第三章-晶格振動(dòng)與晶體的光學(xué)性質(zhì)一

1、第三章-晶格振動(dòng)與晶體的光學(xué)性質(zhì)一其中為彈性恢復(fù)力系數(shù)。設(shè)原子質(zhì)量為m，則第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為試解 格波方程其中q為波數(shù)，na相當(dāng)于將原點(diǎn)取在第0個(gè)原子的平衡位置時(shí)第n個(gè)原子的平衡位置，和A為常數(shù)。 色散關(guān)系二、格波的簡(jiǎn)約性質(zhì)、簡(jiǎn)約區(qū) 簡(jiǎn)約區(qū)在簡(jiǎn)約區(qū)內(nèi)，與q一一對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為q的主值范圍。格波：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動(dòng)， 不同原子間有振動(dòng)位相差，這種振動(dòng)以波的形式在 整個(gè)晶體中傳播，稱(chēng)為格波。從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類(lèi)似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中x是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），這是一系列周期排列的點(diǎn)。由此可知，一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為的

2、振動(dòng)，不同原子有不同的振動(dòng)位相，相鄰兩原子的振動(dòng)位相差為aq。若aq改變2的整數(shù)倍，這兩個(gè)格波所描述的所有原子的振動(dòng)狀態(tài)完全相同。1=4a ，即q1=2/ 1 = /2a；2=4a/5，即q2=2/ 2 = 5/2aq2- q2=2/a由圖可以看出，由q1和q2所確定的各原子的相對(duì)位置是完全相同的，即這兩個(gè)波數(shù)描述同一晶格振動(dòng)狀態(tài)。三、周期性邊界條件（BornKarman邊界條件） 設(shè)晶體中原子總數(shù)為N，晶體鏈長(zhǎng)為Na，所謂周期性邊界條件就是將一有限長(zhǎng)度的晶體鏈看成無(wú)限長(zhǎng)晶體鏈的一個(gè)重復(fù)單元，即：12nNN+1N+2N+nh =整數(shù)這表明，引入周期性邊界條件后，波數(shù)q不能任意取值，只能取分立的

3、值。 在q軸上，相鄰兩個(gè)q的取值相距 ， 即在q軸上，每一個(gè)q的取值所占的空間為所以，q的分布密度為：LNa 為晶體鏈的長(zhǎng)度。簡(jiǎn)約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)(q) 2/a (Na/2)2/a N晶體鏈的原胞數(shù)晶格振動(dòng)格波的總數(shù)=N1=晶體鏈的自由度數(shù)。四、格波的簡(jiǎn)諧性、聲子概念這是n(t)在q空間中的Fourier展開(kāi)式。將上式代入系統(tǒng)總機(jī)械能的表達(dá)式中，再利用線(xiàn)性變換系數(shù)的正交條件：即可將系統(tǒng)的總機(jī)械能化為：運(yùn)動(dòng)方程： 經(jīng)變換后，Q(q, t)代表一個(gè)新的空間坐標(biāo)，它已不再是描述某個(gè)原子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)了，而是反映晶體中所有原子整體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)，稱(chēng)為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。 一個(gè)波數(shù)為q的格波相當(dāng)于一個(gè)頻率為(q)的簡(jiǎn)

4、諧振子，我們將晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的正則振動(dòng)稱(chēng)為一種振動(dòng)模式。對(duì)于由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，共有N種格波，即有N個(gè)振動(dòng)模式，就相當(dāng)于有N個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子。 根據(jù)量子力學(xué)理論，簡(jiǎn)諧振子的能量是量子化的，第j個(gè)振動(dòng)模式的簡(jiǎn)諧振子的能量本征值為：聲子的概念： 聲子是晶格振動(dòng)的能量量子。 聲子具有能量 ，也具有準(zhǔn)動(dòng)量 ，它的行為類(lèi)似 于電子或光子，具有粒子的性質(zhì)。但聲子與電子或光子是 有本質(zhì)區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激 發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí) 的粒子。我們將這種具有粒子性質(zhì)，但又不是真實(shí)物理實(shí) 體的概念稱(chēng)為準(zhǔn)粒子。所以，聲子是一種準(zhǔn)粒子。

5、 一種格波即一種振動(dòng)模式稱(chēng)為一種聲子，對(duì)于由N個(gè)原子 組成的一維單原子鏈，有N種格波，即有N種聲子。當(dāng)一種 振動(dòng)模式處于其能量本征態(tài)時(shí)，稱(chēng)這種振動(dòng)模有nj個(gè)聲子。 當(dāng)電子或光子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，總是以 為單 元交換能量，若電子交給晶格 的能量，稱(chēng)為發(fā)射 一 個(gè)聲子；若電子從晶格獲得 的能量，則稱(chēng)為吸收一 個(gè)聲子。 聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光子） 相互作用時(shí)，聲子數(shù)并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以湮 滅。其作用過(guò)程遵從能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。 對(duì)于由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，有N個(gè)振動(dòng)模式， 即有N種不同的聲子。因此，晶格振動(dòng)的總能量為：3.2 一維雙原子鏈的振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)方

6、程及其解aMmnnn-1n+1 考慮一個(gè)由P和兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈，設(shè)晶格常數(shù)（即原胞大?。閍，平衡時(shí)相鄰兩原子的間距為a/2，P、Q兩原子的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M m），原子間的力常數(shù)為。 在t時(shí)刻，第n個(gè)原胞中，P原子的位移為n ，Q原子的位移為n 。 若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，則運(yùn)動(dòng)方程為：試解：q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單位距離兩點(diǎn)間的振動(dòng)位相差。代入方程得：久期方程：解得我們將頻率為的晶格振動(dòng)稱(chēng)為光學(xué)波；頻率為的振動(dòng)稱(chēng)為聲學(xué)波。由于cos(aq)以2為周期，所以是q的周期函數(shù)，其周期為2/a。簡(jiǎn)約區(qū)：若有一個(gè)波數(shù)q不在簡(jiǎn)約區(qū)中，我們一定可

7、以在簡(jiǎn)約區(qū)中找到唯一一個(gè)q，使得q和q所描述的晶格振動(dòng)狀態(tài)完全相同。這時(shí)， q和q滿(mǎn)足：為倒格矢二、光學(xué)波和聲學(xué)波的物理圖象第n個(gè)原胞中P、Q兩種原子的位移之比這里R為大于零的實(shí)數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比，為兩原子位相差。1. 光學(xué)波（optical branch）由于于是，原胞中兩種不同原子的振動(dòng)位相差在、象限之間，屬于反位相型。物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動(dòng)位相基本上相反，即 原胞中的兩種原子基本上作相對(duì)振動(dòng)。當(dāng)q0時(shí)，這時(shí)原胞中兩種原子振動(dòng)位相完全相反。原胞中兩種原子的位移與其質(zhì)量成反比，且運(yùn)動(dòng)方向相反，即原胞中兩種原子作相對(duì)振動(dòng)，而原胞 質(zhì)心保持不動(dòng)。當(dāng)q0時(shí)，有極大值：

8、當(dāng)q/a時(shí)， 取極小值： 如果原胞內(nèi)為兩個(gè)帶相反電荷的離子（如離子晶體），那么正負(fù)離子的相對(duì)振動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場(chǎng)可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)，因此，我們稱(chēng)這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。2. 聲學(xué)波（acoustic branch）即：在、象限，屬于同位相型。當(dāng)q0時(shí)，原胞內(nèi)兩種原子的振動(dòng)位相完全相同。物理圖象：原胞中的兩種原子的振動(dòng)位相基本相同， 這時(shí)，原胞基本上作為一個(gè)整體振動(dòng)，而 原胞中兩種原子基本上無(wú)相對(duì)振動(dòng)。q0時(shí)這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波 vq 是一致的。當(dāng)q0時(shí)這表明，在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相

9、同，這時(shí)的格波非常類(lèi)似于聲波，所以我們將這種晶格振動(dòng)稱(chēng)為聲學(xué)波或聲學(xué)支。事實(shí)上，在長(zhǎng)波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類(lèi)似于聲波。當(dāng)q0時(shí)，0；當(dāng) 時(shí)在max和+min之間存在一個(gè)頻率“空隙”，這表明值處于“空隙”的波將強(qiáng)烈衰減，不能在晶體中傳播。從能量角度看， 表示聲子的能量。所以頻率“空隙”就對(duì)應(yīng)于聲子能量的禁帶。三、周期性邊界條件周期性邊界條件：h =整數(shù)， N為晶體鏈的原胞數(shù)。q的分布密度：推廣：若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，則一維晶格振動(dòng)每一個(gè) q對(duì)應(yīng)有1個(gè)聲學(xué)波（對(duì)應(yīng)于原胞的整體振動(dòng)）和 s-1個(gè)光學(xué)波。 晶格振動(dòng)格波的總數(shù)sN晶體鏈的自由度數(shù)。3.3 三維晶格振動(dòng)一、三維簡(jiǎn)單晶

10、格的振動(dòng)0lRlRlRl RlRl-ll-ll 晶格振動(dòng)的勢(shì)能是原子位移的函數(shù)，在微小位移的情況下，可將它在平衡位置附近展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)，并取平衡位置為勢(shì)能原點(diǎn)，在簡(jiǎn)諧近似下，系統(tǒng)的勢(shì)能為：其中，(l)和(l)分別是第l和第l個(gè)原子沿方向和方向的位移。力常數(shù)第l個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為：這里我們考慮了晶體中所有原子的相互作用。晶體中各力常數(shù)之間并不是都是獨(dú)立的，而必須滿(mǎn)足：，1，2，3另外，由于晶格的周期性，力常數(shù)的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與他們的相對(duì)位置Rl-Rl，若相對(duì)位置一樣，無(wú)論哪兩個(gè)原子，其力常數(shù)均相同。設(shè)格波解：帶入運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)化簡(jiǎn)后得：，1，2，3這是關(guān)于A1、A2和A3的線(xiàn)性齊次方程組

11、，有非零解的條件為：久期方程這是關(guān)于2的三次方程，由此可以解出2的三個(gè)根，即可得與q的三個(gè)關(guān)系式，對(duì)應(yīng)于三維情況沿三個(gè)方向的振動(dòng)，即三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對(duì)于復(fù)式晶格，若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，由運(yùn)動(dòng)方程可以解得3s個(gè)與q的關(guān)系式（即色散關(guān)系式），對(duì)應(yīng)于3s支格波，其中3支為聲學(xué)波（一支縱波，兩支橫波），3(s1)支為光學(xué)波。二、布里淵區(qū)考察(q)在q空間中的周期性。設(shè)有兩個(gè)波矢q 和q所描述的晶格振動(dòng)狀態(tài)完全相同，對(duì)于第j支格波，有上式對(duì)于任意時(shí)刻t和任意的格矢Rl都成立，于是有：由于Gn為倒格矢，h為整數(shù)所以有q-qGn ，（由于Rl為任意格矢）即： j(qGn)=j(q)

12、這表明在q空間中， j(q)是以倒格矢Gn 為周期的周期函數(shù)。所以，在三維情況下我們?nèi)钥蓪⒉ㄊ竡限制在簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。 若將原點(diǎn)取在簡(jiǎn)約區(qū)的中心，那么，在布里淵區(qū)邊界面上周期對(duì)于的兩點(diǎn)間應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系：0GnqqGn 布里淵區(qū)邊界面方程這表明布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平方面。布里淵區(qū)的幾何作圖法： 根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點(diǎn)陣，并取一 個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)； 由近到遠(yuǎn)作各倒格矢的垂直平方面； 在原點(diǎn)周?chē)鷩梢粋€(gè)包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積， 即為簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)。顯然，簡(jiǎn)約區(qū)就是倒易空間中的WibnerSeitz原胞。這種幾何作圖法不僅可以給出簡(jiǎn)約區(qū)，即第一布里淵區(qū)，也給出了簡(jiǎn)約

13、區(qū)以外的許多封閉區(qū)域，它們由內(nèi)向外依次稱(chēng)為第二布里淵區(qū)、第三布里淵區(qū)等。1222222333333可以證明，每個(gè)布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積b 。布里淵區(qū)序號(hào)的確定：從某個(gè)區(qū)域中的任一點(diǎn)到原點(diǎn)聯(lián)成一條直線(xiàn)，若此直線(xiàn)穿過(guò)n個(gè)布里淵區(qū)邊界面，那么，這個(gè)區(qū)域就是第n+1個(gè)布里淵區(qū)。正格子格常數(shù)倒格子格常數(shù)簡(jiǎn)約區(qū)bccafcc由12個(gè)110面圍成的正12面體fccabcc由8個(gè)111面和6個(gè)100面圍成的14面體三、周期性邊界條件 設(shè)晶體為一平行六面體，其棱邊沿基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分別為晶體沿三個(gè)基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N N1 N2 N3 。周期性邊界條件：對(duì)于第j支格波：1, 2, 3h = 整數(shù)令1, 2, 3h1 , h2 , h3整數(shù)可見(jiàn)，引入周期性邊界條件后，波矢q的取值不連續(xù)，這些的q取值在q空間中構(gòu)成一個(gè)態(tài)空間點(diǎn)陣。在q空間中，每一個(gè)q的取值（狀態(tài)）所占的空間為