控制原理習題課（34章） 自動控制原理 課件

1、控制原理 習題課(第3,4章) 1)時域分析是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應來分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應的超調量、調整時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。 2)二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應雖有振蕩，但只要阻尼比取值適當(如0.7左右)，那么系統(tǒng)既有響應的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設計為欠阻尼。 第3章要點 3)如果高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導極點，那么該系統(tǒng)的瞬態(tài)響應就可以近似地用這對主導極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。 4)穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它僅取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，與外施信

2、號的形式和大小無關。不用求根而能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為穩(wěn)定判據(jù)。穩(wěn)定判據(jù)只答復特征方程式的根在s平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)值。 5)穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，也是系統(tǒng)的一個重要性能指標。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與其結構和參數(shù)有關，也與控制信號的形式、大小和作用點有關。 6)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度與動態(tài)性能在對系統(tǒng)的類型和開環(huán)增益的要求上是相矛盾的。解決這一矛盾的方法，除了在系統(tǒng)中設置校正裝置外，還可用前饋補償?shù)姆椒▉硖岣呦到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 例題31 圖339所示的一階系統(tǒng)，在階躍輸入時，系統(tǒng)為什么一定有穩(wěn)態(tài)誤差存在，試解釋之。解 令階躍輸入r(t)R0，假設系統(tǒng)的輸出c(t)能等于R0，

3、那么e0，mKe0，c(t)0。這顯然與上述的假設相矛盾。為了使這種類型的系統(tǒng)在階躍輸人時能正常地工作，從控制原理上來說，系統(tǒng)非有穩(wěn)態(tài)誤差不可。正是由于e的存在，才有放大器的輸出m和在r(t)作用下的系統(tǒng)輸出c(t)。如在穩(wěn)態(tài)時，eR/(1+K)，那么mKR0/(1+K)和c(t)KR0/(1+K)，它們都是由eR/(1+K)所產生的，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為R0/(1+K)。 例題32 一階系統(tǒng)的方框圖如圖340所示。設r(t)t，求單位斜坡輸出響應。 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 那么其輸出 用局部分式展開上式，得 取拉氏反變換 由此可見，在穩(wěn)態(tài)時，該0型系統(tǒng)輸出量的變化率 ，它小于輸人信號的變化

4、率 。這是由于0型系統(tǒng)的結構所致，從而使得具有這種結構的系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入。穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大. 例題33 圖34la所示系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖34lb示之，試求參數(shù)K1、K2和的值。解 因為該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以它的輸出 對應的穩(wěn)態(tài)輸出 據(jù)此求得 K12。由圖34lb得 由上式求得0.6。根據(jù)解得n5.2s1。把閉環(huán)傳遞函數(shù)改寫為二階系統(tǒng)的標準形式，即由此式得 K2n25.2227.04， a2n6.24 例題3-4 一單位反響控制系統(tǒng)如圖342所示。試答復：(1)GC(s)1時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定? (2) GC(s)KP(s+1)/s時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是什么? 解 (1)閉環(huán)特

5、征方程為 列勞斯表由于表中第一列的系數(shù)全為正值，因而閉環(huán)特征方程式的根全部位于s的左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2)相應的開環(huán)傳遞函數(shù)為 那么其閉環(huán)特征方程變?yōu)?s2(s+5)(s+10)+20KP(s+1)0 s4+15s3+50s2+20KPs+20KP0排勞斯表 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，表中第一列的系數(shù)必須全為正值，即KP0；75020KP0KP37.5；10500400Kp0KP26.25。由此得出系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是 0KP26.25例題3-5 設一控制系統(tǒng)誤差的傳遞函數(shù)為 輸入信號r(t)cost，求誤差e(t)。 解由于輸入是余弦信號，因而系統(tǒng)誤差的終值將不存在。下面用局部分式法去求e(t)

6、。 因為 式中 取拉氏反變換，得 其中arctan/a。由上式可見，等號右方第一項為哪一項穩(wěn)態(tài)誤差局部。 根軌跡是以開環(huán)傳遞函數(shù)中的某個參數(shù)(一般是根軌跡增益)為參變量而畫出的閉環(huán)特征方程式的根軌跡圖。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零、極點在5平面上的分布，按照8條規(guī)那么，就能方便地畫出根軌跡的大致形狀。 根軌跡圖不僅使我們能直觀地看到參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響，而且還可用它求出指定參變量或指定阻尼比相對應的閉環(huán)極點。根據(jù)確定的閉環(huán)極點和的閉環(huán)零點，就能計算出系統(tǒng)的輸出響應及其性能指標，從而防止了求解高階微分方程的麻煩。 第4章要點例題41 一單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制該系統(tǒng)的根軌跡，分析K0對系統(tǒng)性

7、能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應的閉環(huán)極點。解 閉環(huán)特征方程為 s22sK0s4K00令sj代入上式，得2一2j22j2K0j K04K00那么有2一22K04K00 (1) j(22K0)0 (2)由式(2)得 K0一(22)代人式(1)，于是得 28280 即 上式表示系統(tǒng)根軌跡的復數(shù)局部為一圓。由圖可知，別離點sl一1.172，會合點s2一6.828。由幅值條件求得它們相應的增益值分別為 相應的開環(huán)增益 K2K010.686。相應的開環(huán)增益K2K0223.2。由此可見，當0K00.343時，系統(tǒng)有兩個相異的負實根，其瞬態(tài)響應呈過阻尼狀態(tài)。當0.343K011.6時，系統(tǒng)有一對共軛復根，

8、其瞬態(tài)響應呈欠阻尼狀態(tài)。當11.6K0時，系統(tǒng)又具有二個相異的負實根，瞬態(tài)響應又呈過阻尼狀態(tài)。由坐標原點作圓的切線，此切線與負實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比(最大對應最小) coscos4500.707相應的閉環(huán)極點由圖求得為 Sl ,2一2 j2由幅值條件求得K02。由于系統(tǒng)的阻尼比0.707，因而相應的階躍響應具有較好的平穩(wěn)性和快速性。 例題42 一控制系統(tǒng)如圖441所示。試求： (1)繪制系統(tǒng)的根軌跡； (2)確定K08時的閉環(huán)極點和單位階躍響應。 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 據(jù)此，作出系統(tǒng)的根軌跡。其中根的復數(shù)局部的根軌跡為一圓，其方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 s(s1)(s2)K0(s

9、3)(s1)0 即 (s1)s(s2)K0(s3)0顯然，sl這個根不受K0變化的影響。圖442所示的根軌跡僅表示上式方括號中多項式的兩個根隨K0的變化過程。當K08時，該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為令R(s)1/s，那么得 式中，A1，B16/15，C1/3，2/5。對上式取拉氏反變換，求得系統(tǒng)的單位階躍響應為 例題4-3設一位置隨動系統(tǒng)如圖443所示。1)繪制以為參變量的根軌跡；2)求系統(tǒng)的阻尼比0.5時的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解 1)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 對應的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 閉環(huán)特征方程為 s20.2s1s0即 式中 據(jù)此，作出以為參變量的根軌跡，如圖444所示。不難證明，該根軌跡復數(shù)局部是一圓弧，其

10、方程為 221 2)因為arccosarccos0.5600，故通過坐標原點作一與負實軸成600的射線，并與圓弧相交于s1點(見圖444)。根據(jù)幅值條件，由圖求得系統(tǒng)工作于s1點時的值，即 相應的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 例題44 設系統(tǒng)A和B有相同的根軌跡，如圖445所示。系統(tǒng)B有一個閉環(huán)零點s2，系統(tǒng)A沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們對應的閉環(huán)框圖。 解 1)由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式D(s)必也完全相同。由圖445可知，系統(tǒng)B的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2) 兩系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)B： 系統(tǒng)A： 由此可見，系統(tǒng)A的 ，H(s)s2。相應閉環(huán)

11、系統(tǒng)的框圖分別如圖4-46所示。 系統(tǒng)性能分析(補充)performance analysis of the system41自動控制原理 利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正。1、由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；2、零極點對系統(tǒng)性能的影響1、由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點位置對于特定K*值下的閉環(huán)極點，可用模值條件來確定。但一般說來簡單的方法是用試探法確定實數(shù)閉環(huán)極點的數(shù)值，然后用綜合除法得到其它閉環(huán)極點。例4- 5 試確定K*=4的閉環(huán)極點。-1j-1-j-30解由于m=0,n=4所以模值條件為所以有解方程 s1=-2 , s2=-2.51(先用試探法，再用長除法解另兩根S34=-0.24j0.862.1、增加零點對系統(tǒng)性能的影響2、零極點對系統(tǒng)性能的影響2.2、增加極點對系統(tǒng)性能的影響主導極點：對整個時間響應起主要作用的閉環(huán)極點。只有即接