新高一2022年暑假講義第3講 集合之間的關(guān)系（一）（解析版）

1、第3講：集合之間的關(guān)系（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解子集、真子集、集合相等、空集的概念；2能用符號(hào)和Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系；3掌握列舉有限集的所有子集的方法【基礎(chǔ)知識(shí)】一、子集、真子集、集合相等1子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念定義符號(hào)表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集AB(或BA)真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，就稱集合A是集合B的真子集(或)集合相等如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等AB二、子集的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AA.(2)對(duì)于集合A

2、，B，C，如果AB，且BC，那么AC.三、空集1定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為.2規(guī)定：空集是任何集合的子集【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單集合間關(guān)系的判斷例1設(shè)集合M=x|x=k3+16,kZ，N=x|x|x=k6+13,kZ，則M，N的關(guān)系為（ ）AMNBM=NCMNDMNA【詳解】集合M=x|x=k3+16,kZ中的元素，滿足x=k3+16=2k+16，kZ，集合N=x|x|x=k6+13,kZ中的元素，滿足x=k6+13=k+26，kZ，表示所有的奇數(shù)，k+2表示所有的整數(shù)；MN故選：A.變式訓(xùn)練1：集合M=xx=2n,nN，N=xx=2n,nN，則集合M與N的關(guān)系是（ ）AMNBNM

3、CMN=DMN且NMD【詳解】因?yàn)?M，1N且0N，0M，所以MN且NM故選：D.變式訓(xùn)練2：若集合M=x|x=k2-4,kZ，N=x|x=k4+2,kZ，則（ ）AM=NBMNCNMDMN=B【詳解】k2-4=(2k-1)4，kZ時(shí)，2k-1取得所有奇數(shù)，k4+2=(k+2)4，kZ時(shí)，k+2取得整數(shù)因此MN故選：B變式訓(xùn)練3：設(shè)集合P=yy=x2+1,M=xy=x2+1，則集合M與集合P的關(guān)系是（ ）AM=PBPMCDD【詳解】P=yy=x2+1=y|y1=1,+)，M=xy=x2+1=R，所以故選：D考點(diǎn)二：集合之間的關(guān)系例2：下列六個(gè)關(guān)系式：a,b=b,a；a,bb,a；=；0=；0；

4、00其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1B3C4D6答案：C解析：正確，集合中元素具有無(wú)序性；正確，任何集合是自身的子集；錯(cuò)誤，表示空集，而表示的是含這個(gè)元素的集合，是元素與集合的關(guān)系，應(yīng)改為；錯(cuò)誤，表示空集，而0表示含有一個(gè)元素0的集合，并非空集，應(yīng)改為0；正確，空集是任何非空集合的真子集；正確，是元素與集合的關(guān)系變式訓(xùn)練1：以下六個(gè)關(guān)系式：00，0，0.3Q， 0N， a,bb,a ，x|x2-2=0,xZ是空集，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）A4B3C2D1D【詳解】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系可判定00、0N正確，0.3Q不正確，根據(jù)集合與集合之間的關(guān)系可判定0、a,bb,a、xx2-2=0,xZ是空集正確故選：

5、D變式訓(xùn)練2：下列寫法：（1）02,3,4；（2）0；（3）-1,0,1=0,-1,1；（4）0，其中錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4B【詳解】由集合與集合的關(guān)系可知，（1）錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，（2）正確；由集合的無(wú)序性以及集合相等的定義可知，（3）正確；空集是不含任何元素的集合，（4）錯(cuò)誤；故選：B變式訓(xùn)練3：已知集合A=x|x2=4，2A；-2A；A；-2,2=A；-2A.則上列式子表示正確的有幾個(gè)（ ）A1B2C3D4C【詳解】A=xx2=4=-2,2，故正確，故錯(cuò)誤；-2A，故正確；-2A，故錯(cuò)誤；A，故正確.所以正確的有3個(gè).故選：C.考點(diǎn)三：確定集合的子集、真子集例3

6、設(shè)A=x|(x2-16)(x2+5x+4)=0，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集解：由(x216)(x25x4)0，得(x4)(x1)(x4)20，解方程得x4或x1或x4.故集合A4，1,4由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為；由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為4，1，4；由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為4，1，4,4，1,4；由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為4，1,4因此集合A的子集為，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4，1,4真子集為，4，1，4，4，1，4,4，1,4變式訓(xùn)練1：集合1,2的子集有（ ）A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)答案：A解析：集合1,2的子集有，1，2，1,2，共4個(gè)變式訓(xùn)練2：寫出集合a,b,c的所

7、有子集，并指出其中的真子集的個(gè)數(shù)解：集合a，b，c的子集有，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，其中除a，b，c外，都是a，b，c的真子集，共7個(gè)考點(diǎn)四：子集、真子集的個(gè)數(shù)例4集合A=a,b,c,d非空子集的個(gè)數(shù)是（ ）A13B14C15D16C【詳解】集合Aa，b，c，d中有4個(gè)元素，非空子集的個(gè)數(shù)為：24115，故選：C.變式訓(xùn)練1：已知集合M=0,1,2，則M的子集有（ ）A3個(gè)B4個(gè)C7個(gè)D8個(gè)D【詳解】因?yàn)榧螹=0,1,2共有3個(gè)元素，所以子集個(gè)數(shù)為23=8個(gè).故選：D.變式訓(xùn)練2：若集合A=xZ-1x2，則A的真子集個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4C【詳解】因?yàn)榧螦=x

8、Z-1x2，所有集合，所以A的真子集個(gè)數(shù)為：22-2=3.故選：C變式訓(xùn)練3：已知集合A=x2x-12,xZ，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（ ）A0B1C2D4D【詳解】A=x2x-12,xZ=x|-12x32,xZ=0,1，共兩個(gè)元素則集合A的子集個(gè)數(shù)為22=4故選：D考點(diǎn)五：集合相等例5已知集合A=0,a+b,ab，（a，），若A=B，則a+2b=（ ）A-2B2C-1D1D【詳解】集合，且A=B，a+b=1-b,ab=1，或a+b=1,ab=1-b，先考慮a+b=1-b,ab=1，解得a=b=13，此時(shí)，B=0,23,1，滿足題意，a+2b=1；再考慮a+b=1,ab=1-b，解得，此時(shí)，B=0

9、,0,1，不滿足題意，綜上，a+2b=1故選：D變式訓(xùn)練1：下列集合與集合A=2,3相等的是（ ）A2,3Bx,yx=2,y=3Cxx2-5x+6=0Dx=2,y=3C【詳解】集合A表示數(shù)字2和3的集合.對(duì)于A：集合中的元素代表點(diǎn)2,3，與集合A不同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：集合中的元素代表點(diǎn)2,3，與集合A不同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由x2-5x+6=0得：x=2或x=3，與集合A元素相同，C正確；對(duì)于D：表示兩個(gè)代數(shù)式的集合，與集合A不同，D錯(cuò)誤.故選：C.變式訓(xùn)練2：已知a，bR，若，則a2021+b2021的值為（ ）A-1B0C1D-1或0A【詳解】由0a,ba,1 且a0，則ba=0，b=0，于

10、是a2=1，解得或a=-1根據(jù)集合中元素的互異性可知應(yīng)舍去，因此a=-1，故a2021+b2021=-12021+02021=-1故選：A.變式訓(xùn)練3：已知aR，若集合a,ba,1=a2,a-b,0，則a2020+(b+1)2020的值為（ ）A2B1C-2D-1A【詳解】由題意，集合a,ba,1=a2,a-b,0，可得ba=0，即b=0，所以a,0,1=a2,a,0，可得a2=1a=1，解得a=-1，所以a2020+(b+1)2020=(-1)2020+(0+1)2020=2,即a2020+(b+1)2020的值2.故選：A.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1、下列各式中，正確的是（ ）00,1,2；0,1,2

11、2,1,0；0,1,2；=0；0,1=0,1；0=0.ABCDD【詳解】集合之間沒(méi)有屬于、不屬于關(guān)系，錯(cuò)誤.0,1,2,2,1,0是相等的，故0,1,22,1,0成立，正確.空集時(shí)任何集合的子集，正確.,0不相等，錯(cuò)誤.0,1,0,1集合研究的元素不一樣，沒(méi)有相等或包含關(guān)系，錯(cuò)誤.，元素與集合只有屬于、不屬于關(guān)系，錯(cuò)誤.故選：D2、給出下列關(guān)系式：23Q；xx2+x+1=0；(1,-4)(x,y)y=x2-2x-3；x2x=2,+)，其中正確關(guān)系式的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D3C【詳解】對(duì)于23Q，元素與集合間的關(guān)系為屬于關(guān)系，不是包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于空集是任何集合的子集，故正確；對(duì)于，(1

12、,-4)(x,y)y=x2-2x-3點(diǎn)(1,-4)為拋物線y=x2-2x-3上的點(diǎn)，故正確；對(duì)于x2x2,+)，故錯(cuò)誤；所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C.3、下列關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)12Q；3R；0N*；Z；0=x|x2=x；0A1B2C3D4B【詳解】Q為有理數(shù)集，所以12Q正確；R為實(shí)數(shù)集，所以3R不正確；N*為正整數(shù)集，所以0N*不正確；Z為整數(shù)集，所以Z不正確；x|x2=x=x|x2-x=0=0,1，故0=x|x2=x不正確；是不含任何元素的子集，是任一非空集合的真子集，所以0正確.綜上，正確的只有，共2個(gè).故選：B.4、給出下列說(shuō)法：10,1,2；0,1,2；10,1,2；0,

13、1,2=2,0,1.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4D【詳解】對(duì)于，由元素與集合的關(guān)系可知正確；對(duì)于，由空集是任意集合的子集知正確；對(duì)于，根據(jù)集合間的關(guān)系知正確；對(duì)于，由集合中元素具有無(wú)序性知正確.故選：D.5、在10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2； 0 上述四個(gè)關(guān)系中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)B【詳解】解： “”表示集合與集合間的關(guān)系，所以錯(cuò)誤；集合0,1,2中元素是數(shù)，不是集合0,1,2元素，所以錯(cuò)誤；根據(jù)子集的定義，0，1，2是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以正確；所表示的關(guān)系中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是2故選：B6、已知集合P=1,2,3,4，則滿

14、足1,2QP的集合Q的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4D【詳解】解：由題題意可知，滿足條件的集合Q有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4個(gè).故選：D7、以下六個(gè)命題中：00；0；0.3Q；0N；a,bb,a；xx2-2=0,xZ是空集.正確的個(gè)數(shù)是（ ）A4B3C5D2C【詳解】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系可判定00、0N正確，0.3Q不正確，根據(jù)集合與集合之間的關(guān)系可判定0、a,bb,a、xx2-2=0,xZ是空集正確.故選：C8、已知集合A=x|x2-3x+2=0，xR，B=x|0 x6，xN，則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為（ ）A3B4C8D16C【詳解】由ACB，則集合C中必有元

15、素1,2，而元素3,4,5可以沒(méi)有，可以有1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè).即滿足條件的集合C為：1,2，1,2，3，1,2，4，共8個(gè) 故選：C9、若1，2M0，1，2，3，則滿足條件的集合M的個(gè)數(shù)為（ ）A7B8C31D32B【詳解】由題意，因?yàn)?,2M0,1,2,3,4，所以集合M中至少含有1，2兩個(gè)元素，至多含有0，1，2，3，4這5個(gè)元素，因此集合M的個(gè)數(shù)即為集合0,3,4的子集個(gè)數(shù)，即為23=8個(gè).故選：B10、已知集合M滿足1M1,2,3，則滿足條件的集合M的個(gè)數(shù)是（ ）A2B3C4D5B【詳解】因?yàn)榧螹滿足1M1,2,3，所以滿足條件的集合M有：1,2,1,2，即集合M的個(gè)數(shù)是3，故選：

16、B.11、下列集合與集合A=1,3相等的是（ ）A1,3B1,3Cxx2-4x+3=0Dx,yx=1,y=3C【詳解】A項(xiàng)不是集合，B項(xiàng)與D項(xiàng)中的集合是由點(diǎn)坐標(biāo)組成，C項(xiàng)：x2-4x+3=0，即x-3x-1=0，解得x=3或x=1，集合x(chóng)x2-4x+3=0即集合1,3，因?yàn)槿魞蓚€(gè)集合相等，則這兩個(gè)集合中的元素相同，所以與集合A=1,3相等的是集合x(chóng)x2-4x+3=0，故選：C.12、已知aR，若集合，則a2019+b2019的值為（ ）AB-1C1D2B【詳解】因?yàn)?，所以ba=0a=a+ba2=1，解得b=0a=1或b=0a=-1，當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故a=-1，b=0，a2019+b2019=-12019+02019=-1，故選：B.13、下列四個(gè)命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）與1非常接近的全體實(shí)數(shù)能構(gòu)成集合；-1,(-1)2表示一個(gè)集合；空集是任何一個(gè)集合的真子集；任何一個(gè)非空集合必有兩個(gè)以上的子集.A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)C【詳解】不確定，所以不能構(gòu)成集合；可以構(gòu)成集合；空集是任何非空集合的真子集；對(duì)于非空集合，至少有一個(gè)元素，所以子集的個(gè)數(shù)為2n2.、正確故選：C14、已知集合M滿足，則符合條件的集合M有_個(gè)7【詳解】據(jù)子集的定義，可得集合M必定含有1、2