【普通物理學(xué)】力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

1、轉(zhuǎn)動(dòng)平面 沿Z 軸分量為 對(duì)Z 軸力矩對(duì)O 點(diǎn)的力矩：一、力矩3-2 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) 注1在定軸動(dòng)問(wèn)題中，如不加說(shuō)明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。 只能引起軸的變形, 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)。轉(zhuǎn)動(dòng)平面 是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱(chēng)為力臂。（2） （3） 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中不予考慮。 （4）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號(hào)表示。轉(zhuǎn)動(dòng)平面 描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過(guò)O點(diǎn)作一極軸，設(shè)極軸的正方向是水平向右，那么OP與極軸之間的夾角為。角稱(chēng)為角坐標(biāo)或角位置。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。二、 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述1.角坐標(biāo)描

2、寫(xiě)剛體位置變化的物理量。角坐標(biāo)的增量：稱(chēng)為剛體的角位移xyPR描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。角速度方向：滿(mǎn)足右手定那么，沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向右旋大拇指指向。2.角位移3.角速度 角速度是矢量，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有兩個(gè)，在表示角速度時(shí)只用角速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。剛體上任一質(zhì)元的速度表示為：剛體上任一質(zhì)元的切向加速度和法向加速度表示為：3.角加速度 角加速度是矢量，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的方向只有兩個(gè)，在表示角加速度時(shí)只用角加速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。說(shuō)明： 角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度等角量是用來(lái)描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的整體運(yùn)

3、動(dòng)，也可用來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)；位矢、位移、速度、加速度等線量是用來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O對(duì)剛體中任一質(zhì)量元-外力-內(nèi)力采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律用 乘以上式左右兩端： 設(shè)剛體由N 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫(xiě)出上述類(lèi)似方程，將N 個(gè)方程左右相加，得： 根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對(duì)內(nèi)力等值、反向、共線,對(duì)同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到： 上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符號(hào)內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，稱(chēng)為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以J 表示。于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律4J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量不同。 3J 和質(zhì)

4、量分布有關(guān)；2M 的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速 的力矩為正；慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)（1） M 一定，J討論：質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離 剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可 寫(xiě)成積分形式按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有三、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量區(qū)別：平動(dòng)：線動(dòng)量平動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)：角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。例題3-1 求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 1轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直； 2轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直； 3轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的一點(diǎn) 并和棒垂直。解:(1)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元hJ 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有

5、關(guān)(2)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元3建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元平行軸定理定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JC 加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積： 剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小如：例題3-2 求圓盤(pán)對(duì)于通過(guò)中心并與盤(pán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤(pán)的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解：設(shè)圓盤(pán)的質(zhì)量面密度為，在圓盤(pán)上取一半徑為r、 寬度為dr的圓環(huán)如圖，環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的 質(zhì)量dm= 2rdr ?？傻美}3-3 一輕繩跨過(guò)一定滑輪，滑輪視為圓盤(pán)，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1m1，物體1向上運(yùn)動(dòng)，物體2向下運(yùn)動(dòng)，滑輪以順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，M

6、r的指向如下圖?？闪谐鲆韵路匠淌街惺腔喌慕羌铀俣?，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即從以上各式即可解得而當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0時(shí)，有 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來(lái)測(cè)量重力加速度g的簡(jiǎn)單裝置。因?yàn)樵趍1、 m2 、r和J的情況下，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1和2的加速度a，再通過(guò)加速度把g算出來(lái)。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m1和m2相近，從而使它們的加速度a和速度v都較小，這樣就能角精確地測(cè)出a來(lái)。例題3-4 一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤(pán)，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤(pán)與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤(pán)最初以角速度0繞通過(guò)中心且垂直盤(pán)面的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)圓盤(pán)與桌子的接觸面上，力矩的計(jì)算要用積分法。在圖中，把圓盤(pán)分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。此處e是盤(pán)的厚度。圓盤(pán)所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，阻力矩使圓盤(pán)減速，即獲得負(fù)的角加速度.設(shè)圓盤(pán)經(jīng)過(guò)時(shí)間t停止轉(zhuǎn)動(dòng)，那么有由此求得 選擇進(jìn)入下一節(jié)3-0 教學(xué)根本要求3-1 剛體模