電動力學 第四章 恒場

1、第四章 恒場 4.1 基本方程和邊界條件4.2 多極展開4.1 基本方程和邊界條件恒源條件4.1.1 恒場此時由連續(xù)性方程 可得穩(wěn)流條件條件4.1.2 靜電場基本方程方程為邊值關系為(4.1.1)(4.1.2a)(4.1.2b)引進靜電勢對于各向同性的線性介質,有所以有(4.1.3)對于均勻介質(4.1.4)如果均勻區(qū)域內不存在自由電荷,則(4.1.5)邊值關系:(4.1.5a)(4.1.5b)(4.1.5a)式為(4.1.5a)式等價(4.1.2b)式,(3.1.12)(4.1.5b)式可由 得到靜電平衡時,導體的靜電條件為4.1.3 導體介質(1) 導體內部電場為零，(3.1.12)（2）

2、導體是等勢體,表面為等勢面導體內部(3) 導體內部不帶電,電荷分布于導體表面導體表面上電場沿法線方向;邊值關系4.1.4 穩(wěn)恒電流體系的基本方程Ohm定律導體表面電荷密度總電荷此時條件靜電場和穩(wěn)恒電流靜磁場邊值關系為4.2 恒場中的多極展開4.2.1 電勢的多極展開若電荷體系集中在空間一小區(qū)域 內,它在空間產生的電勢體積元 在空間產生的電勢整個電荷體系產生的電勢在離該區(qū)域很遠處( )，因為在直角坐標系中作展開，又故有又因為(b)所以(a)化為(a)式中是二階無跡對稱張量,5個獨立分量于是電勢在直角坐標系中的多極展開式為電勢在直角坐標系中的多極展開式可寫為式中電偶極矩 3總電量 1電四極矩 5對

3、照：獨立分量(2)討論:(1) 及更高階電矩和坐標原點選取有關*推廣到二維和一維帶電體系二維帶電體系故(3) 分立電荷體系一維帶電體系故直線故(4) 分量電偶極矩電荷分布在x軸上電四極矩分量顯然二階對稱張量若帶電體系具有軸對稱，則故只有一個獨立的分量(4) 對稱性由于又有(對稱軸為z軸)證：當對稱軸為z軸時，有若球對稱，同樣有故有又有且同理例1:電荷 均勻分布在長為 的一段直線上，求該一維帶電體系的電偶極矩和電四極矩。取線段沿z軸方向討論兩種情況:(1)原點在線段中點；(2)原點在線段一端，且線段在 處。解: 令(1)電四極矩分量：電偶極矩(2)原點在線段一端，且線段在 處?？臻g電勢分布(計算

4、到電四極矩)例2:(1)x軸上四個點電荷位矢分別為代入到有注：當原點取在其它位置仍有代入到(2) 平面上的四個電荷位矢分別為代入到 中，有代入到可計算例3：一半徑為 的圓環(huán)均勻帶電，其電荷線密度為 。解：取圓環(huán)位于 平面，圓心為坐標原點，求圓心作為坐標原點時帶電體系的電偶極矩和電四極矩和在遠處產生的電勢。則總電荷電偶極矩電四極矩分量分量同理分量故空間電勢分布(計算到電四極矩)有球坐標系中的多極展開故式中電多極矩對于分立電荷:階多極矩 的分量的線性組合.球坐標系中的 階多極矩 表示為直角坐標系中的利用球諧函數(shù)公式,可以把球諧函數(shù)公式:可得:4.2.2 電場強度的多極展開在直角坐標系中在球坐標系中

5、在球坐標系中有零級近似: 點電荷電場電偶極子 : 設軸對稱對于原點任意方向的電偶極子 ,有電場為4.2.3 靜磁矢勢的多極展開在離該區(qū)域很遠處( ),有可以寫為式中磁單極項磁偶極項磁四極項1. 磁單極項為零由穩(wěn)恒電流的連續(xù)性,可以把穩(wěn)恒電流區(qū)域分成許多閉合的流管對于每一個流管而言,其中I為在該流管內流過的電流. 或如下證明:式中磁偶極矩2.磁偶極項:故所以矢量式產生的磁場因為及得上面利用磁標勢位于原點，磁偶極矩為 的磁偶極矩產生的磁感應強度對照電偶極矩產生的電場位于原點的電偶極矩產生的電場利用真空中電磁場能量表達式有:(4.2.1)及(4.2.2)(4.2.3a)(4.2.3b)4.3 恒場能

6、量的勢表達式4.3.1 恒場能量的勢表達式當區(qū)域V為全空間時,則有(4.2.4)(4.2.5)靜電能靜磁能因此真空區(qū)域V中恒場的能量可表示為:此時故及(4.2.6)介質中的能量表達式(包括磁化能和極化能)代入(4.2.6)式(4.2.7)當區(qū)域V為全空間時,則有(4.2.8)其總靜電能為對于導體系,每個導體都是等勢體,電荷在外表面上,4.3.2 兩個電荷體系的相互作用能兩個帶電體系總能量的能量相互作用能的能量又4.3.3 電荷體系與外場的相互作用能的多極展開體系與外場的相互作用能為外源分布 在區(qū)域V產生(4.9.37)電勢為因為 ,作Taylor展開有(4.9.38)代入(4.9.37)中,得(4.9.39)由于外源 分布在V外( ),故有(4.9.40)在坐標原點 處的取值所以(4.9.39)寫為(4.9.41)代入到(4.9.36)式得第 項是電 極子與外場的相互作用能處于 的兩個電偶極子 的相互作用能為注：位于原點的電偶極矩產生的電場電偶極子在外場中所受力 :設 平移一個虛位移 ,則4.3.4 電偶極矩在外場中的受力和力矩電偶極子在外場中所受力矩 :設 轉動一個虛角度則而于是4.4 Green定理Gauss定理令 ,則同樣令 有相減得Green定理任意矢量場4.8 作用在導體面上的電場力所以即因為：通過導體表面 在單位時間內：等于導體外的場對導體在單位時間