6)z12()2c2d3因此,x方向的波速vx為v(2)xx1ccd2(7)如圖所示，設(shè)板堆左端任一點(diǎn)P到波源的距離OP=R，OP與水平線的交角為。要使得輸出為沿水平方向的平面波，應(yīng)滿足，LRLRcosccvx（8）由此可得，22ccRL(11)(11cos)dd（9）PzR評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題共25分第一小題5分，第二小題10分，第三小x題10分；O 其中（2）式占5分，（5）式占6分，(

14、6)式占4分；（8）式占6分。七、（35分）1.在經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，電子的向心力來(lái)自于核電場(chǎng)的作用?？墒牵?jīng)典的電磁理論表明電子做加速運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)射電磁波，其發(fā)射功率可表示為（拉莫爾公式）：P22ea63c0，其中a為電子的加速度，c為真空光速，014k=8.85410-12F?m-1,電子電-12F?m-1,電子電荷量絕對(duì)值e=1.60210-19C。若不考慮相對(duì)論效應(yīng)，試估計(jì)在經(jīng)典模型中氫原子的壽命。（實(shí)驗(yàn)測(cè)得氫原子的結(jié)合能是13.6EeV，電子的靜止質(zhì)量H31m09.10910kg）2.帶點(diǎn)粒子加速后發(fā)射的電磁波也有重要的應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)代科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛的同步輻射

15、即是由以接近光速運(yùn)動(dòng)的電子在磁場(chǎng)中作曲線運(yùn)動(dòng)改變運(yùn)動(dòng)方向時(shí)所產(chǎn)生的電磁輻射，電子存儲(chǔ)環(huán)是同步輻射光源裝置的核心，存儲(chǔ)環(huán)中的電子束團(tuán)通過(guò)偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的同步輻射光。XX光源是近年來(lái)建成的第三代同步輻射光源，它的部分工作參數(shù)如下：環(huán)內(nèi)電子能量E3.50GeV,電子束團(tuán)流強(qiáng)I300mA，周長(zhǎng)L=432m,單元數(shù)（裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的彎道數(shù)量）N=20，偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.27T。使計(jì)算該設(shè)備平均每個(gè)光口的輻射總功率P0。（在電子接近光速時(shí)，若動(dòng)量不變，牛頓第二定律仍然成立，但拉莫爾公式不再適用，相應(yīng)的公式變化為P22ea63c04E，其中2mc0，E為電子總能量，2mc為電子的靜止能

16、0量。）3.由于存儲(chǔ)環(huán)內(nèi)的電子的速度接近光速，所以同步輻射是一個(gè)沿電子軌道的切線方向的光錐，光錐的半頂角為1，由此可見(jiàn)電子的能量越高，方向性越好。試計(jì)算：上述設(shè)備在輻射方向上某點(diǎn)接受到的單個(gè)電子產(chǎn)生的輻射持續(xù)時(shí)間T。（本題結(jié)果均請(qǐng)以三位有效數(shù)字表示。）參考解答1：由方程Fma（1）a2vr（2）F4102e2r（3）可推導(dǎo)出電子的總能量為U82er00（4）由條件13.6EeV推導(dǎo)出氫原子的軌道半徑和運(yùn)動(dòng)速度分別為：H11r05.2910m（5）6v02.1910m/s（6）由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率P22ea63c0966e33324cmr00（7）在微小的時(shí)間間隔t中，輻射使電子的總能量U

17、減少UPt（8）22e11eU()r28rrr8r00（9）其中r為電子軌道半徑的減少量，由此可導(dǎo)出時(shí)間和半徑r的變化方程：2322212cmr002trA4rr,4e（10）其中A3223cm04e。構(gòu)造一個(gè)半徑為r0的球體，則24rr即為距離球心為r的薄球殼的體積，在r0到0的求和過(guò)程中可以算出球的體積為時(shí)間為433r。對(duì)應(yīng)本題情況解出電子軌道從r0減少到0所需的0t232234cmr004e（11）代入數(shù)據(jù)，得：111.5610s（12）2：對(duì)于高能電子有vc(1)2Emc(2)a2vr(3)FeBc(4)Fma(5)以上條件可以得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑：REecB(6)儲(chǔ)存環(huán)中的電子數(shù)量：nQItee(7)其中t為電子旋轉(zhuǎn)一圈所花費(fèi)的時(shí)間。由（3）式及輻射條件可得每個(gè)電子每圈損失的總能量為（電子在直道上不輻射能量）：Eneu22424ea2Re36cc3R00（8）由（7）（8）得到存儲(chǔ)環(huán)中的電子消耗的總功率為：4nEIeneu5P4.3410Wutalt3R0(9)出光口的功率為：Putal4P02.1710WN(10)3:在電子軌道上某點(diǎn)的切線方向上的某一點(diǎn)P處觀察，觀察者只能在一個(gè)很短時(shí)間間隔內(nèi)看到電子發(fā)出的輻射，這段時(shí)間是電子地速度方向改變圓錐頂角（即2）的角度所