概率論 第5章 大數(shù)定律及中心極限定理

1、第五章大數(shù)定律1 在數(shù)學中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時候一個有限的和很難求, 但一經(jīng)取極限由有限過渡到無限, 則問題反而好辦. 例如, 若對某一x,要計算和 而一經(jīng)取極限，則有簡單的結(jié)果 2 事實證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見正態(tài)分布的重要性。對和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理的研究，在長達兩個世紀的時期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱。本章將列述這類定理中最簡單，然而也是最重要的情況。 3 在概率論中，另一類重要的極限定理是所謂“大數(shù)定律”。 在第一章中我們已經(jīng)討論了“頻率的穩(wěn)定性”。 大量的重復試驗中，事件A發(fā)生的頻率接

2、近某個常數(shù)，這個常數(shù)實際上就是事件發(fā)生的概率?！按髷?shù)”的意思，就是指試驗數(shù)目是大量的。 4記作1 大數(shù)定律 5幾個常見的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律） 設 X1,X2, 是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，則對任意的 有或依概率收斂6解釋:取值接近于其數(shù)學期望的概率接近于1.當n充分大時，差不多不再是隨機的了,7定理2（伯努利大數(shù)定律）或 下面給出的伯努利大數(shù)定律, 是定理1的一種特例. 設nA是n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的 ,有8是事件A發(fā)生的頻率， 貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗次

3、數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋。 歷史上，貝努利第一個研究了這種類型的極限定理，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認為，概率論的真正歷史應從出現(xiàn)貝努利大數(shù)定律的時刻算起。 9 下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在. 設隨機變量序列X1,X2, 獨立同分布，具有有限的數(shù)學期望E(Xi)=, i=1,2,，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.10 例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n

4、 塊. 計算其平均畝產(chǎn)量，則當n 較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.11 將一枚均勻?qū)ΨQ的骰子重復擲n次，求n次擲出點數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂的極限 例1解其共同的數(shù)學期望為 12 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.2 中心極限定理13 中心極限定理，正是從理論上證明，對于大量的獨立隨機變量來說，只要每個隨機變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個隨機變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函

5、數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實際中遇到的隨機變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中占有極其重要的地位。 14下面介紹幾個常用的中心極限定理。 在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.15 由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究n個隨機變量之和本身，而考慮它的標準化的隨機變量的分布函數(shù)的極限.16列維一林德伯格中心極限定理17（證略） 18此定理說明,當n充分大時,有 或19 將n個觀測數(shù)據(jù)相加時，首先對小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)試利用中心極限定理估計， 例1解(1) 當n=1500時，舍入誤差之和

6、的絕對值大于15的概率； (2) n滿足何條件時，能以不小于0.90的概率使舍入誤差 之和的絕對值小于10 根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當n充分大時 20(1)21(2)數(shù)據(jù)個數(shù)n應滿足條件： 即當 時，才能使誤差之和的絕對值小于10的概率不小于0.90 22下面給出上述定理的一個重要特例。 棣莫弗-拉普拉斯定理23或即有近似計算公式 24例2 設在某保險公司有1萬個人參加投保,每人每年付120元保險費.在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1萬元,問:(1)該保險公司虧本的概率為多少?(2)該保險公司一年的利潤不少于40,60,80萬元的概率各是多少? 解設一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則 由D-L中心極限定理, 即該保險公司虧本的概率幾乎為0. 2526 練習：習題五 5. 8. 27解由中心極限定理知,補充題28解由中心極限定理知,29 假設生產(chǎn)線組裝每件成品的時間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計資料表明每件成品的組裝時間平均為10分鐘.設各件產(chǎn)品的組裝時間相互獨立. 3.(1)試求組裝100件成品需要15到20小時的概率； (2)以95%的概率在16小時內(nèi)最多可以組裝多少件成品? 解設第i件組裝的時間為Xi分鐘,i=1,100. 利用獨立同分布中心極限定理. (1)30(2)查表得 解得故最